Transparents - Olivier GRANIER

Interférences lumineuses
PC*
1
http://plateforme.sillages.info
I) Notions de vibration lumineuse :
1) Théorie scalaire de la lumière :
Dans un grand nombre de situations, l’intensité lumineuse, due à la
superposition de plusieurs ondes EM, peut être déterminée au moyen d’un
modèle simplifié, où le champ électrique est associé à une grandeur scalaire.
Cette approximation est justifiée :
• Dans le cas très fréquent d’ondes non polarisées dont les directions de
propagation sont voisines.
• Pour des ondes polarisées dont on sait que les directions de polarisation
sont voisines.
Les détecteurs usuels sont dits « quadratiques » : ils sont sensibles à la valeur
moyenne temporelle (sur des temps très supérieurs à la période des ondes
lumineuses qui est de l’ordre de quelques 10 – 15 s) du carré du module des
champs électriques.
2
http://plateforme.sillages.info
On définit alors la grandeur « Eclairement » ou « Intensité lumineuse » par :
I = k s( M , t )
2
t
1
1
2
*
= k Re( s.s ) = k s
2
2
où k est une constante multiplicative.
L’éclairement s’exprime en W.m – 2 et est en fait relié au module du vecteur de
Poynting.
On a vu en effet que, pour une OPPH :
2 Π = ε 0c E uz .
3
http://plateforme.sillages.info
2) Composition de deux vibrations lumineuses, formule de Fresnel :
On peut écrire :
s1 ( M , t ) = A1eiωt
;
s 2 ( M , t ) = A2 ei (ωt −ϕ ( M ))
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ϕ ( M )
(Formule de Fresnel)
avec :
1 2
I1 = kA1
2
et
1 2
I 2 = kA2
2
les éclairements des ondes (1) et (2) lorsqu’elles sont seules.
4
http://plateforme.sillages.info
Souvent, les deux ondes ont la même amplitude ; l’éclairement total sera alors :
I = 2 I 0 (1 + cos ϕ ( M ))
Le déphasage entre les deux ondes est relié à la différence de chemin optique :
ϕ (M ) =
2π
λ0
δ (M )
- δ géo ( M ) = ( SM ) 2 − ( SM )1 est la différence de marche géométrique au point
M entre les deux voies 1 et 2.
- δ ( M ) = δ géo ( M ) + δ sup , qui tient éventuellement compte des déphasages
supplémentaires, est la différence de marche optique.
5
http://plateforme.sillages.info
A la séparation entre deux milieux transparents, les rayons lumineux sont
réfractés et réfléchis.
Si les limites transversales du faisceau sont très grandes devant la longueur
d’onde, les rayons sont déviés selon les lois de Snell-Descartes.
Dans le cas, contraire, on observe le phénomène de diffraction.
On note n1 l’indice du milieu (1) et n2 l’indice du milieu (2). Alors, en tout
point du dioptre (surface de séparation entre ces deux milieux) :
• La phase de l’onde réfractée est égale à celle de l’onde incidente.
• Si n1 > n2 , alors la phase de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde
incidente.
• Si n1 < n2 , alors la phase de l’onde réfléchie est égale à celle de l’onde
incidente augmentée de π .
6
http://plateforme.sillages.info
On rappelle également que :
• Une réflexion sur un métal s’accompagne d’une discontinuité de phase de
π.
• Lorsqu’une onde passe par un point de convergence (voir figure), on
admettra qu’il faut ajouter π à la différence de phase calculée à partir de la
distance.
A
B
ϕA->B = nAB + π
7
http://plateforme.sillages.info
3) Cohérence temporelle :
On se limite à une source ponctuelle (S) qui émet des trains d’ondes de durée
moyenne τc qui occupent dans l’espace une longueur :
