Chapitre 7 : Les circuits à courant continu

Solutionnaire Physique 1, Électricité et Magnétisme, Harris Benson
Solutionnaire rédigé par Maxime Verreault, professeur
CHAPITRE 7
LES CIRCUITS À COURANT CONTINU
7R1
FAUX. Le courant est le même en tout point du circuit.
7R3
Comme on ignore le potentiel de la pile et la valeur de sa résistance interne, on ne peut faire de calcul pour
répondre à la question. La résistance diminue, et le courant augmentera donc, mais on ne peut dire si le produit
des deux valeurs augmente ou diminue (cela dépend entre autres de la valeur de la résistance interne de la pile).
On doit raisonner autrement
Si on réduit la résistance variable, le courant dans le circuit augmentera. Ce même courant augmentera donc
aussi dans la résistance interne de la pile, et la différence de potentiel de celle-ci augmentera. Pour une même
source interne, si le potentiel augmente aux bornes de rint, alors le potentiel extérieur de la pile diminuera donc
(et ainsi qu aux bornes de la résistance extérieure).
7R5
i) FAUX. Le courant sera plus élevé dans la résistance la plus faible, étant un chemin plus facile pour le
courant.
ii) VRAI. Les deux résistances sont connectées d un côté et de l autre aux deux mêmes points du circuit, donc
leurs différences de potentiel sont en tout temps identiques.
7R7a)
AMPÈREMÈTRE. Dans la position illustrée, le multimètre peut être traversé par le courant qui circule dans R3.
S il est en mode voltmètre, le courant ne peut circuler à travers lui et donc ne pourrait circuler dans R3 non plus.
En mode ohmmètre, il ne donnerait aucune lecture fiable, puisqu on ne peut faire de mesure de résistance quand
une pile se trouve dans le circuit.
7R14
Le régime permanent désigne l état où le circuit fonctionne dans des conditions constantes. Pour un tel circuit, ça
signifie donc que le courant de chaque branche et la charge des condensateurs atteignent leurs valeurs constantes
après s être « ajusté » au moment du branchement. Au moment de l établissement du courant (le branchement du
circuit), le courant augmente subitement, et les condensateurs se chargent. Lorsqu un condensateur a atteint sa
charge maximale après un certain temps, le courant dans sa branche devient nul (puisque les armatures ne
peuvent accueillir aucune charge supplémentaire) et demeurera ainsi de façon permanente dès cet instant.
a) La résistance R1 est branchée directement à la source, donc est exposée systématiquement à un potentiel de
10 V. Dans l autre branche, puisque le courant est nul (le condensateur étant complètement chargé), la résistance
R2 ne présentera aucune différence de potentiel (V = RI = 0). C est donc le condensateur qui affichera la
différence de potentiel égale à dans cette branche.
b) Le condensateur se trouvant sur la même branche que la source, lorsqu il sera plein il empêchera tout courant
de circuler. Ainsi, les résistances présenteront toutes les deux une chute de potentiel nulle, et le condensateur
chargé supportera la chute de potentiel entière .
7Q6
Non. Même si le potentiel est de 12 V, des piles plus petites ne peuvent fournir un courant aussi grand qu une
batterie d auto. Selon le modèle de la résistance interne, le groupe de piles D possède une résistance interne
beaucoup plus grande.
7Q10
La résistance interne d une pile a pour effet de faire varier le potentiel externe d une pile réelle selon le courant
qu elle fournit. Ainsi, en mesurant le potentiel de la pile à courant nul ainsi qu à une valeur de courant non-nulle
(mesurée), on peut attribuer la chute de potentiel de la pile à la résistance interne dont v rI . La variation de
potentiel de la pile, divisé par le courant, donnera directement la valeur de la résistance interne : r
V0
VI
I
7Q11
a)
, la résistance sera directement exposée à la source de potentiel.
V
b) Si S1 est ouvert, aucun courant ne peut circuler (la source étant isolée ou dans un cul de sac). Sans courant, le
potentiel aux bornes de la résistance sera nul. L interrupteur S1, de part et d autre, est relié directement à la
source, donc son potentiel sera celui de la source .
c) La résistance est court-circuitée via l interrupteur S2, son potentiel sera donc nul. De façon paradoxale, par
contre, S2 est aussi directement branché à la source idéale, donc un potentiel égal à aux bornes de R et de S2.
On trouvera en réalité une différence de potentiel qui dépend des propriétés du fil et de la résistance R.
d) Les interrupteurs étant ouverts, aucun courant ne circulera nulle part. R et S2 étant sur une branche du circuit,
on n y mesurera aucun potentiel.
