Relations de base de la mécanique des fluides

CHAPITRE 3
RELATIONS DE BASE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES
Les relations fondamentales de la mécanique des fluides sont,
d'une part,
- des relations de conservation traduisant, pour un domaine fluidonné, la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de
l'énergie» On les appelle aussi lois de conservation, elles sont indépendantes du milieu envisagé.
d'autre part,
- des relations de comportement exprimant le comportement particulier, tant du point de vue mécanique que thermodynamique, du milieu
considéré (relation contrainte-déformation, relation d ' é t a t , . . . ) • Déduites de l'expérience, ces relations, dites également lois de comportement ou relations constitutives, sont spécifiques du milieu en cause.
La formulation de ces lois, dans l'hypothèse d ' u n milieu continu,
fait l'objet des deux premiers paragraphes de ce chapitre, le troisième
étant consacré aux relations de conservation particulières obtenues à partir des relations générales (quantités de mouvement et énergie) en y introduisant telles ou telles lois de comportement.
Enfin, dans un dernier paragraphe, nous examinerons la forme particulière de ces relations en présence de surfaces singulières (frontière du
milieu, onde de choc, . . . ) , ce qui conduit aux conditions aux limites et
relations de saut qui leur sont associées.
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- 3.2 -
3,1, RELATIONS DE CONSERVATION
Ces relations seront obtenues en explicitant, à partir de la dérivée particulaire, la variation au cours du temps de la masse, quantité de
mouvement et énergie attachées à un domaine matériel D, c'est-à-dire à un
domaine se déplaçant avec le fluide.
Le raisonnement conduisant à ces relations peut être fait à partir d'un domaine D quelconque, mais le choix d'un domaine matériel évite
d'avoir à prendre en compte, lorsque l'on explicite la variation d'une des
grandeurs précitées attachées à D, la part liée à la variation de la quantité de fluide contenu dans D, c'est-à-dire au fluide qui "rentre" ou
"sort" de ce domaine.
3« 1- 1. CONSERVAnON^DE^LA^MSSE^-^EQUATION^DE^CONTINUITE
La conservation de la masse est, pour un système matériel quelconque, un principe fondamental de la mécanique classique (non relativiste).
Pour un domaine matériel D de masse M =
p di, cela se traduit
•>D
par la relation —
= 0, c'est-à-dire en appliquant, comme nous l'avons vu
au chapitre précédent, le théorème de la dérivée particulaire.
f 9p i
f
•* -*
j — dT + J p u.n ds = 0
(3.1)
ou encore
|
|
| + div p uj di = 0
(3.2)
JD
ce qui permet, le domaine D étant entièrement arbitraire, d'obtenir les
formes différentielles classiques, soit :
-— + div p u = 0
ou encore
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-—• + P div u « 0
(3.3)
- 3.3 -
A remarquer qu'une forme intégrale plus générale de l'équation de
continuité peut être obtenue à partir de la relation (2.15) où l'on pose <J> = p,
sous la forme
~- ! p di = - ! p v.n ds
J
JD
'
(3.4)
s
exprimant que le taux de variation de la masse contenue dans D est égal au
débit massique à travers S.
Si S est une surface fixe (w = u + v = 0) et l'écoulement permanent,
(3.4) se réduit à
J
p u.n ds - 0
S
traduisant que le débit massique à travers S est nul. Appliquée à un tronçon
de conduite, cette relation exprime la conservation du débit massique,
m
(3.3)
m
i/i
-—->
I^H^
9<*Q
A
Ë»
Si l'écoulement est stationnaire, la première forme différentielle
se réduit à,
iî
B
A
A
div p u = 0
(3.5)
et si le fluide est -incompressible, que l'écoulement soit stationnpire ou
non, à
div u = 0
(3.6)
exprimant que le taux de dilatation volwnique d ' u n tel fluide est, par définition, nul.
A noter que cette expression qui traduit la constance de l ' é l é m e n t
de volume se retrouve en considérant que le volume d ' u n domaine D que l'on
suit dans son mouvement est invariant, c'est-à-dire
M*-'
qui s'écrit encore en appliquant la relation 2.12 avec 4> = 1,
~ I di = I div u di = 0
dt
JD
JD
c'est-à-dire, puisque D est arbitraire, div u = 0.
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- 3.4 -
3.1.2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT— EQUATIONS DE LA DYNAMIQUE,,. DES FLUIDES
3.1.2.1. Relations de base
3. 1.2. 1.1. Definitions_3_Torseur_d^nami2ue_-^Torsôui:-_cinétigué
Considérons un domaine matériel D et posons :
*I = r p *u di
LF = r p +Y di
'D
JD
M
\
M'J(AO
=
A
et
A
AM A pu di
MÎ04)
=
A
JD
JD
ÂM A p Y di
Le premier groupe de relations représente le torseur M des quantités de mouvement contenues dans D ou torseur cinétique :
- I est la résultante des quantités de mouvement contenues dans D
ou résultante cinétique de D
- M.(M) est le moment en A des quantités de mouvement contenues
dans D ou moment cinétique en A de D.
Le second groupe de relations représente le torseur A des quantités d'accélération contenues dans D ou torseur dynamique ; F et MA(/4) y représentent de même la résultante et le moment dynamique en A de D.
Il est facile de montrer que la dérivée patticulaire du torseur M
est égale au torseur A.
En effet, A étant un point fixe dans le repère où est observé le
mouvement, la conservation de la masse pour le domaine matériel D considéré
permet d'écrire (relation 2.16)
dî
f
du
*H D p dF dT
dM
«
I<M>
f
-,
dS
-ir- • ]/"A p $ d T
ce qui démontre la proposition puisque y * ~"~dt
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- 3.5 -
3 . 1 . 2 . 1 . 2 . Principe fondamental de la dyjiamiçjue
Le principe fondamental de la dynamique que traduit la loi de
Newton exprime l'égalité pour un système matériel donné entre le torseur
dynamique A (dérivée particulaire ™ du torseur cinétique) et le torseur
F
e
des forces extérieures,
m
A
-F
A ~ dT ~ Fe
c f est-à-dire
f P Y dx = i- f p u dT = F
J
dt J
D
D
(3.7)
6
f AMApydT= d
iIAM A p u dT = M*
(F )
t
A e
JD
JD
(3.8)
3 . 1 . 2 . 1.3. Ex£ression_des_forces_extérieures
Les forces extérieures s'exerçant sur D sont de deux types ;
- Les forces à distance ou forces de champ
Ces forces, telles par exemple les forces de pesanteur, correspondent aux actions à distance auxquelles chaque élément matériel du fluide est soumis. Elles sont représentées par un champ de vecteur f(M) (par
exemple champ de gravitation) définissant en chaque point M de D la force
f ou f par unité de volume ou de masse, qui s'y exerce,
v
m
Ainsi, pour un petit domaine fluide de volume di entourant un
point M de D, on a la force élémentaire
dî = f v di
ou
dF « ? m pdi
selon que l'on considère une force volumique f
Dans le cas de la pesanteur, on a
ou une force massique f .
.-»• !
,-> i
f j = pg, fm = g» sa direc-
tion étant celle de la verticale du lieu.
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- 3.6 -
->
f
->
et f
sont en réalité des densités volumiques ou massiques de
forces, tout comme p est une densité volumique de masse, c'est-à-dire telle
AF
•—'>
lim —t où AF est la résultante des forces à disAT-K3 T
tance qui s'exerce sur l'élément de volume AT.
..
ÎV
=
- Les forces de contact
Ces forces sont définies en considérant
les forces élémentaires dF exercées par le milieu
extérieur sur chaque élément, d'aire dS, de la surface frontière entourant un point P donné de celleci.
~>
Pour cela, nous supposerons dF proportionnelle à dS, c'est-à-dire
dF = T dS
le vecteur T qui représente une force par unité de surface est dite
contrainte
au point P pour la direction n ( s ou s-^-en tendant par là pour une
surface élémentaire quelconque contenant P et orientée par n).
Comme on admet que la force élémentaire dF qui s'exerce, au point P, sur un élément
de cette surface, donnée par la direction de sa
->•
->
normale n (direction de la flèche), T sera fonction uniquement du point P considéré et de
l'orientation donnée par n, c'est-à-dire
T = T (P, n)
3.1.2.1.4. Eguation générale__de la d^;nami^ue_des_fluides
L'introduction de ces données dans l'expression des forces extérieures à D conduit aux relations fondamentales suivantes :
j£ [ P S dT = ( ? dT + [ T ds
'D
JD
(3.9)
's
de la même manière que ci-^dessus T est une densité surfacique de force
(îu.f.,
[
AS->0
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- 3.7 -
j-
ÂM A p' u dx = J ÂM A f di +
JD
D
^s
ÂM A T ds
(3;10)
ou encore en posant ? = f + (- y)
f -»
f+
F dx +
T ds = 0
J
D
S
(3.11)
J ÂM A F di -f j ÂM A T ds = 0
(3.12)
J
et
D
s
3. 1.2.2. Propriétés particulières de la contrainte en un point Tenseur des contraintes
Avant d'appliquer ces relations à l'étude du mouvement d'un fluide, nous allons les utiliser pour démontrer trois propriétés essentielles
de la contrainte T(P,n) en un point P d'une surface de normale n en P.
a) T est une fonction -impaire de n : T(P3n) = - T(P9-n)
Considérons une surface Z0 et une
portion Z interceptée par le domaine D.