Lc = cτ c (Longueur de cohérence)
Chaque train d’ondes issu de (S) se divise en deux trains d’ondes et présente au
point M un retard temporel :
( SM ) 2 ( SM )1 δ
∆t =
−
=
c
c
c
8
http://plateforme.sillages.info
9
http://plateforme.sillages.info
• Si ∆t << τ c , soit δ géo << Lc : les deux trains d’ondes qui interfèrent en
M sont issus du même train d’ondes émis par (S).
Le déphasage entre les deux ondes est constant, les deux ondes sont
cohérentes et on observe des interférences.
• ∆t >> τ c , soit δ géo >> Lc , les deux trains d’ondes qui se superposent en
M sont issus de deux trains d’ondes différents émis par (S), avec des
phases à l’origine différentes et aléatoires.
Les deux ondes sont incohérentes et il est impossible d’observer des
interférences.
• Dans le cas intermédiaire, les deux trains d’ondes issus d’un même train
d’ondes primaires ne se superposent que partiellement en M. Les deux
ondes sont partiellement cohérentes. Les interférences existent mais avec
un contraste plus faible.
10
http://plateforme.sillages.info
Conclusion :
Pour avoir interférences, les ondes issues de S1 et de S2 doivent provenir de la
désexcitation du même atome.
Alors les variations aléatoires de phase au cours du temps affectent S1 et S2 de
la même manière et la différence de phase ϕ est alors constante dans le temps.
S1 et S2 doivent être les images d’une source unique S (souvent au moyen d’un
dispositif d’optique géométrique), les ondes parcourent simplement des
chemins optiques différents mais sont émises par le même point S.
On dit ainsi que les sources secondaires S1 et S2 sont cohérentes entre elles.
11
http://plateforme.sillages.info
4) Cohérence spatiale :
On considère une source « large », constituée d’un ensemble de sources
ponctuelles incohérentes entre elles, réparties sur une surface ou dans un
volume.
Les sources étant incohérentes entre elles, les intensités vont devoir s’ajouter :
si la source est large, on n’observera plus d’interférences, par contre si la
source est « peu étendue », on pourra observer des interférences mais avec un
contraste affaibli.
La longueur de cohérence spatiale Ls est la largeur maximale de la source
donnant une figure d’interférences peu brouillée.
12
http://plateforme.sillages.info
II) Interférences par division du front d’onde :
1) Fonctionnement de principe en lumière monochromatique :
* (S1) et (S2) constituent alors deux sources secondaires cohérentes.
* On parle pour ce type de dispositif de « division du front d’onde ».
* Lorsque la source placée en S est ponctuelle, la figure d’interférences est
observable dans tout le volume où les faisceaux issus de (S1) et (S2) se
superposent.
On dit que les interférences sont non localisées.
13
http://plateforme.sillages.info
* Forme des franges :
14
http://plateforme.sillages.info
2) Exemple du dispositif des trous d’Young :
Comme les interférences sont visibles sur l’écran indépendamment de sa
position, on parle d’interférences non localisées dans tout l’espace.
En pratique, on aura D >> a et on observera les franges en des points M(x,y)
proches de O, pour lesquels x et y << D.
15
http://plateforme.sillages.info
La différence de chemin optique entre les rayons (2) et (1) vaut :
ax
δ 2/1 = δ =
D
16
http://plateforme.sillages.info
L’éclairement au point M :

