Thèse Étude des métamatériaux à indice de réfraction négatif

No d’ordre : 3263
Thèse
présentée devant
l’UNIVERSITÉ DE RENNES I
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université de Rennes I
Mention : Traitement du signal et télécommunications
par
Divitha Seetharamdoo
Équipe d’accueil : Institut d’électronique et de télécommunications de Rennes
École doctorale : Matisse
Composante universitaire : Université de Rennes I
Étude des métamatériaux à indice de réfraction
négatif : paramètres effectifs et applications
antennaires potentielles
À soutenir le 10 janvier 2006 devant la commission d’Examen
Composition du jury :
Rapporteurs
M. D. Lippens
Professeur à l’Université de Lille I
M. O. Acher
Directeur de Recherches CEA - CEA Le Ripault
Examinateurs
M. A. de Lustrac
Professeur de l’Université Paris X
M. B. Sauviac
Maître de conférences à l’Université de Saint-Étienne
M. K. Mahdjoubi
Professeur de l’Université de Rennes I
M. R. Sauleau
Maître de conférences à l’Université de Rennes I
Membre invité
Mme. A-C. Tarot
Maître de conférences à l’Université de Rennes I
Table des matières
Table des matières
iii
Introduction générale
1
Contexte de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Définition de nos objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Plan du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Note aux lecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1 Généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Généralités sur les mirn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Propagation dans un milieu à permittivité et perméabilité simultanément négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Contraintes fondamentales pour un matériau du troisième quadrant . . . . . .
9
1.2.3
Choix adéquat du signe de l’indice de réfraction pour un matériau du troisième
quadrant
1.2.4
1.3
1.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Choix adéquat du signe de l’impédance d’onde pour un matériau du troisième
quadrant
I
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.5
Condition à l’interface d’un mirn et d’un mirp . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6
Puissance transmise à l’interface d’un mirn et d’un mirp . . . . . . . . . . . 15
Synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1
Étude des tiges ou du milieu à permittivité négative . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2
Étude des SRRs ou du milieu à perméabilité négative
1.3.3
Milieu à indice de réfraction négatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4
Alternatives aux réseaux de srr et de tiges métalliques . . . . . . . . . . . . 26
. . . . . . . . . . . . . 19
Synthèse de mirn à l’aide de lignes de transmissions duales . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1
Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.2
Réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5
Synthèse de mirn à l’aide de cristaux photoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Problématique d’homogénéisation de métamatériaux
Introduction de la Partie I
35
37
iii
iv
table des matières
2 Méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
39
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2
Concept de milieu effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3
2.4
2.5
2.6
2.2.1
Définition de milieu effectif pour les composites de la zone intermédiaire . . . 41
2.2.2
Approches « locales » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3
Approches « globales » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4
Approche privilégiée dans ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.5
Signification physique des paramètres effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
43
Définition du problème à résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1
Problématique mono-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2
Problématique bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Méthodes d’« inversion » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1
Méthodes Nicolson-Ross-Weir (NRW) et NRW-modifiée . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2
Optimisation par algorithme de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.3
Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Calcul de diagramme de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.1
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2
Diagramme de dispersion bi-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.3
Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Paramètres effectifs de différents métamatériaux
65
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2
Milieu à tiges et pistes métalliques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.2.1
Modèle analytique pour un réseau de tiges métalliques . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2
Comparaison avec les paramètres effectifs calculés numériquement
3.2.3
Milieu à pistes métalliques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.4
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
. . . . . . 67
Milieu à pistes et/ou tiges métalliques discontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.1
Paramètres effectifs calculés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Milieu à boucles fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1
Modèle analytique pour un réseau de tubes métalliques creux . . . . . . . . . 75
3.4.2
Comparaison avec les paramètres effectifs calculés . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Milieu à boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr) . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.1
Paramètres effectifs calculés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Milieu composite à pistes métalliques et split-ring resonators (srr) . . . . . . . . . . 84
3.6.1
Paramètres effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Version provisoire
v
table des matières
4 Analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants 89
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2
Critère physique sur le signe de la partie imaginaire de ε(ω) et µ(ω)
4.2.1
4.3
. . . . . . . . . 90
Extension au mirn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus
. . . 93
4.3.1
Motivation de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2
Description de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.3
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) constante . . . . . . . . . . 95
4.3.4
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) une dispersion de Drude . 99
4.3.5
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) une dispersion hybride et
anti-résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.6
4.4
4.5
4.6
4.7
Résultats dégagés de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Mise en évidence d’anomalie pour les structures résonantes . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.1
Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.2
Propriétés anormales du milieu à pistes discontinues . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.3
Propriétés anormales du milieu à SRR seuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4.4
Propriétés anormales du milieu à indice de réfraction négatif . . . . . . . . . . 108
4.4.5
Analyse de ces propriétés anormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Propriétés des modes guidés au sein des composites résonants . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.1
Analyse bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5.2
Résultats dégagés de l’analyse bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5.3
Analyse mono-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.4
Résultat dégagé de l’analyse mono-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Analyse multimodale du milieu résonant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.1
Décomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.2
Analyse multimodale du mirn constitué de bc-srr . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.3
Résultat dégagé de cette analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Description du champ macroscopique à partir du champ microscopique . . . . . . . . 114
4.7.1
Théorie des milieux diélectriques résonants par Sipe . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7.2
Cartographie des champs du milieu à indice de réfraction négatif . . . . . . . 115
4.7.3
Résultat dégagé de cette étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.8
Rappel des hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.9
Zones de validité des paramètres effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Conclusion
121
II
123
Composites à perméabilité artificielle
Introduction de la Partie II
125
vi
table des matières
5 Milieux magnétiques artificiels
127
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2
Milieu constitué de boucles réparties périodiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.2.1
Milieu à boucles fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2
Milieu à boucles fendues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.3
Milieu à boucles fendues chargées par des capacités distribuées . . . . . . . . 133
5.2.4
Récapitulatif des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.1
Analyse s’appuyant sur l’étude des antennes boucles électriquement petites . 139
5.3.2
Milieu à boucles fendues chargées par des capacités localisées . . . . . . . . . 143
Modèle analytique des srr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.1
Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.2
Modélisation de l’inductance du srr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.3
Modélisation de la capacité distribuée entre anneaux . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.4
Confrontation à des résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Influence des paramètres géométriques de la cellule élémentaire . . . . . . . . . . . . 154
5.5.1
Comparaison entre srr circulaires et srr carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5.2
Variation de la période transverse Px . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.5.3
Variation de la période horizontale Pz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.5.4
Variation de la période longitudinale Py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Potentiels de ce type de milieu et améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.6.1
Potentiel de reconfigurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6.2
Améliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6 Améliorations des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
165
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2
Milieux constitués de pseudo-spirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3
Milieux constitués de « Broadside coupled » (bc)-spirales . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3.1
Pertes dues aux différents constituants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.2
Agencement d’une spirale par rapport à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3.3
Nombre de tours des spirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3.4
Influence de l’épaisseur du susbtrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3.5
Influence de la périodicité transverse Px . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.6
Définition de la structure optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3.7
mirn constitué d’un réseau de bc-spirales et de pistes . . . . . . . . . . . . . 177
6.4
Comparaison avec les structures existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.5
Autre limitation des milieux magnétiques artificiels : la bande passante . . . . . . . . 180
6.6
Les pertes associées aux milieux magnétiques artificiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.7
Réalisation de mirn et mesures en espace libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.7.1
Mesures de coefficients de réflexion et de transmission . . . . . . . . . . . . . 185
6.7.2
Indice de réfraction calculé à partir des paramètres S simulés . . . . . . . . . 186
Version provisoire
vii
table des matières
6.8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Conclusion de la Partie II
191
III Application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre
zéro
193
7 Application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
195
7.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2
Résonance d’ordre zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3
7.4
7.5
7.6
7.2.1
Mise en cascade de mirn et mirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.2
Caractéristique de dispersion : extension infinie dans la direction de propagation198
7.2.3
Structures d’extension finie dans la direction de propagation . . . . . . . . . . 199
7.2.4
Sur la sensibilité du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2.5
Caractéristiques de propagation à la résonance d’ordre zéro . . . . . . . . . . 202
Synthèse du mirn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.3.1
Approche privilégiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.3.2
Paramètres de diffusion de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.3
Milieu effectif associé au mirn
7.3.4
Caractéristiques de dispersion du mirn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3.5
Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Synthèse du résonateur d’ordre zéro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.1
Présentation de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.2
Mise en évidence de la résonance d’ordre zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Antenne à résonateur d’ordre zéro
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.5.1
Présentation de l’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.5.2
Caractéristiques de l’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.5.3
Améliorations envisageables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Conclusion générale
217
Annexe
221
A Décomposition des champs sur les modes propres
223
B Système mécanique constitué d’un réseau de résonateurs
225
C Publications et communications
227
C.1 Publications et communications internationales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
C.2 Communications nationales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.3 Autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Bibliographie
231
Introduction générale
Contexte de l’étude
Les milieux à indice de réfraction négatif (mirn) font actuellement l’objet de nombreuses publications. Ces milieux ont suscité un intérêt grandissant depuis l’année 2000 quand une équipe de
l’université de Californie à San Diego (UCSD) démontre expérimentalement l’existence d’un milieu
ayant une perméabilité et une perméabilité simultanément négatives [1, 2]. Elle démontre parallèlement la nécessité d’attribuer un indice de réfraction négatif à ce type de milieu [3]. Des phénomènes
inédits tels que l’inversion de l’effet Doppler, de l’effet Cherenkov et la focalisation à l’aide de lame
à faces parallèles sont alors prédits en s’appuyant sur une publication théorique de V. G. Veselago
datant de 1967 [4].
Bien que les dénominations aient évolué [les termes utilisés actuellement sont « negative refractive index media » (nri ou mirn en français), « left-handed media » (lhm) ou « matériau main
gauche », « double negative material » (dng)], le concept d’une onde rétropropagée (onde dont la
vitesse de phase se propage dans le sens inverse de la direction de propagation de l’énergie) a été
étudié au moins depuis 1904 [5, 6]. H. Lamb l’a étudié pour des systèmes mécaniques et A. Schuster
dans le domaine des ondes électromagnétiques. Indépendamment, H. C. Pocklington [7] démontre
théoriquement que dans un milieu à onde rétropropagée, la vitesse de phase de l’onde peut être
orientée en direction de la source, dans le sens inverse à la vitesse de groupe. Quarante ans plus tard
(en 1944), L. I. Mandelshtam étudie les propriétés générales des mirn [8] et plus de vingt ans plus
tard, en 1967, V. G. Veselago publie une étude exhaustive sur les mirn. L’intérêt pour ces milieux
a ensuite diminué jusqu’à nos jours.
Le regain d’intérêt actuel pour ces milieux s’explique certainement par le fait que pour la première fois, la réfraction négative a été démontrée expérimentalement [1]. Cette démonstration a été
faite aux fréquences microondes par l’assemblage d’un milieu à tiges métalliques réparties périodiquement (présentant une permittivité négative) [9] et d’un milieu à anneaux résonants (Split Ring
Resonators-srr) présentant une perméabilité négative [10]. Ces deux milieux ont été proposés par
J. B. Pendry et al. Ces milieux peuvent être assimilés à un réseau de molécules « artificielles » d’où
la dénomination de « métamatériau ». Dans ce manuscrit, par métamatériau nous désignerons un
réseau de molécules conçues artificiellement et qui peut être assimilé à un milieu continu.
Différentes approches ont également été proposées pour la réalisation des mirn, notamment
l’utilisation de lignes de transmission à rétropropagation [11, 12] et les cristaux photoniques en
régime de vitesse de phase négative [13, 14, 15]. L’approche à privilégier est dictée, entre autre, par
la bande de fréquence de travail.
1
2
table des matières
Quelle que soit l’approche utilisée, le but est de synthétiser des mirn. En effet, les phénomènes
inhabituels prédits pour ces milieux peuvent aboutir à la conception de dispositifs inédits tels que
des « lentilles parfaites », des revêtements furtifs, des antennes à ondes rétro-propagées ou encore des
dispositifs micro-ondes utilisant les ondes évanescentes [12, 16]. Les propriétés électromagnétiques
et les applications potentielles des mirn méritent donc d’être considérées compte tenu des intérêts
industriels et économiques mis en jeu.
Cependant, jusqu’à présent il n’existe aucune application ayant un potentiel suffisant pour justifier un investissement industriel ciblé. Les principaux acteurs industriels du domaine [Boeing Phantom Works pour les États unis et British Aerospace (BAe) Systems (Royaume-Uni) pour l’Europe]
se focalisent sur la réalisation des mirn. Les technologies dont ils disposent sont mises en œuvre
en collaboration avec des programmes de nanotechnologie. Ils visent à développer des techniques
bas coût pour des systèmes d’écriture permettant de déposer du métal ou du diélectrique sur un
substrat de manière conforme et sur de grandes surfaces [17].
Or, la réalisation d’échantillons de mirn est généralement difficile à cause de leur hétérogénéité
et de leur structuration. Les propriétés de ces métamatériaux restent encore à améliorer voire à
caractériser en terme de bande passante, de pertes et de description macroscopique. Pour cela, des
analyses numériques et physiques sont nécessaires. C’est dans ce contexte que se situent les objectifs
de recherche que nous nous sommes fixés pendant cette thèse.
Définition de nos objectifs
L’étude des mirn est une thématique nouvelle au sein du groupe Antennes et Hyperfréquences
de l’IETR. Ce groupe possède néanmoins une expérience dans l’application des structures à bande
interdite photonique aux antennes hyperfréquences [18, 19, 20, 21]. Un souci de continuité dans ces
travaux ainsi que l’émergence des mirn sont à l’origine de cette thèse.
