Cours e2phy Bordeaux 2003 Ecoulements fluides en géophysique

Cours e2phy Bordeaux 2003
Ecoulements fluides en géophysique externe
Les effets de la rotation
Etienne Guyon; Laboratoire Pmmh
associé au CNRS; ESPCI 10 rue vauquelin 75005 Paris
Ces notes ont été extraites en très large part du chapitre 7" Vorticité, dynamique du tourbillon,
écoulements en rotation de l'ouvrage Hydrodynamique Physique (Hyphy) (édité chez EDP sciences
) écrit avec Jean Pierre Hulin et Luc Petit. Il y sera fait référence pour l'es études de base
accompagnant ce cours tant sur la cinématique que sur la dynamique , ains i que sur les
phénomènes de turbulence
L'étude des déformations d'un élément liquide ( chapitre 3 (§2) de hyphy) fait apparaître un
terme de rotation locale qui est la partie antisymétrique du tenseur des gradients de vitesse. Le vecteur
vitesse de rotation locale correspondant est égal à la moitié du vecteur vorticité défini alors comme le
rotationnel du champ de vitesse. Ainsi, la vorticité sera un outil privilégié pour décrire les mouvements
de rotation locale à l'intérieur d'un fluide; elle peut être dans certains cas localisée dans l'espace comme
dans les tourbillons, ou bien continûment distribuée dans l'espace comme c'est le cas dans un fluide en
rotation uniforme.
Nous commencerons dans ce chapitre par rappeler la définition de la vorticité, puis nous
analyserons l'analogie de la vitesse avec un champ d'excitation magnétique et de la vorticité avec le
courant électrique qui lui donne naissance (§1). Nous étudierons ensuite le transport de la vorticité
dans le cas d'un fluide parfait, d'une part à partir de la dynamique de la circulation (théorème de
Kelvin) (§2), puis en établissant directement une équation d'évolution de la vorticité (§3). Le théorème
de Kelvin nous permettra de justifier, a posteriori, l'étude des écoulements potentiels que nous avons
faite au chapitre 6; nous montrerons en effet que, pour un fluide parfait et sous réserve d'autres
conditions, un écoulement initialement potentiel le reste ensuite.Nous décrirons ensuite la dynamique
d'un ensemble de vortex, correspondant à des écoulements dans lesquels toute la vorticité est
concentrée sur des lignes singulières (§4). Enfin, nous nous intéresserons (§5) à l'étude des
écoulements en rotation où l'effet de la rotation d'ensemble de superpose à la vorticité existante dans le
repère tournant. Cette étude joue un rôle considérable pour les phénomènes atmosphériques et
océanographiques.

HYDRODYNAMIQUE PHYSIQUE Chapitre 7 Vorticité - Dynamique du tourbillon - Ecoulements en rotation - 2 -
1. LA VORTICITE ET SON ANALOGUE EN ELECTROMAGNETISME
1.1 Le vecteur vorticité
le vecteur vorticité en un point r est défini par!(voir chapitre 3 (§2.3) Hyphy):
ω(r) = rot v(r) (7.1)
où v(r) est le champ de vitesse de l'écoulement. La vorticité ω(r) correspond à la partie antisymétrique
du tenseur G des gradients de vitesse de composantes Gij = ∂vi
∂xj !. Comme nous l'avons vu dans le
même chapitre (§2.1), ce tenseur peut être décomposé sous la forme Gij! =!eij!+!ωij où eij! =!1
2
!
∂vi
∂xj!-!∂vj ∂xi est le terme symétrique de déformation pure, et le terme ωij!
=!1
2 
∂vi
∂xj!-∂vj ∂xi est relié au
pseudovecteur vorticité ω(r) par ωk = -!εijk ωij (εijk vaut zéro si deux indices sont égaux, 1 si la
permutation i→j→k est directe, et -1 si elle est inverse). Enfin, nous avons démontré que ω est égal au
double du vecteur rotation locale du fluide (vecteur tourbillon).
La vorticité interviendra chaque fois que l'écoulement n'est pas potentiel et, par suite, dans les
fluides visqueux. Elle joue un rôle particulièrement important dans les écoulements turbulents qu'on
peut souvent considérer comme superposition d'une translation moyenne et de mouvements de rotation
locale d'échelles de taille très variable. Dans certains cas, l'écoulement est potentiel en dehors d'une
ligne (ou "cœur") de diamètre ξ faible par rapport à la taille globale de l'écoulement!: la rotation du
fluide s'effectue alors autour de ce cœur à l'intérieur duquel est localisée la vorticité. On rencontre de
tels écoulements tourbillonnaires (aussi appelés vortex) dans les trombes atmosphériques (fig.7.1a) et,
à une toute autre échelle, dans les tourbillons dans l'hélium superfluide (ξ ≈ 10-10 m) que nous
examinerons dans l'appendice à la fin de ce chapitre ou, plus prosaïquement, dans les tourbillons de
vidange de lavabos ou de baignoires. Dans d'autres cas, la vorticité est moins concentrée, mais des
structures d'écoulement en rotation du fluide restent bien identifiables; ce sera le cas des couches de
cisaillement entre fluides de vitesse différente qui seront discutées au paragraphe 3.2. Enfin, des
structures de ce type sont nettement visibles sur plusieurs centaines de kilomètres dans les photos
satellites des ouragans et des cyclones (fig.7.1b) ou dans l'atmosphère de Jupiter à une échelle de
plusieurs dizaines de milliers de kilomètres.