 2π ax  
I ( M ) = 2 I 0 1 + cos 

λ
D
 0


Les franges d’interférences lumineuses sont obtenues pour x = cste et sont
donc des droites parallèles à l’axe (Oy).
17
http://plateforme.sillages.info
Les franges de même nature seront séparées d’une distance appelée interfrange
et notée i :

 2π ax  

x 

I ( M ) = 2 I 0 1 + cos 
  = 2 I 0 1 + cos  2π  
i 


 λ0 D  

Ainsi :
i=
λ0 D
a
L’interfrange est de l’ordre du mm.
18
http://plateforme.sillages.info
Remarque :
Les trous S, S1 et S2 peuvent être remplacés par des fentes (de très faible
largeur selon Ox) parallèles à Oy : le phénomène sera plus lumineux.
19
http://plateforme.sillages.info
3) Montages des trous d’Young avec lentilles :
f’1
f’2 x
S1
M(x)
S
F’1
L1
θ
θ
H
S2
L2
F’2
Ecran
20
http://plateforme.sillages.info
Finalement, l’éclairement dans le plan focal de la 2ème lentille :


ax
I ( x) = 2 I 0 1 + cos 2π
 λ0 f ' 2


 


Le résultat est similaire à celui obtenu sans lentille. La distance trous – écran
est remplacée par la distance focale de la 2nde lentille.
Les franges sont évidemment rectilignes et l’interfrange vaut :
i=
λ0 f ' 2
a
21
http://plateforme.sillages.info
Exercices d’application : interférences à trois fentes d’Young
On réalise l’expérience des trous d’Young, utilisant deux lentilles convergentes,
mais avec trois trous équidistants de a.
Les deux lentilles sont identiques, de focale f’. La source S (monochromatique
de longueur d’onde λ0 et ponctuelle) et l’écran sont respectivement placés aux
foyers objet et image des deux lentilles.
1) Faire un schéma du dispositif expérimental. Quel est le rôle de chaque
lentille ?
2) Evaluer la différence de marche δ entre les différents rayons interférant en
un point M de l’écran.
3) Quelle est l’intensité lumineuse observée sur l’écran en fonction de cosϕ, où
2π
ϕ=
δ ? On notera I l’intensité en un point de l’écran quand un seul des
0
λ0
trous d’Young laisse passer la lumière.
4) Représenter graphiquement l’allure de l’intensité sur l’écran.
22
http://plateforme.sillages.info
23
http://plateforme.sillages.info

2π ax 
I = I 0 1 + 2 cos

f
'
λ
0


2
24
http://plateforme.sillages.info
File Diffint : « 3fentes »
25
http://plateforme.sillages.info
4) Autre dispositif diviseur du front d’onde ; les miroirs de Fresnel :
Il s’agit de deux miroirs plans formant un dièdre d’angle ε très petit.
La source (S) éclaire les miroirs sous une incidence rasante.
ε
Les miroirs ont des dimensions de 5 cm x 5 cm et ε = 15’. La source
( λ = 546 nm ) est placée à une distance d = 25 cm de l’arête dans une position
repérée par l’angle α très petit.
On observe le phénomène d’interférences sur un écran placé à une distance
D = 1,75 m de l’arête.
26
http://plateforme.sillages.info
ε
x
S
d
M1
ε
α
O
z
M2
27
http://plateforme.sillages.info
ε
S
Frange centrale
x
Champ
d’interférences
d
M1
α
ε
d
S1
α−ε
O
z
M2
2ε
d
a
S2
28
http://plateforme.sillages.info
* La distance entre les deux sources fictives vaut : a = 2ε d .
* La frange centrale est sur la médiatrice de S1S2 repérée par l’angle α − ε .
* La droite S1S2 est pratiquement parallèle à l’écran, à une distance D + d.
2ε d x
* La différence de marche en un point de l’écran est : δ = D + d et
l’interfrange :
λ(D + d )
i=
= 0,5 mm
2d ε
* Le contraste est égal à 1 dans tout le champ d’interférences et les
interférences ne sont pas localisées.
* L’abscisse de la frange centrale est : x0 = D(α − ε ) .
* La largeur du champ d’interférences est : 2ε D = 15 mm : on peut visualiser
une trentaine de franges.
29
http://plateforme.sillages.info
5) Interférences avec des ondes planes :
Exemples : les bi-lentilles tronquées (et source dans le plan focal) ou le
dispositif schématisé ci-dessous :
30
http://plateforme.sillages.info
31
http://plateforme.sillages.info
6) Problème de la cohérence spatiale :
a) Cas de deux sources ponctuelles décalées (de même longueur
d’onde) :
On considère une source constituée de deux points P1 et P2, séparés d’une
distance h.
Cette source éclaire deux trous d’Young.
Ce cas peut représenter par exemple les deux composantes d’une étoile double
vue de la Terre.
Les deux points sources sont incohérents : l’intensité totale sur l’écran sera
donc la somme des intensités créées par chacune des sources séparément.
32
http://plateforme.sillages.info
x
S1
M(x)
P1
a
h
P2
S2
D’
D

 2π ah 
 2π ax  
 cos
 
I ( M ) = 4 I 0 1 + cos

λ
2
D
'
λ
D
 0

 0


33
http://plateforme.sillages.info
On reconnaît dans le second cosinus le terme d’interférences des trous
d’Young pour une seule source ponctuelle.
Les franges sont donc rectilignes et l’interfrange vaut :
i=
λ0 D
a
Le 1er cosinus est indépendant du point d’observation. Il est appelé visibilité et
noté V :
 2π ah 

