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Thermodynamique et élasticité Chapitre 7 QCM en ligne du 17 décembre au 6 janvier http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/Manuel.Joffre/qcm/ 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 1 Rappel de l’objectif : Histoire locale des déformations de la température Histoire locale des contraintes Identifier lois de comportement (spécifique matériau, échelle du point matériel) 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 2 Etude des comportements Deux approches complémentaires • Phénoménologique à partir d’expériences à échelle macroscopique (ou micronique). • Inductive à partir d’une description et d’une modélisation à échelle « particulaire » 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 3 Des fonctions de distribution aux contraintes : le cas des gaz parfaits (rappel) n Calcul du vecteur contrainte par - bilan du nombre de particules rentrantes par facette - à partir de la distribution locale n(v,x,t) en vitesse et position σ = −∫v m n(v, x, t )v ⊗ vdEv 17/12/2014 ∂ Ω '(t ) da Ω '(t ) = − p1, p = p(ρ , T ) Amphi 6 thermodynamique et élasticité 4 Des fonctions de distribution aux contraintes - Description assez fine du matériau - S’adapte à des situations hors équilibre - Limites et lourdeur de mise en oeuvre 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 5 De l’énergie interne au tenseur des contraintes Variante possible : construction directe d’une relation entre tenseur des contraintes et énergie interne par principes de la thermodynamique + hypothèses de comportement sur l’énergie (choix de la forme et des variables impliquées) 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 6 Thermodynamique et élasticité Lois de comportement Inégalité de Clausius Duhem Le comportement élastique Invariances et symétries matérielles Elasticité isotrope 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 7 Théorème énergie cinétique Equation mouvement multipliée par vitesse et intégrée dU ∫Ω ′ ρ dt ⋅ U d Ω = ∫ Ω′ ( ρ F + div σ ) ⋅ U d Ω Intégration par parties dU ∫Ω ′ ρ dt ⋅ U d Ω = d dt ∫ 1 Ω′ 2 ρU 2 dΩ = ∫ Ω′ ρ F ⋅ U d Ω + ∫ ′ U ⋅ σ ⋅ n da − ∫ ′ σ : d d Ω ∂Ω Ω P ′ (U ) : = P ′ (U ) (e) Variation d’énergie cinétique 17/12/2014 ( ) t ∂U ∫Ω ′ ( F ⋅ U + div (U ⋅ σ )) d Ω − ∫Ω ′ σ : ∂ x d Ω = Puissance fournie par efforts extérieurs Amphi 6 thermodynamique et élasticité (i) + Puissance fournie par efforts intérieurs 8 Puissance des efforts intérieurs et variations d’énergie d dt Thm énergie cinétique Premier principe : d dt ∫ ( 1 Ω′ 2 ∫ ( 1 Ω′ 2 ρ U 2 ) d Ω = P ( ′e ) (U ) + P ( ′i ) (U ) ρU + ρe ) dΩ = 2 P ′ (U ) + Q ′ O (e) Taux de chaleur Par soustraction − ∫ ρe&dΩ Ω′ « Perte » énergie interne 17/12/2014 O + Q′ = P ′ (U ), ∀Ω′ Chaleur reçue Amphi 6 thermodynamique et élasticité (i) Puissance fournie par efforts intérieurs 9 Inégalité de Clausius Duhem (T loc. uniforme) − ∫ ρ e&d Ω + Q ′ − P (′i ) (U ) = 0, ∀ Ω ′ O Relation de base Ω′ O avec second principe (si T loc. uniforme) Q′ ≤ ∫ ρT s& dΩ Ω′ et introduction de l’énergie libre massique ψ := e − Ts (énergie interne spécifique– température x entropie spécifique) ′ −&d∫Ω( =ρ e&−−∫ ρ(Tρs&e&) d−Ωρ T≥s&P (U ) ( ′i ) (U ) ⇒ − ∫ ρψ ) d Ω ≥ P ( i ) ′ Ω′ Ω Ω′ Clausius Duhem Amphi 6 thermodynamique et Perte d’énergie libre supérieure 17/12/2014 élasticitéà puissance efforts intérieurs 10 Inégalité de Clausius Duhem (T loc. uniforme) − ∫ ρ ψ&d Ω ≥ P ( ′i ) (U ) avec ψ := e − Ts Ω′ Puissance lagrangienne des efforts intérieurs P ′ (U ) = −∫ σ : d (i ) Ω′ dΩ = −∫ Ω '0 (J F − 1 . σ . t F − 1 ) : e& dΩ := tenseur de contraintes de Piola ⇒ −∫ Ω '0 S ρ 0ψ& d Ω 0 ≥ − ∫ Ω '0 0 Variation tenseur déformations Greene Lagrange S : e& d Ω 0 , ∀ Ω '0 Clausius Duhem (en lagrangien) 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 11 Thermodynamique et élasticité Lois de comportement Inégalité de Clausius Duhem Le comportement élastique Invariances et symétries matérielles Elasticité isotrope 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 12 Le comportement élastique par rapport à une configuration de référence Définition: variations énergie ou entropie depuis référence et contraintes ne dépendent que des déformations et de la température actuelles. Valeurs actuelles des déformations de la température Valeurs actuelles des contraintes et de l’énergie libre LOI de COMPORTEMENT 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 13 Élasticité : lien énergie contraintes Clausius Duhem (temp. uniforme): Perte d’énergie libre supérieure à puissance efforts intérieurs ∫ Ω '0 ( − ρ 0ψ& + S : e& ) d Ω 0 ≥ 0 , ∀ Ω '0 Énergie libre (énergie mobilisable mécaniquement) ψ = e − Ts Tenseur des contraintes de Piola S : = J F −1 . σ . t F − 1 Si élastique ψ = ψ ( e , T ) et isotherme − ρ 0 ψ& = ∂ψ : e& ∂e ∂ψ : e& + S : e& ≥ 0 ∂e À vérifier pour toute variation réalisable de e& 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 14 Loi de comportement élastique Cas sans liaison cinématique Toutes les variations de e& sont réalisables ⇒ − ρ ∂ψ + S : e& ≥ 0 , 0 ∂e ∂ψ ⇒ S ( X , T , e) = ρ 0 ( X , T , e) ∀ e& ∂e Loi générale du cas sans liaison 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 15 Loi de comportement élastique Cas avec liaison cinématique ϕ ( e ) = 0 (§10.3.3) ∂ϕ ∂e e ϕ ( e ) = 0. Seules les variations de e& sur la tangente sont réalisables (orthogonales à ∂ ϕ ) ∂e 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 16 Loi de comportement élastique Cas avec liaison cinématique ϕ ( e ) = 0 . D’après Clausius-Duhem Non contrôlée ∂ϕ (e) ∂ψ + S 0, S( X ,T, e) − ρ0 ( X ,T, e) = η ∂e ∂e nul Multiplicateur de LAGRANGE de la liaison interne ϕ ( e ) = 0 (η inconnu) 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 17 Loi de comportement élastique Cas sans liaison cinématique ∂ψ S( X ,T, e) = ρ0 ( X ,T, e) ∂e Cas avec liaison cinématique ∂ϕ( X , e) ∂ψ ⇒ S( X ,T, e) = ρ0 ( X ,T, e) +η(x) , ϕ( X , e) = 0 ∂e ∂e 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 18 Construction d’une loi élastique -Trouver les formes générales d’énergie libre compatibles avec la microstructure observée et vérifiant invariances et symétries matérielles -Obtenir la loi par dérivation par rapport à e après prise en compte liaisons cinématiques -Identifier les coefficients par expérience (21 pour une énergie quadratique fonction du tenseur symétrique e ) 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 19 Thermodynamique et élasticité Lois de comportement Inégalité de Clausius Duhem Le comportement élastique Invariances et symétries matérielles Elasticité isotrope 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 20 Les conditions théoriques Deux grands principes à respecter par toute loi de comportement - invariance par changt observateur automatique pour une loi S( X ,T, e) - respect des symétries matérielles à échelle du point matériel 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 21 Symétries matérielles (configuration de référence) Définition Symétries qui laissent invariantes la microstructure du matériau à l’échelle