Institut de Mathématiques de Marseille 2016–2017 Projet de stage

Institut de Mathématiques de Marseille 2016–2017
Projet de stage de Master 2 Recherche
Modèles simplifiés pour la décohérence quantique par interaction avec l’environnement.
Encadré par Maxime Hauray
[email protected]
Description rapide. L’objectif de ce stage est d’étudier sur des modèles simples les problèmes complexes
posés par la décohérence quantique. Le sujet proposé fait intervenir plusieurs domaines des mathématiques :
analyse fonctionnelle,analyse des EDP,processus stochastiques et analyse des EDPS (équations aux
dérivées partielles stochastiques). Ce stage est ouvert tant aux étudiants en analyses des EDP qu’en probabilités.
La poursuite est thèse est évidemment envisageable.
Pré-requis. Indispensable : Espaces de Hilbert.
Optionnel : Avoir suivi en M2 un cours d’analyse fonctionnelle, et/ou d’introduction à la mécanique quantique
est un atout pour ce stage. Toutefois, cela n’est pas indispensable, car les modèles étudiés sont suffisamment
basiques pour que cette familiarisation se fasse au cours du stage. La connaissance des processus de Poisson
peut également être un atout.
Motivation. La décohérence quantique est une théorie qui tente d’expliquer la transition entre les règles
physiques quantiques et les règles physiques classiques telles que nous les connaissons au niveau macroscopique.
Cette théorie a été introduite par H. D. Zeh en 1970 [6] 1. Elle a reçu ses premières confirmations expérimentales
en 1996. D’autres ont suivies depuis, comme celle de l’équipe de Serge Haroche [2], qui a valu le prix Nobel à
ce dernier.
Le problème majeur est que la physique quantique admet des états superposés, absolument inconnus au niveau
macroscopique décrit par la physique classique (voir l’exemple théorique du chat de Schrödinger). Ce “paradoxe”
est très lié au paradoxe de la mesure quantique : une mesure fait en général interagir un petit système quantique
avec un grand système classique, et expérimentalement on observe toujours après une mesure un effondrement
du paquet d’onde, c-à-d la sélection instantanée d’un et d’un seul état parmi l’ensemble des états superposés
possibles. Ceci est en fait un “axiome” de la mécanique quantique, qui a été depuis longtemps débattu, car il
entre en contradiction avec l’évolution d’un système quantique selon l’équation de Schrödinger associée.
L’explication physique par l’interaction avec l’environnement. En 1970, H.D. Zeh a donné la “pre-
mière” explication de ce phénomène de décohérence [6]. D’après lui, la disparition des effets quantiques dans le
monde “macroscopique” est due à l’interaction avec l’environnement extérieur. Résumons son explication :
Pour un système quantique ouvert, on ne peut en effet plus décrire son évolution à l’ide de sa fonction d’onde ψet
de l’équation de Schrödinger. Mais en introduisant la matrice de desnité du système ρ(t, x, x0) = ψ(t, x)ψ(t, x0),
Zeh et Joos montrent dans [3] que l’évolution d’une particule quantique interagissant avec son environnement
peut-être approchée par un “équation maîtresse” ou équation de Lindblad qui s’écrit
i∂(t, X, X0) = −∆X−∆X0ρ(t, X, X0)−α|X−X0|2ρ(t, X, X0),(1)
avec α > 0. Le dernier terme −α|X−X0|2ρdécrit l’interaction de la particule quantique avec l’environnement,
et est responsable d’une atténuation des termes “hors-diagonale” de ρ, ce qui correspond exactement à une
destruction des états cohérents. Dans la Figure 1, on voit une illustration de ce phénomène obtenu à partir
de la simulation d’une équation très semblable à celle-ci : sans rentrer dans les détails, un profil d’interférence
(comme dans l’expérience des fentes de Young) de la densité ρ(t, X, X)est atténué, et ce d’autant plus que α
est grand.
1. un article oublié du physicien anglais N. Mott publié en 1929 contenaient déjà des explications similaires

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Decoherence effect, PL=−2.5*102
X
ρH(t*,X)
α=102
α=2*102
α=3*103
α=5*102
Figure 1 – L’effet de décohérence : disparition progressives des ranges d’interférences
Objectifs du stage proposé :
•En premier lieu, se familiariser suffisamment avec le formalisme de la mécanique quantique si besoin :
fonction d’onde, équation de Schrödinger, matrice de densité [7], et avec le formalisme mathématique
associé : théorie spectrale sur les espaces de Hilbert [4], [5].
•Le second objectif est d’étudier le modèle d’interaction (avec l’environnement) basique introduit dans [1].
•Le troisième objectif est d’étendre le modèle d’interaction à un environnement complexe. On considérera
cette environnement aléatoire et on modélisera ses interactions avec un particule quantique à l’aide d’un
processus de Poisson. Enfin, à l’aide d’outils d’analyse stochastique on décrira ces interactions au travers
d’une EDPS (équation de Linblad stochastique).
Références
[1] R. Adami, M. Haurau & C. Negulescu De coherence for a heavy particle interacting with a light one :
new analysis and numerics arXiv :1310.7199 (2013).
[2] S. Haroche & all Progressive field-state collapse and quantum non-demolition photon counting. Nature
448 889–893.
[3] E. Joos and H.D. Zeh The emergence of classical properties through interaction with the environment.
Z. Phys. B - Condensed Matter 59, (1985) 223–243.
[4] M. Reed and B. Simon Methods of modern mathematical physics. I. Functional analysis. Academic
Press, New York-London xv+400 p.
[5] M. Reed and B. Simon Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis. Academic Press,
New York-London xv+361 p.
[6] H.D. Zeh On the Interpretation of Measurement in Quantum Theory. Foundations of Physics 1 (1970)
no. 1, 69–76.
[7] A. Messiah Mécanique quantique, Tome I Ed. Dunod.
2