-S est la frontière de D orientée
par n et Sj et 82 les parties de S
tières de D| et D2.
fron-
~E a pour normale unitaire exté•'->
rieure à Dj, N en un point P, celle extérieure à D2 étant, évidemment, en ce même
point, -N.
La relation 3.11 ci-dessus appliquée en chacun de ces domaines
permet d'écrire,
F di =
•'D
r F->
I
J
»l
I
^D2
T(N) ds
(a)
's
f -> +
r -> ->
dr = I T(N)ds + I T(N)ds
J
J
Si
^
F dT =
T(N)ds + i T'(-N)ds
Js 2
JE
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(b)
(c)
- 3.8 -
En ajoutant membre à membre (b) et (c) et retranchant de même
(a), il vient :
f (T(N) + T(-N)} ds = 0
Z
J
Cette relation étant valable quelle que soit la portion E de £Q
interceptée par D, elle est valable en tout point de cette surface et notamment en P, donc
T(P,N) = - T (P, - N)
Cela traduit le principe dit de l'action et de la réaction.
b) T est une fonction linéaire de n (théorème de Cauchy)
Considérons en un point P un petit
tétraèdre de sommet P et d'arêtes orthogonale
en ce point.
Soit P 1 un point de la plus grande
face ABC, de normale n, tel que PP' soit colinéaire à n.
Soit M un point quelconque de ABC
se projetant en m. sur la face perpendiculaire à Px. .
Si nous notons a.. la composante
sur Px. de la contrainte en mj et que nous
appliquions la relation 2.5, il vient en projection sur Ox.
F. di = -
JD x
a.. ds. +
J
T.(n) ds
Js x
J s .J 1J
S. et S étant respectivement les faces normales à Px. et à n,
on a évidemment
ds. = n. ds
J
J
et
S. = n. S
J
J
d f où
f/i dT - JS(V«> - °ij -j) ds
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- 3.9 -
Lorsque P f •> P, la face ABC restant parallèle à elle-même,
l'intégrale de volume du premier membre devient un infiniment petit
d'ordre inférieur à
fr. - a. . n .1 ds
U1
V 4
d'où à la limite
T£ (P,n) - a,,., ru - 0
(3.|3)
Les a.,
sont donc bien les composantes d'un tenseur a du second
1
J
= _».'_>
ordre correspondant à l'application linéaire a : n -> T, c est-a-dire
T = a . n.
G) Le tenseur des contraintes est symétrique Ya. . - a ..)
'kj
t/'Z-
Prenant le moment en 0 origine des coordonnées et introduisant le
HS-
'
•
'
symbole E^.^ pour simplifier l'écriture des produits vectoriels, la relation 3.12 s'écrit :
E. .. ' x. F. dT =
E. .. x. T ds
J D Xjk j k
j s ijk j k
Comme T
=
cr
n , il vient en transformant par la formule
d'Ostrogradsky le second membre en intégrale de volume et en passant à la
forme différentielle
G
„
X . F
ijk j k
. 3 .e...x. a. n
ijk j kl
''
- '' '
3 x-
'
=
ou encore
P
e..,
ijk x.j F,k =e...
ijk
9a. T
3x/
J
x.j 9x'^kl + a,kln T*-**
Sx-j^
mais, comme les x. sont des variables indépendantes
i,j,k étant égal à 1, 2 ou 3, e..,
IJK est une fonction alternée des indices»
telle que £123 = 1 (on en déduit par exemple que e213==~l î £ 112 ~ 0» etc.
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- 3 ..'10 3x.
^ =ê ji
9a
donc
e.jk x.
Fk - —
ki
= e.jfc afcl 6jx - E.lfc ofcl
et, comme d'après 3.11, le second membre ayant été transformé en intégrale
de volume compte-tenu de 3.13, on a
3o
ki
F = —îii
k
3x
Alors, e.lk afcl = 0 et, puisque e..lk = - e.kl
"kl = °lk
ce qui démontre la symétrie du tenseur des contraintes.
3.1.2.3. Formes générales de l'équation de la dynamique des fluides
Comme on a T = â.n, la relation (3.9) s'écrit soit,
p |
^ dt +
J
(pu) u.n ds =
J
D
I di +
J
S
D
J
S.n ds
(3.14)
S
soit, en utilisant directement la relation (2.16)
p ~ di =
JD
f dT + la.n ds
JD
(3.15)
^s
En transformant les intégrales de surface en intégrales de volume
et en notant que les relations ci-dessus sont valables quel que soit le domaine D considéré, on en déduit les formes différentielles
9p u.
9t
L+
3a. .
3p u.
u.
1
.. J. - f. + -JJ.
3x.
i
9x.
(3.16)
et pour la seconde relation
d u.
p
"HT
Sa..
= f
i
+
1^7
(3.17)
Compte-tenu de l'équation de continuité (3.16) peut également
s'écrire :
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- 3.11 -
f^u.
P
9a. .
9U/
i. + u
[ 9t
1
__!_!
B f
r
j 9xJ
i
3x.
(3.18)
soit, sous forme vectorielle,
p l|~ + (grad u).u
= "f +' div à
(3.19)
ou bien,
->
\
— + ^ grad u2 +(rot u) A u
9t
2
)
(
= f + div a
(3.20)
ou encore en considérant la relation (3.17)
pdS
dt
=
l
+ d i v
5
(3.21)
Des relations analogues peuvent être obtenues pour le moment cinétique à partir de la relation 3.10, mais, comme nous le verrons par
la suite,
la prise en compte, de cette relation n ' a p p o r t e , en-dehors de
celle déjà vue concernant la symétrie
de a, aucune relation supplémentaire entre les inconnues du problème p, p, u, ...
3 . 1 . 2 . 4 . Théorème de l'énergie cinétique
Si l'on multiplie scalairement la relation générale 3.21 par le
vecteur u, il vient :
d u2
î
i f->
=) ___ = - [f + div aj .u
(3.22)
et, si l'on intègre sur un domaine D, on obtient, compte-tenu de la relation ( 2 . 1 6 ) rappelée ci-dessus
•^ ; ~ p u 2 di = M f H- div â j . u d i
D
JD
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(3.23)
- 3.12 -
Ces relations qui, comme en mécanique classique, apparaissent
comme des intégrales premières du mouvement, expriment que le taux de variation de l'énergie cinétique pour un domaine D (3.23) ou une particule
fluide de masse unité (3.22), que l'on suit dans son mouvement est égale à
la puissance de toutes les forces appliquées.
3.1.2.5. Théorème de la quantité de mouvement
Les relations fondamentales 3.9
et 3. 10 sont évidemment applicables à un domaine D quelconque contenant des parties
fixes ou mobiles continues ou non tel, par
exemple, celui représenté ci-contre.
->
Si w est la vitesse de la surface S qui le limite appelée souvent surface
de contrôle, nous avons, d'après la relation
2.'15, en introduisant la vitesse relative v
du milieu extérieur par rapport à
->
->
->
S, (u « v + w)
J~
ôt
et
4~
ôt
JD
JD
p u di -.. -
OM A pu dT = -
Js
Js
p u (V.ïî) ds + ! f dt +
JD
h
OM A pu(v.ïï)ds + J OM A f di +
s
T ds
Js
(3.24)
OM A T ds
(3.25)
Formes particulières î
Si la quantité de mouvement à l'intérieur de la surface de contrôle
est constante» ce qui est le cas par exemple si cette surface est fixe
(w = 0) et si l'écoulement est permanent, alors
fe|DPÎd, - o
et l'expression (3.24) se réduit à :
[•pu (v.n) ds"•- [ î dt + [ î ds
J
J
S
D
S
(3.25a)
J
Cette relation exprime que le "débit" de quantité de mouvement à
travers la surface de contrôle S est égale à la résultante des forces extérieures au domaine limité par S.
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- 3.13 -
Dans la pratique, la frontière S peut souvent être décomposée en
trois types de surface S , S et S0, telle que :
- sur Sg, on ait v.n < 0 (section d'entrée)
- sur S , on ait v.n > 0 (section de sortie)
- sur SQ, on ait (v.n) et /ou u = 0 (ligne de courant, paroi étanche,
...).
Les figures ci-contre montrent
deux exemples classiques de surface de
contrôle où cette partition est évidente.
Dans la mesure où les vitesses
u peuvent être considérées comme constantes sur S et S , l'expression cidessus se réduit à la relation élémentaire classique :
q
- u } = Z F
M fu
m[ s
ej
ext
où q
(3.25 b)
est le débit massique à travers
les surfaces d'entrée et de sortie
q
= -
p v.n ds =
>s e
p v.n ds
>s s
Cette relation est souvent énoncée ainsi ;
Le débit de quantité de mouvement qui "sort" moins le débit de
quantité de mouvement qui "rentre" est égal aux forces extérieures appliquées»
On a évidemment des simplifications semblables et, par suite, une
formulation analogue en ce qui concerne la relation (3.25) relative au moment cinétique.