V = cos
 λ0 2 D ' 
Le contraste des franges vaut :
C=
I max − I min
=V
I max − I min
Contraste et visibilité sont donc égaux au signe près.
34
http://plateforme.sillages.info
Allure des franges d’interférences pour quelques valeurs de C.
35
http://plateforme.sillages.info
Application ; observation d’une étoile double au travers de fentes
d’Young :
Les deux composantes d’une étoile double sont vues sous un angle α depuis la Terre.
On pointe un système de deux trous d’Young vers le milieu des deux étoiles et on
place un écran à la distance D derrière les deux trous.
On obtient une 1ère annulation de contraste pour a = 1,16 m, dans le visible
(λ = 635 nm).
Que vaut α ? (Courbes obtenues avec Regressi)
36
http://plateforme.sillages.info
b) Cas d’une fente source large : (problème de cohérence spatiale)
Finalement :
 λ0 d
 π ab 
 2π ax  
sin 
I ( M ) = 2 I 0 1 +
 cos 

ab
d
D
π
λ
λ
 0 
 0 

37
http://plateforme.sillages.info
On définit le sinus cardinal :
sin cx =
sin x
x
Alors :

 π ab 
 2π ax  
I ( M ) = 2 I 0 1 + sin c 
 cos 

d
D
λ
λ
 0 
 0 

Le terme :
 π ab 
V = sin c 
 = sin c(u )
 λ0 d 

π ab 
u =

λ0 d 

est le terme de visibilité des frange.
38
http://plateforme.sillages.info
L’allure de la courbe V(u) est la suivante : (Le contraste est égal à la valeur
absolue de V(u))
39
http://plateforme.sillages.info
Figure de gauche : aspect de la figure d’interférences en fonction de l’ouverture de la fente
source.
Figure de droite : aspect d’une figure d’interférences en fonction du contraste. On remarque
l’inversion de contraste lorsque Γ change de signe.
40
http://plateforme.sillages.info
Quelques exercices :
Le Miroir de Lloyd :
Animation JJR : le miroir de Lloyd (Lloyd’s mirror)
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Miroir de Lloyd
41
http://plateforme.sillages.info
42
http://plateforme.sillages.info
Autour des fentes d’Young :
Deux sources ponctuelles, situées dans le plan focal objet de L1 de focale f, monochromatiques
de même longueur d’onde λ sont espacées de 2s.
Derrière L1, on place deux fentes identiques, très longues dans la direction perpendiculaire au
plan de la feuille, de largeur a et séparées d’une distance h.
Enfin, on observe les figures d’interférences sur un écran (E) placé dans le plan focal image de la
lentille L2, de focale f’.
43
http://plateforme.sillages.info
1) Combien y a t’il de fonctionnements possibles en jouant sur les caches des sources et des
fentes ?
2) Dégrossir les cas évidents et restreindre au maximum l’étude.
3) Décrire, selon les différentes longueurs intervenant dans l’exercice et avec un minimum de
calculs, les phénomènes observés sur l’écran (E).
4) Le fichier Jeu-de-fentes.exo donne l’allure de l’écran dans un des cas évoqués à la question
(3).
Lequel ? Quelle(s) longueur(s) peut-on déterminer ? On donne f = f’ = 1 m.
V = 0,57
V = 0,3
44
http://plateforme.sillages.info
Etoiles doubles :
Pour déterminer la distance angulaire de deux étoiles très proches, on utilise
l'interféromètre constitué de deux fentes très fines, disposées en a / 2 et – a / 2 par
rapport à l'axe optique.
On observe le système interférentiel sur un écran placé à la focale de la lentille (L).
La lumière émise par les deux étoiles qui éclairent l'interféromètre est filtrée et on la
considère monochromatique. Les rayons lumineux de la première étoile arrivent