Cette thèse consiste donc à étudier les mirn en vue de leur application à des antennes hyperfréquences.
Objectifs de recherche D’une part, de nombreux concepts pour des applications sont proposés et
d’autre part, des études sur la réalisation et l’analyse numérique des métamatériaux sont effectuées.
Cependant le passage du concept des applications à la mise en œuvre est à notre connaissance
très peu traité dans la littérature. Cette constatation est surtout vraie pour l’approche que nous
avons privilégiée dans ce travail, c’est à dire la synthèse de mirn à l’aide de particules métalliques
résonantes.
Toutes les applications inédites qui sont prédites le sont pour des mirn définis comme des milieux
continus et isotropes. En revanche, les métamatériaux mis en œuvre ne sont pas toujours étudiés
dans ce sens.
Il nous semble donc important de s’assurer que les mirn mis en œuvre (métamatériaux dits à
indice de réfraction effectif négatif) peuvent être décrits macroscopiquement sans ambiguïté. C’est
ce point essentiel qui a guidé nos travaux de recherche pendant cette thèse. Nous nous sommes donc
fixés comme objectifs de répondre aux questions suivantes :
– Comment se propage une onde au sein des mirn continus ? Quelles sont leurs particularités,
similitudes et différences par rapport aux milieux conventionnels ?
Version provisoire
table des matières
3
– Comment caractériser les composites proposés dans la littérature pour la mise en œuvre des
mirn ? Peut-on utiliser les théories classiques des milieux effectifs ?
– Dans quelle mesure peut-on considérer que ces composites peuvent être assimilés à des milieux
continus et isotropes à indice de réfraction négatif ?
– Comment améliorer les performances de ces composites ?
– Et enfin, notre démarche nous permet-elle de passer du concept à la mise en œuvre d’applications ?
Plan du mémoire
Dans le chapitre 1, nous décrivons les caractéristiques générales des mirn ainsi que leur mise en
œuvre. Les caractéristiques de propagation d’une onde électromagnétique dans un tel milieu ainsi
que les différences entre la propagation dans un milieu conventionnel et un mirn sont étudiées. La
définition des paramètres électromagnétiques et constitutifs d’un mirn continu est donnée. Nous
présentons ensuite les différentes approches pour la mise en œuvre d’un mirn.
Première partie La première partie de ce mémoire sera consacrée à la problématique d’homogénéisation des métamatériaux. Cette problématique est loin d’être nouvelle pour les matériaux
classiques et elle a été traitée de plusieurs manières. Avec l’émergence des métamatériaux, les techniques d’homogénéisation classiques ont été appliquées à ces structures artificielles. Cependant une
telle démarche consiste à faire de nombreuses hypothèses et à repousser les limites de l’homogénéisation. Plusieurs questions méritent d’être posées : Pouvons-nous considérer que les paramètres
constitutifs (ε, µ) calculés autour de la résonance représentent correctement la réponse macroscopique de ces structures ? Si oui, quelles sont leurs limites de validité physique ? C’est dans une
tentative de réponse à ces questions que réside l’originalité de notre travail. Cette partie est divisée
en trois chapitres.
Dans le chapitre 2, nous expliciterons le concept de milieu effectif tel que nous l’appliquerons au
mirn. Les différentes approches utilisées pour l’homogénéisation de composites en hyperfréquences
y sont également présentées. Les méthodes de calculs que nous avons implémentées et utilisées pour
l’homogénéisation des métamateriaux sont détaillées.
Dans le chapitre 3, ces techniques seront appliquées à des composites métallo-diélectriques et les
paramètres effectifs seront présentés. Pour des cas simples, nous validerons nos calculs par comparaison à des modèles analytiques. Pour une certaine catégorie de composites (composites résonants),
des anomalies seront mises en évidence.
Le chapitre 4 sera consacré à l’analyse et l’interprétation des ces comportements anormaux. Pour
cela, dans un premier temps, nous nous attacherons à démontrer l’extension au mirn des critères
physiques qui régissent la propagation dans un milieu classique. Une des particularités des mirn est
leur fonctionnement au voisinage de la résonance. Nous étudierons les limites de l’hypothèse de milieu
homogène quand les inclusions sont résonantes : à partir du modèle de description microscopique de
Lorentz nous étudierons les implications de la mise en réseau de ces inclusions à l’aide de la relation
de dispersion macroscopique. Enfin, des anomalies liées au mirn seront mises en évidence et à l’aide
d’analyses complémentaires, les domaines de validité de leurs paramètres effectifs seront définis.
4
table des matières
Deuxième partie La partie I met en évidence la forte corrélation qui existe entre le comportement des composites à perméabilité artificielle et les mirn. Cette observation laisse entendre que
l’ingénierie de mirn passe obligatoirement par une maîtrise de la conception de milieux magnétiques
artificiels. C’est pourquoi la deuxième partie de ce mémoire est consacrée à l’étude de ces milieux.
L’objectif que nous nous sommes fixés dans le chapitre 5, est de comprendre le principe de
fonctionnement de ces milieux. Ainsi, plusieurs types d’analyses seront effectués. Dans un premier
temps, une analyse quasi-statique nous permettra de comprendre l’effet du champ électrique et
magnétique pris séparément sur les particules. Dans un deuxième temps, une analyse plus précise
mais qui concerne toujours les boucles isolées sera présentée. Elle s’appuie sur la théorie de R. King
sur les antennes boucles électriquement petites. La précision supplémentaire apportée par cette
théorie réside dans la considération de l’interaction d’une onde plane avec les particules. Enfin,
nous prendrons en compte la mise en réseau de ces boucles et l’influence de leur périodicité. Cette
étude sera purement numérique. Ce chapitre nous permettra de dégager non seulement des règles
de conception de milieux diamagnétiques, paramagnétiques et à perméabilité négative mais aussi
de disposer de règles de dimensionnement de ce type de milieu.
Les résultats du chapitre 5 nous permettra d’envisager la conception, tout d’abord de particules,
et ensuite de milieux à perméabilité négative plus performants en terme de dispersion spatiale et
de compacité.
Cette étude est présentée dans le chapitre 6. Les particules envisagées sont des spirales choisies
pour leur compacité. En outre, leur géométrie permettent de modifier à la fois l’inductance et
la capacitance de la particule. Les règles de conception dégagées dans le chapitre précédent nous
permettent de définir une géométrie optimale. La mise en réseau de cette particule pour l’obtention
d’un milieu à perméabilité négative est ensuite effectuée. Des pertes conséquentes sont observées ;
elles sont minimisées à l’aide d’une étude numérique des paramètres critiques. Finalement, nous
aboutissons à une structure optimale dont nous comparons les performances avec les structures de la
littérature. Les performances obtenues sont supérieures en terme de dispersion spatiale, compacité et
aussi de valeur maximale d’indice de réfraction atteinte. Nous aborderons finalement dans ce chapitre
les limitations de ces composites magnétiques artificiels ayant une réponse résonante, notamment
en terme de bande passante et de pertes.
Troisième partie Nous expliciterons une application qui exploite une particularités des mirn : la
résonance d’ordre zéro présentée pour une succession de couches mirn/mirp. Ce concept est étudié
à l’aide de modèles analytiques dans le domaine fréquentielle. Une modélisation numérique dans le
domaine temporel permet de caractériser la propagation à cette résonance. Un résonateur d’ordre
zéro sera ensuite mis en œuvre. Pour cela, nous utiliserons des srr couplés à une ligne micro-ruban
et nous montrerons que les structures résonantes sont des candidats idéaux pour la synthèse de
résonateur d’ordre zéro. Cette résonance sera finalement exploitée comme topologie d’antenne.
Note aux lecteurs
Convention L’étude des mirn est une thématique traitée par des chercheurs issus de communautés différentes. La littérature contient donc des études s’appuyant sur les deux conventions :
dépendance temporelle des champs en exp(−jωt) et exp(jωt). Dans ce mémoire, tous les calculs
Version provisoire
table des matières
5
sont faits en supposant la convention exp(jωt). Quand des résultats de la littérature seront présentés,
la convention sera spécifiée uniquement si elle est différente de celle que nous avons choisie.
Notons que de manière générale, le passage d’une convention à l’autre se fait en prenant le
conjugué de la grandeur complexe. Cependant, il convient de préciser que ce passage n’est pas
immédiat quand il s’agit (i) des limitations fondamentales des paramètres électromagnétiques des
milieux continus, et (ii) de l’interprétation physique de ces grandeurs. Ce passage peut demander
de reprendre toute la démonstration. C’est pourquoi dans ces deux cas, les deux conventions seront
systématiquement traitées dans ce mémoire.
Point de vue adopté dans ce mémoire Ce mémoire aborde la thématique des mirn d’un point
de vue phénoménologique et non théorique.
Dans cette thèse nous nous sommes imposés comme limite d’étudier les milieux composites en
vue de leur assimilation à un milieu continu et isotrope à indice de réfraction négatif et non pas de
trouver un modèle équivalent aux composites quelle que soit la complexité de leur réponse.
C’est pour cela que quand nous abordons des milieux bi-anisotropes ou bi-isotropes dans la
deuxième partie, les relations constitutives ne sont pas généralisées pour la prise en compte de
l’effet. Nous le considérons comme un effet indésirable.
Chapitre 1
Généralités et synthèse bibliographique
sur les mirn
1.1
Introduction
V. Veselago [22] a été parmi les premiers à faire une étude exhaustive des mirn qu’il a définis
comme des matériaux ayant une permittivité et une perméabilité simultanément négatives. Les
propriétés particulières des mirn sont basées sur le fait que dans un milieu à indice de réfraction
→
−
→ −
→ −
négatif (mirn) dit « main gauche », les vecteurs ( E , H , k ) d’une onde plane électromagnétique
forment un trièdre direct de la main gauche plutôt que de la main droite comme pour les matériaux
conventionnels à indice de réfraction positif (mirp).
Différentes approches ont été considérées dans la littérature pour la synthèse des mirn, notamment :
– l’utilisation d’inclusions résonantes. Cette approche sera décrite § 1.3 ;
– l’utilisation des lignes de transmissions duales (§ 1.4) ;
– l’utilisation des cristaux photoniques en régime de vitesse de phase négative (§ 1.5).
Dans ce manuscrit, l’approche que nous avons privilégiée est celle qui consiste à considérer que
le mirn est défini comme un milieu ayant une permittivité et une perméabilité simultanément
négatives. La synthèse du milieu se décompose donc en la synthèse de deux types de « molécules » ou
de particules élémentaires. Le premier type doit avoir une réponse au champ électrique (polarisabilité
électrique négative) et le deuxième une polarisabilité magnétique négative.
Cette approche qui repose sur le fait qu’un milieu à permittivité et perméabilité simultanément
négatives est caractérisé par un indice de réfraction négatif, sera plus amplement développé dans
ce chapitre. Nous tenterons de répondre à de nombreuses questions (§ 1.2) telles que : pourquoi un
indice de réfraction négatif doit être attribué à un milieu de permittivité et perméabilité négatives ?
Quel est le signe de l’impédance d’onde dans un mirn ? Comment se propage la puissance de l’onde
électromagnétique dans un tel milieu lors d’une réfraction négative ?
7
8
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
1.2
Généralités sur les mirn
L’étude de la propagation dans un tel milieu a fait l’objet de nombreuses études [3, 23, 24, 25].
Dans ce paragraphe, nous nous sommes inspirés de ces études pour décrire la propagation dans un
mirn. La démarche que nous avons adoptée est la suivante.
Dans un premier temps, nous décrirons les caractéristiques de la propagation d’une onde pour un
milieu ayant une permittivité et une perméabilité simultanément négatives (§ 1.2.1). Les contraintes
fondamentales liées à la propagation d’un tel milieu seront rappelées (§ 1.2.2). Ensuite, nous nous
attacherons à démontrer que pour un milieu (ε < 0, µ < 0), l’indice de réfraction n doit être négatif
en partie réelle. En effet, si l’on considère la définition usuelle de l’indice de réfraction : n(ω) =
p
± ε(ω)µ(ω), le choix du signe devant la racine carrée pour un milieu (ε < 0, µ < 0) n’est pas
trivial. Il en est de même pour l’impédance d’onde Z si l’on considère la formulation usuelle : Z(ω) =
p
± µ(ω)/ε(ω). En s’appuyant sur la loi de conservation de l’énergie issus de la théorie de Maxwell,
nous déterminerons le signe à choisir devant la racine carrée dans l’expression de n (§ 1.2.3) et de
Z (§ 1.2.4).
Dans un second temps, nous traiterons des caractéristiques de l’onde à l’interface entre un mirn
et un milieu à indice de réfraction positif (mirp). Les conditions aux limites à l’interface d’un mirn
et d’un mirp ainsi que la réfraction négative d’une onde à cette interface en régime temporel seront
traitées (§ 1.2.5). Les caractéristiques (sens et direction de propagation) de la puissance transmise
à travers une interface mirn/mirp (liée à la réfraction négative des fronts d’onde) seront ensuite
traitées (§ 1.2.6).
1.2.1
Propagation dans un milieu à permittivité et perméabilité simultanément
négatives
À partir des équations de Maxwell régissant la propagation d’une onde plane monochromatique
dans un milieu linéaire, homogène, isotrope, non dispersif, libre de sources, de permittivité ε et de
perméabilité µ, nous pouvons obtenir :
−
→ −
→
−
→
k × E = −ωµ H
−
→ −
→
−
→
k × H = ωε E
(1.1)
(1.2)
→
−
→ −
→ −
Pour des valeurs positives de ε et de µ, les vecteurs ( E , H , k ) forment un trièdre direct, alors
−
→
que pour des valeurs négatives, le trièdre est indirect. Le module du vecteur d’onde | k | peut aussi
se mettre sous la forme :
−
→
√
| k | = ω εµ
(1.3)
−
→
D’après cette relation, k est imaginaire pur pour les couples de (ε, µ) situés dans les deuxième
et quatrième quadrants de la figure 1.1 : dans ce cas, les ondes ne sont plus propagatives mais dans
−
→
les deux autres quadrants k prend des valeurs réelles et les ondes peuvent se propager.