Les diverses relations ci-dessus s'appliquent également bien si les
vitesses sont exprimées dans un système d'axes relatifs, à condition d'ajouter, le cas échéant, aux forces extérieures les "forces d'inertie" traduisant
les accélérations d'entraînement ou de Coriolis.
Ces expressions se généralisent également au cas de choc, lorsque
l'intégrale du premier membre est discontinue en introduisant, comme en méca-'nique classique, la notion d'impulsion ou de percussion.
En conclusion, ces relations, qui traduisent le théorème dit des
quantités de mouvement, sont d'un intérêt pratique très grand car elles
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- 3.14 -
s'appliquent quelque soit la nature du fluide et nfimposent aucune condition
particulière quant à la continuité des fonctions en cause. Il convient
simplement, si l'on explicite le premier membre de 3.24 ou 3.25 en utilisant
les relations 2.10, 2.11 ou 2.12, de tenir compte du saut des quantités pu"
à travers les surfaces de discontinuités présentes dans D (voir 3.3,2).
j^x£m£'£ ji!5P£.'i.9£ti0Jl
- Réaction d'un Jet (coefficient de contraction d'un orifice à
la Borda)
Considérons le réservoir représenté ci-contre et calculons la
composante horizontale due à la réaction du jet et schématisée par une butée.
Nous choisissons une surface de contrôle coupant le jet normalement dans sa section contractée.
L'écoulement étant permanent
et l_a surface de contrôle fixe (w = 0
et v = u), la relation (3.25a) s'écrit
immédiatement,
I pu (u.n) ds =
î.di +
T.ds
J
S
D
<*S
J
Si l'on admet ^e plus :
- la vitesse uniforme dans le jet,
- les forces de volume réduites aux forces de pesanteur,
- les forces de surface réduites à la pression atmosphérique
(constante sur S) » aux efforts dans la butée et au contact des roues»
on peut utiliser la forme 3.25b qui, en projection sur Ox se réduit à,
p u . Hq = F
x
v
x
où F représente, en valeur algébrique, l'effort de butée et éventuellement
les forces de frottement des roues sur le sol. Le jet étant sensiblement
parallèle à l'axe horizontal Ox, ux représente la vitesse moyenne du fluide
dans le jet.
Comme ux est positive, FX est également positive ce qui indique
le sens de la réaction du jet,
Coefficient^ de ^ont^qc^ion^âu^Jet^
Si nous considérons les forces intérieures de pression sur les
parois en admettant en raison de la forme particulière de l'ajutage que
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- 3.15 -
leur répartition est celle qui existerait en l'absence d'orifice sauf au
droit de celui-ci où ces forces sont nulles (par rapport à la pression at
mosphërique), nous voyons que :
FX = S0 p = S0 pg Az
Comme ux= /2g Az,
F
où S
(voir page 4.16)
= 2pg Az Se,
est la section contractée du jet et SQ celle de l'orifice, d'où
S
if'0-5
montrant que le coefficient de contraction C
est ici de 0,5.
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- 3.16 -
3.1.3. CONSERVATION DE L'ENERGIE
La conservation de l'énergie totale
E =* I p e + y u2 di
'D ^
'
contenue dans un domaine D, et qui représente la somme de l'énergie interne e et de l'énergie cinétique — u2 par unité de masse, se traduit, selon le
premier principe généralisé de la thermodynamique par la relation :
~= Q + ^
(3.26)
où : Q représente l'énergie apportée ou enlevée par unité de temps au domaine D sous forme de chaleur.
Q peut être exprimé de façon générale comme la somme de deux termes :
a) QI ~
Q dt qui représente l'énergie apparue ou disparue sous
•'D
forme de chaleur, par unité de temps au sein du fluide contenu dans D
(réaction chimique, dissociation, ionisation, changement de phase* rayonnement, etc.) ; Q est ici une énergie par unité de volume.
b) £)2-~
q«n ds qui représente l'énergie transférée par conducS
tion à la frontière du domaine ; q représente le flux chaleur qui, selon la
loi de Fourier, est proportionnelle au gradient de la température
(q = - A grâcf T) .
Quant à W qui représente le travail par unité de temps, c'est-àdire la puissance des forces extérieures .sur D, il se décompose également
en deux termes :
a) Wi = 1 f.u dT
J
D
puissance correspondant aux forces extérieures de volume.
b) f/2 * J[ T.u ds - I (5.n) .u ds
s
Js
puissance correspondant aux forces de surface.
en supposant, en première approximation, que ces phénomènes sont simplement
des sources (ou puits) de chaleur n'apportant qu'une modification négligeable aux autres propriétés du milieu.
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- 3.17 -
3.1.3.1. Forme générale de l'équation de l'énergie
En remplaçant dans la relation (3.26) E, Q et W par leur expression,
on obtient, compte tenu de (2.16), l'équation de l'énergie sous la forme intégrale générale,
~4 p(e + ~ u - u - >
dtJ D
2 i i
dT
•'- I Q dt - I q.n.ds
+ f f.u.di + [ a. .n.u.ds
yv
Js4i i
JD i i
J s ij j i
(3.27)
ou encore en transformant les intégrales de surface en intégrale de volume,
d e + j u. u
p -1
__1dT =
Jp
ç
3q.
ao.. u \
lu. f. + Qv - -± + -^L-L] dT (3 .28)
L
JD
J
d'où la forme différentielle générale
p
M
, r
•)
9q«
8a. . u.
£ _ e + I u . u. - Q
- ~ + —JJ
+ u. f.
x
dt (
2 i ij
v
Sx^
3xj
i i
ou encore sous forme vectorielle
p
cft
e
(3.29).
* 2" u J = ^v ~ div Cq - ô.u) •»• î.u
3.1-3.2. Théorème de l'énergie
La relation fondamentale (3.26) exprimant la conservation de
l'énergie
f. ,
~dt
p le + | u2
(_
2.
j
'3
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dT = Q + W
- 3.18 -
tout comme celle traduisant la quantité de mouvement est évidemment applicable à un domaine comorenant des sources (ou des puits) d'énergie quelconques.
Par un raisonnement en tout uoint identique à celui développé en
3.1.2.5 Dour le théorème des quantités de mouvement, on est conduit à la
relation :
6
f
f
1 o)
jj7
P e + Yu
d-r = -
+
f ->T.u•*•
Js
ds +
! QvdT
JD
-
i
f
1 o) -> ->
p. e + ~ uz\ v.n ds +
t ->q.n•>
Js
fW
^D m
ds +
dT
I -> ->
f.u dT
(3.30)
où I Wm dT représente la puissance qui peut être apportée ou enlevée à D sous
;D
forme d'énergie mécanique autre que celle résultant de l'action des forces
extérieures.
S'appliquant pratiquement sans restriction cette relation est;
comme son homologue du théorème de quantités de mouvement, d'un intérêt pratique certain dans les bilans d'énergie.
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- 3.19 -
3,2, RELATIONS DE COMPORTEMENT
3.2.1. PRINCIPES GENERAUX
Ces relations qui sont choisies pour traduire au mieux le compor-"
tement physique du milieu considéré doivent, bien que de nature expérimentale, satisfaire à un certain nombre de principes et il existe actuellement, en mécanique des milieux continus, toute une axiomatique des lois de
comportement.
Au niveau de ce cours, nous nous bornerons à rappeler ci-après
quelques-uns des axiomes les plus évidents.
- Principe de l'homogénéité dimensionnelle
Ce principe concerne l'invariance des lois de comportement dans
tout Changement d'unité.
- Principe d'objectivité ou d'indifférence matérielle
Cet axiome exprime qu'une loi de comportement doit être invariante par changement du référentiel utilisé. Autrement dit, les propriétés du
milieu considéré doivent être indépendantes du choix de l'observateur.
- Principe de causalité ou du déterminisme
Selon ce principe, les fonctions contraintes, déformations, ...
intervenant dans les relations de comportement d'un élément de matière de
coordonnées x. à l'instant t ne sont déterminées que par l'histoire du milieu jusqu'à l'instant t. Pour les fluides usuels, nous verrons que seul
l'état actuel intervient.
- Principe de localisation spatiale - milieu matériellement simple
Cet axiome exprime que seules interviennent les valeurs locales
des variables et de leurs dérivées spatiales.
Dans le cas où seules interviennent les dérivées premières, le
milieu est dit matériellement simple.
Il convient également d'ajouter que les lois de comportement doi-*vent évidemment satisfaire aux principes de la thermodynamique et à certaines conditions nécessaires pour la stabilité des équilibres.
3.2.2. LOI DE COMPORTEMENT MECANIQUE DES FLUIDES
Bien que les phénomènes mécanique et thermodynamique soient intimement liés, on distingue habituellement les lois du comportement mécanique, qui nous serviront de définition pour les fluides, des lois de comportement thermodynamique moins spécifiques à un type de milieu.
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- 3.20 -
Par ailleurs, l'expérience montre que, dans nombre de cas, il est
possible de s ' e n tenir au seul aspect mécanique, les phénomènes thermodynamiques (ou autres) étant négligeables (écoulement isotherme par exemple).
