Cours2-Chapitre Statique des Fluides

MÉCANIQUE DES FLUIDES
DR. RAJAA AKOURY
Semestre V Civil – ULFGII
CONTENU DU COURS
Généralités
 Partie I: Fluides Parfaits

1- Statique des Fluides (équilibre des fluides au repos)
 2- Cinématique des Fluides (étude du mouvement des
fluides sans se soucier des causes ou des forces qui
entrent en jeu)
 3- Dynamique des Fluides (étude des forces agissant sur
un fluide en mouvement)


Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

Théorèmes de Bernouilli, d’Euler, de Blasius…
Partie II: Fluides Visqueux



1- Généralités
2- Cinématique et dynamique des fluides visqueux
3- Ecoulements laminaires et turbulents
2
MÉCANIQUE DES FLUIDES
II- STATIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Semestre V Civil – ULFGII
PLAN DU CHAPITRE

Notion de pression dans un milieu fluide
Classification des forces
 Tension en un point
 Calcul des forces de pression

Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
Sur une surface plane
 Sur une surface gauche


Equation fondamentale de la statique d’équilibre
Equilibre d’une particule fluide
 Cas où les forces de volume dérivent d’un potentiel

Equation fondamentale de l’hydrostatique
 Statique des Fluides non pesants
 Champ de force autre que la pesanteur:

Champ magnétique
 Champ de force d’inertie

4
DÉFINITION
La Statique des Fluides a pour objectif l’étude de
l’équilibre des fluides au repos ou des fluides
uniformément accélérés.

Il n’y a pas de contraintes dues au frottement entre
les particules. On ne tient pas compte alors de la
viscosité du fluide.

Les forces en jeu sont uniquement les forces de
surface dues à la pression.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

5
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE

Classification des forces
D
(S)
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
La résolution d’un problème de Mécanique des Fluides passe par
la définition d’un volume (domaine de contrôle D) contenant du
fluide, limité par une surface S.
Deux types de forces sont mis en jeu:
• Forces intérieures: les particules du fluide exercent les unes
sur les autres des forces moléculaires, égales et opposées deux à
deux. Elles forment un système en équilibre.
•Forces extérieures:
•Forces de surface concernant les particules voisines de la
surface (paroi) S: forces de pression…
•Forces de volume appliquées sur l’ensemble des
molécules du fluide situées à l’intérieur du domaine: champ
de la pesanteur, champ magnétique, champ électrique…
6
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE

Tension en un point du fluide
Soit M un point sur la paroi de D, entouré d’une surface
élémentaire dS. Soit le vecteur normal à la paroi.
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Le système des forces se limite au point M à une force dF (et
un couple dC infiniment petit).
M
dS
On définit le vecteur tension (ou simplement la tension) au
point M par:
n’est pas nécessairement colinéaire à
7
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
Dans le plan (en 2D):
admet deux composantes: tangentielle et normale
dS
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M
La composante normale Tn est la pression au point M.
ou bien
La pression désigne alors la force par unité de surface
qui s’exerce perpendiculairement à un élément de
surface dS.
8
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
Dans l’espace (en 3D):
En un point M d’un milieu continu de fluide, les
tensions sur les éléments de surface de différentes
orientations ne sont pas indépendantes. Pour les
relier, on prend un domaine de référence qui est le
tétraèdre infiniment petit.
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admet 3 composantes selon les 3 surfaces
élémentaires du tétraèdre.
z
dSx
dSy
dS
étant le vecteur normal unitaire à dS,
dSz
Alors
x
9
y
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
z
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
dSx
dSy
dS
Alors
dSz
x
10
y
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
Chaque composante peut être projetée selon les 3 axes :
selon l’axe des x =
selon l’axe des y =
selon l’axe des z =
Projection de
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Projection de
selon l’axe des x =
selon l’axe des y =
selon l’axe des z =
11
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
Les composantes tangentielles Tij=Tji
(symétrie) sont notées par:
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Les composantes normales Tii
sont notées par:
Sous forme matricielle:
12
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
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: Tenseur scalaire des contraintes au point M.
En rapportant l’espace à 3 axes orthogonaux, le vecteur tension
en un point M sur un élément de surface dS sera déterminé par:
13
1. L’orientation de dS ( )
2. Le tenseur des contraintes défini par les 6 termes ni et ti , i=1,2,3
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
A noter qu’on peut décomposer le tenseur
Où
de la manière suivante:
est un tenseur de trace nulle
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On a donc:
Cette décomposition permet alors de reformuler la contrainte :
14
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
Il apparaît alors deux termes dans l’expression de la force:
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Le premier terme correspond évidemment à une force purement
normale { la surface: on peut facilement l’identifier { la force de
pression. En d’autres termes:
Nulles dans le cas d’un fluide (parfait ou
réel) au repos ou uniformément accéléré,
ou bien un fluide parfait en mouvement
15
Avec :
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE
En statique (repos ou mouvement uniformément accéléré), et dans
le cas de fluide parfait en mouvement, seules interviennent les
forces de pression (normales à la paroi). Les forces tangentielles
n’apparaissent qu’en dynamique des fluides visqueux. Elles
correspondent aux frottements visqueux des couches fluides en
mouvement les unes par rapport aux autres et par rapport à la
paroi.