HYDRODYNAMIQUE PHYSIQUE Chapitre 7 Vorticité - Dynamique du tourbillon - Ecoulements en rotation - 3 -
(a) (b)
Fig.7.1 - (a): trombe atmosphérique au dessus de la mer (document NOAA) - (b): cliché satellite GOES8
du cyclone Fran au large de la Floride (à gauche) le 4 Septembre 1996 (document NOAA).
1.2 Analogie avec l'électromagnétisme
La relation (7.1) entre les champs de vitesse v(r) et de vorticité ω(r) est similaire à la relation
j(r)!=!rot H(r) en régime stationnaire (ou quasi stationnaire) entre le champ d'excitation magnétique
dans le vide H(r) et la distribution statique de densité de courant j(r).
Précisons cette analogie (discutée au §3.3 du chapitre 3, en liaison avec l'introduction de la
fonction de courant). Tout d'abord, les deux champs v et H sont à flux conservatif (lorsque le fluide
est incompressible et en l'absence de milieu magnétique) car ils vérifient!:
div H = 1
µo div B = 0 (7.2 a)
et!:div v = 0 (7.2 b)
De même, on peut faire correspondre au théorème d'Ampère, reliant la circulation du champ H le long d'un contour (C) entourant un conducteur parcouru par un courant électrique d'intensité I!:
I = ⌡
⌠
C!H.dl = ∫∫S j.dS (7.3)
l'équation!:⌡
⌠
C!v.dl = ∫∫S (rot v) .dS = Γ(7.4)
Cette relation exprime le théorème de Stokes!: la circulation d'un champ de vecteur A sur un contour fermé (C) est
égale au flux du rotationnel de A à travers une surface (S) s'appuyant sur ce contour (fig.7.2)!:
⌡
⌠
!!C
!A.dl = ∫∫S rot A.n dS (7.5)
n représente la normale en tous points de la surface; son orientation est définie en appliquant la règle du tire-bouchon
dans le sens de circulation le long de la courbe (C).