3 . 2 . 2 . 1 . Définition d ' u n fluide
L'étude expérimentale du comportement mécanique des fluides courants tels l'eau, l ' a i r . . . a montré que, pour ces milieux, lfêtat des
contraintes en un point à un instant donné était essentiellement lié à la
vitesse de déformation du milieu en cet instant. Autrement d i t , c'est la
modification, intervenant dans l'intervalle t, t + dt, par rapport à l'état
au temps t qui est essentielle.
Cette vitesse de déformation se caractérisant par le tenseur symétrique e des taux de déformation, on peut définir de façon très générale
un fluide comme un milieu pour lequel la contrainte a n'est fonction que du
taux de déformation
e.
a - f (e)
(3.31)
II est évident qu'une telle loi satisfait aux axiomes 3 et 4 caractérisant un milieu matériellement simple, sans mémoire, puisque seules
interviennent les valeurs actuelles de à et ë.
Le principe de l'indifférence matériel auquel la loi ci-dessus
est supposée satisfaire implique, les tenseurs a et e étant objectifs, que
—
=
f soit une fonction isotrope de e, c'est-à-dire invariante dans un changement de base, f est donc telle que ses composantes dans une base donnée ne
sont fonction que des invariants de e : f.. = f..(ei, e 2 » e3).
Comme par ailleurs, e et a sont symétriques, on peut écrire, en
notant e\t £2» £ 3 ^es 3 invariants de e,
a = f1(e1,e2,e3) ï + f2 (EI^.ES) ê + f 3 <£i,Ê 2 ,e 3 ) ë2
(3.32)
les termes d'ordre supérieur en ë s'éliminant par application de la relation
de CAYLEY-HAMILTON
3.2.2.1.1. Fluides_newtoniens
Pour un tel fluide, on admet que f est une fonction linéaire de
e, c'est-à-dire
a.. = A. . + B. ..klij
13
iJ
e,
;
kl
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(3.33)
- 3.21 -
f 3 est
Compte-tenu de (3.32), la forme la plus générale pour f j , f 2 et
alors
,
fj = - p + x G!
f2 = 2 y
f3 - 0
où p, X et y sont des scalaires.
On en déduit la loi de comportement
a = (- p + X div u) î + 2 y ê
°ij = (- P + X ekk) 6.. + 2 p c..
(3.34)
(3.35)
qui, si l'on considère les tenseurs A et B définis en 3.33, signifie que
A. . * - Fp 6. . et B. ., n = X 6. . 6. - +2 y 6., 6.,.
ij
ij
ijkl
ij kl
ik jl
- Contrainte de pression
Le scalaire p est appelé pression, il représente la part de
contrainte normale indépendante du taux de déformation.
Pour un fluide au repos par rapport à un système d'axes donnés
e H 0 «Ma relation 3.34 se réduit à
a = - p ï
ou
a.. = - p 6..
(3.36)
->
Dans ce cas, la contrainte T de composante a., n. égale ici à
- p n., est telle que
T - - p n
(3.37)
ce qui montre que, dans un fluide newtonien au repos par rapport à un système d'axes, les contraintes sont normales (T//n) et indépendantes de la
direction considérée (|TJ = p = este en un point donné).
Pour les fluides compressibles, la thermodynamique nous enseigne
que p > 0, donc T est dirigé suivant - n et les contraintes sont des
compressions appelées, dans les fluides, simplement pressions.
Remarque - Fluide barotrope
Si l'on considère uniquement l'aspect mécanique, on doit supposer
que p (de même que X et y) ne peuvent être fonction que de p, le fluide est
alors dit barotrope.
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- 3.22 On doit toutefois bien noter qu'en dehors du cas trivial des
fluides incompressibles (p = este), le fluide barotrope implique, pour
l'écoulement considéré, une loi de transformation thermodynamique particulière, puisque, comme nous le verrons, p s'exprime en général comme une
fonction de p, mais également d'une autre variable thermodynamique (température T, entropie s, etc.).
Ce n'est donc que pour des écoulements particuliers • isothermes
(T = este), isentropique (s = este) que l'on peut parler de fluide barotrope et nous verrons que cela implique pour le fluide des propriétés physiques
très particulières.
- Contraintes de viscosité
Les coefficients X et y sont appelés coefficient de viscosité et
l'on distingue habituellement dans a la part de contrainte liée à p, dite
de pression, de celle liée à y et A, dites de viscosité en posant
à = ~ p ï + T
c'est-à-dire
a.. = - Fpô.. + T..
iJ
U
iJ
(3.38)
T = A (div u) ï + 2y ê
c'est-à-dire
T.. = Ae
+ 2ye..
ij
kk
ij
(3.39)
où
Cette dernière relation montre que la partie de T attachée au
coefficient de viscosité A correspond à une contrainte normale proportionnelle à div u qui, nous l'avons vu, représente le taux de dilatation en volume du fluide.
Cette partie de la contrainte n'a de valeur appréciable que lors
d'expansions ou compressions très rapide de gaz. Ainsi, liée à la variation
de p (voir équation de continuité), elle est nulle pour les fluides
incompressibles (p = este).
La seconde partie de la relation 3.39 rattachée au coefficient y
est la plus importante du point de vue pratique, puisqu'elle traduit la "résistance au glissement des couches fluides les unes sur les autres.
Considérons à titre d'exemple
l'écoulement représenté ci-contre de vitesse u dirigée selon ox^ et dans cet
écoulement un élément de surface de nor~
->
mâle n orienté selon 0x3.
La contrainte en un point M de
cet élément de surface est
->
= ->
T = d.n
et comme on a :
*
Nous verrons que, dans ce cas, p ne se trouve défini par l'écoulement qu'à
une constante près.
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- 3.23 -
ui(x3,t)
u
0
0
n
et
0
0
1
•>
et il vient pour la contrainte T :
T
T
3.Ui
i3-v--5£
0
- p
Autrement dit, le domaine fluide pour lequel X3 > x 3 exerce sur la région
M
.
•*
ou x 3 < X 3 , outre la contrainte de pression - p n, une oontpatnte tangentielle dirigée suivant oxj de valeur T telle que
T t .-P^
(3.40)
Cette relation, dite loi, de Newton, j u s t i f i e l'appelation de newtonien donnée à ce type de fluide. Elle montre que dans un fluide visqueux
les parties du fluide les plus rapides ont tendance à accélérer les plus
lentes et réciproquement.
Ce mécanisme s'explique très bien par l T échange, au niveau moléculaire, de quantité de mouvement entre les diverses parties du fluide et
les théories correspondantes permettent un calcul précis des coefficients
de viscosité.
L'unité de viscosité dite dynamique (on entend par là essentiellement le coefficient y) est, dans le système S.I., le Foiseuille défini
comme "la viscosité dynamique d ' u n fluide dans lequel le mouvement rectiligne et uniforme, dans son plan, d ' u n e surface plane, solide, infinie,
donne lieu à une force retardatatrice de 1 newton par mètre carré de la
surface en contact avec le fluide en écoulement relatif devenu permanent,
lorsque le gradient de la vitesse du fluide, à la surface du solide et par
mètre d'écartement normal à ladite surface, est de 1 mètre par seconde."
La viscosité dépend de la température, mais ne dépend pratiquement pas de la pression* Pour les gaz où y croît avec la température, on
peut utiliser la relation de Sutherland :
]
T *T~
P - P O T^TT/
T
où JJQ est la viscosité à la température absolue TQ et C une constante dépendant du gaz.
Pour l'air sec, à la pression atmoshpërique u - 1,813.10~5
Poiseuille à 20°C et C = 1 1 3 .
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Décret n° 61 501 du 3 mai 1961 relatif aux unités de mesure !!!
- 3.24 -
On a également la loi de puissance,
*--11 r
^0
I T0|
avec a) ^ 0,72 poui l'air et les gaz diatomiques en général.
Pour les liquides, y diminue lorsque la température augmente. La
loi de variation de y avec T est très complexe et l'on utilise des tables.
Pour l'eau, y = 1,Q02.1Ô-3 Poiseuille à 20°C.
A coté de y, on introduit sous le nom de viscosité cinématique
v le rapport — qui intervient très souvent en mécanique des fluides. L'unité n'a pas de nom dans le système MKS et v s'y exprime en m2/sec. Dans le
système CGS, l'unité de v est le Stokes et celle de y la Poise.
3.2.2. 1.2. Fluide J2. ar f ai t__^ou_non_visc[ueux^
->•
• " * • / * ,
Dans le cas particulier où la relation 3.37 T = - p n peut être
considérée comme également valable lorsque le fluide n'est plus au repos,
c'est-à-dire lorsque le tenseur des contraintes est indépendant de celui
des déformations (A et y = 0), le fluide est dit parfait ou non visqueux.
3.2.2. 1.3. Fluides^non^newtoniiens
Si la plupart des fluides usuels, l'eau, l'alcool et tous les gaz
dans des conditions de pression et de température non excessivement éloignées de la normale ont un comportement newtonien , il en existe cependant
pour lesquels la relation a = f(e) n'est pas linéaire.
Toutefois, comme le présent cours se limitera à la mécanique des
fluides newtoniens, nous ne ferons pas d'analyse détaillée des lois de
comportement générale de ces fluides et nous nous bornerons à en donner le
classement habituel, basé sur la relation contrainte tangentielle T gradient de vitesse
T = f f-7-1 , telle qu'elle peut être déduite d'une expé-
rience viscométrique analogue à celle rapportée ci-dessus à propos de la
"loi de Newton".