parallèles à l'axe optique, ils sont indicés 1. Les rayons issus de la seconde sont indicés
2, ils font un angle θ petit avec ce même axe.
45
http://plateforme.sillages.info
a) Calculer l'éclairement diffracté pour la première puis la seconde étoile lorsque l'écart
angulaire θ est petit.
b) Les deux étoiles émettent-elles de la lumière incohérente. Pourquoi ?
c) Quel est l'éclairement total observé sur l'écran ?
d) La distance entre les fentes a est variable. Quelle est la valeur minimale de a pour
laquelle l'écran est uniformément éclairé ? Donner alors la valeur de l'éclairement E.
e) En faisant varier la distance qui sépare les deux fentes, on constate que la visibilité
des franges d'interférences devient nulle lorsque la distance a atteint la valeur
a = 40 cm. En déduire l'expression de l'écart angulaire θ entre les deux étoiles.
Application numérique: λ = 546 nm .
46
http://plateforme.sillages.info
Superposition d’une onde plane et d’une onde sphérique
On utilise une lentille convergente (L), trouée en son centre, comme système
interférentiel à deux ondes. Une source ponctuelle S, monochromatique de longueur
d’onde λ, est placée au foyer principal objet de la lentille. Il en résulte que l’onde
émergeant de la lentille est plane et que celle directement transmise par le trou est
sphérique. Le trou a un diamètre 2R = 10 mm sur la face de sortie de (L) et une
profondeur e = 3 mm sur l’axe.
a) Donner les expressions analytiques des ondes qui se superposent ; on adoptera
comme origine la phase des ondes en S et on supposera que ces deux ondes ont même
amplitude.
b) Quelle est l’intensité, dans le plan P situé à la même distance d de la face de sortie
de (L) que S, en fonction de la coordonnée cylindrique ρ ? En déduire la nature des
franges d’interférence.
c) Calculer le rayon des franges brillantes extrêmes sachant que la longueur d’onde du
rayonnement est λ = 546 nm, d = 20 cm et n = 1,52 (indice du verre de (L)).
47
http://plateforme.sillages.info
7) Problème de la cohérence temporelle :
Une source n’est jamais parfaitement monochromatique.
1
∆ν =
τ
∆ν peut varier de 10 10 Hz (lampe spectrale) à 10 5 Hz (laser monomode).
dI
On représente la densité spectrale de la source, g (ν ) = dν , qui représente la
contribution de la bande de fréquences de largeur dν à l’éclairement total :
48
http://plateforme.sillages.info
* La radiation émise par la source a un profil quelconque qu’il faut modéliser ;
pour simplifier les calculs, on assimile le profil spectral à un rectangle, de
même surface que le profil réel.
* Deux radiations de fréquences différentes ne peuvent interférer : on peut
définir un déphasage instantané entre ces ondes mais la valeur moyenne
temporelle de ce déphasage sera nul.
* On sommera donc les éclairements de chaque bande de fréquences de largeur
dν (chacune interférant après division du front d’ondes à travers les sources
secondaires).
49
http://plateforme.sillages.info
En considérant le dispositif des fentes d’Young (avec fentes infiniment fines)
et en notant ∆ν = ν 2 −ν 1 la largeur spectrale de la source, on peut écrire :
2I0
I (M ) =
∆ν
ν2
∫ν
1

 2π ax  
2I0
1 + cos 
  dν =
∆ν
 λ0 D  

Après calculs, on obtient, en posant u =
ν2
∫ν
π ax∆ν
cD
1

 2π ax  
1 + cos  cD ν   dν



= πτ∆ν (τ est la différence
des temps de parcours, donné par δ = cτ ) :