S1, par contre, communique avec les deux côtés de la source, via la résistance. On y mesurera donc un potentiel
égal à celui de la source.
7Q14
a) Le condensateur s étant chargé au complet, il ne laisse plus passer aucun courant. R2, sans courant, présente
donc un potentiel nul, alors que R1 est encore exposé à la source et à un potentiel de 10 V.
Le condensateur, chargé en entier, a atteint le potentiel maximal, celui de la source, 10 V.
b) Le condensateur étant à nouveau chargé, il ne laisse plus passer aucun courant. Aucun courant ne peut donc
passer non plus à travers les résistances, qui montreront toutes deux un potentiel nul.
Le condensateur supportera donc toute la chute de potentiel du circuit, de 10 V (en accord avec sa charge
maximale).
7E2
Une batterie d automobile est une pile réelle avec une résistance interne. Si le potentiel est de 12,4 V lorsqu il
n y a aucun courant, ça signifie que la source de cette pile est de 12,4 V (la chute de potentiel de r étant nulle).
Avec un courant de 80 A, la chute de potentiel de r provoquera une baisse du potentiel extérieur de la pile :
V
rI
r
V
I
12,4 V 11,2 V
80 A
0,015
7E4
On donne deux scénarios impliquant une et deux résistances. On peut voir la première résistance (présente dans
les deux cas) comme celle qui accompagne la source idéale d une pile réelle. On peut donc utiliser l équation
d une pile réelle pour analyser ces circuits (équivalent à l application des lois de Kirchhoff vues à la section 7.4).
et r seulement :
V
rI
où V est le potentiel extérieur de la « pile réelle », et comme celle-ci est court-circuitée, ce potentiel
rI 1 .
sera nul. Donc : 0
rI , et finalement
Avec R ajoutée :
V
rI
où V sera également le potentiel appliqué à la résistance R, donc égal à RI, d où RI 2
Les deux inconnues dans les deux équations encadrées sont
RI 2
rI 2
rI 1
car
et
rI 1
6
RI 2
rI 2
r I1
et r :
r
I2
rI1
8A
rI 2 .
RI 2
I1 I 2
2 6A
8 A-6 A
6
48 V
7E5
L information de la puissance fournie à la résistance externe nous permet de connaître le courant qui la traverse
ainsi que le potentiel à ses bornes :
50 W
4
P
RI 2
I
P
R
P
V2
R
V
PR
3,54 A
50 W 4
14,1 V
a) Le potentiel trouvé aux bornes de la résistance est à la fois celui de la pile réelle, puisque celle-ci est
directement reliée à la résistance. On peut donc utiliser l équation de la pile réelle pour déterminer la résistance
interne :
V
rI
r
V
I
- PR
R
P
P
R
R 16 V
4
50 W
4
0,525
b) On peut réutiliser l équation développée en a) pour trouver la valeur de R solution de la puissance désirée :
R
P
r
Ainsi : 1
R
R.
2
P
Il s agit d une équation du second degré si on considère comme inconnue
R
r
0
et avec les valeurs connues :
1 x 2 1,6 x 0,525
R.
0 . Il y a donc deux
solutions possibles :
x
1,6
1,6
2
21
4 1 0,525
0,8 0,338
x1
x2
0,462
1,138
R1
x12
0,213
R2
x 22
1,30
7E6
a) La puissance dissipée en chaleur dans une pile réelle en recharge est donnée par la puissance dans sa
résistance internet. On doit donc d abord déterminer le courant qui la traverse.
Si c est une source idéale qui la recharge, on peut donc savoir que le potentiel aux bornes de la pile réelle est
celui de la source idéale, soit 14,2 V. Donc :
V
I
rI
V
r
12,4 V 14,2 V
0,05
36 A
Le courant négatif est cohérent avec le fait qu en charge, une pile réelle reçoit un courant inversé par rapport au
sens conventionnel.
La résistance interne est soumise à un courant de 36 ampères. La puissance qu elle dissipe en chaleur est donc :
P
rI 2
0,05
36 A
2
64,8 W
b) Toute la puissance fournie par la source idéale est partagée dans la chaleur produite (trouvée en a) ) et
l énergie chimique accumulée par la source en recharge. On pourrait donc trouver la puissance fournie par la
source idéale ( P VI ), mais on peut aussi appliquer directement cette équation à la source rechargée, puisqu on
connaît le courant qui la traverse (à l envers) :
P VI
12,4 V 36 A
446,4 W
7E9
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E11
En prenant chacune des résistances isolement, on a déjà 3 valeurs possibles : 2 , 3
et 4 .