*
La validité de cette loi est notamment en défaut dans les gaz pour les ondes choc quelque peu intenses, en raison des taux de déformation extrêmement
élevés qui sont alors rencontrés.
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- 3.25 -
Si l'on représente graphiquement une
telle relation et que l'on pose T = y
y-, le
coefficient y , dit de viscosité apparente,
étant alors fonction du gradient de vitesse, on
peut classer ces fluides en deux catégories.
1. Les fluides pseudo-plastiques qui
correspondent au graphe n° 1 et où la viscosité
apparente y diminue lorsque le gradient de vitesse augmente. On dit que ces fluides présentent une r'héofluidi fi cation.
De tels fluide comprennent entre autres les huiles et les graisses utilisées en lubrification, le pétrole, le sang, ainsi que la plupart des solutions de polymères.
2. Les fluides dilatants qui correspondent au graphe n° 2 et où y ,
augmente avec le taux de glissement. De tels fluides sont dits rhêoêpaississants.
Ce type de comportement est moins fréquent que le précédent et se
rencontre surtout dans les solutions telles, par exemple, les solutions
colloïdales d'argile dans l'eau.
Une façon très con»nuï»de représenter le comportement non newtonien
de tels fluides est d'écrire pour le coefficient de viscosité apparente y
a
une relation de la forme
*a -
K
fe) n
(3.40
Pour n > 0, on a les fluides dilatants
pour n < 0, les fluides pseudoplastiques.
Pour n * 0, on a évidemment les fluides newtoniens.
3 . 2 . 2 . 1 . 4 . Milieux_continus_au^
fluides
Nous avons défini les fluides à partir d'une loi de comportement
de la forme a = f ( e ) et les divers milieux considérés jusqu'ici entrent
bien dans le cadre de cette définition.
On doit cependant noter que, bien que très vaste, le cadre ainsi
défini n'englobe pas la totalité de ce que l'on considère aujourd'hui comme
des milieux fluides et la Théologie qui est justement l'étude des milieux
susceptibles de s'écouler, considère comme fluides des corps dont les lois
de comportement sont beaucoup plus générales.
A t i t r e d'exemple, on peut citer :
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- 3.26 -
a. Les fluides de Rivlin-Ericksen
dont la loi de comportement mécanique est de la forme :
a = f je, e f , e" ... e;nj
(3.42)
où e', e", ... e sont les dérivées particulaires d'ordre î, 2, ... n du
tenseur des taux de déformations.
b. Fluides visée/élastiques
Les corps viscoélastiques sont des corps qui, comme leur nom le
laisse deviner, ont à la fois un comportement
- élastique en ce sens q u e , vis-à-vis d'une variation de sollicitation (Aa ou AD) au temps t, leur comportement instantané est celui d ' u n
solide élastique (réponse fonction linéaire de Aa ou AD)
- visqueux du fait que, par exemple, soumis à partir d ' u n temps t
à une contrainte donnée constante, il présente, outre la déformation instantanée précitée, un phénomène de fluage ou d'écoulement conduisant pour
certains d ' e n t r e eux à une déformation non bornée. Dans ce dernier cas, on
considère le milieu comme un "fluide" viscoélastique.
Pour de tels milieux, la contrainte au temps t apparaît comme
fonction, non seulement de la déformation à cet instant, mais également de
la valeur de la déformation à tous les instants T antérieurs à t
a = F (D(T), D(t))
- - < T < t
(3.43)
Ce sont des matériaux à mémoire.
Nous ne développerons pas ici la théorie de ces milieux qui, en
raison de l'importance industrielle de ces matériaux -la plupart des plastiques actuels ont ce type de comportement- f a i t l ' o b j e t de nombreux traités (viscoélasticité, rhéologie des polymères, ...) et nous nous limiterons
à un modèle simple d ' u n tel milieu appelé modèle ou corps de Maxwell.
Ce type de milieu a une loi de comportement qui peut être représentée par un modèle mécanique simple : un ressort élastique de raideur
G
= — I en série avec un amortisseur
de viscosité
( dtj
-MEn e f f e t , un tel assemblage auquel on applique une contrainte T a une déformation D telle que
32-1 + lfl
dt
ri
G dt
(3.44)
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~ 3.27 -
Pour un "fluide" de cette sorte soumis, comme
dans l'expérience de Newton, à une contrainte de cisaillement T telle que ~ soit très p e t i t (T ^ c o n s t a n t ) , on a un comportement de fluide newtonien :
I = n
dD
fdD
[dt = E ]
dF
)
Par contre, pour des variations très rapides de contrainte où
1 dx
"G "dt
>>
T
~n'
ce qui est d a u t : a n t
'
P lus
vrai
<Iue n est grand et G petit, on a
12 - lll
dt " G dt
soit T = GD, ce qui correspond à un comportement de solide élastique.
- Fluide vis copias tique
Ce sont des milieux qui, pour une valeur du taux de déformation
inférieur à un certain seuil, ont une loi de comportement de solide élastique (contrainte fonction de la déformation instantanéejet qui, au^delà/présente le phénomène d'écoulement propre aux fluides. Un exemple classique
est le fluide (ou corps) de Binghcan pour lequel on a, en considérant un
écoulement de cisaillement pur
T = GD
si
T < TQ
T - TQ + ne
si
T > TO
(3.45)
3.2.3. LOIS DE COMPORTEMENT THERMODYNAMIQUE
II s'agit ici des relations qui permettent, à partir d'un certain
nombre de grandeurs thermodynamiques, de définir le comportement du fluide
vis-à-vis des phénomènes thermiques associés à sa déformation.
Avant de préciser ces relations, nous ferons un très bref rappel
des grandeurs thermodynamiques concernés et des principes de base utilisés.
3.2.3.1. Données thermodynamiques du problème
Les grandeurs thermodynamiques en cause s'introduisent naturelle-4ment I partir dés principes de la thermodynamique.
- Premier principe
C'est ainsi que, dans l'expression déjà donnée (3.26) du principe
de conservation de l'énergie pour un domaine de fluide D, nous avons introduit la notion d* énergie interne à laquelle s'associent celles de travail
et de quantité de chaleur.
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- 3.28 -
- Second principe
De même, l'énoncé du second principe introduit les notions de :
. Température : existence à chaque instant t en tout point x
d'un milieu matériel d'une grandeur scalaire T(x,t) appelé température absolue de la particule qui s'y trouve, T étant une quantité non négative.
. Entropie : existence en chaque instant t en tout point
d'un milieu matériel d'une grandeur scalaire s(x,t) appelée entropie spécifique de la particule qui s'y trouvé et telle que, à l'instant t considéré,
l'entropie S de la partie D du milieu considéré soit :
S =
psdi
(3.46)
JD
A p a r t i r de ces deux notions, le second principe s'exprime, pour
un domaine f l u i d e D donné, par l ' i n é g a l i t é fondamentale/
f > [ ^ d x - [ H d .
J
J
D
(3.47)
S
où Q et qjlsont respectivement les quantités de chaleur volumique et
surfa-
cique reçues par D et déjà définies à propos de l'expression (3.26) du pre~
mier principe.
La relation ( 3 . 4 7 ) peut encore s'écrire, compte-tenu de (3.46)
^ f psdi » f ^ - d i - [ ï ^ d s
D
'D
(3.48)
's
ou encore par application de (2.16) et du théorème de la divergence
({" dt - -T + dlV 1} dT " °
(3<49)
b
ce qui conduit, en chaque point du fluide supposé continu, à la relation :
>ë*V«4
(3 50)
-
Dans ces diverses expressions, le cas de l'égalité correspond aux
processus dits réversibles, ce qui, si le système est thertniquement isolé
(transformation adiabatique) conduit à s - este. On dit alors que l'évolution est isentropique.
- Principe de 1fétat local
Tout état d'équilibre d'un système est bien défini par un certain
nombre de variables indépendantes ao» a^,,,a dite d'état et telle que toute
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- 3.29 grandeur caractéristique e, T, s, ... s'exprime de façon unique à partir de
ces variables.
Le principe de l'état local nous dit que cela reste vrai pour un
fluide en mouvement, c'est-à-dire qu'il existe un état d'équilibre local,
permettant d'exprimer en fonction des a. les fonctions e, T, s de la même
x
façon que pour un fluide au repos.
Cet axiome a des conditions de validité très larges. C'est ainsi
que, pour les fluides ordinaires, il ne se trouve en défaut que dans les
ondes de choc intense par suite de la non-équipartition de l'énergie entre
les divers degrés de liberté des espèces présentes (atomes, molécules, ...)
ou produites par dissociation ou ionisation (ions, électrons, .,.) au sein
de l'onde de choc.
- Potentiel thermodynamique - Loi d'état
On introduit en thermodynamique un certain nombre de grandeurs
appelées potentiel thermodynamique qui, par
définition, permettent de
déterminer les fonctions principales e, s, T, ...
Ainsi, l'énergie interne e exprimée en fonction de ag - s et des
variables a^, ... a choisies de façon à constituer avec s un système de
variables indépendantes constitue un potentiel : e ~ e (s, 04... a ).