Considérer un fluide comme parfait est équivalent à poser que les
forces de surface sont toujours uniquement des forces de pression:
elles sont normales aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent.
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
16
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE

La pression est toujours indépendante de la surface et
de l’orientation de cette surface.
dS1
M
dS2
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M
mais
17
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
TENSION EN UN POINT DU FLUIDE

1
1
2
Fluide réel
en mouvement
1
2
Fluide parfait en
mouvement
1
2
Fluide réel ou parfait
Au repos
2
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Un fluide parfait est un fluide qui, même en mouvement, ne
présente pas de forces de surface tangentielles (contraintes de
cisaillement dues à la viscosité). Il en résulte qu'un fluide
parfait est un fluide dont la viscosité est supposée nulle. Pour un
fluide réel ces conditions ne sont vérifiées que s'il est au repos
ou uniformément accéléré.
Fluide réel ou parfait
uniformément accéléré
Forces de surface Normales
18
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION

Calcul des forces de pression des fluides sur une
surface

z
dF
La force élémentaire (normale à dS) s’exerçant
en M à une profondeur z est donnée par :
M
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Soit un élément de surface dS entourant un point M situé à la
profondeur z par rapport au niveau de surface libre.
En général, on néglige la pression atmosphérique ; on s’intéresse
alors à la force élémentaire effective
19
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Calcul des forces de pression sur une surface plane



zA
A
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
Soit une surface plane AB inclinée d’angle q par rapport à
l’horizontale, et immergée dans un fluide de masse
volumique r.
Les pressions sont normales à la paroi.
Les forces élémentaires sont toutes parallèles. Le système de
force est donc équivalent à une force unique.
On peut calculer son intensité et son point d’application.
zB
B
20
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Calcul de la résultante des forces de pression
En tout point entouré d’une surface
élémentaire dS à une profondeur z :
zG
zP
La résultante des forces élémentaires est donc: A
G
zB
P
Pour un fluide incompressible:
Où S est la surface plane entre A et B; et zG est la profondeur du
centre de gravité géométrique de la surface AB .
B
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zA
21
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Calcul de la position du point d’application
On cherche à calculer la profondeur zP du O
point d’application de la force de pression.
zG
zP
A
G
zB
P
B
Moment élémentaire en un point de AB:
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Pour cela, on calcule le moment des forces
élémentaires par rapport à un axe perpendiculaire au
plan passant par le point O.
zA
D’autre part, le moment est égal au produit de la résultante des forces
par le bras du levier (OP):
Moment d’inertie
Moment Statique
22
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE
Moment d’inertie
Moment Statique
O
zA
zG
zP
= au moment d’inertie de la surface AB
par rapport à un axe passant par O.
Théorème de Huygens:
G
P
B
Où
est le moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axe
passant par son centre de gravité G. Alors:
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A
zB
Connu pour des formes
géométriques particulières
23
Le point d’application P est donc toujours plus bas que le centre de gravité.
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

G
zP
A

Le centre de poussée est toujours situé plus bas
que le centre de gravité de la surface plane :
G
P
B
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La résultante des forces de pression sur une surface
plane pour un fluide incompressible en équilibre est
égale au poids d’une colonne de fluide ayant pour
base la surface S de la paroi, et pour hauteur la
profondeur du centre de gravité:
z
24
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Formulaire de surfaces, barycentres et moments d’inertie
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
25
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Formulaire de surfaces, barycentres et moments d’inertie
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
26
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE PLANE

Application
Soit une plaque plane AB rectangulaire (hauteur H et largeur 1),
verticale, retenant une hauteur d’eau H.
A
H
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Représenter le diagramme de pression.
 Calculer la résultante F des forces de pression.
 Situer son point d’application.