dM du point matériel Exemple Energie libre doit être invariante après symétrie 17/12/2014 Symétries d’un cristal cubique - symétries par rapport aux faces - rotations d’une arête vers l’autre Amphi 6 thermodynamique et élasticité 22 Thermodynamique et élasticité Lois de comportement Inégalité de Clausius Duhem Le comportement élastique Invariances et symétries matérielles Elasticité isotrope 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 23 Cas limite : matériau isotrope Définition Matériau dont la structure est invariante par rotation (à échelle du point matériel) Conséquence pour un matériau élastique isotrope L’énergie libre est invariante par rotation R (F → F ⋅ R) ψ ( X ,T, e) =ψ ( X ,T, R . e . R), ∀R t donc par changement des directions propres de e Théorème : l’énergie libre d’un matériau élastique isotrope est une fonction symétrique des valeurs propres de e, autrement dit n’est fonction que de ses invariants Tr e, Tre2, det( 1 + 2e). 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 24 Isotropie quadratique Cadre Matériau isotrope en petites déformations et échauffements donc à énergie libre quadratique en e et (T − T0 ) Conséquence L’énergie libre ne dépendant que des invariants de e doit être linéaire 2 en Tr e = e : e = eijeji = eijeij et quadratique en Tr e = eii et (T −T0 ) λ ρ0ψ = µ Tr e + (Tre) −3Kα(T −T0 )Tr e − p0Tr e + ρ0eT (T) 2 2 2 Seul choix possible 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 25 Comportement quadratique isotrope (autour configuration de référence utilisée) λ 2 ρ0ψ = µ Tr e + (Tre)2 −3Kα(T −T0 )Tr e − p0Tr e + ρ0eT (T) 2 Loi de comportement par différentiation ∂ψ ∂ψ − 1 t − 1 − 1 t − 1 JJFF . .σσ. . FF ==SS==ρρ = λ (Tr e) 1 + 2µ e − ( p0 + 3Kα (T − T0 )) 1 0 0 ∂e∂ e λ,µ = coefficients Lamé (en MPa) , (µ mesure résistance au cisaillement) K= (λ+2µ/3) = module de compressibilité α coefficient de dilatation thermique (en °K-1) p0 pression initiale (nulle si état « naturel ») 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 26 Comportement quadratique isotrope traction simple isotherme non précontraint 1 +ν ν S = λ (Tr e) 1 + 2µ e ⇔ e = S − (Tr S ) 1 E E Traction simple (sur un axe du cristal) S = S11 e1 ⊗ e1 1 e11 = S11 E Linéarité 1 S11 = J F = F S 1 + 2e11 S0 −ν e22 = S11 Effet Poisson E Compression transverse 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité E ≈ 100 GPa 1 1 + 2e11 e11 0,005 27 Effet Poisson 17/12/2014 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 28 Elasticité isotrope incompressible: les élastomères Énergie libre e = e(T ), s = n( X )kB Tr e, ψ = e(T ) − n( X )kBT Tr e Liaison interne d’incompressibilité ϕ ( e ) = J - 1 = det F − 1 = det (1 + 2 e ) − 1 Contraintes de Piola ∂ϕ (e) ∂ψ = ρ0 n( X )kBT 1 +η J (1 + 2e)−1 +η S = ρ0 ∂e ∂e Contraintes de Cauchy (en posant p=-η) 1 σ= F J 17/12/2014 .S. t F = ρ n( X )kBT F . F − p 1 Amphi 6 thermodynamique et élasticité t 29 Conclusion Un mode de construction de lois élastiques ϕ (e) = 0 1) Identification des liaisons cinématiques 2) Construction de l’énergie libre respectant microstructure, symétries matérielles et comportement observé 3) Ecriture de la loi élastique ∂ϕ (e) ∂ψ S ( X ,T , e) = ρ 0 ( X ,T , e) + η , ∂e ∂e 4) Identification des coefficients et validation sur expérience Deux exemples de base à s’approprier 1) 2) Loi linéaire pour matériaux isotropes en petites déformations 23/11/2011 Amphi 12 Loi néo Hookienne pour élastomères incompressibles élasticité macroscopique 30 17/12/14 Amphi 6 thermodynamique et élasticité 31