De cette expression de e et de celle du 1er principe (de = dq 4- dw)
on déduit immédiatement, pour une transformation réversible, la relation :
"= 'ân
St-'^'pTï*
d'où
"ë
»
e
(3 51)
'
p=^
Les quantités T (s,a ) et 6 (s,a ) sont des variables dites
P
P
P
d'état et les relations B
p
= 7— constitue les lois d'état du milieu.
dap
3e
9e(1)
Comme e, -r—* -—ne sont fonction que de s, on, ... a , elles
8s 9a
n
P
da
ds
sont indépendantes des taux de variation — et ,• ", donc de la
nature
de la transformation et la relation (3.51) écrite pour une transformation réversible est également vraie pour une transformation quelconque.
(1) Ces dérivées partielles représentent dans l'espace des phases (états)
(e, s, a ) les composantes du gradient de e, quantités intrinsèques indépendantes des accroissements ds, d a
des variables.
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- 3.30 -
Puisque, dans les processus réversibles, T — représente la puissance %r
^
- g
reçue de façon réversible sous forme "thermique", la quantité
d a
__^—F, représente la puissance réversible reçue sous forme "mécanique"
par une particule fluide de masse unité que l'on suit dans son mouvement.
Il en est de même dans les processus irréversibles où l'on a simplement
T ~ > w , la différence T •— - w représentant la part due aux irr
dt
q
dt
q
réversibilités thermiques ou mécaniques (voir paragraphe 4.2.!}
On peut définir d'autres potentiels thermodynamiques. Ainsi,
l'énergie libre ty = e - Ts, exprimée en fonction de a 0 = T et de 04 ...
constitue également un potentiel tel que dty = - sdT + 3
et ,
d a .
De façon analogue, l'enthalpie h ( s , v ) (dh = Tds •+• pdv), l'entropie
s ( e , p ) (ds = 1/T de + p/T dp) et le potentiel thermodynamique de Gibbs
F(p,T) ^ i|/ + pv (dF = - sdT + vdp) constituent également des potentiels.
3 . 2 . 3 . 2 . Définition du point de vue thermodynamique d'un fluide
compressible classique
Un •fluide compressible est du point de vue thermodynamique un milieu défini par deux variables thermodynamiques a 0 et o n .
C'est ainsi que, si nous prenons comme variables thermodynamiques
CXQ = s et 04 = v = — (volume m a s s i q u e ) , toutes les
peuvent être définies à p a r t i r de
p = p (s,
v)
,
données thermodynamiques
ces deux quantités
T = T (s,
En effet, on a alors : —
v) ,
= T—
...
+ 3j— et sachant
que, pour
une transformation réversible, la puissance reçue sous forme mécanique est
de la forme w = - pdv, on en déduit que 3j= - p,
d'où, comme on l'a vu, T = -r— (s, y)
oS
et la loi. d'état,
P = -~ (s, v)
0V
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(3.52)
- 3.31 -
qui, dans le cas particulier où le fluide est un gaz parfait à chaleur spécifique constante, a la forme bien connue
p vY = exp(s/Cv)
(3<53)
où y = Cp/Cv, rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume
constants.
A noter que, si l'on avait choisi ŒQ = T et oq - v comme varia-^
blés, on aurait eu l'énergie libre ty comme potentiel et, puisque
dij; = - sdT + 3i dv, on aurait la relation :
. - - • g (T, v)
et, comme 3i - - p, la loi d'état.
p - - |i (T, ;>
(3.54)
qui, pour le gaz parfait, a la forme également classique,
pv = rT
où r - Cp - Cv.
Relations entre q et T - Lois de la conduction
A côté des relations d ' é t a t p - p (v, T) et s - s (v, T) par^
exemple, il convient de définir une relation entre le flux de chaleur q et
la température T.
Cette relation nous sera donnée par la loi de Fourier
q = - k ( T ) "grld T
(3.55)
où k est le coefficient de conduction thermique qui, nous le verrons, est
une quantité strictement positive.
A noter que le caractère scalaire du coefficient de conductibilité
thermique est essentiellement lié à l 1 is,o-tropie des milieux fluides. Il
n'en est évidemment pas de même pour certains solides où le coefficient
k prend alors une forme tensorielle telle que :
q = - îc(T) ^racf T
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- 3.32 -
3,3,
RELATIONS DE CONSERVATION EN PRESENCE DE SURFACES SINGULIERES
CONDITIONS AUX LIMITES - RELATIONS DE SAUT - ONDE DE CHOC
Les relations développées jusqu'ici ont été obtenues par application des lois de conservation à des domaines où la continuité des paramètres était assurée en tout point, frontière comprise.
Or, il est évident qu'une telle continuité est limitée dans l'espace, soit par les frontières naturelles du milieu fluide considéré (paroi,
surface libre, . . . ) , soit par la présence au sein du fluide de surfaces de
discontinuité (onde de choc, surface de jet, de contact, ...).
On est donc naturellement amené à considérer l'application des
lois de conservation à des domaines dont la frontière est, en tout ou par~
tie, une surface singulière.
Sur ces surfaces, les lois de conservation imposent, entre les valeurs limites des paramètres et celles traduisant les actions extérieures,
un certain nombre de relations constituant ce que l'on appelle habituellement :
- les conditions aux limites lorsqu'il s'agit d'une frontière au
milieu fluide considéré (paroi, surface libre, ...)
- les conditions de saut lorsqu'il s'agit d'une surface de discontinuité située à l'intérieur de ce même milieu (onde de choc, surface de
jet,
...).
Pour plus de clarté, nous traiterons séparément les deux cas.
3.3.1. CONDITIONS AUX LIMITES ASSOCIEES AUX LOIS DE CONSERVATION
Nous considérons ici un domaine D dont tout ou partie £ de la
frontière coïncide avec celle^ du milieu fluide
considéré.
*>
Notant M un point de vitesse W astreint à
rester sur £, on peut toujours définir sur D et sa
frontière I + S un champ de vitesse continu sur D et
ayant sur £ une vitesse W dont au moins la composante
W
suivant la normale à n soit égale à celle de M,
c'est-à-dire wn' = W.n
= Wn
A noter que W qui représente la vitesse de
déplacement de la surface suivant sa normale est appelée, par définition, la vitesse de là surface.
Ce choix tient au f a i t que c'est essentiellement par sa composante normale que le mouvement
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- 3.33 -
d'un point lié à une surface S donnée intervient, en particulier dans toutes
les questions de f l u x à travers S
f <f> W.
•* •>
n ds = f <j> W ds .
.s
s
n
- Conditions aux limites associées à la conservation de la masse
Dans le mouvement propre de D défini par celui de ses frontières,
champ de vitesse W pour Z et u pour S qui est une surface matérielle, on a,
en exprimant que le taux de variation de la masse contenue dans D est égale
au débit massique à travers Z,
d
It fDpdT -/>
"
o
(3 56)
'
Par ailleurs, si l'on considère le domaine
D' limité par S et la surface Z ' prise à l'intérieur
de D, la relation (2. 15) s'applique et, ,si l'on fait
tendre £' vers Z, d tendant vers zéro, on a :
II /D*dT • ïït |D*dT - / £ * Vn
ds
<3'57>
où les valeurs de <f> et de la vitesse relative
V
- (W - U).n sur Z sont définis par continuité à partir respectivement
->•
des valeurs de $ et de u dans D.
Pour <j> *= p, on a évidemment — P<!T == 0, d'où, à partir de
dt J
(3«56) et (3. 57), la condition aux limites sur Z
I p V = f q ds
Jz
n
Jz m
(3.58)
ou encore Z, pouvant être pris arbitrairement,
pV
n
=-q
m
(3.59)
a) qm # 0
Le cas q
^ 0 correspond, pour une frontière solide, à une paroi
poreuse où par approximation, on considérerait q comme une fonction contim
nue, éventuellement par morceaux, sur Z de la position et du temps
(%= VM- c))-
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- 3.34 -
Cela correspond, soit à l ' i n j e c t i o n , q
q
> 0, soit à l'absorption,
< 0, de fluide à travers Z avec une vitesse absolue u telle que
q m = p (W - ï) . n.
Comme par ailleurs q
implique, pour q
= p (W - u j . n , il vient p v = p V , ce qui
m
n
n
> 0, tout phénomène de d i f f u s i o n étant exclu, la création
dans le f l u i d e d ' u n e surface singulière (surface de contact (p £ p) de
glissement (V
^ V ) ou même d ' o n d e de choc.
Il n ' e s t plus dès lors possible de considérer D comme continu et
l'on doit t r a i t e r séparément les deux domaines ainsi créés;
Nous supposerons donc, dans tout ce qui suit, que, pour q
£ 0,
p = p, d ' o ù V = V et excluant l'existence de surface glissement V = V .
on est
ainsi conduit, si qm ^ 0, à supposer la continuité de la vitesse du
•x
-*
fluide u = U.
Le même raisonnement s'applique si Z est une surface de séparation entre deux fluides et l'on doit exclure l'hypothèse q ^ 0 sauf si Z
est une surface d ' o n d e de choc, cas particulier qui sera traité au paragraphe 3 . 3 . 2 .
b) q m - 0
Dans cette hypothèse, la condition aux limites est simplement, p
n ' é t a n t pas nulle,
V = 0
n
(3.60)
c'est-à-dire que la composante normale du fluide est égale à la vitesse de
la frontière.