Cependant, les caractéristiques de la propagation dans le premier et le troisième quadrant sont
−
→
différentes [22]. Le flux d’énergie transportée par l’onde est défini par le vecteur de Poynting S :
→ −
→
−
→ 1−
S = E × H ∗.
2
(1.4)
Version provisoire
9
1.2 généralités sur les mirn
Fig. 1.1 – Nature des ondes dans un espace représentant les différents couples de (ε, µ) [26]
−
→
−
→
S est parallèle au vecteur d’onde k dans le premier cas, et antiparallèle dans le deuxième cas
(équation (1.4)). La propagation dans les matériaux du troisième quadrant se fait également avec
une vitesse de phase vϕ négative :
vϕ =
ω
<0
k
(1.5)
vg =
∂ω
>0
∂k
(1.6)
et une vitesse de groupe vg positive :
Les fronts d’ondes se déplacent en direction de la source plutôt que de s’en éloigner [7].
La plupart des matériaux diélectriques isotropes appartiennent au premier quadrant, le second
quadrant étant occupé par les plasmas à l’état gazeux et solide [22]. Il n’existe à ce jour aucun matériau isotrope appartenant aux troisième et quatrième quadrants (avec µ < 0). Pour des matériaux
anisotropes, certains éléments des tenseurs [ε] et [µ] peuvent être négatifs, par exemple :
– les substances gyrotropes constituées d’un plasma en présence d’un champ magnétique (ε est
alors un tenseur et µ est un scalaire) ;
– les métaux ferromagnétiques et les semiconducteurs tels que CuFeS2 (dans ce cas µ est un
tenseur et ε est un scalaire). Cependant, ces éléments du tenseur de permittivité et de perméabilité peuvent prendre des valeurs négatives uniquement pour des ondes qui se propagent
suivant la direction du champ magnétique.
1.2.2
Contraintes fondamentales pour un matériau du troisième quadrant
Les limites fondamentales des matériaux appartenant à ce quadrant sont imposées par le principe de causalité et la loi de la conservation de l’énergie d’une onde électromagnétique. Il s’agit
essentiellement de la dispersion fréquentielle (§ 1.2.2.1) et de l’absorption (§ 1.2.2.2).
1.2.2.1
Dispersion fréquentielle
Pour ces matériaux, la propagation ne peut se faire sans dispersion comme le montre la relation
suivante où W représente l’énergie totale :
W =
1 ∂(ωε(ω)) 2 1 ∂(ωµ(ω))
|E| +
|H|2
2
∂ω
2
∂ω
(1.7)
10
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Pour des valeurs de ε et de µ simultanément négatives, il suffit de satisfaire les conditions (1.8)
et (1.9) pour que W reste positif [27].
∂(ωε(ω))
> ε0
∂ω
∂(ωµ(ω))
> µ0
∂ω
(1.8)
(1.9)
quelle que soit la convention utilisée pour la dépendance temporelle des champs.
1.2.2.2
Absorption
Pour les matériaux conventionnels (premier quadrant), le signe des parties imaginaires de la
permittivité et de la perméabilité complexes est déterminé par la continuité analytique des fonctions
diélectrique et magnétique dans le plan fréquentiel complexe [28, 29]. La restriction sur les signes
que peuvent prendre ε′′ et µ′′ pour un matériau linéaire et dispersif est imposée par (i) le principe
de causalité, impliquant que les transformées de Fourier inverses ε(t) et µ(t) respectivement de ε(ω)
et µ(ω) soient nulles pour t < 0 [25], et (ii) la loi de la conservation de l’énergie.
Les parties imaginaires de ε(ω) et µ(ω) sont toujours positives [en convention exp(−jωt)] et
négatives [en convention exp(jωt)] pour les matériaux du premier quadrant. Une extension de ce
critère pour les matériaux du troisième quadrant sera fait dans le chapitre 4 ( 4.2, p. 90). Nous
présentons ici uniquement le résultat de cette étude : Quel que soit le signe de la partie réelle de
ε et µ, leurs parties imaginaires doivent être positives [en convention exp(−jωt)] et négatives [en
convention exp(jωt)].
1.2.3
Choix adéquat du signe de l’indice de réfraction pour un matériau du
troisième quadrant
La définition d’un indice de réfraction pour un matériau du troisième quadrant (figure 1.1) :
n(ω) = ±
p
ε(ω)µ(ω)
(1.10)
pose le problème supplémentaire du choix adéquat du signe de n(ω).
Le signe devant la racine carrée de la relation (1.10) est déterminé en s’appuyant d’une part,
sur les propriétés causales des solutions de l’équation d’onde et d’autre part, sur des considérations
énergétiques. Le choix du signe permettra de définir entre autres, la direction de l’onde « sortante »
par rapport à une interface entre un MIRN et un matériau conventionnel.
Pour démontrer que pour un matériau (ε < 0, µ < 0), le signe de l’indice de réfraction doit être
négatif, nous considérons un nappe de courant placée en x = x0 . Nous nous sommes appuyés sur la
démonstration de la référence [30]. Il s’agit d’étudier les propriétés de rayonnement de cette nappe
dans un milieu (ε < 0, µ < 0) (figure 1.2).
L’équation d’onde dans le milieu s’écrit :
∂2
E(x) + k 2 E(x) = −jωµJ0 (z)
∂x2
(1.11)
Version provisoire
11
1.2 généralités sur les mirn
Fig. 1.2 – Nappe de courant en x = x0 qui rayonne dans le milieu (ε < 0, µ < 0). La nappe est
considérée uniforme et d’extension infinie suivant ŷ et ẑ.
où E(x) est la composante du champ électrique complexe suivant x̂, J~0 = i0 δ(x − x0 ) ẑ et µ = µ0 µr .
La solution de cette équation se met sous la forme :
E(x) = α exp(jk |x − x0 |)
(1.12)
Pour la détermination de α, nous calculons :
∂ 2 E(x)
= −αk 2 exp(jk |x − x0 |) + 2jαkδ(x − x0 )
∂x2
(1.13)
et nous substituons les expressions (1.13) et (1.12) dans l’équation (1.11). α s’écrit :
α=−
µωi0
i0 η0 µr
=−
2k0 n
2 n
(1.14)
et la solution de l’équation d’onde devient :
E(x) = −
i0 η0 µr
exp(jk |x − x0 |)
2 n
(1.15)
Or, si nous calculons la puissance moyenne P fournie par le courant J~0 au volume V [31], nous
obtenons la relation suivante :
1
P =−
2
Z
V
2
~ · J~0∗ dV = i0 η0 µr .
E
2 n
(1.16)
Cette expression représente le travail effectué par la source et cette grandeur est toujours positive,
ce qui implique que P > 0 [31]. Le rapport µr /n doit donc être positif. Si µr est négatif, alors n doit
être négatif aussi. La réciproque peut être démontré avec εr . Notons que le milieu est propagatif et
la solution de l’équation d’onde retenue vérifie la condition de rétropropagation.
Remarque La partie imaginaire de l’indice de réfraction est également soumise à certaines restrictions : pour une propagation d’onde causale, elle est toujours positive en convention exp(−jωt)
12
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
et négative en convention exp(jωt). Cette contrainte sera démontrée dans le chapitre 2 (§ 2.2.5.1,
p. 45).
1.2.4
Choix adéquat du signe de l’impédance d’onde pour un matériau du troisième quadrant
Rappelons que la description adéquate de la propagation d’une onde électromagnétique dans
un magnéto-diélectrique nécessite la définition non seulement de l’indice de réfraction n mais aussi
−
→
d’une impédance d’onde Z. Cette dernière, définie comme le rapport de la composante du champ E
−
→
et du champ H dans le plan de propagation, permet de quantifier le déphasage et la modification de
l’amplitude du champ électrique par rapport au champ magnétique. Ainsi le couple (n, Z) permet
de prendre en compte toutes les perturbations de l’onde causées par le magnéto-diélectrique : n
représente le changement de la vitesse de propagation dans le milieu (ou de la longueur d’onde) et
−
→
−
→
Z l’évolution du champ E par rapport au champ H .
Nous avons vu qu’un matériau appartenant au troisième quadrant possède un indice de réfraction
négatif. Il s’agit maintenant de répondre à la question suivante : quel signe attribuer à l’impédance
−
→
−
→
d’onde d’un mirn ? En d’autres termes, comment évolue le champ E par rapport au champ H dans
un mirn ?
Le choix du signe de Z peut être démontré en s’appuyant sur la loi de la conservation de
l’énergie électromagnétique. Cette démonstration est décrite dans le chapitre 2 (§ 2.2.5.2, p. 45).
Nous présentons ici uniquement le résultat : la partie réelle de Z doit toujours être positive quel
que soit le signe l’indice de réfraction du milieu (et quelle que soit la convention utilisée). Il n’existe
aucune restriction sur le signe de la partie imaginaire de Z.
1.2.5
Condition à l’interface d’un mirn et d’un mirp
Nous commencerons par étudier les conditions aux limites et la conservation des composantes
tangentielles et normales à une interface mirn/mirp. Ensuite, la réfraction d’une onde électromagnétique à travers cette interface sera traitée avec comme principal objectif de démontrer que pour
un faisceau, la réfraction négative est causale. C’est pourquoi nous sommes appuyés sur une étude
numérique en régime temporel.
1.2.5.1
Conditions aux limites
→
−
→ −
→ −
À l’interface d’un mirn et d’un mirp, les composantes tangentielles de E , H et k sont conservées. En revanche, les composantes normales (figure 1.3) sont discontinues [23] et changent de signe
comme le montre la relation (1.17) :
ε1 En1 = ε2 En2
(1.17)
où ε1 représente la permittivité du mirp et ε2 la permittivité du mirn.
La validité de ces conditions aux limites a été vérifiée numériquement [23] en configuration
guide d’onde (figure 1.4) avec le logiciel Ansoft-HFSS. La figure 1.5 montre les lignes de champ
magnétique dans un plan de coupe horizontal du guide pour le mode TE10 à une fréquence de
1,2 GHz (fréquence supérieure à la fréquence de coupure du guide valant 920 MHz). Les conditions
Version provisoire
13
1.2 généralités sur les mirn
Fig. 1.3 – Conditions aux limites pour le champ électrique, magnétique et le vecteur d’onde [23]
aux limites sont respectées (de manière qualitative) pour les composantes normales et tangentielles
du champ magnétique.
Fig. 1.4 – Guide WR-650 (a
= 162,5 mm, b = 87,5 mm)
[23]
Fig. 1.5 – Lignes de champ magnétique pour le mode
TE10 à l’interface d’un mirn/mirp : (a) µRH = 1 et
µLH = −1, (b) µRH = 1 et µLH = −3 [23]
Pour une interface mirp/mirn, si les valeurs de |ε| et |µ| sont les mêmes pour les deux milieux,
le coefficient de réflexion Γ est nul :
Γ=
ηLH − ηRH
=0
ηLH + ηRH
(1.18)
où η représente l’impédance d’onde du milieu.
1.2.5.2
Réfraction négative en régime temporel
En incidence oblique, la loi de Snell-Descartes prévoit qu’à cette interface l’angle de réfraction
sera négatif [22]. S. Fontenopoulou et al. [32] ont étudié la propagation dans le domaine temporel
d’un faisceau gaussien monochromatique incident sur une telle interface :
– le mirp est constitué de vide ;
– le mirn est constitué d’un cristal photonique présentant un indice de réfraction de -0,7 à la
fréquence d’étude(1) . Le cristal photonique est à maille hexagonale, de période a et constitué
de tiges diélectriques de permittivité ε = 12,96 et de rayon r = 0,35 a ;
– l’angle d’incidence considéré est de 30° (figure 1.6).
Les figures 1.7 à 1.11 montrent la propagation de l’onde à des instants différents en fonction de
t0 = 0,01258 a/c (la valeur de a n’étant pas spécifiée). La différence de temps ∆t entre l’arrivée du
rayon intérieur et du rayon extérieur du faisceau à l’interface est de 2 t0 .
Une fois à l’interface, les différents rayons du faisceau ne se réfractent pas tout de suite [25, 32]
(figure 1.9 et figure 1.10). Les fronts d’onde restent piégés à la surface pendant un laps de temps
relativement long.
(1)
La fréquence d’étude est fixée à une fréquence normalisée a/λ de 0,58.
14
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.6 – Faisceau gaussien incident à un angle de 30° sur une interface formée d’un matériau ayant
un indice de -0,7 et de 1 (le champ électrique est situé dans le plan d’incidence) [32]
Fig. 1.7 – Cartographie du champ électrique
à l’instant t = 2, 5 t0 [32]
Fig. 1.8 – Cartographie du champ électrique
à l’instant t = 4, 5 t0 [32]
Fig. 1.9 – Réflexion et piégeage de l’onde à
l’instant t = 10, 5 t0 [32]
Fig. 1.10 – Réflexion et piégeage de l’onde à
l’instant t = 15 t0 [32]
Après ce régime de durée très supérieure à ∆t, l’onde se réorganise graduellement et commence à
se propager selon un angle négatif (figure 1.11). L’angle de réflexion est identique à l’angle d’incidence
(30°).
Cette interface peut être considérée comme un centre de diffusion de forte résonance qui piège
temporairement l’onde avant de la ré-émettre.