Avec des assemblages de deux résistances (en série ou en parallèle), on a potentiellement encore 6 valeurs :
Série :
Parallèle :
R 23
R2
R3
2
3
5
R 24
R2
R4
2
4
6
R34
R3
R4
3
4
7
R 23
R 24
R34
1
1
R2
1
1
R3
1
2
1
R4
1
2
1
R4
1
3
1
1
R2
1
1
1
R3
1,2
1
3
1, 33
1
4
1
1,71
1
4
On peut aussi utiliser les trois résistances en série ou en parallèle, pour 2 valeurs supplémentaires :
Série :
R 234
Parallèle :
R 234
R2
1
R2
R3
1
1
R3
R4
1
R4
2
3
4
9
1
1 1
3 4
1
2
0,923
DE PLUS, en utilisant les 3 résistances, on peut faire un montage mixte où un groupe de deux
résistances en parallèle est en série avec la troisième, ce qui ajoute 3 valeurs aux possibilités :
R2 en série avec R34 :
R 234
R2
R3 en série avec R24 :
R 234
R3
R4 en série avec R23 :
R 234
R4
1
1
R3
1
R4
1
1
R2
1
R4
1
1
R2
1
R3
2
3
4
1
1 1
3 4
1
1 1
2 4
1
1 1
2 3
3,71
4, 33
5,2
FINALEMNT, on peut placer une résistance en parallèle avec les deux autres groupées en série,
cela ajoute les dernières 2 valeurs possibles :
R2 en parallèle avec R34 :
R3 en parallèle avec R24 :
R4 en parallèle avec R23 :
R 234
R 234
R 234
1
1
R2
1
1
R3
R4
1
2
R4
1
3
R3
1
4
1
1
R3
R2
4
2
1
2
2, 22
1
2
Déjà disponible avec R2 seule!
4
1
1
R2
3
1
1
1
1
R4
1, 55
1
3
Au total, il y a donc 16 valeurs différentes disponibles avec les 3 résistances de départ.
7E14
L information de la puissance maximale d une résistance nous permet de connaître le courant et le potentiel
maximal qu elle peut supporter
Pmax
R I max
Pmax
V max
R
2
I max
Pmax
R
V max
Pmax R
10 W
5
1,41 A
2
10 W 5
7,07 V
a) Si les trois résistances (identiques) sont en série, elles porteront toutes le même courant et présenteront la
même chute de potentiel. Elles atteindront donc en même temps leurs valeurs limite.
Puisqu on cherche le potentiel maximal à l ensemble, celui-ci sera la somme des trois potentiels, donc :
Vtotal
3 7,07 V
21,2 V
b) Dans cette configuration, le courant ne sera pas le même dans les deux branches. La
résistance seule (R3) représente un chemin plus facile pour le courant et en absorbera donc plus
(2 fois plus, car la branche de R3 présente une résistance deux fois plus faible).
À chaque instant, c est donc R3 qui porte le courant le plus grand, et qui attendra en premier son courant
maximal (et de là son potentiel maximal). Ainsi, cette branche détermine le potentiel aux bornes de l ensemble,
égal aux valeurs limite d une résistance seule, soit 7,07 V.
7E15
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E16
Le circuit suggéré constitue une maille simple, pour laquelle on peut écrire l équation de maille. On peut déduire
que le courant circulera en sens horaire, car 1 est légèrement supérieur à 2 . Donc :
à partir du point a et en sens horaire :
I
1
2
r1
r2
1
1,53 V - 1,48 V
0,05
0,15
r1 I
r2 I
2
0 , où le courant I est la seule inconnue.