 2π ax  
I ( M ) = 2 I 0 1 + V (u ) cos 
 
λ
D
 0 

avec
V (u ) = sin cu =
sin u
u
50
http://plateforme.sillages.info
51
http://plateforme.sillages.info
III) Interférences par division d’amplitude :
1) Description de l’interféromètre de Michelson :
52
http://plateforme.sillages.info
53
http://plateforme.sillages.info
The Michelson interferometer produces interferences fringes by splitting a beam of
monochromatic light so that one beam strikes a fixed mirror and the other a movable
mirror.
When the reflected beams are brought together, an interference pattern results.
54
http://plateforme.sillages.info
55
http://plateforme.sillages.info
L’expérience de Michelson – Morley (1887) :
Expérience de Michelson et Morley : les chemins empruntés par les rayons lumineux lors du
déplacement de la Terre sont représentés en pointillés.
La vitesse de la Terre ajoutée à celle de la lumière aurait dû engendrer des interférences qui ne
furent jamais observées.
56
http://plateforme.sillages.info
Light is a wave and a wave must have a medium in which to travel.
All the other waves we know about required a medium.
Since no medium was apparent between the earth and the sun, it was presumed that this medium
was transparent and therefore not readily observable (called “ether”).
This ether was stationnary and filled all of space.
This involved the presumption that there was an absolute reference frame in the universe, and
that all the movement of planets and stars was through this ether.
These presumptions were part of the historical setting of the Michelson Morley
experiment.
With the interferometer which he invented, Michelson found no evidence of the ether.
“The interpretation of these results is that there is no displacement of the interference bands. The
result of the hypothesis of a stationnary ether is thus shown to be incorrect (Michelson, 1881).”
57
http://plateforme.sillages.info
The two mirrors are at the same distance D from the beam splitter.
• Way and back to the fixed mirror : (in the same direction as Earth)
D
D
2Dc
2D  u 2 
T1 =
+
= 2
≈
1+ 2 
2
c +u c −u c −u
c 
c 
• Way and back to the movable mirror (perpendicular to the velovcity of Earth) :
2D 
u2 
T2 =
≈
1+ 2 
2
2
c
c −u
 2c 
2D
Du 2
T1 − T2 = 3
c
Path length difference and interference order :
u2
δ = c( T1 − T2 ) = 2 D
c
;
δ u2 D
p=
=
λ0 c 2 λ0
D = 10 m ; u = 30 km.s −1 ; c = 3.10 8 ms −1 ; λ = 500 nm ⇒ p = 0,2 fringe
58
http://plateforme.sillages.info
Over a period of about 50 years, the Michelson – Morley experiment was repeated
with growing levels of sophistication.
The overall result is a high level of confidence that the wavelength shift is consistent
with zero.
59
http://plateforme.sillages.info
Conceptual framework : relativity
60
http://plateforme.sillages.info
61
http://plateforme.sillages.info
2) Schéma équivalent de l’interféromètre de Michelson :
Schéma équivalent dans le cas de la lame
d’air
62
http://plateforme.sillages.info
S2’
2e
S1’
M’2
e
M1
S
S’’
M2
M1
S’
63
http://plateforme.sillages.info
3) Utilisation en lame d’air ; franges d’égale inclinaison :
Dans ce cas, les miroirs réels (M1) et (M2) sont perpendiculaires entre eux et,
par conséquent, les miroirs (M’1) et (M2) sont parallèles.
64
http://plateforme.sillages.info
Calcul de la différence de marche dans le cas
de la lame d’air
(Interférences localisées à l’infini, observables dans le plan
focal d’une lentille CV)
65
http://plateforme.sillages.info
S2’
2e
S1’
H
δ = (SM ) 2 − ( SM )1 = ( S ' 2 H ) = 2e cos i
M’2
e
M1
S
S’’
M2
M1
LCV
Ecran
S’
f’
i
M
ρ
http://plateforme.sillages.info
66
D’a
67
http://plateforme.sillages.info
68
http://plateforme.sillages.info
Evolution of the circular fringes when the mirror (M2) is moving :
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interféromètre de Michelson
e = 0,12 mm
e = 0,4 mm
e = 0,78 mm
e = 1,5 mm
Rayon du Kième anneau :
δ = 2e cos( i ) = pλ0 = ( p0 − K )λ0
2K
ρK =
f ' = K ρ1
p0