Cette étude démontre, non seulement que la réfraction des fronts d’onde a lieu du même côté de
la normale à l’interface que l’onde incidente, mais aussi le fait que l’onde reste piégée à l’interface
des deux milieux pendant un certain laps de temps [25].
Ce délai transitoire permet également de démontrer que la propagation reste causale car la
vitesse du rayon extérieur du faisceau ne doit à aucun moment dépasser la vitesse de la lumière
pour pouvoir se réfracter selon un angle négatif, contrairement aux affirmations de Valanju et al. [33].
Version provisoire
1.2 généralités sur les mirn
15
Fig. 1.11 – Cartographie du champ électrique à l’instant t = 31t0 (solution en régime établi) [32]
1.2.6
Puissance transmise à l’interface d’un mirn et d’un mirp
Il nous reste maintenant à vérifier que la réfraction négative des fronts d’onde à une interface
s’accompagne nécessairement d’une réfraction négative de la puissance transmise. Ce paragraphe
traite d’abord de la définition adéquate de la direction de propagation de l’énergie dans un mirn.
Les résultats issus d’un calcul explicite de la puissance électromagnétique dans un mirn seront
ensuite présentés pour vérifier la réfraction négative de la puissance.
1.2.6.1
Polémique sur la définition de la direction de propagation de l’énergie dans
un mirn
P. Valanju et al. [33] affirmaient également que la nature dispersive des mirn rend la rétropropagation de la puissance impossible. Selon eux, bien que la vitesse de phase vϕ = ω/β soit négative, la
vitesse de groupe vg = ∂ω/∂β (qui correspond au sens de la propagation de l’énergie) est réfractée
suivant un angle positif.
À titre illustratif, la figure 1.12 montre la réfraction d’une onde plane quasi monochromatique
incidente selon un angle θi à l’interface d’un mirn et d’un mirp. P. Valanju et al. définissent la
direction de la vitesse de groupe comme celle parallèle à la normale aux fronts d’ondes dans le
milieu. Ils en déduisent qu’il est positif (voir figure 1.12).
Fig. 1.12 – Onde plane quasi monochromatique incident selon un angle θi à l’interface d’un mirn
et d’un mirp [33]
J. B. Pendry et al. [34] ont par la suite démontré que la normale aux fronts d’onde ne pouvait
être utilisée pour déterminer la vitesse de groupe dans le cas général d’un matériau dispersif.
En effet, la vitesse de groupe est perpendiculaire aux fronts d’onde uniquement dans le cas
où l’onde incidente contient des composantes fréquentielles ayant des vecteurs d’onde parallèles.
16
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Chaque composante fréquentielle étant réfractée selon un angle différent, la normale aux fronts
d’interférences résultants ne représente pas la direction de propagation de l’énergie totale.
Ainsi, sur la figure 1.13(b), on peut remarquer que la normale aux fronts d’onde ne correspond
pas à la vitesse de groupe contrairement à la figure 1.13(a) où les fronts d’onde sont parallèles.
Fig. 1.13 – Propagation de deux ondes dans un milieu isotrope : (a) les deux ondes ont des vecteurs
d’onde parallèles et (b) les deux ondes ont des vecteurs d’onde non parallèles [34]
1.2.6.2
Calcul explicite (compte tenu de la dispersion) de la direction de réfraction
de la puissance dans un mirn
Un mirn, étant nécessairement dispersif, Pacheco et al. [24] ont étudié l’influence de la dispersion
sur la direction de réfraction de la puissance.
Ils démontrent qu’à l’interface d’un mirn et d’un mirp, le vecteur de Poynting (donnant la
relation entre la variation temporelle de l’énergie électromagnétique dans une zone d’espace et le
flux de puissance à travers la surface décrite par cette zone d’espace) se réfracte à un angle négatif
en accord avec le principe de la causalité.
Pour cela, ils calculent le champ électrique et magnétique dans un mirn et un mirp dispersif
par une source multifréquences (figure 1.14).
Fig. 1.14 – Interface air/mirn dispersif ou air/mirp dispersif modélisée (la région 1 représente le
matériau dispersif et la région 0 le vide) [24]
Ils comparent par la suite les résultats obtenus pour une interface mirp/mirp à celle d’un
mirp/mirp.
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
17
Les figures 1.15 et 1.16 montrent des cartographies de la composante Sx du vecteur de Poynting
selon l’axe x̂ à un instant donné. On considère une onde plane incidente selon un angle θi = 45° et
composée de deux fréquences discrètes :
– f1 = 10,5 GHz et
– f2 = 11,5 GHz.
Pour les mirp :
– ε1 (ω1 ) = 2, ε1 (ω2 ) = 1, 5,
– µ1 (ω1 ) = µ1 (ω2 ) = 1,
et pour les mirn :
– ε1 (ω1 ) = −2, ε1 (ω2 ) = −1, 5,
– µ1 (ω1 ) = µ1 (ω2 ) = −1.
Dans les deux cas, la direction de propagation de la puissance (indiquée par les flèches blanches)
n’est pas perpendiculaire aux fronts d’onde. D’autre part, la composante Sx du vecteur de Poynting
est positive pour l’interface air/mirp et négative pour l’interface air/mirn.
Fig. 1.15 – Composante Sx en amplitude (la
direction du vecteur de Poynting est indiquée
par les flèches blanches) pour une interface
mirp/mirp. λ0 est la longueur d’onde correspondant à la fréquence moyenne [24]
Fig. 1.16 – Composante Sx en amplitude (la
direction du vecteur de Poynting est indiquée
par les flèches blanches) pour une interface
mirp/mirn [24]
Cette étude [24], basée sur le calcul explicite du vecteur de Poynting dans un milieu dispersif à
indice de réfraction négatif pour un signal multifréquences, nous démontre que la réfraction négative
de la puissance dans un tel milieu est possible et est en accord avec le principe de causalité.
1.3
Synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
D’un point de vue microscopique, un matériau peut être considéré comme étant constitué d’un
ensemble de particules. L’interaction d’une onde électromagnétique avec ces particules peut être
décrite macroscopiquement à l’aide d’un indice de réfraction.
Les matériaux à indice de réfraction négatif n’existant pas dans la nature, ils sont obtenus
grâce à la mise en œuvre de particules de géométrie spécifique interagissant avec une onde, de
sorte que l’on puisse assimiler leur comportement macroscopique à un indice de réfraction négatif
18
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
effectif. La notion de paramètres effectifs peut être introduite compte tenu des faibles dimensions
des hétérogénéités devant la longueur d’onde dans le milieu hôte.
Les objectifs du travail bibliographique présenté dans ce paragraphe sur le concept de matériau
à indice de réfraction négatif sont les suivants :
– décrire le principe de fonctionnement et la conception des structures proposées pour la réalisation de matériaux à indice de réfraction négatif (§ 1.3.1 - § 1.3.3) ;
– répertorier les différentes structures alternatives permettant de réaliser un indice de réfraction
négatif (§ 1.3.4).
Concrètement, ce type de matériau consiste en général en un milieu structuré dont les différents
constituants interagissent :
– avec le champ électrique conduisant à un εeff négatif [35] (figure 1.17 du § 1.3.1) et
– avec le champ magnétique conduisant à un µeff négatif [36] (figure 1.19 du § 1.3.2).
1.3.1
Étude des tiges ou du milieu à permittivité négative
Les seuls diélectriques connus ayant une permittivité négative sont les plasmas. Dans le but
d’approcher les caractéristiques électriques des plasmas aux fréquences microondes, l’utilisation
d’un diélectrique artificiel composé d’un réseau de tiges métalliques périodiquement espacées avait
été proposée au début des années 50 [37, 38].
Plus récemment, J. B. Pendry [35] a introduit une théorie permettant de relier les grandeurs
quantiques d’un plasma aux grandeurs géométriques du réseau de tiges.
La fréquence plasma des métaux est typiquement de l’ordre de quelques PHz (1015 Hz). Dans le
spectre visible et ultra-violet proche, la notion de plasmons(2) permet d’assimiler le comportement
des métaux à un plasma : lors de l’interaction avec une onde électromagnétique, le nuage électronique
du métal se déplace créant un surplus de charges de signe opposé à l’autre extrémité et ainsi, une
force de rappel due à un mouvement harmonique de pulsation caractéristique ωp donnée par la
relation suivante :
ωp2 =
N e2
ε0 meff
(1.19)
où ωp désigne la pulsation plasma, N la concentration volumique de charge, e la charge d’un électron
et meff sa masse effective. Suivant le modèle de Drude, la fonction diélectrique peut se mettre sous
la forme suivante :
ε(ω) = 1 −
où γ représente le paramètre de dissipation.
ωp2
ω(ω − jγ)
(1.20)
À plus basses fréquences (de l’ordre du GHz), la dissipation est plus importante et elle rend
impossible l’observation de ce phénomène. La solution proposée par J. B. Pendry [35] consiste en
l’utilisation d’un réseau de tiges métalliques plutôt que d’utiliser uniquement du métal.
Ceci permet :
– la dilution de la concentration moyenne en charges électroniques dans le milieu ;
– l’augmentation de la masse effective des électrons grâce à l’inductance propre de chaque tige,
conduisant ainsi en une baisse de la fréquence plasma à des fréquences microondes (relation (1.19)).
(2)
Un plasmon est une excitation collective de la densité électronique.
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
19
Fig. 1.17 – Réseau de tiges métalliques de rayon r très faible par rapport à l’espacement entre les
tiges a proposé par J. B. Pendry [35]
Le lien entre les grandeurs macroscopiques du réseau de tiges et les grandeurs quantiques du
plasma sera explicité dans le chapitre 3(§ 3.2, p. 66) où l’extraction de la permittivité effective sera
également expliquée.
1.3.2
1.3.2.1
Étude des SRRs ou du milieu à perméabilité négative
Les SRRs proposés
Pour obtenir des structures métalliques possédant des réponses magnétiques variées sans utilisation de matériaux ferromagnétiques, J. B. Pendry et al. [36] ont proposé l’insertion d’éléments
capacitifs (figure 1.18).
Fig. 1.18 – Deux anneaux imbriqués avec la
densité de courant induite dans les anneaux
intérieur et extérieur
Fig. 1.19 – Cylindres de résonateurs à fentes
(a) et leur répartition spatiale (b)
Le principe de fonctionnement repose sur l’interaction résonante qui existe entre l’inductance
propre du cylindre et ces éléments capacitifs (figure 1.19b).
Quand on applique un champ magnétique dirigé suivant l’axe des cylindres, le courant circulant
autour de ces cylindres nous donne l’impression que leurs extrémités supportent des pôles magnétiques libres comme dans le cas d’un barreau aimanté. Chaque cylindre se comporte donc comme un
20
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
dipôle magnétique et le réseau de cylindres peut être assimilé à un milieu de perméabilité relative
µr différente de 1, voire négative.
Pour appliquer la théorie des milieux effectifs à ce milieu (figure 1.19) composé de résonateurs
à fentes répartis périodiquement dans une matrice diélectrique, les dimensions des anneaux doivent
être petites devant la longueur d’onde [36]. La présence de coupure dans les anneaux permet de diminuer la fréquence de résonance du système et ainsi, d’obtenir une structure résonante de dimension
de λ/10 (par rapport à λ/4 pour un anneau non interrompu).
Une étude exhaustive des milieux constitués de boucles résonantes montre que leur perméabilité
relative peut être négative sur une bande de fréquence. Cette étude sera explicitée dans le chapitre 5.
Nous verrons également dans le chapitre 4 que des dimensions d’anneaux petites devant la longueur
d’onde ne sont pas suffisantes pour la définition du composite comme un milieu effectif continu.
1.3.2.2
srrs tridimensionnels isotropes
Compte tenu de la forte dépendance de ces structures à la polarisation de l’onde incidente, P.
Gay-Balmaz et al. [39] ont proposé de nouvelles structures 3D à isotropie bidimensionnelle.
La figure 1.20 montre deux SRRs imbriqués à 90°. Ils sont réalisés en mousse (Rohacell HF 51
de permittivité εr = 1, 07) métallisée (bande d’aluminium d’épaisseur 50 µm). Le diamètre externe
des boucles est de 40 mm, le diamètre interne de 30 mm et la dimension de la fente des anneaux
de 6 mm.
Fig. 1.20 – SRRs imbriqués à 90° faits de bandes d’aluminium déposées sur de la mousse de largeur
4 mm
La direction de propagation de l’onde incidente est indiquée par l’angle ϕ sur la figure 1.20.
Les courbes montrant l’évolution du coefficient de transmission en fonction de la fréquence pour
différentes valeurs de ϕ sont exactement superposables, témoignant ainsi d’une isotropie bidimensionnelle parfaite (figure 1.21).
Il est à noter que les dimensions électriques sont de l’ordre de λ/8 à la fréquence de résonance ;
cette structure est donc un candidat potentiel pour la constitution d’un milieu effectif isotrope à
perméabilité négative.
1.3.3
Milieu à indice de réfraction négatif
En 2000, Smith et al. [40] ont assemblé ces deux structures (figure 1.17 et figure 1.18) pour
réaliser le premier métamatériau à indice de réfraction négatif (figure 1.22).
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
21
Fig. 1.21 – Variation du coefficient de transmission en fonction de la fréquence obtenu dans un
guide d’onde rectangulaire R9 dont le mode TE10 est excité pour ϕ variant de 0 à 90°
Fig. 1.22 – Structure de Smith à indice de réfraction négatif [41]
Chaque cellule unitaire (figure 1.24) est composée de six SRRs carrés (dont le motif élémentaire
est décrit sur la figure 1.23) et de deux pistes de longueur 1 cm chacune. Ces motifs sont imprimés
sur de la fibre de verre de permittivité εr = 3, 4 et ayant de faibles pertes (valeur non précisée). Les
périodes transversale et longitudinale sont de 5 mm.
