PC 13/14 TD EQUATIONS DE MAXWELL Exercice 1 : Comparaison des courants de conduction et de déplacement On considère un milieu de conductivité γ pour lequel le courant de conduction j est lié à E par j = γ E . On se place en régime sinusoïdal de pulsation ω. € 1.€Exprimer le rapport α = j ∂E ε0 ∂t € des amplitudes du courant de conduction sur le courant de déplacement. 2. Pour f = 1,0 MHz, exprimer numériquement ce rapport, dans les différents cas suivants : € a) pour le cuivre (γ = 6,0.107 Ω-1.m-1) b) pour un sol argileux (γ ≈ 10-4 Ω-1.m-1) c) pour du verre (γ ≈ 10-6 Ω-1.m-1). Exercice 2 : Bilan énergétique pour un fil ohmique Un fil conducteur ohmique homogène de conductivité γ, assimile un cylindre d’axe (Oz) et de rayon a, est soumis a un champ uniforme et permanent E = E 0 ez . Le vecteur densité de courant dans le fil est j , uniforme. 1. Exprimer la résistance d’une portion de hauteur h de ce fil ainsi que l’intensité du € courant I traversant une section droite. € 2. Déterminer le champ électrique en fonction de I, γ et a. 3. Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans une portion de hauteur h du fil. Montrer qu’on retrouve la puissance Joule dans un conducteur ohmique. 4. Déterminer le champ magnétique engendré par les courants à l’intérieur du cylindre. 5. Déterminer le vecteur de Poynting Π en un point de la surface latérale. 6. En déduire l’expression du flux de Π travers un cylindre d’axe (Oz), de hauteur h et de rayon a. Quelle interprétation peut-on donner de ce résultat ? Que dire de l’énergie électromagnétique€du conducteur ? € PC 13/14 TD EQUATIONS DE MAXWELL Exercice 3 : Plaque de cuivre en régime permanent Soit un repère orthonormé direct (O,ex ,ey ,ez ) et deux plans P et P′ parallèles au plan a a (Oxy) et de cotes respectives suivant zz′ égales à + et − . Ces plans délimitent une 2 2 plaque de cuivre homogène, d’épaisseur a, de perméabilité µ0, de permittivité ε0 et de € conductivité γ. € € Une densité volumique de courant continu et constant j = jex (j > 0) parcourt ce conducteur de dimension infinie suivant ex et ey . La densité superficielle de courant est nulle. € 1. Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ magnétique € € point M quelconque (intérieur ou extérieur de B( M ) créé par cette distribution en un la plaque). On ne se contentera pas de vagues références à la symétrie, mais on s’attachera à construire une véritable démonstration. € 2. Déterminer directement B( M ) en utilisant les équations de Maxwell (à partir des composantes du rotationnel). 3. Calculer la densité volumique de puissance dissipée dans la plaque. Retrouver le résultat à l’aide du€vecteur de Poynting. A.N. : j = 1,0 A.mm−2 ; γ = 6,2.107 S.m−1. Exercice 4 : Plaque de cuivre en régime variable Cet exercice est la suite du précédent et la densité de courant précédente est supprimée. 1. Une source de champ magnétique uniforme et constant est placée au-dessus de P. La présence de la plaque modifie-t-elle le champ magnétique ? 2. La plaque est maintenant plongée dans un champ uniforme mais alternatif B(t) = B0 cos(ωt)ex (B0 et ω constants). On supposera la fréquence suffisamment basse pour que le champ magnétique reste approximativement uniforme dans tout le conducteur. € (a) Montrer que l’existence du champ magnétique variable dans le temps implique l’apparition d’un champ électrique E(t) et, dans la plaque, d’un courant induit de densité j(t) . (b) Par des arguments de symétrie, qu’on s’attachera, ici encore, à rendre aussi € précis que possible, montrer que E est parallèle à ey avec E(−z) = −E(z) € (c) Par le calcul de la circulation de E sur un contour convenablement choisi, déterminer E( M, t) . € € € € € PC 13/14 TD EQUATIONS DE MAXWELL Donner la densité de courant j( M, t) correspondante et tracer le graphique de l’amplitude de cette densité en fonction de z. 3. On considère une portion de la plaque limitée par un cylindre de