Ce cas correspond, soit à une paroi solide êtanchey soit à une
surface de contact entre deux fluides.
Dans le cas où la composante tangentielle de la vitesse est différente dans les deux fluides |V | ^ 0, Z correspond à une surface de glissement,
^ '
Comme exemples de telle surface, on peut citer les surfaces libres, les surfaces de séparation entre deux liquides non miscibles, les
surfaces de jet, ...
A remarquer que, si f (x^, xp_, x-^, t) = 0 est l'équation de Z,
xi, X2, X3 peuvent être prises comme les coordonnées d'un point M astreint
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- 3,35 »
à rester sur cette surface. On peut alors considérer f (M(t), t) = 0 comme
une fonction de point, d f où sa dérivée en suivant le mouvement de M.
ôf
9f _,_ :>
1.
— = - + W . grad f
-|| + 5.î'|gîSdf |
et comme
(W - u) . n = V.n = V = 0
cela entraîne
-> * • > - > - >
u.n = W.n = W
n
c'est-à-dire
|£
+ u . i?ad f - 0
dt
(3.61)
d'où la condition aux limites équivalente à (3.60)
'If - 0
(3.62)
A noter enfin que le principe de conservation de la masse ne donne aucune relation entre les composantes tangentielles, celles-ci dépendant,
pour un problème donné, du type de fluide considéré.
Pour un fluide newtonien, le principe d'adhérence est habituellement retenu, c'est-à-dire que l'on admet que la vitesse tangentielle relative du fluide et la frontière est nulle ((V j = 0).
La condition aux limites globales est alors que la vitesse relative V du fluide par rapport à la frontière est nulle.
Dans un fluide parfait, J V j peut être quelconque.
Cette différence dans lès conditions aux limites se retrouve dans
le fait qu'en fluide visqueux le champ des vitesses est défini par un système d'équations aux dérivées partielles du deuxième ordre (équation de
Navier-Stokes) alors que, pour un fluide parfait, ce sont des équations du
premier ordre (équations d ' E u l e r ) .
•* Conditions aux limites associées à la quantité de mouvement
Par un raisonnement analogue au précédent, on a :
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- 3.36 -
—
ôt
pudi = I fdi +
JD
JD
a n ds + I F ds +
q
k
Js
J
m
û ds
(3.63)
où les deux dernières intégrales du second membre représentent les actions
de surface (forces extérieures, débit relatif de quantité de mouvement) du
milieu extérieur en Z .
Par ailleurs, la relation ( 3 . S 7 ) , où <f> = p u, conduit à
-r—
St J
D
pudi = ! fdi +
JD
JS«
a . n ds -
JE
pu V
n
ds
d ' o ù par différence
1 a n ds -
I p u Vn ds »
L
q ffi u ds + I F ds
L
Z
(3.64)
L
d'où, en tout point de E, compte-tenu du fait
que q
= - p V e t u = u
S.n = F
(3.65)
Cette condition aux limites traduit la continuité des contraintes
sur Z.
Dans le cas de fluide parfait,
- » • - » •
F = ~ p n
Les contraintes pariétales sont donc, ici également, des contraintes normales.
- Conditions
aux limites associées à la conservation de l'énergie
On a ici pour l'équation de conservation de l'énergie
e+
d
fe U H - (> - - f;^ f;- r
+ | (a n j u ds +
Î.W ds + I q ds +
L
L
q m ê ds
Lt
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(3.66)
- 3.37 -
ainsi que la relation tirée de (1.67)
avec $ = e + ~ u2
fe /(• + î »2) — fe /(e + 1 »2) * - (h î u 2 l p vs
d ' o ù par différence, compte-tenu de ( 3 . 2 7 ) , en tout point de Z
->->
f
1
o)
, « - > - » • - » • - > "
F.W + q + q m le + j u2
= ( a . n ) . u - q.n + p VR
f.
l ^ o )
ê + ~- û2
Comme
->
= ->
F = a.n ,
p Vn = qm
Ï.V = - (q + q.n) + q
et
-> ^~
u « u ,
il vient
(ê - e)
(3.67)
Comme e = e (T, p), la continuité de T et p pour le fluide
versant Z entraîne ê = e, d'où la condition aux limites
- q.n = F.V + q
tra-
(3.68)
exprimant que le flux de chaleur reçu par D est égal, d'une part, à la
puissance des forces de contact dues au glissement, d'autre part, à la
quantité de chaleur transmise par conduction à travers E.
Si £ est une paroi adiabatique
- q.n = F.V
(3.69)
toute la chaleur dissipée par frottement est reçue par le fluide.
-> ->•
Dans le cas inverse d un fluide adiabatique, q.n = 0 et
- q » F.V
(3-70>
c'est le milieu extérieur qui reçoit cette chaleur dissipée par frottement.
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- 3.38 -
3.3.2. RELATIONS DE SAUT ATTACHEES AUX LOIS DE CONSERVATION - ONDE DE
CHOC (1)
Les relations caractéristiques liant les paramètres de part et
d'autre d'une surface de discontinuité Z s'obtiennent en considérant les
équations habituelles de conservation pour un domaine D limité par là surface S et englobant la partie Z de la surface de discontinuité considérée.
La présence de cette discontinuité ne permet toutefois pas
d'appliquer directement à D le théorème de la dérivée particulaire sous sa
forme habituelle. Nous examinerons donc d'abord, dans le cas général, l'expression de cette dernière pour un domaine contenant une (ou plusieurs)
surfaces de discontinuité.
- Dérivée particulaire en présence de discontinuité de vitesse
(onde de choc., surface de glissement,, ...)
Nous pouvons appliquer aux domaines
continus Dj et D£ limités par les surfaces matérielles S [ et 82 ayant la vitesse u et la surface de discontinuité E ayant la vitesse w le
théorème général de la dérivée en suivant le
mouvement d'un domaine D,
Pour cela, nous conviendrons d'orienter E par sa normale N dirigée du milieu 2 vers
le milieu 1 et de noter |~<f] le saut cj>2 ^ <j>i de cj)
à la traversée de E en sens inverse de N.
-»•
Par ailleurs, nous noterons n la normale extérieure à la surface limitant un domaine
donné 4.
: ainsi,> pour
Dii sur la frontière Z,
_>
^
?
n = - N.
Dans ces conditions, ]e taux de variation d ' u n e quantité
I =
(j)fx.,tj
JD ^ x '
en suivant D dans son mouvement (dérivée particulaire)
s'écrira, en considérant séparément les mouvements propres de DI et D 2 où
le champ $ est régulier.
T~ =
T~ d T +
'D!
+
(j>u nd s -
'si
|£ di +
^D2
(j> }W . Nd s
'E
<f>u nds + I 4> 2 w.Nds
Js 2
(3.71)
JE
(1) Pour une information plus complote sur les discontinuités dans les
fluides, le lecteur pourra se référer au fascicule intitulé "Ondes de
discontinuité dans les fluides" (même auteur).
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- 3.39 -
c'est-à-dire en posant D = VL + D 2 et S = S A + S 2 ,
£
i di + f *u.nds + »f Tflw.Sds
dt - f |ot
uj
J
J
D
J
S
(3.72)
E
Nous voyons ainsi qu'à la dérivée particulaire d ' u n domaine D
sans discontinuité, s'ajoute une intégrale de saut prise sur la surface de
discontinuité.
Si l'on pose u = w + v, la relation (3*71) s'écrit :
f i = f -fi d l + [ «s* [ omJds
JD :
JSJ+E
JE
f
3*
f
-^ dt +
^P 2
-> •»•
/ " - > - >
(j)u.nds (j) 2 v 2 .Nds
Js 2 +E
JE
ou encore,
^ = M|i -H div 4>îjdT - f [cK[.NdS
JD
(3.73)
JE
et, en posant v.N = v
f
- |[f + * i v * î ) d i -
JD
[*vn]ds
(3.74)
JE"
Les relations ( 3 . 7 2 ) et (3.73) représentent le théorème de la dérivée particulaire en présence d'une discontinuité et nous voyons qu'à la
dérivée particulaire d ' u n domaine D sans discontinuité, s'ajoute une intégrale de saut prise sur la surface de discontinuité»
Remarques
l/ Dans la relation ( 3 . 7 2 ) , le terme de saut est indépendant du
champ des vitesses u du fluide. La dérivée —, suivant un mouvement défini
par un champ de vitesse u ' quelconque, aura donc même forme :
£r
QL - f £
dt
J
D
+
f * »'"ds
J
S
+
f &]w-Nds
J
(3.75)
E
On en déduit alors, par différence de (3.72) et ( 3 . 7 5 ) , que la
relation classique,
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- 3.40(-
dl
61
f +. + .
dT = ^ + J^v^nds
,.->->.
OU U = U
(3.76)
-»-,
+ V'
reste valable pour un domaine D comprenant des surfaces de discontinuité.