Fig. 1.23 – Un SRR du réseau (c = 0,25 mm,
d = 0,30 mm, g = 0,46 mm et w =
2,62 mm) [42]
Fig. 1.24 – La cellule unitaire [42]
Les mesures effectuées en transmission (figure 1.25) montrent que ces matériaux présentent de
fortes pertes (d’environ -25 dB) dans leur bande de fréquence de fonctionnement. Le deuxième
inconvénient de ce matériau est l’étroitesse de sa bande passante (environ 500 MHz au voisinage de
11 GHz). Dans ce cas, on se place également à la limite de la théorie des milieux effectifs car les
dimensions électriques des SRRs sont de l’ordre de λ/6.
22
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.25 – Coefficient de transmission mesuré pour les SRRs seuls (trait pointillé) et le métamatériau (trait plein) [42]
Pour mettre en évidence l’indice de réfraction négatif de ce métamatériau, Smith et al. [43] ont
également mis au point un montage expérimental (décrit figure 1.27) basé sur le prisme de Newton
(figure 1.26) et les lois de Snell-Descartes.
Fig. 1.26 – Rayon transmis dans l’air pour
un matériau à indice de réfraction négatif
selon la loi de Snell-Descartes na sin θa =
nm sin θm [43]
Fig. 1.27 – Montage expérimental [43]
L’échantillon est placé entre deux plaques d’aluminium distantes de 1,2 cm (formant un guide
métallique à plaques parallèles). Des absorbants sont placés tout autour du prisme pour éviter les
réflexions parasites. L’onde incidente est injectée par un guide selon un angle d’incidence constant
θm (à droite sur la figure 1.28). La puissance reçue est mesurée en fonction de l’angle θa par
l’intermédiaire d’une transition guide d’onde coaxial ayant comme ouverture 2,3 cm dans le plan
horizontal). Le rayon du cercle représentant la distance entre le détecteur et le prisme est de 15 mm.
Les mesures de puissance effectuées en fonction de l’angle θa pour une fréquence fixe de 10,5 GHz
sont représentées figure 1.28. L’angle de réfraction correspondant à l’amplitude maximale de la
puissance reçue est négatif (≈ -60°) pour le mirn et positif (≈ 28°) pour le mirp utilisé comme
référence (téflon).
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
23
Fig. 1.28 – Comparaison des puissances reçues en fonction de l’angle θa pour un matériau structuré
à indice négatif et un mirn (téflon) [43]
Cette valeur négative de l’angle de réfraction permet de déduire que l’indice du milieu constituant le prisme est négatif [43]. Cependant, étant donnée la nature discrète de la structure, cette
démonstration a suscité de nombreuses critiques [44]. En particulier, Sanz et al. estiment que les
pertes, la structure guidée et le fait que les mesures n’aient pas été effectuées en champ lointain
rendent ces résultats non interprétables. Dans ces conditions, un angle de réfraction négatif n’implique pas nécessairement un indice de réfraction négatif. En effet, ces matériaux présentaient des
pertes conséquentes et les mesures en champ lointain étaient par conséquent difficilement réalisables.
Étude sur l’origine des pertes En 2003, G. Parazzoli et al. [45] ont identifié l’origine de ces
pertes. Ils ont également démontré de manière expérimentale la possibilité de réaliser des matériaux
à indice de réfraction négatif à faibles pertes (figure 1.29) ou à pertes comparables aux matériaux
conventionnels.
La cellule élémentaire (figure 1.30) de la structure comporte deux pistes par SRR. Cela permet
d’obtenir une réflectivité suffisante et donc une permittivité εeff négative. Les motifs sont imprimés
sur un diélectrique de permittivité εr = 2, 2 et tan δ = 0, 0009.
Ils démontrent que les pertes sont essentiellement liées (i) au diélectrique sur lequel les motifs
sont gravés et (ii) aux adhésifs utilisés pour tenir les différentes couches. Ils recommandent également l’utilisation de diélectrique à très faibles pertes dans toutes les zones de forte concentration
de champ, telles que dans les gaps des anneaux des SRRs. À titre illustratif, ils comparent les coefficients de transmission (figure 1.31) de structures avec et sans adhésifs. Les adhésifs utilisés ont
une permittivité εr = 2, 68 et une tangente d’angle de perte tan δ = 0, 016. En présence d’adhésifs, le coefficient de transmission est plus faible de 10 %. Les amplitudes mesurées et simulées du
paramètre S21 sont en accord malgré leur décalage fréquentiel d’environ 250 MHz.
Des mesures en champ lointain ont été effectuées en utilisant le même principe [46] que celui
décrit (figure 1.26) car les structures fabriquées possèdent de faibles pertes [47].
Un faisceau focalisé est injecté à 30,5 cm du prisme composé de matériau structuré (figure 1.32).
La puissance transmise est mesurée à 66 cm de l’échantillon par l’intermédiaire d’une sonde que
l’on fait tourner suivant un arc de cercle autour du matériau.
La cartographie spatiale et fréquentielle ainsi obtenue (figure 1.33) montre que :
24
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.29 – Cellule unitaire de la structure :
C = 0,025 cm, D = 0,030 cm, G = 0,046 cm,
H = 0,0254 cm, L = 0,33 cm, S = 0,263 cm,
T = 17 µm, W = 0,025 cm, V = 0,255 cm.
La direction de propagation est suivant l’axe
des X, le champ électrique est orienté selon
Z et le champ magnétique selon Y [46].
Fig. 1.30 – Métamatériau à indice de réfraction négatif à faibles pertes [45]
Fig. 1.31 – Comparaison entre les coefficients de transmission mesurés/simulés avec et sans adhésifs [45]
– l’angle de transmission à l’interface oblique du prisme est négatif (environ -20°) par rapport
au téflon (environ 40°) ;
– le métamatériau est dispersif ;
– la bande passante du métamatériau est faible.
Pour le téflon, l’amplitude demeure presque constante sur toute la bande de mesure (12,2 GHz13,6 GHz).
Ce métamateriau à faibles pertes a également été caractérisé en espace libre grâce à un banc
focalisé [48]. L’échantillon à caractériser est placé au centre et des absorbants sont disposés à sa
périphérie pour éviter les trajets directs (figure 1.34).
Les résultats expérimentaux ainsi obtenus sont présentés figure 1.35.
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
25
Fig. 1.32 – Description du banc de mesure utilisé
Fig. 1.33 – Evolution du module du champ électrique (normalisé) en fonction de la fréquence et de
l’angle de rotation du détecteur [46]
Fig. 1.34 – Dispositif expérimental pour les mesures de coefficients de réflexion et de transmission [48]
On peut remarquer que dans la bande de fréquence où l’indice de réfraction est négatif, on collecte
presque 90 % de la puissance émise (les pertes sont uniquement d’environ 1 dB). L’accord entre
l’amplitude des coefficients de transmission simulée et mesurée démontre également l’exactitude de
leur interprétation quant à l’origine des pertes.
Bien que l’inconvénient présenté par ces structures en terme de pertes ait été surmonté, il reste
encore celui de l’étroitesse de la bande passante (de l’ordre de 500 MHz). Ces résultats sont très
encourageants et démontrent que les mirn ayant d’aussi faibles pertes que les mirp sont réalisables
et nous permettent de réfléchir à d’éventuelles applications pour ce matériau.
26
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.35 – Comparaison des résultats de mesures et de simulation pour les coefficients de réflexion
et de transmission [48]
1.3.4
Alternatives aux réseaux de srr et de tiges métalliques
D’autres matériaux composites présentant des propriétés magnétiques artificielles dues aux phénomènes de résonances au sein d’inclusions non magnétiques ont été étudiés. Les propriétés effectives
de ces matériaux proviennent également du moment dipolaire induit par le champ électrique ou magnétique au sein de ces inclusions. Les inclusions étudiées sont principalement constituées d’hélice,
de particules en « Ω » et de particules diélectriques (petites devant λ) ayant une très forte permittivité diélectrique et de faibles pertes : |ε| = |ε′ − iε′′ | ≈ 103 . L’ensemble de ces structures constituent
des alternatives aux SRRs usuellement utilisés pour l’obtention d’une perméabilité négative.
1.3.4.1
Matériaux composites à résonateurs diélectriques
La structure proposée (figure 1.36) est un réseau de tiges diélectriques permettant d’obtenir une
perméabilité négative qui ne dépend pas de la résonance LC des tiges mais de la résonance de Mie
au sein de chaque tige diélectrique. Dans le but d’avoir un espacement d entre les tiges beaucoup
plus petit que la longueur d’onde de travail à la fréquence de résonance, Lagarkov et al. [49] ont
proposé d’utiliser des inclusions à base de matériaux ferroélectriques tel que le BaTiO3 ayant une
permittivité très élevée. La définition d’une constante diélectrique et magnétique effective de ce
milieu peut alors se faire sans ambiguïté.
Les fréquences propres ωn d’un résonateur diélectrique sphérique de rayon a et de permittivité
ε sont données par :
nc
ωn
= √ , n = 1, 2, 3...
2π
2a ε
ωl
(2l + 1)c
√ , n = 1, 2, 3...
Modes TM :
=
2π
4a ε
Modes TE :
(1.21)
(1.22)
où c est la vitesse de la lumière.
Version provisoire
1.3 synthèse de mirn à l’aide d’inclusions résonantes
27
Fig. 1.36 – Tiges de matériau ferroélectrique
La section des tiges peut être carrée ou circulaire car pour un volume de matériau V0 équivalent,
les fréquences propres d’un résonateur cubique et sphérique sont quasiment identiques (si ε′ >
100). Les mesures de la perméabilité présentées figure 1.37 ont été effectués pour des matériaux
effectivement 1D avec des couches de matériau ferroélectrique de BaTiO3 d’épaisseur de 1 ou 2 mm
placées successivement entre des films de polyuréthane de permittivité relative ε′ ≈ 4 (La convention
utilisée ici est exp(−jωt)).
Fig. 1.37 – Variation de la perméabilité complexe avec la fréquence (résultats de mesures) pour
un composite monocouche composé de résonateurs diélectriques (résonateurs à section carrée,
ε′ ≈ 3000, fraction volumique de 68%.
Une perméabilité négative est obtenue sur une très faible bande de fréquence. Les pertes présentées sont élevées.
1.3.4.2
Matériaux composites à hélices
Le composite proposé [49] est constitué d’hélices main gauche et main droite (figure 1.38). Les
hélices sont dites main gauche ou main droite selon le sens de l’enroulement, donc de la circulation
du courant induit dans les hélices.
Les résultats expérimentaux obtenus pour ce composite sont montrés dans les figures 1.40 et 1.41.
La permittivité et la perméabilité sont simultanément négatives pour des fréquences comprises entre
28
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.38 – Echantillon réalisé avec des fils
de Nichrome de diamètre 0,4 mm
Fig. 1.39 – Cellule unitaire de la structure
avec un sens d’enroulement opposé pour L2,
L4 et L1, L3
2,8 GHz et 3 GHz. Ce composite est en soit un mirn et ne nécessite pas comme les structures présentées précédemment l’ajout d’élément présentant une permittivité négative. Cependant, cette structure résonante à sa fréquence de fonctionnement possède une bande passante très étroite (environ
200 MHz). Les pertes présentées sont également très élevées.
Fig. 1.40 – Variation de la permittivité complexe en fonction de la fréquence (résultats
de mesures)
1.3.4.3
Fig. 1.41 – Variation de la perméabilité complexe en fonction de la fréquence (résultats de
mesures)
Structures isotropes à base de particule en « Ω »
Pour synthétiser un mirn, Simovski et al. [50] proposent d’utiliser des particules en « Ω » plutôt
que des SRRs. Ils suggèrent également de disposer ces particules sur les faces d’un cube afin d’obtenir
un milieu effectif isotrope.
La variation de la permittivité et de la perméabilité complexes en fonction de la fréquence
(figure 1.45 et figure 1.46) de cette structure est obtenue analytiquement par le modèle de MaxwellGarnett. Ce modèle peut être utilisé car l’hypothèse de la répartition pseudo-aléatoire des inclusions
est respectée. L’intérêt de cette structure réside dans l’existence d’une fréquence (f = 4,1 GHz) pour
laquelle on a ℜ(ε) = ℜ(µ) = −1 pour le composite. Cependant, elle présente également une bande
passante étroite et des pertes très élevées aux fréquences de fonctionnement.
Version provisoire
1.4 synthèse de mirn à l’aide de lignes de transmissions duales
Fig. 1.42 – Particule en « Ω
» avec δ ≪ a, L = 3 mm, a =
3 mm, r0 = 0,1 mm
Fig. 1.43 – Cellule unitaire
de dimensions 6, 5 × 6, 5 ×
6, 5 mm3 , avec substrat ε = 2
Fig. 1.45 – Partie réelle de la perméabilité et
de la permittivité en fonction de la fréquence
1.4
29
Fig. 1.44 – Disposition des
particules en « Ω » pour l’obtention d’un milieu isotrope
Fig. 1.46 – Partie imaginaire de la perméabilité et de la permittivité en fonction de la
fréquence
Synthèse de mirn à l’aide de lignes de transmissions duales
Eleftheriades et al. [51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] ont récemment mis au point de nouvelles
structures de mirn en prenant une approche radicalement différente de celles proposées jusqu’à
présent. Celle-ci trouve son origine dans l’analogie qui existe entre la propagation des ondes transverses électromagnétiques dans les lignes de transmission et la propagation d’une onde plane dans
un matériau homogène et isotrope de permittivité ε et de perméabilité µ. Le métamatériau proposé est constitué d’une ligne de transmission périodiquement chargée par des éléments localisés
(inductances et condensateurs).