HYDRODYNAMIQUE PHYSIQUE Chapitre 7 Vorticité - Dynamique du tourbillon - Ecoulements en rotation - 4 -
(S)
n
A
A
dl
(C)
Fig.7.2 - Calcul de la circulation d'un champ de vecteurs A le long d'une courbe (C), à partir du flux de
son rotationnel à travers une surface (S) s'appuyant sur cette courbe.
La circulation du vecteur vitesse Γ apparaît donc comme l'analogue du courant électrique I.
On peut donc établir une correspondance entre l'excitation magnétique H et la vitesse v, sous réserve que les conditions aux limites se correspondent également. En hydrodynamique, la composante normale de la vitesse s'annule à la surface d'un
corps solide immobile (v⊥ = 0)!: cette condition (chapitre 4 (§3.1) de Hyphy) rend les lignes de
courant parallèles à la surface du corps à son voisinage immédiat. Une condition aux limites similaire
ne se rencontre en électromagnétisme que dans le cas très particulier des supraconducteurs qui
excluent le flux magnétique de leur intérieur. Dans la suite, nous utiliserons donc uniquement
l'analogie champ de vitesse-excitation magnétique lorsque celui-ci est produit par un ensemble de fils
conducteurs placés dans le vide. Ce cas est équivalent à celui d'un volume de fluide infini où on n'a pas
à respecter de conditions aux limites sur des parois. Nous allons maintenant préciser quantitativement
les résultats précédents dans le cas d'un tube de vorticité rectiligne et d'un fil conducteur linéaire.
1.3 Tubes de vorticité rectilignes et analogie avec le champ magnétique produit par
un fil conducteur
1.3.1 Champ d'excitation magnétique créé par un conducteur rectiligne et champ
de vitesse créé par un tourbillon rectiligne
Nous considérons en parallèle l'effet d'une densité de courant j, continue et uniforme et d'une
vorticité uniforme ω à l'intérieur d'un tube cylindrique de rayon ro, infiniment allongé dans la direction
z (fig.7.3) (pour r supérieur à ro, la densité de courant et la vorticité sont supposées nulles). Cet
exemple va nous permettre de préciser la correspondance entre ces deux champs.

HYDRODYNAMIQUE PHYSIQUE Chapitre 7 Vorticité - Dynamique du tourbillon - Ecoulements en rotation - 5 -
H(r)
v(r)
ω
r
r
0
j
r
r
0
(a)
(b)
(C)
(C)
Fig.7.3 - Champ d'excitation magnétique (respectivement champ de vitesse) créé par un conducteur,
(respectivement un filament de vorticité), rectiligne.
Le premier problème correspond au champ d'excitation magnétique autour d'un fil rectiligne
parcouru par un courant électrique de densité uniforme à l'intérieur du fil; le second représente
approximativement le tourbillon que l'on peut observer lors de la vidange d'un récipient par un orifice
circulaire (vidange d'une baignoire par exemple). Au champ d'excitation magnétique H dans la
direction azimutale dans le cas du fil, correspond le champ de vitesse v du fluide, de même symétrie.
A l'intensité du courant I!=!⌡
⌠
o
ro
!2π!j!r dr dans le fil, correspond l'intégrale ⌡
⌠
o
ro
2π!ω!r dr de la vorticité
ω sur la section du tube de vorticité.
Ainsi, les deux intégrales de surface de la densité de courant et de la vorticité sont
égales respectivement à la circulation du champ d'excitation magnétique et de la vitesse du fluide sur
des courbes entourant le tube central de rayon ro. Appliquons l'équation (7.5) à la vitesse d'écoulement
sur un cercle de rayon r > ro centré sur l'axe du tube et de plan perpendiculaire à celui-ci; on trouve, en
utilisant le fait que ω = (rot vθ)z est nul pour r > ro!:
2 π r vθ (r) = ⌡
⌠
o
ro
!2π!ω!r dr = ω π r 2
o = Γ(7.6)
soit!:vθ (r) = Γ
2π!r (7.7)
La quantité Γ!=!ω!π!r 2
o (appelée circulation du vecteur vitesse) est donc indépendante de r tant que r
reste supérieur à ro. Elle caractérise la force du tourbillon et correspond au courant total dans l'exemple
de la figure 7.3(a). Plus généralement, la circulation a la même valeur pour tous les contours fermés de
forme quelconque entourant une fois la ligne!: on le vérifie simplement en appliquant le théorème de
Stokes à ces contours. Ces résultats resteront valables dans le cas particulier où le cœur du tourbillon
est réduit à une ligne de rayon nul avec une densité infinie de vorticité (ce qui correspond en
magnétisme des courants à une ligne parcourue par un courant d'intensité I). Si l'intégrale de cette
distribution singulière de vorticité reste finie, elle continuera à représenter la circulation de la vitesse
autour du cœur du tourbillon.