Relations de base de la mécanique des fluides

CHAPITRE 3
RELATIONS DE BASE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES
Les relations fondamentales de la mécanique des fluides sont,
d'une part,
- des relations de conservation traduisant, pour un domaine flui-
donné, la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de
l'énergie» On les appelle aussi lois de conservation, elles sont indé-
pendantes du milieu envisagé.
d'autre part,
- des relations de comportement exprimant le comportement parti-
culier, tant du point de vue mécanique que thermodynamique, du milieu
considéré (relation contrainte-déformation, relation d'état, ...)• Dé-
duites de l'expérience, ces relations, dites également lois de comporte-
ment ou relations constitutives, sont spécifiques du milieu en cause.
La formulation de ces lois, dans l'hypothèse d'un milieu continu,
fait l'objet des deux premiers paragraphes de ce chapitre, le troisième
étant consacré aux relations de conservation particulières obtenues à par-
tir des relations générales (quantités de mouvement et énergie) en y in-
troduisant telles ou telles lois de comportement.
Enfin, dans un dernier paragraphe, nous examinerons la forme par-
ticulière de ces relations en présence de surfaces singulières (frontière du
milieu, onde de choc, ...), ce qui conduit aux conditions aux limites et
relations de saut qui leur sont associées.
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- 3.2 -
3,1, RELATIONS DE CONSERVATION
Ces relations seront obtenues en explicitant, à partir de la dé-
rivée particulaire, la variation au cours du temps de la masse, quantité de
mouvement et énergie attachées à un domaine matériel D, c'est-à-dire à un
domaine se déplaçant avec le fluide.
Le raisonnement conduisant à ces relations peut être fait à par-
tir d'un domaine D quelconque, mais le choix d'un domaine matériel évite
d'avoir à prendre en compte, lorsque l'on explicite la variation d'une des
grandeurs précitées attachées à D, la part liée à la variation de la quan-
tité de fluide contenu dans D, c'est-à-dire au fluide qui "rentre" ou
"sort" de ce domaine.
3« 1- 1. CONSERVAnON^DE^LA^MSSE^-^EQUATION^DE^CONTINUITE
La conservation de la masse est, pour un système matériel quel-
conque, un principe fondamental de la mécanique classique (non relativis-
te).
Pour un domaine matériel D de masse M = p di, cela se traduit
•>D
par la relation — = 0, c'est-à-dire en appliquant, comme nous l'avons vu
au chapitre précédent, le théorème de la dérivée particulaire.
f 9p i f •* -*
j — dT + J p u.n ds = 0 (3.1)
ou encore
||| + div p uj di = 0 (3.2)
JD
ce qui permet, le domaine D étant entièrement arbitraire, d'obtenir les
formes différentielles classiques, soit :
-— + div p u = 0 ou encore -—• + P div u « 0 (3.3)
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- 3.3 -
A remarquer qu'une forme intégrale plus générale de l'équation de
continuité peut être obtenue à partir de la relation (2.15) où l'on pose <J> = p,
sous la forme
~- ! p di = - ! p v.n ds ' (3.4)
JD
Js
exprimant que le taux de variation de la masse contenue dans D est égal au
débit massique à travers S.
Si S est une surface fixe (w = u + v = 0) et l'écoulement permanent,
(3.4) se réduit à
p u.n ds - 0
JS
traduisant que le débit massique à travers S est nul. Appliquée à un tronçon
de conduite, cette relation exprime la conservation du débit massique,
mA
miî
i/i -—->
A B I^H^ 9<*Q
A Ë»
Si l'écoulement est stationnaire, la première forme différentielle
(3.3) se réduit à,
div p u = 0 (3.5)
et si le fluide est -incompressible, que l'écoulement soit stationnpire ou
non, à
div u = 0 (3.6)
exprimant que le taux de dilatation volwnique d'un tel fluide est, par dé-
finition, nul.
A noter que cette expression qui traduit la constance de l'élément
de volume se retrouve en considérant que le volume d'un domaine D que l'on
suit dans son mouvement est invariant, c'est-à-dire
M*-'
qui s'écrit encore en appliquant la relation 2.12 avec 4> = 1,
~ I di = I div u di = 0
dt
JD JD
c'est-à-dire, puisque D est arbitraire, div u = 0.
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- 3.4 -
3.1.2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT— EQUATIONS DE LA DY-
NAMIQUE,,. DES FLUIDES
3.1.2.1. Relations de base
3. 1.2. 1.1. Definitions_3_Torseur_d^nami2ue_-^Torsôui:-_cinéti-
gué
Considérons un domaine matériel D et posons :
* r * L r +
I = p u di F = p Y di
'D JD
M et A
\
M'J(AO = AM A pu di MÎ04) = ÂM A p Y di
A
JD
A
JD
Le premier groupe de relations représente le torseur M des quan-
tités de mouvement contenues dans D ou torseur cinétique :
- I est la résultante des quantités de mouvement contenues dans D
ou résultante cinétique de D
- M.(M) est le moment en A des quantités de mouvement contenues
dans D ou moment cinétique en A de D.
Le second groupe de relations représente le torseur A des quanti-
tés d'accélération contenues dans D ou torseur dynamique ; F et MA(/4) y re-
présentent de même la résultante et le moment dynamique en A de D.
Il est facile de montrer que la dérivée patticulaire du torseur M
est égale au torseur A.
En effet, A étant un point fixe dans le repère où est observé le
mouvement, la conservation de la masse pour le domaine matériel D considéré
permet d'écrire (relation 2.16)
dî f du
dMI<M>
f -,
dS
*HDpdFdT « -ir- • ]/"A p$dT
ce qui démontre la proposition puisque y * ~"~-
dt
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- 3.5 -
3.1.2.1.2. Principe fondamental de la dyjiamiçjue
Le principe fondamental de la dynamique que traduit la loi de
Newton exprime l'égalité pour un système matériel donné entre le torseur
dynamique A (dérivée particulaire ™ du torseur cinétique) et le torseur
F des forces extérieures,
e
A -
m
- F
A
~ dT ~
Fe
c
fest-à-dire
f P Y dx = i- f p u dT = F (3.7)
JD dt JD 6
f AMApydT= i- IAM A p u dT = M* (F ) (3.8)
JD
dt
JD
A e
3.1.2. 1.3. Ex£ression_des_forces_extérieures
Les forces extérieures s'exerçant sur D sont de deux types ;
- Les forces à distance ou forces de champ
Ces forces, telles par exemple les forces de pesanteur, corres-
pondent aux actions à distance auxquelles chaque élément matériel du flui-
de est soumis. Elles sont représentées par un champ de vecteur f(M) (par
exemple champ de gravitation) définissant en chaque point M de D la force
f ou f par unité de volume ou de masse, qui s'y exerce,
v m
Ainsi, pour un petit domaine fluide de volume di entourant un
point M de D, on a la force élémentaire
dî = f di
v
ou dF « ? pdi
m
selon que l'on considère une force volumique f ou une force massique f .
.-»• ! ,-> i
Dans le cas de la pesanteur, on a fj = pg,
fm =
g» sa direc-
tion étant celle de la verticale du lieu.
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