1.4.1
Principe
En comparant les différentes équations différentielles régissant la propagation dans les deux cas,
l’inductance L (du modèle distribué de la ligne de transmission - figure 1.47) peut être reliée à µ et
la capacité C à ε. Pour des valeurs négatives de ε et µ, il faut considérer la représentation duale de
la ligne (capacité série, inductance parallèle : figure 1.48).
Pour la ligne de transmission duale de longueur ∆x, la constante de propagation β [60] est
donnée par :
30
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.47 – Modèle distribué de la ligne de
transmission conventionnelle
Fig. 1.48 – Modèle distribué de la ligne de
transmission duale
1
β=− √
ω LC∆x
(1.23)
La vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupe vg sont antiparallèles, comme le montrent les
relations (1.24) et (1.25).
√
ω
= −ω 2 LC∆x < 0
β
√
∂ω
vg =
= ω 2 LC∆x > 0
∂β
(1.24)
vϕ =
(1.25)
Un indice de réfraction n peut ainsi être défini pour ce réseau :
n=
−1
c
= √ √
vϕ
ω 2 LC ε0 µ0 ∆x
(1.26)
Tout comme dans le cas des mirn (§ 1.2.1), ce milieu supporte les ondes rétropropagées.
Afin de mettre en évidence les propriétés de la ligne duale, des structures ont été réalisées pour
démontrer la réfraction négative due à une interface ligne duale/ligne classique.
1.4.2
Réalisation
Les cellules unitaires sont constituées d’éléments capacitifs et inductifs discrets et sont connectées
entre elles par des lignes de transmission. Ces structures possèdent un certain nombre d’avantages
par rapport aux mirn structurés (§ 1.3) :
– elles sont compactes (dû aux éléments discrets) ;
– elles sont planaires et supportent une propagation en 2D : elles sont donc bien adaptées aux
applications circuits et aux dispositifs hautes fréquences ;
– leur bande passante est plus large.
Nous présentons figure 1.49 un prototype réalisé. Le réseau de cellules d’éléments discrets et le
guide à plaques parallèles constituent respectivement le mirn et le mirp. Le guide est excité par
une sonde verticale branchée à un connecteur SMA. Des puces résistives sont utilisées sur les bords
du prototype pour l’adaptation.
Une sonde de champ proche est ensuite utilisée pour mesurer par couplage de proximité la valeur
du champ électrique vertical sur toute la surface de la structure. On observe effectivement un point
Version provisoire
1.5 synthèse de mirn à l’aide de cristaux photoniques
31
Fig. 1.49 – Prototype du réseau de 11 × 6 cellules unitaires situé à droite d’un guide à plaques
métalliques parallèles
de focalisation (figure 1.50) dans le mirn démontrant que cette interface se comporte bien comme
une interface mirn/mirp (§ 1.2.5).
Fig. 1.50 – Démonstration de la focalisation dans un mirn à base de lignes de transmission duales :
résultats numériques (a) et expérimentaux (b)
Une démonstration de la rétropropagation sur des lignes main gauches a récemment été faite
par T. Crépin et al. aux fréquences TéraHertz [61].
1.5
Synthèse de mirn à l’aide de cristaux photoniques
Les cristaux photoniques diélectriques [62, 63, 64, 65] ou métalliques [66] peuvent également
permettre l’obtention d’un indice de réfraction négatif en régime micro-onde et optique. L’indice
de réfraction est prévu à partir du diagramme de dispersion (figure 1.51) [65] et ses courbes isofréquences.
Dans la deuxième bande de propagation, une pente négative indique que la vitesse de phase et
la vitesse de groupe sont opposées sur le contour ΓX de la zone de Brillouin. Pour mieux illustrer
la réfraction négative pour un cristal fini, il convient d’étudier le cristal à une fréquence normalisée
(a/λ ≈ 0.5) où il présente un indice de réfraction négatif sur le contour M Γ (représentant les
angles d’incidence différentes de la normale) [65]. Il est illuminé par une faisceau fini gaussien à un
32
généralités et synthèse bibliographique sur les mirn
Fig. 1.51 – Diagramme de dispersion du cristal photonique diélectrique (ε = 9) dans la première
zone de Brillouin [65].
angle de 40 [65]. La cartographie de champ montrée figure 1.52 illustre la réfraction négative du
faisceau à la première et la deuxième interface du cristal photonique.
Fig. 1.52 – Cartographie de champ représentant la réfraction négative par un cristal photonique
fini illuminé par un faisceau gaussien [65].
Bien que ces structures périodiques soient utilisées en régime de Bragg, c’est à dire pour des
périodicités de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde, il a été démontré qu’elles pouvaient être
considérées comme étant un matériau homogène avec un indice de réfraction effectif [65].
1.6
Conclusion
Dans ce chapitre, les deux principaux objectifs que nous nous étions fixés sont : (i) l’étude
des caractéristiques générales des mirn, et (ii) leur mise en œuvre. Les travaux présentés sont
majoritairement issus de la littérature. Trois approches différentes ont été décrites pour la synthèse
de mirn, notamment l’utilisation d’inclusions résonantes (§ 1.3), de lignes de transmission duales
(§ 1.4) et des cristaux photoniques en régime vitesse de phase négative (§ 1.5).
Nous avons approfondi, en particulier, l’approche qui consiste à considérer un mirn comme un
milieu ayant une permittivité et une perméabilité simultanément négatives. C’est cette approche
Version provisoire
33
1.6 conclusion
qui a été privilégiée dans cette thèse et qui sera utilisée dans le reste du manuscrit. Nous rappelons
ci-après les principaux caractéristiques des mirn.
Récapitulatif des caractéristiques générales des mirn Les milieux à permittivité et à perméabilité négatives appartiennent au troisième quadrant de l’espace (ε, µ) et les caractéristiques de
propagation d’une onde électromagnétique y sont particulières. Pour un milieu linéaire, isotrope et
−
→
−
→
libre de sources, le vecteur d’onde k et le vecteur de Poynting S sont anti-parallèles. La vitesse de
phase vϕ de l’onde est négative alors que la vitesse de groupe vg est positive.
Les contraintes fondamentales sur les paramètres électromagnétiques d’un matériau du troisième
quadrant sont rappelées dans le tableau 1.1. Celles des matériaux du premier quadrant sont également présentées pour comparaison. Notons que ces contraintes ont été établies en s’appuyant sur le
principe de causalité et des lois de la conservation issues de la théorie de Maxwell.
Signe
Signe
Signe
Signe
Signe
Signe
Signe
Signe
de
de
de
de
de
de
de
de
Re[ε(ω)]
Im[ε(ω)]
Re[µ(ω)]
Im[µ(ω)]
Re[n(ω)]
Im[n(ω)]
Re[Z(ω)]
Im[Z(ω)]
Convention exp(−jωt)
1er quadrant 3ème quadrant
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+/+/-
Convention exp(jωt)
1er quadrant 3ème quadrant
+
+
+
+
+
+/+/-
Tab. 1.1 – Récapitulatif des contraintes fondamentales pour des matériaux du premier et du troisième quadrant pour les deux conventions.
Récapitulatif sur la propagation d’onde à une interface mirn/mirp Les conditions de
continuité des champs à une interface mirn/mirp ont été précisées. Nous avons vu que la réfraction
négative reste causale ; un délai transitoire permet à l’onde de se « réorganiser » avant de se réfracter selon un angle négatif. Il a également été montré que cette réfraction négative s’accompagne
nécessairement d’une réfraction négative de la puissance transmise à travers l’interface.
La compréhension des caractéristiques générales des mirn, des interfaces mirn/mirp et des
contraintes fondamentales des mirn est essentielle car elle constitue la première étape vers l’étude
de leur mise en oeuvre et de leurs applications potentielles.
Mise en œuvre des mirn La synthèse des mirn à l’aide d’un réseau périodique de fils métalliques et de boucles résonantes (srr) a été particulièrement traitée. Des modifications ont été
apportées sur la structure d’origine proposée par Smith et al. [40] par l’équipe de Boeing Phantom
Works [45]. Les pertes présentées par le milieu ont été diminuées et ces métamatériaux constituent
à ce jour les mirn (adaptés à l’espace libre) les plus performants. Ces structures seront retenues
dans la suite de l’étude comme structure nominale présentant un indice de réfraction négatif. Des
structures alternatives (aux réseaux de tiges et srr) ont également été présentées mais elles ne
feront pas l’objet d’étude approfondie dans la suite du travail.
Première partie
Problématique d’homogénéisation de
métamatériaux
Introduction de la Partie I
En électromagnétisme, la combinaison de deux ou plusieurs matériaux (par exemple, des inclusions diélectriques ou métalliques noyées dans une matrice diélectrique) donnent un composite ou un
matériau ayant de nouvelles propriétés (diélectriques et/ou magnétiques). Ces propriétés découlent
de différentes caractéristiques et phénomènes, notamment :
– de fortes hétérogénéités générées par le contraste diélectrique entre la permittivité du diélectrique et les particules métalliques,
– des courants induits dans les particules métalliques par l’onde hyperfréquences. Ces courants
peuvent osciller de manière dépendante ou indépendante de l’onde excitatrice générant des
résonances "dynamiques" ou "statiques".
Si nous considérons des composites métallo-diélectriques (inclusions métalliques dans un diélectrique), nous pouvons les distinguer en fonction de la géométrie des inclusions métalliques, de
leur répartition (aléatoire ou périodique), de leur concentration et de leurs dimensions électriques.
Les composites ou milieux hétérogènes peuvent diffuser le rayonnement électromagnétique de deux
manières spécifiques.
D’une part, quand les hétérogénéités sont de petite taille et séparées de distances très inférieures
à la longueur d’onde, les champs diffusés par chaque particule interfèrent constructivement uniquement dans les directions spéculaires (pour le champ transmis et le champ réfléchi) [67]. Un tel milieu
peut être remplacé par un milieu homogène équivalent car l’essentiel de l’énergie reste focalisé dans
les directions spéculaires (figure I(a)).
(a) Milieu homogénéisable
(b) Milieu non-homogénéisable
Fig. 1.53 – Diffusion du rayonnement électromagnétique dans des directions spéculaires pour le
composite homogénéisable (a) et dans de multiples directions pour le composite non-homogénéisable
(b).
D’autre part, (figure I(b)), le milieu hétérogène peut diffuser le rayonnement incident dans de
multiples directions. Dans ce cas, il n’est pas homogénéisable.
37
38
En hyperfréquences, compte tenu des dimensions des inclusions devant la longueur d’onde de
travail, on peut faire l’hypothèse que les composites sont homogénéisables. En effet, la périodicité
de répartition des inclusions est inférieure au dixième de la longueur d’onde de travail et l’inclusion
est elle même 10 fois plus petite que la période.
L’objectif de cette première partie est de traiter particulièrement la problématique de la détermination des paramètres électromagnétiques d’un milieu effectif associé à un composite métallodiélectrique.
Nous commencerons par définir dans le chapitre 2, le concept de milieu effectif tel que nous
l’appliquerons au mirn. Nous avons notamment considéré que les mirn appartiennent à une catégorie de composites périodiques particulière où les inclusions possèdent une fréquence de résonance
propre. Des approches « globales » (par opposition aux approches « locales ») seront mises en œuvre
pour le calcul des paramètres effectifs. Il s’agira de méthodes d’« inversion » directe et itérative et
de méthodes de calcul de diagramme de dispersion. Les avantages et inconvénients de ces approches
seront traités.
Ces méthodes seront ensuite appliquées aux composites métallo-diélectriques et ces analyses
seront présentées dans le chapitre 3. L’objectif de ce chapitre est d’analyser des composites ayant des
réponses électromagnétiques variées. Nous considérons des composites ayant une réponse diélectrique
non-résonante, résonante et magnétique résonante et non résonante. Nous traiterons enfin les mirn
constitués de l’association d’un réseau d’anneaux résonants (srr) ayant une réponse magnétique et
d’un réseau de pistes continues ayant une réponse diélectrique.
Un des inconvénients des méthodes de détermination de paramètres effectifs que nous utilisons
est leur caractère « opaque ». En effet, nous pouvons obtenir un résultat dans tous les cas, et
ce résultat sera mathématiquement correct. C’est pourquoi il est essentiel d’effectuer une analyse
physique a posteriori ; le chapitre 4 sera intégralement consacré à l’analyse et l’interprétation des
paramètres effectifs.
Version provisoire
Chapitre 2
Méthodes d’homogénéisation de
composites en hyperfréquences
2.1
Introduction
Les deux objectifs de ce chapitre consacré à l’étude des méthodes d’homogénéisation en hyperfréquences sont : (i) la définition du concept de milieu effectif tel qu’il sera appliqué au mirn, et (ii)
la description des méthodes d’homogénéisation mises en œuvre dans ce travail.
Concept de milieu effectif appliqué au mirn Nous décrirons (§ 2.2) le concept de milieu
effectif tel qu’il est généralement utilisé et tel q’il est utilisé pour les mirn. Ces derniers seront
considérés comme des composites magnéto-diélectriques appartenant à une niche particulière où des
inclusions ayant une résonance propre sont périodiquement réparties dans une matrice diélectrique.
Pour l’analyse de ce type de composite, deux grandes familles d’approches seront distinguées : les
approches dites « locales » et les approches « globales ». Dans ce travail, c’est la seconde approche qui
a été privilégiée. Les avantages et inconvénients de cette approche seront donnés (§ 2.2.4). L’inconvénient majeur de cette approche est le fait que les résultats obtenus, bien que mathématiquement
corrects, peuvent ne pas avoir de signification physique.