0,25 A
Connaissant le courant, on peut maintenant trouver la différence de potentiel entre a et b :
Va
1
r1 I
Vb
Vb V a
1
r1 I
1,53 V - 0,05
0,25 A 1,52 V
La puissance dissipée totale, par ailleurs, se trouve par la somme des puissances dissipées dans les deux
résistances :
2
Ptot
P1
P2
r1 I 2
r2 I 2
r1
r2 I 2
7E18
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
r1
r2
1
2
r1
r2
2
1
2
r1
r2
1,53 V - 1,48 V
0,05
0,15
2
0,0125 W
7E19
a) La source 1 étant supérieure, le courant ira nécessairement en sens horaire. L équation de maille, à partir de
1 , sera donc :
R1 I
1
b)
R2 I
2
R1 I 2
2
0,5 A
2
0,5 W
Dans R2 : P R 2 I 2
4
0,5 A
2
1W
Dans R1 : P
c)
I
0
Pile
1
:
P
VI
9 V 0,5 A
1
2
R1
R2
9 V-6 V
2
4
0,5 A
4,5 W
La pile #2 étant traversée à l envers par le courant, il faut considérer une puissance négative (absorbée). On peut
utiliser une valeur négative du courant pour en tenir compte :
Pile
2
:
P VI
6 V - 0,5 A
-3 W
7E21
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E22
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E25
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E34
Le circuit suggéré est composé de deux mailles et 2 n uds. Les équations de Kirchhoff sont :
N ud b :
I1
I2
I3
0
Maille sup., horaire :
1
R2 I 2
R1 I 1
Maille inf., anti-hor. :
2
R2 I 2
R3 I 3
0
0
a) Solution pour les valeurs de f.é.m. :
Pour
1
Et pour
:
1
2
:
I1
2
R2 I 2
I2
I3
R2 I 2
R1 I 1
0
1
0
R3 I 3
I3
0
2
R2 I 2
I1
R1 I 1
I2
R2 I 2
2
1A 2 A
R3 I 3
2
2 A -1
1A
3V
3A
2A 3
3 A 13 V
b) Les variations de potentiel du point a au point b (le chemin le plus simple est en passant par la branche
centrale :
Va
R2 I 2
Vb
Vb V a
R2 I 2
2
2A
4V
7E35
Le phénomène décrit est un phénomène de décharge du condensateur, pour lequel l équation de la charge est :
Q
Q0 e
t
RC
On dit qu après 2 ms, la charge a chuté à 25 % de sa valeur initiale, donc Q 0,25Q0 . On peut donc écrire :
Q
0,25Q0
t
Q0 e
d où :
RC
Il ne reste qu à isoler R :
R
0,25 e
t
RC
0,002 s
t
C ln 0,25
0,01 10
6
144 k
F ln 0,25
7E36
Dans la figure présentée, le groupe de condensateur est en série avec les deux résistances. Même si les
résistances sont de part et d autre des condensateurs, leurs résistances s additionnent normalement, donc une
résistance totale de 2R pour le circuit RC.
Trouvons ensuite la capacité équivalente du groupe de condensateurs :
D abord les 3 condensateur en série sur la branche extérieure :
C éq
1
C
1
1
C
C
3
1
C
Le groupe de 3 en parallèle avec le quatrième condensateur :
C éq
C
C
3
4
C
3
La constante de temps
RC sera donc égale à :
R C
2R
4
C
3
8
RC
3
Q
Q0 1 e
7E37
Équation de la charge du condensateur durant la charge :
t
RC
On indique qu après 2 s, la charge a atteint 90 % de sa valeur maximale, donc Q 2 s
Q
0,9 Q0
Q0 1 e
t
RC
On isole C pour connaître sa valeur :
d où :
C
0,9 1 e
t
RC
2s
t
R ln 1 0,9
7E39
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
7E41
Solution disponible sur www.erpi.com/benson.cw
10
4
ln 0,1
86,9 F
0,90 Q0 . On peut écrire :
7P10
Si on pose un sens au courant dans chaque branche, tel que sur l illustration suivante, on peut rédiger les
équations de Kirchhoff :
N ud A :
I2
I1
I4
(1)
0
Le n ud B peut remplacer l ensemble du fil qui relie 2 n uds puisqu ils sont directement reliés. Donc :
N ud B :
I1
I3
I4
I5
(2)
0
Le même raisonnement pour le n ud C :
N ud C (redondante) :
I2
I3
Maille sup., sens anti-horaire :
8
6
Maille gauche, sens horaire :
8
R3 I 3
R2 I 2
Maille droite, sens horaire :
2
R3 I 3
0
I5
0
R4 I 4
(3)
0
(4)
0
(5)
Si on ne tient pas compte de l équation du n ud C (une équation de n ud de moins que le nombre de n uds), on
a un système de 5 équations dont les 5 inconnues sont les 5 courants. On cherche I2, I3 et I4.
L équation (3) n a qu une inconnue :
8
6
R4 I 4
I4
0
8
8V 6V
4
6
R4
3,5 A
Le sens négatif indique que le courant va plutôt vers la gauche dans R4.
L équation (5) n a aussi qu une inconnue :
2
R3 I 3
I3
0
2
R3
Connaissant I3, l équation (4) n a maintenant qu une inconnue :
8
R3 I 3
R2 I 2
0
I2
8
R3 I 3
R2
8V 3
0, 66 A
2
5A
2V
3
0, 66 A