 ρ1 =

2
2e 
f ' et p0 = 
p0
λ0 
69
http://plateforme.sillages.info
Contact optique (teinte plate) :
Lorsque d tend vers zéro, l’ordre d’interférence tend vers zéro et l’intensité
vaut 4Emax partout : l’intensité sur l’écran est uniforme.
On dit qu’on a réalisé le contact optique et atteint la teinte plate.
70
http://plateforme.sillages.info
4) Utilisation en coin d’air ; franges d’égale épaisseur :
Utilisation d’une source ponctuelle (en incidence quelconque) :
S1
S2
M1
O
α
M’2
S
P
Ecran
71
http://plateforme.sillages.info
Utilisation d’une source large (en incidence normale) :
α
M1
O
M
e(M)
x
M’2
Rayon 1
Rayon 2
Rayon
incident
72
http://plateforme.sillages.info
Observation des franges d’égale épaisseur (source large) :
Franges du coin d’air en lumière du Sodium
73
http://plateforme.sillages.info
6 - Etude d’un interférogramme :
On éclaire l’interféromètre de Michelson, réglé en lame à faces parallèles, par
une source étendue.
On projette les anneaux d’égale inclinaison dans le plan focal image d’une
lentille CV.
On place un petit détecteur (une photodiode ou une barrette CCD, par
exemple) au centre des anneaux.
On mesure alors l’éclairement correspondant à la différence de marche δ = 2e,
où e est l’épaisseur entre les deux miroirs (ici, i = 0).
Un des miroirs se déplace à vitesse constante et on mesure ainsi
l’interférogramme I(δ) relatif à la source lumineuse utilisée.
On va montrer que l’interprétation de cet interférogramme permet d’analyser le
spectre lumineux.
74
http://plateforme.sillages.info
On considère l’exemple des interférences avec la lumière jaune du sodium :
La lumière émise par les lampes à vapeur de sodium est essentiellement
∆λ
λ
−
constituée d’un doublet jaune de longueurs d’ondes proches, notées 0 2 et
λ0 +
∆λ
2
∆σ
∆σ
σ
=
σ
−
σ
=
σ
+
(de nombres d’onde voisins, notés 1 0 2 et 2 0 2 (avec
σ 0 = 1/ λ0 )).
Chaque radiation étant incohérente, on ajoute les intensités :
I (δ ) = I1 + I 2 = 2 I 0 [1 + cos(2πσ 1δ ) ] + 2 I 0 [1 + cos(2πσ 2δ ) ]
Soit, après calculs :
I (δ ) = 4 I 0 [1 + cos(π ∆σ δ ) cos(2π σ 0 δ ) ]
75
http://plateforme.sillages.info
L’interférogramme I(δ) est donc identique à celui d’une radiation
monochromatique de nombre d’ondes σ0, modulé par un contraste Γ à
variation lente :
Γ(δ ) = cos(π ∆σ δ )
1/∆σ
On appelle battements ce type de modulation créée par la somme de deux
fonctions sinusoïdales de fréquences voisines.
76
http://plateforme.sillages.info
L’analyse de l’interférogramme permet de déterminer l’écart spectral entre les
deux radiations du doublet.
En effet, l’écart entre deux franges claires ou deux franges sombres est :
∆1δ =
1
σ0
L’écart entre deux annulations du contraste est :
∆ 2δ =
1
∆σ
Le nombre N de franges entre deux annulations du contraste est donc :
σ0
λ0
N=
=
∆σ ∆λ
Ainsi, en comptant le nombre de franges, on a accès à ∆σ.
77
http://plateforme.sillages.info
Ordre de grandeur :
λ1 = 589, 0 nm ; λ2 = 589, 6 nm ; ∆λ = 0, 6 nm ; N =
589,3
≈ 982
0, 6
Ceci est un premier exemple de « spectrométrie interférentielle », une des
applications de l’interférométrie.
L’analyse d’un interférogramme permet de déterminer le profil spectral d’une
source de lumière.
C’est une des applications importantes de l’interféromètre de Michelson.
78
http://plateforme.sillages.info
Spectroscopy using the Michelson Interferometer :
Determine the two dominant wavelengths in the sodium light using the Michelson Interferometer
λ1 = 589 nm
λ2 = 589,6 nm
( ∆λ = 0,6 nm )
At the center of the interference pattern :
δ = 2e
;
∆ϕ1 = 2π
2e
λ1
;
∆ϕ2 = 2π
2e
λ2
The path lengths traveled by each wave will affects the relative phase of the two waves, so that
when they combine, they will combine contructively or destructively.
The images below illustrate constructive and destructive interference with the red and blue
waves being the descrete waves and the purple wave representing the combination of the two.
79
http://plateforme.sillages.info
We recorded the intensity of the light going into a detector at the center of the interference
pattern as a function of the distance e between the two mirrors (e = vt)
(http://webphysics.davidson.edu/alumni/BeKinneman/spec/report.htm)
The frequency of the fringes is 5.75 fringes/sec. The beats have a period of 178.17 sec.
The velocity of the movable mirror : 1666.4 µm/sec.
80
http://plateforme.sillages.info
Vidéo : « Le doublet du sodium : coïncidences et anticoïncidences »
Weak contrast : destructive interference
Medium contrast
Neat contrast : constructive interference
81
http://plateforme.sillages.info