génératrices € a parallèles à Oz et dont les bases, situées dans les deux plans z = ± ont pour aire S. 2 On note τ = Sa le volume de cette portion de plaque. Calculer la puissante p(τ) dissipée en moyenne, sur une période, par effet Joule dans le volume τ et la puissance p(τ ) volumique moyenne ˜p = € τ € Exprimer ˜p en fonction de γ, ω, a et B0. A.N.: a = 5,0cm ; ω = 100π rad.s−1; B =1,0T ; γ = 6,2.107 S.m−1 € € Exercice 5 : Condensateur en régime variable On considère un condensateur en régime sinusoïdal permanent dont les armatures sont deux disques de rayon a, distants de e, d’axe (Oz). Ce condensateur est relié a un générateur de tension sinusoïdale : les armatures portent une densité de charges ± σ. On fait l’hypothèse simplificatrice que le champ électrique est uniforme (par morceaux) : σ(t) e = E 0 cos ωtez ε0 z - E( M, t) = 0 - E( M, t) = à l’intérieur du condensateur à l’extérieur 1. Commenter l’expression du champ électrique. Que traduit l’hypothèse € simplificatrice dont il est fait mention plus haut ? € 2. Que dire de la densité de courant électrique entre les 2 armatures ? 3. Appliquer le théorème d’Ampère généralisé aux surfaces S1 et S2 et s’appuyant toutes les deux sur le contour Γ. En déduire que le courant i(t) vérifie la relation i(t) = −ε 0 S2 E 0ω sin ωt . € Expliquer alors qu’un condensateur « laisse passer le courant » en régime variable et qu’il se comporte comme un interrupteur ouvert en régime stationnaire (lorsqu’il est chargé). 4. Que pouvez-vous dire du champ magnétique dans le condensateur à partir de considérations de symétrie ? Calculer le champ magnétique en tout point dans le condensateur. Donnée : utiliser le rotationnel en coordonnées cylindriques (voir formulaire) PC 13/14 TD EQUATIONS DE MAXWELL Exercice 6 : Champ électromagnétique On considère le champ électrique suivant, régnant dans une partie de l’espace vide de charge et de courant : E( M, t) = E 0 cos(ωt + kz)ex + E 0 sin(ωt + kz)ey , avec k = ω µ0ε 0 1. Donner la signification physique de cette écriture. 2. € avec l’expression fournie. € Vérifier que la dimension de µ0ε 0 est bien compatible Effectuer l’application numérique. 3. Vérifier la compatibilité de cette expression avec les lois de Maxwell. € magnétique associé. 4. Déterminer le champ 5. Déterminer le vecteur de Poynting de ce champ électromagnétique. Exercice 7 : Câble coaxial Un câble coaxial est constitué de deux cylindres métalliques d’axe Oz, de rayons a et b > a. La couronne cylindrique située entre ces deux conducteurs a les propriétés électromagnétiques du vide. Elle est le siège de champs électriques et magnétiques tels que (en coordonnée cylindrique d’axe Oz) : E( M, t) = E(r)cos(ωt − kz)e r et B( M, t) = B0 (r)cos(ωt − kz) On admet que les champs E( M, t) et B( M, t) sont nuls pour r < a et r > b. 1. € Déterminer E(r). On posera E a =€lim+ E(r) r→ a 2. Déterminer B0€ (r) . On donne € rot( λ a) = λ rota + (gradλ ) ∧ a et rot( f (r)er ) = 0 e 3. Quelle est la relation entre k et ω? On donne rot( θ ) = 0 . r € € surfaciques de charges σa et € € 4. Déterminer les densités σb et de courant j S, a et j S, b sur les armatures cylindriques (en r = a et r = b). € Vérifier que l’équation de conservation de la charge sur les armatures est bien compatible avec les expressions trouvées. € € a r 5. Vérifier que A = − ln E a cos(ωt − kz)e z est un potentiel vecteur possible. En c b déduire le potentiel scalaire qui sera pris nul en tout point du conducteur extérieur. 6. Soit U(z,t) = V(a,z,t) le potentiel du conducteur intérieur à l’abscisse z à l’instant t et I(z,t)€l’intensité du courant électrique porté par ce même conducteur. U(z, t) est indépendant de z et de t. Donner son expression et son I(z, t) interprétation physique. Montrer que Z = 7. Déterminer le vecteur de Poynting puis la puissance moyenne qui traverse une section € droite du câble. Montrer qu’elle s’exprime simplement en fonction de Z.