2/ Dans le cas où l'intégrale est de la forme I =
p<|) dT, on a
D
^ d ,
<j) = p<j),
où.:
[
[fi + div
*UJdT = f
' fp g
+
?;(|£
+
div
PUJ dT
<
'D1+D2l-
^Di+D2
et la conservation de la masse, qui entraîne que —• + div pu = 0 pour tout
ot
point intérieur à DI ou D2, permet d'écrire (3.74) sous la forme :
g . f p g d T - f [P^ds
(3.77)
JE
•'D
- ConseTVat'ion de la masse
Appliquons la relation (3.74) avec (j> = p, il vient :
[
J
||£ + div puldT -
D=D 1 +D 2
l dt
J
f
•£
f p vn l d s = 0
L J
Comme en tout point intérieur à D x et Do, -— + div pu = 0, 1 ' ingrale de volume est nulle et on en déduit immédiatement *
I [PVn]ds - °
E
J
d'où
I pouvant être pris arbitrairement,
fpvl = 0
(3.38)
c'est-à-dire :
Pivn
= P2.vn
ou
p ^ i = p2V2
(3.39)
V j et V 2 représentant respectivement les vitesses relatives de E par rapport à la vitesse du fluide dans D! ou D 2 .
* On peut aussi appliquer directement (3.77) en posant <j> = 1.
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- 3.41 -
Cette relation exprime la conservation du débit massique
qm f=* pvn ) à travers £.
l
J
Dans le cas particulier où q - Q, c'est-à-dire v * 0, on a une
m
n
surface de contact3 ou de glissement si le saut [v 1 de la composante tangent ielle n f est pas également nulle.
Comme exemple de telles surfaces, on peut citer celles séparant
deux fluides non miscibles ou deux parties d'un même fluide à masses volumiques différentes, les surfaces (ou lignes) de jet ou de sillage (ces deux
derniers types étant des surfaces de glissement).
- Conservation de la quantité de mouvement
Cette relation s'exprime sous la forme :
-~: f pîdT = f fdi + [ Tds
dt J
D
JD
(3.80)
Js
Le premier membre s'écrit, compte-tenu de (3.77), avec <j> = u
d f ->•,
dF pudT =
J
f
p
J
' D
du,
dï dT "
D
=
f r "** n j
[Puvn]ds '
JE
p | ^ d T - f Pv n [ulds
JD
JE
puisque, d'après l'équation de continuité pv est constant à travers la
surface de choc.
Si l'on remarque que,
J
Tds =
div a dj
J
Si+E
D1
(puisque T = a . n)
J
Tds =
div a di
S 2 +£
^D2
d'où, en ajoutant membre à membre :
J
Tds + f ((Ti(M,-N) + T2(M,+N))ds -' f div a dT
S
k
h
et, comme en tout point limite M de D! sur E, Ti(M,-N) = -T 2 (M,-fN),
vient :
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il
- 3.42 -
J
Tds +
S
J
[î]ds =
Z
J
div a di
(3.81)
D
La relation (3.80) devient alors,
P
Jt
dT
pv
~ I
JD
n [?J
ds
= I ? ds + I div o ds -
JE
JD
fjjds
JE
•'D
soit encore :
f
p
^t ~
f
~ div n d T
=
'D
1
pv
n!?]
ds
" L?L ds
(3.82)
JE
et, comme en tout point des domaines continus DI et 03,
p ~ - f - div G = 0
dt
il vient :
NPV n [uJ - [ f ] J d s = 0
JE
d'où,
en chaque point de Z, puisque le domaine D est arbitraire :
pvn£j . |f]
Si pv
(3.83)
= 0, Z est une surface de contact ou de glissement, où la
composante tangentielle de la vitesse peut subir un saut quelconque et où
ft-o.
- > - > - >
Si 1 on pose u = v + w, il vient :
pv n ft - HT]
(3.84)
~ Conservation de 1 *éneTg-ie
La méthode de calcul est la même que pour la conservation de la
quantité de mouvement. On part de la relation :
p|e + - u2jdi =
—•
JD
fqv + f.îjdT +
JD
(T.î - q.n)ds
Js
exprimant la conservation de l'énergie pour le domaine D.
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(3.85)
- 3.43 -
Compte-tenu de (3.77), le premier membre s'écrit :
+ dT
s
éf>kH<'-['*('
H
-f
FhH4
J
JD
JE'-i
D
.
Par ailleurs, en suivant un raisonnement identique à celui
conduisant à (3.81), on obtient :
(T.u - q.n)ds +
J
(T.u - q.n)ds =
J
S
div(a.u - q)di
J
Z
(3.86)
D
d ' o ù , en reportant dans (3.85) :
p
£(e * \ * 2 )-(q v +f.u+div(5 î . q ) ) . d t =
•D
J
[pvje + I î 2 ^lu%q.Nlds (3.87)
J Z ."
Or, comme en tout point des domaines continus DI et D 2 , on a :
P -j^U + y u 2
* qv + ?.u + div(â.u - q)
il vient :
rpv lef
n
i ^-? i + q.N
- > - >-- >T.u
• ->~ids4 *»
+ Y u2
0
JE
d'où l'on déduit qu'en chaque point de Z on a la relation :
rpvn(e * \ H + ^-^ "" *'"1 * °
(3 88)
'
Comme u = v + w et que pv - este à travers un choc, cette relation peut s'écrire :
pv n fe + {(? +.w) 2 } = [- q.$\ + t?.vf + [î.w] = 0
mais, d'après (3.84),
pvn[vj - a
d'où finalement la relation :
pv
n|e + 2" V |
=
1?'^ ~ 1^*^
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(3.89)
- 3.44 -
- Cas particulier du fluide parfait
C'est, en toute rigueur, le seul type de fluide admissible dans
la mesure où les lois de comportement considérées pour les fluides non parfaits lient les contraintes et les flux de chaleur aux gradients de vitesse
et de température, ce qui, pour ces fluides, exclut la possibilité de discontinuité au sens strict du terme.
Par contre, dans le cas particulier des fluides parfaits,
où,
q = 0
T = - pN
et
les relations de conservation concernant la quantité de mouvement et
l'énergie se simplifient de façon appréciable.
• lïte^ÈîÉË ^J^^^Ë^É
Comme :
T(M,N) = - p(M)N
il vient, d'après (3.84) :
pvn[y] = - fr] N .
On en déduit :
- en projection sur la normale
PV
n[Vn] * - H
(3 90)
'
c'est-à-dire
p
2 v n 2 * p ' V ni
= P2
-
Pl
- en projection sur le plan tangent à Z
kl = 0
soit
v
tx
= v
(3.91)
t2
c'est-à-dire qu'à la traversée d'une onde de choc (pv ^ 0) la composante
tangentielle de la vitesse relative est conservée.
Remarque : Si pv
= 0 , |_pj = 0, la contrainte de pression se
conserve à travers une surface de contact.
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- 3.45 -
»
5^Ë^£ÎË
La relation (3.89) se réduit à :
pV
n [ e 4 v 2 ] " (M
*
•
^
--|K]
=
- HJ pV n
c'est-à-dire :
pv Te + ~ vz + ^ = 0
n |__
2
pj
(3.92)
ou encore, en introduisant l'enthalpie totale h
relatif, il vient :
pv h =
n[" ti °
correspondant au mouvement
(3 93)
-
donc, à la traversée d'une onde de choc (pv ^ 0), l'enthalpie totale
h
P
1
9
= e + x+ ~•
v^
se conserve
[h 1 = 0
LtJ
ou bien
h
ti
=* h
t2
(3.94)
A noter que, si pv = 0 , on a une surface de contact ou de glissement et qu'à travers une telle singularité la variation d'enthalpie totale peut être quelconque.
- Fluides véels
L'existence de discontinuités n'étant concevable que pour les
fluides parfaits, ce ne sont en toute rigueur que les relations où les termes de frottement ( T . . s 0) et de transfert thermique (q. = 0 ) ont été négligés qui sont à considérer.
Toutefois, dans le cas des fluides réels où la surface de discontinuité Z est remplacée par une zone de transition de dimension finie
(voir figures ci-après), "l'épaisseur" 6 de cette zone est souvent si^ffisamment faible pour que les relations obtenues dans l'hypothèse d'une discontinuité restent valables, cela étant tout particulièrement vrai pour les
ondes de choc.
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Dans ce cas en effet, on peut considérer, dans les équations de
conservation,
J
cj)v ds comme la différence des flux <j> aux frontières E^ et
E
n
E2 de la zone de choc dont la dimension transversale ô peut être prise égale à celle que l ' o n définit habituellement comme "l'épaisseur" de l'onde de
choc, c'est-à-dire de l ' o r d r e de quelques libres parcours moléculaires
moyens. Cette d i f f é r e n c e tend vers
j(f>v j d s lorsque 6 -> 0.
Par ailleurs, en deux points pris l ' u n sur E I et l ' a u t r e sur E 2 ,
mais situés sur une même normale, à E j par exemple, les gradients de vitesse et de température, même s'ils sont d i f f é r e n t s , sont suffisamment faibles
pour que la d i f f é r e n c e des termes de. frottement et de t r a n s f e r t thermique
qui leur correspond soit négligeable, si bien que là encore on peut utiliser les relations des fluides parfaits. L'expérience confirme bien ces
hypothèses.
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