La démarche adoptée pour pallier à cet inconvénient sera décrite : elle consiste entre autres,
à définir l’ensemble des solutions physiquement correctes. Pour cela, la signification physique des
paramètres effectifs sera donnée ainsi que les contraintes imposées sur ces derniers (§ 2.2.5). En
outre, une analyse physique a posteriori est requise pour s’assurer de la validité des paramètres
effectifs au sens de l’électrodynamique des milieux continus.
Description des méthodes d’homogénéisation mises en œuvre Nous décrirons la problématique de l’homogénéisation des mirn telle que nous l’avons abordée. Les caractéristiques de
diffraction de la structure hétérogène d’extension finie (§2.3.1) ainsi que les propriétés de propagation au sein de la structure d’extension infinie (problématique mono-bimensionnelle §2.3.2) seront
exploitées.
Une confrontation entre les caractéristiques de propagation calculées au sein de structures d’extension finie et infinie est intéressante car elle permet de mieux appréhender les phénomènes physiques mis en jeu.
39
40
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
Deux méthodes d’« inversion » associées à la problématique mono-dimensionnelle sont mises en
œuvre ; la première s’appuie sur une méthode de résolution directe et la seconde sur une méthode
itérative. Les ambiguïtés liées à chaque méthode seront détaillées.
Les méthodes de calcul de diagrammes de dispersion seront décrites. Les diagrammes de dispersion ou diagrammes k − β permettent de caractériser la propagation au sein des structures
périodiques. Les structures sont considérées d’extension infinie dans la direction de propagation.
2.2
Concept de milieu effectif
Le concept de milieu effectif pour la description de la réponse électromagnétique de systèmes
hétérogènes est utilisé dans plusieurs domaines de la physique. L’idée est de remplacer le système
hétérogène par un système homogène ayant les mêmes réponses électromagnétiques. Ceci peut être
réalisé à l’aide de procédures d’homogénéisation qui permettent de définir une réponse effective à
partir des paramètres caractérisant le milieu hétérogène. L’intérêt du concept de milieu effectif réside
en le calcul de tous les autres paramètres électromagnétique du système en utilisant les relations de
l’électrodynamique des milieux continus.
Dans ce travail, nous nous sommes intéressés aux composites périodiques car les structures à
indice de réfraction négatif qui existent dans la littérature sont essentiellement périodiques. Les
différents types de propagation dans les milieux hétérogènes et périodiques sont résumés figure 2.1.
Fig. 2.1 – Échelle de longueur pour le milieu effectif d’un composite périodique.
La zone de gauche représente la zone quasi-statique où la longueur d’onde est beaucoup plus
grande que la périodicité des inclusions. Les paramètres effectifs du composite dans cette zone
peuvent facilement être calculés à l’aide de solutions quasi-statiques ou en s’appuyant sur des lois
de mélange classiques [68].
La zone de droite représente la zone où le composite est hétérogène et les résonances du milieu
sont associées à sa périodicité. Un tel composite n’est pas homogénéisable. L’étude de ses caractéristiques de propagation étant plus complexes, elle nécessite des méthodes numériques rigoureuses.
Ces méthodes requièrent une discrétisation du volume d’étude : une cellule élémentaire est généralement définie et des conditions de périodicité de Floquet-Bloch sont imposées pour borner le
volume de calcul. Il s’agit typiquement du régime de fonctionnement du régime de fonctionnement
des matériaux à bande interdite photonique.
La zone intermédiaire représente une zone où les inclusions sont résonantes. Les dimensions
électriques des inclusions ainsi que la périodicité sont petites devant la longueur d’onde. Les mirn
appartiennent à cette zone intermédiaire. Un tel milieu sera considéré homogénéisable. La question
Version provisoire
2.2 concept de milieu effectif
41
qui se pose est la suivante : comment étudier les caractéristiques de ce milieu et comment définir le
milieu effectif associé ?
Le concept de milieu effectif n’a en général ni une définition simple ni unique. Nous nous attacherons dans ce paragraphe à donner la définition et l’approche que nous avons privilégiées parmi
celles qui existent.
2.2.1
Définition de milieu effectif pour les composites de la zone intermédiaire
Quand un champ électromagnétique est appliqué à un composite, les champs au sein de ce
composite contiennent des effets du champ appliqué et la réaction des particules constituant ce
composite [69, 70]. Le champ local au sein du composite peut être librement propagatif, propagatif
avec atténuation, ou évanescent. La formation de ce champ local est un processus physique compliqué où le champ appliqué polarise les inclusions qui polarisent à leur tour les inclusions voisines.
L’ensemble des inclusions réagissent en créant un champ localement modifié. Notons que la présence d’inclusions (ou de perturbations) dans un environnement peut rendre propagative une onde
initialement évanescente [71], par exemple par l’insertion d’une inclusion dans un guide d’onde sous
sa fréquence de coupure. Toutes ces interactions complexes sont visibles à l’échelle microscopique
ou locale. Or, le champ dans un matériau tel qu’il est exprimé dans les équations de Maxwell est le
champ macroscopique, défini par les relations constitutives.
Pour définir des paramètres constitutifs, il est donc nécessaire de trouver des relations entre le
champ local, le champ appliqué et le champ macroscopique. La théorie du champ local de Lorentz [68,
72] peut être utilisée mais elle n’est pas toujours adéquate [69, 70]. Cependant elle a été appliquée
pour certains types de composites. Les polarisabilités sont calculées analytiquement et la théorie de
Lorentz permet ensuite de calculer les paramètres macroscopiques. Plusieurs exemples sont donnés
dans le livre de Tretyakov [72] et les articles qui y sont cités. Ces méthodes ne seront pas détaillées
ici.
D’autres méthodes sont également disponibles dans la littérature, citons par exemple celles introduites par O. Keller et J. Baker-Jarvis [73, 69] mais elles s’appuient sur des approches statistiques
et quantiques. Dans ce travail, nous nous sommes restreints à l’électrodynamique classique.
Nous distinguerons deux grandes familles d’approches qui permettent la définition de ce milieu
effectif. La première famille sera qualifiée de locale (§ 2.2.2) et la seconde de globale (§ 2.2.3). La
première approche permet la définition de paramètres effectifs directement à partir du champ local
alors que la seconde permet la définition de ces paramètres à partir de données globales du système
périodique issues, par exemple du modèle des ondes de répartition.
2.2.2
Approches « locales »
Les données de départ pour cette approche sont les champs et inductions électriques et magnétiques calculés à l’aide de méthodes numériques rigoureuses. La définition des paramètres effectifs
à partir de ces champs locaux n’est pas triviale. On distingue essentiellement trois méthodologies.
La première consiste à chercher l’équivalence entre le champ local calculé et celui d’un milieu homogène [67, 74, 75, 76, 77]. La deuxième consiste à calculer la constante de propagation à partir de
la vitesse de phase calculée localement à l’aide de méthodes temporelles [78]. La troisième consiste
à définir les paramètres effectifs par un moyennage linéique, surfacique ou volumique des champs
42
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
sur des géométries judicieusement choisies. Plusieurs formalismes sont disponibles dans la littérature [10, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85]. Nous explicitons ci-après le formalisme dévéloppé par Acher
et al. [81]. Le choix d’expliciter ce formalisme se justifie par le fait que la convergence entre les
paramètres effectifs calculés à l’aide de ce formalisme numérique et ceux issus de la théorie des
milieux effectifs de Bruggeman étendue (pour la prise en compte de la polarisabilité magnétique) a
été démontrée pour le cas asymptotique d’une topologie lamellaire métallo-diélectrique.
Calcul de paramètres effectifs par moyennage de champs Considérons une cellule élémentaire du matériau périodique, chacune d’elle contenant une particule. Acher et al. [81] utilisent le
formalisme intégral des équations de Maxwell pour effectuer le passage du champ local au champ
macroscopique. La figure 2.2 schématise un composite périodique métallo-diélectrique ainsi que les
différents contours d’intégration sur lesquels les valeurs des champs seront calculées.
Fig. 2.2 – Schéma d’un composite périodique métallo-diélectrique : la surface S1 (contenue dans le
plan x0y) est délimitée par le contour C1 . Le plan D (délimité par le contour C2 ) ne contient pas
d’inclusion métallique.
~ sur le
La loi de Maxwell-Faraday donne une première relation entre la moyenne du champ E
~ sur la surface S1 définie par le contour C1 :
contour C1 et celle du l’induction magnétique B
Z
C1
~ =
~ · dl
E
ZZ
S1
~
∂B
~
· dS
∂t
(2.1)
~ et le vecteur de déplacement D
~ est déduite de la loi de
Une deuxième relation entre le champ H
Maxwell-Ampère :
Z
C2
~ =
~ · dl
H
ZZ
D
~
∂D
~
· dS
∂t
(2.2)
La forme de ces deux équations de Maxwell suggère déjà une première formulation pour le
moyennage des champs. La prise en compte des conditions aux limites (pour la continuité des
champs) conduit aux expressions de l’impédance d’onde effective normalisée (Eq. 2.3), de l’indice
de réfraction (Eq. 2.4), de la permittivité effective (Eq. 2.5) et de la perméabilité effective (Eq. 2.6)
sont [81] :
Version provisoire
43
2.2 concept de milieu effectif
Z=
ECx 1
V
Z0 hH z iD
(2.3)
,
z c0 BC
1 V
E
,
n= D
x
EC 1
(2.4)
V
εef f =
hDx iD
D
E , et
ε0 ECz 1
(2.5)
V
µef f =
D
y
BC
1
E
V
µ0 hH y iD
,
(2.6)
avec hii qui représente la moyenne sur l’élément i pour une période. L’élément i peut être le volume
−
→
V ou la surface D. E z représente la composante du champ électrique E suivant l’axe oz.
L’indice C1 indique que la composante de champ considéré doit être prise à une distance suffisamment loin de l’interface (distance égale à l’arête du contour C1 suivant l’axe de propagation).
Ceci permet de s’assurer que les paramètres effectifs sont définis au sens des équations de Fresnel,
il est important de noter que le calcul des valeurs de champ se fait en supposant que le plan D
contenu dans le plan y0z ne contient pas de composante évanescente. En d’autres termes, un fort
couplage de proximité entre deux inclusions proches dans le plan y0z rend impossible le calcul des
paramètres effectifs à partir des champs microscopiques.
Une deuxième limitation de la méthode provient du fait même que le plan D ne peut pas contenir
de métal ; l’étude de certains types de composites comme les réseaux de tiges métalliques continues
avec le champ électrique parallèle à l’axe des tiges est exclue.
2.2.3
Approches « globales »
Les approches globales permettent la définition de ces paramètres à partir de données représentant les réponses globales du système périodique. Ces réponses globales telles que la matrice de
répartition, les coefficients de réflexion et de transmission, et les fréquence de résonance sont des
grandeurs « observables » qui peuvent être soit mesurées, soit calculées à partir de champ défini
localement dans une cellule unitaire du matériau périodique.
Le passage du champ local à la matrice de répartition s’appuie sur une analogie entre la propagation dans une structure périodique et les guides d’ondes et circuits [86]. Il s’agit d’assimiler la
structure à un système multi-accès et d’étudier la transmission et la réflexion des ondes entre les différents accès. L’écriture d’un tel formalisme requiert plusieurs hypothèses [87, 86, 88], notamment :
~ et D,
~ B
~ et H
~ sont liés par des relations linéaires,
– hypothèse de linéarité : les vecteurs E
– hypothèse de stationnarité : les propriétés du système ne dépendent pas du temps,
– hypothèse de non-rayonnement : le système est clos et n’échange d’énergie que par ses accès,
– hypothèse d’un mode pur : chaque accès du système transporte un mode pur, c’est à dire, un
unique mode de propagation caractérisé par une constante de propagation donnée. Si ce n’est
pas le cas, on doit ajouter autant d’accès supplémentaires virtuels qu’il y a de modes d’ordre
supérieur.
44
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
La figure 2.3 montre l’exemple d’un système à trois accès physiques modélisé avec le formalisme
décrit ci-dessus. L’accès physique a été décomposé artificiellement en N accès virtuels. Ces derniers
représentent le nombre de modes pris en compte à chaque accès physique.
Fig. 2.3 – Exemple d’un système à trois accès physiques modélisé sous la forme d’un système à N
accès virtuels. Ceux-ci représentent le nombre de modes pris en compte à l’accès physique.
La matrice de répartition ainsi définie permet une caractérisation complète de la structure en
émission et réception, notamment en terme de champ lointain. Ainsi, les coefficients de réflexion et
de transmission seront déterminés directement à partir de cette matrice. Nous le verrons dans le
paragraphe 2.3.1.2.
2.2.4
Approche privilégiée dans ce travail
Nous avons privilégié dans ce travail la seconde approche, c’est à dire, l’approche « globale ». Ce
choix se justifie par le fait que les composites utilisés pour réaliser un mirn appartiennent comme
nous l’avons vu dans la figure 2.1 à une zone intermédiaire. Les limites des différentes théories de
milieux effectifs ne peuvent pas être clairement définies et les règles d’homogénéisation telles que
les dimensions des inclusions et de la périodicité de l’ordre λ/10 deviennent alors caduques.
L’approche « globale » permet de disposer d’un modèle de milieu effectif basé sur des grandeurs
mesurables. L’avantage de cette approche sur la première est qu’elle est moins lourde à implémenter
si l’on dispose d’un logiciel commercial pour le calcul numérique rigoureux ; ce qui est notre cas.
Nous utiliserons le logiciel HFSS [89] basé sur la méthode des éléments finis. La discrétisation du
volume de calcul par éléments finis nous permet de disposer d’un maillage non uniforme, ce qui est
approprié pour l’analyse des structures hétérogènes de géométrie complexe.
