Analyse harmonique et synthèse d`un signal périodique

Analyse harmonique et synthèse
d'un signal périodique
Introduction
L'analyse spectrale des signaux temporels est basée sur la transformation mathématique de Fourier qui, à
une fonction temporelle f(t) associe une fonction fréquentielle F(ω) appelée spectre du signal f(t); cette
transformation admet 2 formulations:
transformation directe
F(ω) = F f(t)
[ ]
= f(t)
− ∞
+∞
∫ e-jωt dt
transformation inverse
f(t) = F-1 F(ω)
[ ]
= F(ω) e jωt dω
-∞
+∞
∫
la transformation de Fourier est entièrement symétrique et réciproque; de ce fait on peut aussi bien la
définir par ejωt pour la transformation directe et e-jωt pour la transformation inverse.
L'analyse de Fourier montre de plus, que pour les signaux périodiques de période T, le spectre F(ω)
n'est pas une fonction continue de ω mais un spectre de raies correspondant à des fréquences bien
particulières, puisqu'il s'agit de multiples entiers de la pulsation fondamentale ω0!= 2π / T
Le théorème de Fourier stipule donc que tout signal périodique de période T = 1 / f est décomposable en
série harmonique appelée série de Fourier, de la forme:
f(t) = Ao + An cos nωt
n=1
∞
∑ + Bn sin nωt
n=1
∞
∑
Les 3 formules ci-dessous donnent les valeurs des coefficients A0, An et Bn de la série ci-dessus:
A0 = 1
T f(t) dt
θ−T
θ+T
∫
An = 2
T f(t ) cos nω0t dt
θ−T
θ+T
∫
Bn = 2
T f(t) sin nω0t dt
θ−T
θ+T
∫
1) analyse de signaux périodiques simples
enregistrer avec un dispositif d'EXAO (ESAO+Généris, ORPHY+Regressi, etc.) un signal
sinusoïdal, triangulaire et rectangulaire délivré par un GBF
à l'aide d'un logiciel d'analyse harmonique de Fourier (Regressi Windows par exemple) afficher le
spectre de chaque signal;
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remarque: on peut faire l'acquisition avec ESAO+Généris et faire l'analyse du spectre avec Regressi;
pour celà, dans Généris faire apparaître le tableau de mesure et Copier (Ctrl-C) dans le presse-
papier; puis immédiatement dans Regressi faire Fichier Nouveau Presse-Papier; la courbe de
mesure apparaît sur l'écran graphique; il suffit d'appuyer sur le bouton Spectre
on constate:
- sinus: une seule raie de fréquence égale à la fréquence de la sinusoïde
- triangle: plusieurs raies décroissantes d'amplitude 1/n2 (pas de raie pour n pair)
- rectangle: plusieurs raies décroissantes d'amplitude 1/n (pas de raie pour n pair)
on déduit que:
1) une raie spectrale correspond à une sinusoïde
2) un signal non sinusoïdal est la somme de plusieurs sinusoïde (décomposition d'une fonction
périodique en série harmonique)
2) synthèse de signaux périodiques simples
à l'aide d'un synthétiseur de Fourier matériel ou logiciel, synthétiser un signal ayant la même
composition harmonique que le Rectangle; observer el résultat et expliquer pourquoi le signal obtenu
n'est pas une copie conforme
3) analyse et synthése de signaux périodiques complexes
- à l'aide du dispositif d'EXAO enregistrer et analyser le spectre de sons divers issus d'un
microphone, d'un orgue électronique, etc.
- écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons ayant la même note mais des spectres
différents; un son métallique est caractérisé par une richesse en harmoniques de rangs élévés, de
même qu'un son contenant des sifflements;
- reconstituer ces sons sur le synthétiseur de Fourier
4) cryptage du signal (son) par inversion ou translation du spectre
nous allons étudier comment réaliser le cryptage d'un signal sonore (ex: Canal +) en réalisant la
translation ou l'inversion de son spectre de fréquences.
nous utiliseropns pour faire cette expérience 2 multiplieurs analogiques, ou la platine modulateur-
démodulateur AM; dans tous les cas, l'entrée (Z) sommatrice du multiplieur devra être mise à zéro
afin de ne pas réaliser une modulation d'amplitude.
le signal utile (son) est appliqué à l'entrée (X) du premier multiplieur, l'entrée (Y) recevant la
"porteuse" de translation de fréquence fT.
on disposera d'une source de son (lecteur CD, walkman, récepteur radio muni d'une sortie (jack) pour
écouteurs) pour obtenir le signal utile, et d'un amplificateur sonore muni d'un haut-parleur afin
d'écouter le résultat simultanément avec l'observation du spectre.
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Alimentations
G1
G2
P
Y2
- 15V + 15V
XSortie
Y
ZMasse
x
Platine modulateur-démodulateur
X
Y
➩
➩
Y1
C
X
➩
➩
- 15V + 15V
XSortie
Y
ZMasse
x
1. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence nulle (tension continue):
- observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du
signal d'entrée.
2. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence très basse et progressivement croissante:
- observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du
signal d'entrée.
- écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons à l'entrée et à la sortie du multiplieur;
3. appliquer à l'entrée (Y) un signal translateur de fréquence fT = 20 kHz:
- observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du multiplieur et les comparer à ceux du
signal d'entrée.
- écouter sur haut-parleur la différence de tonalité de deux sons à l'entrée et à la sortie du multiplieur;
- afin de supprimer la partie supérieure du spectre ( > fT = 20 kHz) nous plaçons à la sortie du
multiplieur un filtre passe-bas (circuit RC) de fréquence de coupure fC = 15 kHz
- observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du filtre et écouter le résultat sonore
- interpréter la notion d'inversion du spectre sonore et sa conséquence acoustique
4. appliquer le signal obtenu à la sortie du filtre RC à l'entrée (X) du second multiplieur:
- observer le chronogramme et le spectre du signal de sortie du second multiplieur et les comparer à
ceux du signal d'entrée; faut-il placer à cette sortie un filtre, et quelle doit être sa fréquence de
coupure ?
- écouter sur haut-parleur le son à la sortie du second multiplieur avec et sans filtre; conclure.
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