B

Reprendre l’exercice dans le cas d’une plaque circulaire de diamètre H.
27
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE

Calcul des forces de pression sur une surface Gauche
La complication pour une surface courbe tient au fait que
la normale sortante n’est plus constante sur la surface.
 Les forces élémentaires ne sont plus parallèles.
 Dans ce cas :

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Puisque le vecteur
est différent en
chaque point M de la surface, on peut
écrire que ses 3 composantes
dépendent de M:
28
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE
Le système n’est plus équivalent à une force unique.
 Il faut considérer indépendamment chacune des 3
composantes de la résultante selon les 3 directions:

Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
Selon la forme de la surface, les expressions des composantes du
vecteur normal peuvent être plus ou moins compliquées, de même
que le calcul des intégrales.
29
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE

Une autre solution est d’utiliser les règles générales
suivantes:
La composante horizontale Fx de la résultante des forces de
pression appliquée à une surface gauche quelconque S est
égale à la poussée hydrostatique qui s’exerce sur la projection
Sx de la surface S sur un plan perpendiculaire à l’axe des x.

Idem pour la composante horizontale selon y.

La composante verticale Fz de la résultante des forces de
pression appliquée à une surface gauche quelconque S est
égale au poids d’une colonne verticale de fluide, ayant pour
base la surface S, pour génératrice la verticale, s’appuyant sur
le contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plan
de surface libre.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

30
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE

La composante horizontale Fx de la résultante des forces de pression
appliquée à une surface gauche quelconque S est égale à la poussée
hydrostatique qui s’exerce sur la projection Sx de la surface S sur un plan
perpendiculaire à l’axe des x.
Surface non
horizontale
= Somme algébrique
de la projection des
surfaces
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x
31
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CALCUL DES FORCES DE PRESSION SUR UNE SURFACE GAUCHE

Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
La composante verticale Fz de la résultante des forces de pression appliquée
à une surface gauche quelconque S est égale au poids d’une colonne
verticale de fluide, ayant pour base la surface S, pour génératrice la verticale,
s’appuyant sur le contour de la surface S et délimitée vers le haut par le plan
de surface libre.
32
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CAS PARTICULIER D’UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE

Force hydrostatique appliquée sur un objet immergé:
On considère une surface fermée S constituant un corps
solide immergé dans un fluide au repos.
 La valeur algébrique de la projection de S sur un axe
horizontale est nulle. La surface n’est pas donc soumise à
une force horizontale.

et
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x
33
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CAS PARTICULIER D’UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE

Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

Concernant la composante verticale, les pressions (orientées
vars le haut) qui s’appliquent sur la partie inférieure du corps
sont plus importantes que celles (orientées vers le bas) de la
partie supérieure.
La composante verticale des forces de pression est égale et
opposée au poids du fluide contenu à l’intérieur de la surface:
C’est la poussée d’Archimède.
34
NOTION DE PRESSION DANS UN MILIEU FLUIDE
CAS PARTICULIER D’UNE SURFACE FERMÉE IMMERGÉE

C’est cette poussée qui est responsable du fait que certains
objets flottent et que d’autres coulent.
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En plus de son poids, un corps solide immergé dans un fluide
au repos est soumis à la poussée d’Archimède:
La poussée d’Archimède est une force orientée de bas en haut,
dont la norme est égale à celle du poids du volume de fluide, et
don’t le point d’application est le centre de gravité du volume
immergé.
35
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE

Equilibre d’une particule fluide:

Soient un système d’axes (O,x,y,z) et un volume de fluide
élémentaire :
Face Sy+dy
Face Sx
Face Sx+dx
Face Sy

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Face Sz+dz
Face Sz
On considère que le fluide est en équilibre sous l’action
des forces de pression sur les 6 faces, et d’un champ de
forces (champ de pesanteur par exemple).
36
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
EQUILIBRE D’UNE PARTICULE FLUIDE

Bilan des forces appliquées à l’élément de fluide:
Champ de forces (par unité de masse) :
 Forces de pression sur les 6 faces:

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Sur la face Sx :
 Sur la face Sx+dx :
Alors , par développement au premier ordre :


De la même manière, les résultantes des forces de pression selon Face S
y+dy
Face Sz+dz
les axes y et z sont:
Face Sx
Face Sx+dx
Face Sy
Face Sz
37
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
EQUILIBRE D’UNE PARTICULE FLUIDE

La particule de Fluide étant en équilibre, alors :
Les forces de pression:

Le champ de forces, par unité de force:

Ainsi:
Par unité de
volume
Par unité de
masse
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

Équation fondamentale
de la statique des fluides
38
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE

Considérons un champ de Forces
potentiel :
dérivant d’un

Le travail ne dépend donc que de la valeur du potentiel
aux points A et B. Il est indépendant du chemin suivi. On
dit qu’une telle force est conservative.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
est appelé potentiel de
et est homogène à une
énergie.
 À noter que
; le travail de la force entre
deux points A et B est alors donné par:

39
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE

En effet, la variation de l’énergie cinétique est égale au
travail de la force :
Alors

La somme de l’énergie cinétique et du potentiel se
conserve. Cette somme est l’énergie mécanique du
système. U correspond à l’énergie potentielle: c’est
l’énergie qui peut potentiellement se transformer en
énergie cinétique.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
D’autre part
40
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE
À noter que le signe
de l’égalité
dire que est dirigé dans le sens de U dU.
veut

Dans le cas où
dérive d’un potentiel U, l’équation
fondamentale de la statique, par unité de volume,
s’écrit:
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

41
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE

Propriétés des surfaces équipotentielles: ( U constant)

Les surfaces équipotentielles sont confondues avec les
surfaces isobares, mais varient dans le sens contraire:
;
;

Les surfaces équipotentielles son également isovolumes
(masse volumique constante) et isothermes (température
constante).
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
;
42
EQUATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE D’EQUIILIBRE
CAS OÙ LES FORCES DÉRIVENT D’UN POTENTIEL SCALAIRE

Équation fondamentale de
la statique des fluides
Quelques remarques :
Si le fluide est isovolume (
), alors:

Si est une fonction de la pression (

Si, en plus,

N.B.: Un fluide ne peut être en équilibre que si les forces de
volume dérivent d’un potentiel.
) , alors:
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

, alors
43
EQUATION DE LA STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE
LA PESANTEUR : HYDROSTATIQUE
Hydrostatique: Statique des fluides incompressibles
(masse volumique constante) dans le champ de la
pesanteur.
 Dans ce champ,
. Alors

Équation fondamentale
de l’hydrostatique
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
On peut choisir un système d’axes où la constante
d’intégration est nulle; alors
.
 L’équation fondamentale de la statique permet
d’écrire:

44
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES
Les surfaces équipotentielles sont des surfaces
isobares. Ce sont donc des plans horizontaux.

Tous les points d’un même fluide situés dans un
même plan horizontal sont à la même pression.

La surface libre d’un liquide, qui est le lieu des points
à la pression atmosphérique, est un plan horizontal,
et cela quelle que soit la forme du récipient.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

45
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES
La surface de séparation de deux liquides
incompressibles différents non missibles est une
surface horizontale.

A une profondeur élevée h dans l’eau (fluide
considéré incompressible), la pression augmente
linéairement avec la profondeur.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

46
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES

Application aux fluides compressibles dans le champ
de la pesanteur:

r dépend de P  Compressibilité

Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

On considère un gaz parfait à température constante. (par
exemple l’atmosphère isotherme).
Masse molaire
Équation d’état des gaz parfaits :
Équation fondamentale de la statique:
47
K se définit pour un niveau de
référence fixé
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES

Fluides compressibles/incompressibles
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
48
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES
La différence de pression entre deux points
quelconques d’un fluide en équilibre est égale au
poids d’une colonne de fluide de section unité et
ayant pour hauteur la dénivellation entre les deux
points.

.......... Poussée d’Archimède ..........
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
49
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES

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Paradoxe Hydrostatique: La force de pression
s’exerçant sur le fond d’un récipient contenant un
fluide en équilibre est égale au poids de la colonne de
liquide au dessus du fond, et ceci quelle que soit la
forme du récipient.
50
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
CONSÉQUENCES

Les fluides incompressibles transmettent intégralement
les variations de pression.

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Si Sb est plus grande que Sa, la force qui s’exerce sur le piston a se
trouvera amplifiée au niveau du piston b.
51
PRINCIPE FONDAMENTAL DE L’HYDROSTATIQUE
APPLICATIONS

Iceberg

Ballon d’hélium

Un ballon gonflé avec de l’hélium de masse
volumique 0,178 Kg/m3, a un volume V=100
litres. Quel poids Ps peut-il soulever sachant
que la masse volumique de l’air est de 1,29
kg/m3?
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

Calculer la fraction immergée du volume total V
d’un iceberg sachant que la masse volumique
de l’eau de mer est de 1025 Kg/m3 et celle de
la glace 920 Kg/m3.
52
STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS
C’est la statique des fluides dans le cas où la variation
de pression dues au champ de la pesanteur sont faibles
par rapport à la pression elle-même.

C’est le cas par exemple des écoulements à grande
pression dans des tuyaux fermés. On néglige le poids
du fluide par rapport à la pression, souvent supposée
uniforme dans l’ensemble du fluide.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

53
STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS
Dans ce cas aussi, la force élémentaire est
 Selon la direction x :

.