 2π e∆λ 
 4π e  
I = 2 I 0 1 + cos 
cos


 
2
λ
λ
0


 0 

∆λ =
λ02
2∆e
λ1 + λ2 

λ
=
 0

2


(λ0 = 589,3 nm ; ∆λ = 0, 6 nm)
∆ e : distance between two positions of the mirror (M1 ) when the light intensity is equal to zero.
∆e
File Regressi software (« Battements optiques »)
82
http://plateforme.sillages.info
83
http://plateforme.sillages.info
IV) Utilisation de ces dispositifs en lumière blanche :
La lumière blanche contient toutes les radiations du spectre visible, de 0,4 µm
(violet) à environ 0,8 µm (rouge).
Comme il n’y a pas d’interférences entre des sources de fréquences différentes,
on obtient sur l’écran la superposition des phénomènes correspondant aux
différentes longueurs d’onde.
Ce sont donc les éclairements qui vont s’ajouter.
Pour une longueur d’onde λ0 donnée, l’intensité en un point M vaut, dans le
cas des fentes d’Young par exemple :

ax
I (M) = 2 I 0 (M)  1 + cos ( 2 π
λ0 D


)

84
http://plateforme.sillages.info
L’interfrange dépend de la longueur d’onde
λ 0 dans le vide : i frange =
λ0 D
a
.
* Au centre de la figure d’interférences, la différence de marche est nulle,
quelle que soit la longueur d’onde : on observe une frange « d’ordre zéro »
brillante et achromatique.
* Cette frange brillante sera bordée de deux franges sombres.
λ0 D
* L’interfrange vaut i frange = a et est donc minimum pour le violet et
maximum pour le rouge : plus on s’éloigne du centre, plus les systèmes de
franges de décalent. Les deux franges brillantes suivantes sont irisées, le bord
violet étant tourné vers la frange d’ordre 0.
85
http://plateforme.sillages.info
86
http://plateforme.sillages.info
Système de franges produites par deux fentes d’Young éclairées en lumière blanche
Franges rectilignes, interféromètre en coin d'air, observation en lumière blanche
87
http://plateforme.sillages.info
Quand on s’éloigne davantage du centre de l’écran, les franges disparaissent ;
l’écran est uniformément éclairé en blanc (on parle de blanc d’ordre
supérieur).
Les franges brillantes de certaines longueurs d’onde occupent la même place
que les franges sombres d’autres longueurs d’onde.
Si l’on analyse cette lumière avec un spectroscope, il apparaît des raies noires
correspondant aux longueurs d’onde pour lesquelles il y a une frange sombre.
(Spectre cannelé)
88
http://plateforme.sillages.info
89
http://plateforme.sillages.info
Young’s slits experiment with white light : (Channeled spectrum)
There is a slit in M (x = 5 mm) and a prism is put at the exit.
Without prism, we see nothing but uniform, apparently white
light.
With prism, the various colours are dispersed on a screen.
The rainbow produced by the white light is not uniform : it
contains dark fringes, showing that the spectrum of the light has
been changed (channeled spectrum)
(a = 1,5 mm ; D = 1,5 m)
90
http://plateforme.sillages.info
91
http://plateforme.sillages.info
Path length difference :
δ=
ax
= 5 µm
D
Condition to have dark fringes : (destructive interferences)
ax
1
δ=
= 5 µ m = ( m + )λ0
D
2
( λ0 ∈ [0,4 µ m,0,8 µ m ]
For :
λ0 = 0,4 µ m
⇒
1
m + = 12,5
2
hence
m = 12
The different wavelengths given dark fringes are :
Interference order m 12
Wavelength (µm)
11
10
9
8
7
6
0,4 0,43 0,47 0,52 0,59 0,67 0,77
We can see 7 dark fringes.
92
http://plateforme.sillages.info