La résultante des forces de pression
suivant une direction sur une surface
gauche est soumise à une pression
uniforme qui s’exerce sur la projection
de la surface perpendiculairement à
cette direction.
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
est la projection de dS selon un axe perpendiculaire à l’axe des x
54
STATIQUE DES FLUIDES NON PESANTS
APPLICATION

Effort de pression à l’intérieur d’une conduite circulaire
Soit une conduite métallique circulaire de diamètre D=2R
soumise à une pression P.
 Le métal effectue une force dite de cohésion f qui s’oppose à
cette pression.

e
Cohésion
Épaisseur
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014
P
Pression
Rayon
D

Exemple: Déterminer l’épaisseur d’une conduite pour une
pression P=300 m d’eau si f=10 kgf/mm2 et D=0,5m.
55
CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR

Le cas le plus courant concerne les forces
gravitationnelles mais on peut aussi avoir à
considérer par exemple :
les forces d’inertie

les forces électromagnétiques
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

56
CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES

Cas de fluide conducteur de l’éléctricité dans un champ
magnétique
Un fluide conducteur possède en son sein des atomes
neutres, ainsi que des charges positives (ions positifs) et
des charges négatives (ions négatifs + des électrons libres
s’il s’agit d’un plasma).

Lorsqu’un tel fluide en mouvement uniforme traverse un
champ magnétique, un champ électrique est induit, lequel
engendre des courants électriques. Ces courants
interagissent avec le champ magnétique et produisent des
forces qui influencent à leur tour le mouvement du fluide.
C’est le domaine de la magnétohydrodynamique (MHD)
Dr. Rajaa Akoury – 2013-2014

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CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES ELECTROMAGNÉTIQUES
Lorsque le fluide est au repos et le champ est constant, il
n’y a pas de force électromagnétique, et l’équilibre
hydrostatique n’est pas modifié.

Le fluide sera siège de courant électrique et de force
électromagnétique s’il existe un mouvement relatif entre
le fluide et le champ ou si le champ varie avec le temps.

La force électromagnétique qui s’ajoute à l’équation
fondamentale de la statique est :
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
Vitesse de la particule
Force de Lorentz
Champ magnétique
Charge de la
particule
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CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE

Fluide soumis à des champs de force d’inertie

Liquide dans un réservoir en mouvement, préparé par Roy Beainy,
2012
 Liquide en rotation, préparé par Georgio Irani, 2012.
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Si le fluide est au repos dans un système de référence
particulier lui-même en mouvement par rapport à un
système d’axes absolu, on considère que nous sommes en
équilibre stable et qu’on peut appliquer l’équation de la
statique des fluides, à condition de prendre en considération
les forces d’inertie correspondants au mouvement
d’entraînement.

59
CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (1)
On considère un fluide soumis à un champ d’inertie
représenté par une accélération

Le fluide est donc soumis à une force par unité de masse
donnée par :

L’équation de la statique
les 3 axes :
se projette selon
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
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CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (1)
En intégrant les 3 équations précédentes dans le cas
d’un fluide incompressible, la pression sera exprimée
par:

Si
, on retrouve l’équation fondamentale
de l’hydorstatique.

Les surfaces isobares (P=cte) sont des plans parallèles à
la surface libre d’équation générale:
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
61
CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (1)

Applications directes:
Réservoir rempli de liquide, placé sur une locomotive en
mouvement.
 Réservoir qui sert à transporter des liquides dans une mine.
 Brouette remplie de liquide ...

Quelle est l’inclinaison du liquide dans le réservoir? Quelle est
l’accélération maximale pour éviter tout débordement? Si cette
accélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant ?
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
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CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (2)

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On considère un réservoir contenant un liquide pesant
homogène, tournant en mouvement uniforme autour
d’un axe z avec une vitesse angulaire w. Les forces
d’inertie qui résultent de l’accélération centripète sont
les forces centrifuges de valeur
.
63
CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (2)

Par unité de masse, la force appliquée au fluide est
donnée alors par (en coordonnées cylindriques
):
Force d’inertie d’entraînement

Projettons l’équation fondamentale de la statique
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Poids
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CHAMP DE FORCE AUTRE QUE LA PESANTEUR
FORCES D’INERTIE (2)
En intégrant les 3 équations précédentes dans le cas
d’un fluide incompressible, la pression sera exprimée
par:

Les surfaces isobares sont donc des paraboloïdes
d’équation générale:

Quelle est la hauteur du sommet du paraboloïde? Quelle est la vitesse
de rotation maximale pour éviter tout débordement? Si cette
accélération est dépassée, quel sera le volume de liquide restant ?
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
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