L’approche privilégiée présente un énorme désavantage de part son caractère « opaque ». On
obtient un résultat dans tous les cas et ce résultat sera mathématiquement correct. Il devient
alors très important de faire une analyse physique a posteriori. Pour cela, l’ensemble des solutions
physiquement correctes doit être défini. De plus, il est nécessaire d’expliciter toutes les hypothèses
qui sont faites lors de la construction des formalismes et pendant les calculs. Un effort a été fait
dans ce sens dans ce chapitre et le chapitre 4 sera intégralement consacrée à une analyse approfondie
pour l’interprétation des paramètres effectifs ainsi calculés.
De manière générale, les paramètres effectifs qui seront définis sont l’indice de réfraction, l’impédance d’onde, la permittivité complexe et la perméabilité complexe.
Version provisoire
45
2.2 concept de milieu effectif
2.2.5
Signification physique des paramètres effectifs
Décrivons brièvement la signification physique des paramètres macroscopiques que nous attribuerons aux milieux composites homogénéisés. Nous précisons que les significations physiques décrites
ci-après sont valables si les hypothèses d’homogénéisation sont vérifiées (elles le sont toujours pour
les milieux continus). Le milieu homogénéisé est considéré passif, linéaire et isotrope.
2.2.5.1
Indice de réfraction
L’indice de réfraction complexe n nous informe sur la propagation d’une onde au sein du milieu.
Si la valeur absolue de la partie réelle de l’indice est supérieure à celle de la partie imaginaire, le
milieu est propagatif. La partie imaginaire ne doit pas être assimilée à l’absorption du milieu [90] ;
elle représente uniquement l’absence de propagation dans le milieu.
La nécessité d’attribuer un signe négatif à la partie réelle de n dans certains cas (quand la
permittivité et la perméabilité sont simultanément négatives) a été démontrée dans le chapitre
1 : le signe de la partie réelle de n peut donc être quelconque. En revanche, le signe de la partie
imaginaire de n est restreint par une condition de stabilité de la propagation du champ électrique
ou magnétique.
~ r, ω) dans un milieu d’indice n = n′ − jn′′ et
Considérons l’expression du champ électrique E(~
pour une dépendance temporelle en exp(jωt) :
i
h
~ r) exp(−k~0 · ~rn′′ ) exp[j(ωt − k~0 · ~rn′ )]~uE ,
~ r, t) = Re E(~
E(~
(2.7)
~
où k~0 est le vecteur d’onde dans le vide et ~uE est le vecteur unitaire dans la direction du champ E.
Pour que la propagation du champ électrique soit stable, il est nécessaire que l’amplitude de
~ r, t)] décroisse en fonction du temps. Ce qui implique que le terme (k~0 · ~rn′′ ) doit être négatif,
Re[E(~
d’où :
n′′ > 0,
(2.8)
quel que soit le signe de n′ .
On peut montrer que pour la convention exp(−jωt), n′′ est positif également mais dans ce cas
n s’écrit : n = n′ + jn′′ .
Utilité de cette restriction La restriction du signe que peut admettre la partie imaginaire de
l’indice de réfraction (indépendamment du signe de sa partie réelle) nous permettra de choisir des
solutions physiques dans les calculs qui seront présentés § 2.4.
2.2.5.2
Impédance d’onde complexe
Le concept d’impédance, initialement appliqué aux circuits, peut être étendu aux ondes électromagnétiques. Cette extension a été développée par Schelkunoff et l’analogie entre l’impédance
d’onde présentée par un milieu lors de la propagation d’une onde et celle présentée par une ligne
de transmission est expliquée dans le livre de Stratton [91]. C’est sur cette analogie que nous nous
appuierons pour donner la signification physique de l’impédance d’onde complexe Z.
46
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
La notion d’impédance d’onde complexe est très liée à celle du flux d’énergie de l’onde au
sein d’un milieu. C’est pourquoi il existe des limitations fondamentales sur les valeurs qu’elle peut
prendre ; une de ces limitations est que dans l’absence d’activité du milieu considéré, la partie réelle
de Z doit être positive. Nous proposons de démontrer que cette limitation s’applique pour un milieu
ayant un indice de réfraction de signe quelconque.
La passivité ou l’absence d’activité d’un milieu implique que pour une onde plane progressive,
le flux moyen d’énergie électromagnétique doit être orienté vers l’intérieur du milieu dans lequel
~ H,
~ ~k) ainsi que le flux d’énergie S
~ pour une
l’onde se propage [92]. L’orientation des vecteurs (E,
onde plane progressive en interaction avec un mirp et un mirn est montrée figure 2.4.
(a)
(b)
~ H,
~ ~k) et S
~ pour l’interaction d’une onde plane avec un mirn
Fig. 2.4 – Orientation des vecteurs (E,
et un mirp.
L’impédance d’onde(1) est le rapport de la composante du champ électrique et du champ magnétique dans le plan de propagation ; la partie réelle s’écrit :
Ē(ω)
Ē(ω)
cos(ϕH − ϕE ),
Re[Z(ω)] = Re
= H̄(ω)
H̄(ω)
(2.9)
avec Ē(ω) = Ē(ω) exp(−jϕE ) et H̄(ω) = H̄(ω) exp(−jϕH ). L’équation (2.9) est vérifiée quel
que soit le signe de l’indice de réfraction du milieu. Le signe de Re[Z(ω)] dépend uniquement du
signe du terme cos(ϕH − ϕE ).
Afin de restreindre les valeurs que peuvent admettre ce terme, considérons la moyenne du vecteur
~av :
de Poynting, S
~ r, ω) H(~
~ r, ω) × H~ ∗ (~r, ω)] = 1 E(~
~av (~r, ω) = 1 Re[E(~
~ r, ω) cos(ϕH − ϕE )~uS ,
S
(2.10)
2
2
~ r, ω) = E(~
~ r, ω) exp(−jϕE ), H(~
~ r, ω) = H(~
~ r, ω) exp(−jϕH ) et ~uS le vecteur unitaire de
avec E(~
~av (~r). Par définition, cette expression [Eq. (2.10)] est vérifiée pour un mirn et un mirp.
S
Or, nous savons que la passivité implique que le flux moyen de l’énergie électromagnétique soit
~av (~r, ω) > 0. Le terme cos(ϕH −ϕE ) est donc toujours
orienté vers l’intérieur du milieu, c’est à dire S
positif pour les mirp et pour les mirn (comme nous pouvons le vérifier figure 2.4). Si l’on applique
(1)
Notons que l’impédance est en général définie pour une onde et dans le cas d’une structure guidée ou périodique,
nous faisons l’hypothèse de mode pur et une impédance est attribuée à chaque mode.
Version provisoire
47
2.2 concept de milieu effectif
cette restriction à l’équation (2.9), nous obtenons la condition :
Re[Z(ω)] > 0,
(2.11)
quel que soit l’indice de réfraction du milieu. Cette condition est identique pour les deux conventions
[exp(−jωt) ou exp(jωt)].
Utilité de cette restriction De la même manière que pour l’indice de réfraction, cette condition
sur la partie réelle de l’impédance nous permettra de définir l’ensemble des solutions physiques lors
des calculs dans le § 2.4.
Partie imaginaire de l’impédance d’onde L’impédance d’onde complexe Z nous renseigne
non seulement sur la propagation de l’onde (comme nous l’avons vu ci-dessus), mais elle nous
apporte aussi une information supplémentaire : elle permet dans l’absence de propagation, c’est à
dire quand sa partie imaginaire est supérieure à sa partie réelle, de savoir quelle composante de l’onde
~ ou le champ H)
~ est annulée. Par exemple, si la partie imaginaire de
électromagnétique (le champ E
Z est positive dans la convention exp(jωt) [ou négative dans la convention exp(−jωt)], le milieu est
dit inductif. Il existe au sein de ce milieu un champ magnétique statique. Nous pouvons déduire que
l’onde ne peut pas se propager car la composante électrique a été annulée. Le milieu étudié a donc
une réponse au champ électrique qui est non négligeable. La réciproque est également vraie si la
partie imaginaire de Z est négative. Nous verrons que cette information nous sera particulièrement
utile dans le chapitre 5 pour la conception de milieu magnétique artificiel.
2.2.5.3
Permittivité complexe
La permittivité complexe ε, nous renseigne sur la réaction du milieu par rapport au champ
électrique : la partie réelle est représentative de l’alignement des dipôles électriques avec le champ
électrique incident. Ainsi, une valeur positive de cette partie réelle veut dire que les dipôles s’alignent
parallèlement au champ excitateur et une valeur négative représente un alignement antiparallèle.
La partie imaginaire de la permittivité permet de quantifier l’énergie dissipée due à l’interaction du
champ électrique avec le milieu. Il existe un critère physique qui limite le signe que peut admettre
cette partie imaginaire. Quel que soit le signe de l’indice de réfraction du milieu, la partie imaginaire
de ε doit être positive dans la convention exp(−jωt) et négative dans la convention exp(jωt). La
démonstration de ce critère sera détaillée dans le § 4.2 (p. 90).
2.2.5.4
Perméabilité complexe
La perméabilité complexe est la réciproque de la permittivité et s’applique sur le champ magnétique au lieu du champ électrique. Tout comme pour la permittivité électrique, la partie imaginaire de µ doit être positive indépendamment du signe de l’indice de réfraction pour la convention
exp(−jωt) [et inversement pour la convention exp(−jωt)].
48
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
2.3
Définition du problème à résoudre
Nous commencerons par spécifier les notations que nous avons utilisées dans les calculs présentés
ci-après. Notons que le passage d’une convention [exp(jωt) et exp(−jωt)] à l’autre se fait en prenant
le complexe conjugué de toutes les grandeurs. Cependant, les limitations fondamentales imposées
ne se déduisent pas aussi simplement ; il convient de s’assurer qu’elles sont respectées en reprenant
les démonstrations.
La problématique envisagée se divise en deux parties :
– Analyse d’un réseau fini dans la direction de propagation (§2.3.1),
– Analyse d’un réseau infini dans la direction de propagation (§2.3.2).
Notations utilisées pour les paramètres effectifs Les paramètres effectifs s’écrivent de la
manière suivante :
– n = n′ − jn′′ ,
– Z = Z ′ − jZ ′′ ,
– εef f = ε′ − jε′′ ,
– µef f = µ′ − jµ′′ .
Z est l’impédance d’onde normalisée par rapport à celle du vide ; εef f et µef f sont des grandeurs
relatives. Notons que (n, Z) sont les paramètres électromagnétiques de propagation et (εef f , µef f )
sont les paramètres constitutifs du milieu.
2.3.1
Problématique mono-dimensionnelle
La problématique mono-dimensionnelle consiste à analyser un réseau fini dans la direction de
propagation. Le problème posé est celui de l’approximation de l’interaction d’une onde avec un
composite périodique métallo-diélectrique par un problème de réflexion-réfraction d’une lame à face
parallèles de même épaisseur d et de paramètres effectifs (εef f , µef f ). Les dimensions transverses
de la structure sont supposées infinies : le problème est mono-dimensionnel et il est schématisé
figure 2.5.
d
y
PT
x
εef f , µef f
d
Fig. 2.5 – Substitution d’un composite périodique de périodicité transverse PT par une lame à faces
parallèles de permittivité εef f et perméabilité effectives µef f .
La structure périodique est illuminée par une onde plane en incidence normale suivant l’axe oy.
~
L’équivalence entre le milieu périodique et la lame homogène ne reste qu’une approximation car en
aucun cas les deux problèmes ne sont strictement équivalents.
Version provisoire
49
2.3 définition du problème à résoudre
2.3.1.1
Hypothèses d’équivalence
L’équivalence entre le milieu périodique et la lame homogène est valable sous certaines conditions [93, 94] :
(i) Seul le premier mode doit se propager dans le milieu incident, le milieu transmis et la structure
périodique. Cette condition est donnée par l’équation de réseau suivant :
|β| ≤
π
.
PT
(2.12)
β est la constante de propagation dans chaque milieu.
(ii) Les modes évanescents ne doivent pas être présents dans le plan x0y. Si seul le premier
mode se propage dans le milieu périodique avec une vitesse c0 /nef f avec nef f l’indice effectif du
milieu, une interférence identique à celle d’une lame homogène se produit. En revanche, l’existence
de plusieurs modes donnerait naissance à un phénomène d’interférences beaucoup plus complexe et
l’équivalence avec la lame homogène ne serait plus valable.
Dans le cas de composites métallo-diélectriques, ces conditions d’équivalence sont subtiles. En
effet, les modes de propagation et leur constante associée dépendent en grande partie de la nature
des inclusions : leur géométrie, leur taille et leur répartition. L’assimilation du milieu périodique à
une lame à faces parallèles homogène se fait en deux étapes détaillés dans les § 2.3.1.2 et § 2.3.1.3.
2.3.1.2
Première étape
La première étape est le calcul des paramètres de répartition du milieu périodique . Nous nous
assurons que seul le premier mode est propagatif si bien que le paramètres S11 et S21 peuvent être
assimilés aux coefficients de réflexion r et de transmission t de Fresnel. Le schéma de la figure 2.6
donne les plans de référence de phase pour r et t.
Fig. 2.6 – Définition des plans de référence de phase pour r et t.
Pour cette étape, la cellule unitaire de la structure est étudiée à l’aide de la méthode des éléments
finis avec le logiciel HFSS [89]. Considérons le cas général d’un volume bi-périodique schématisé figure 2.7. Les conditions aux limites imposées sur la surface du volume étudié sont de deux types :
(i) conditions de bipériodicité et (ii) conditions simulant l’espace libre.
50
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
Fig. 2.7 – Volume de la structure bipériodique étudiée.
Conditions de bipériodicité Les conditions sur les parois Γsupérieur , Γinf érieur , Γarrière et Γavant
sont des conditions de bipériodicité. Les conditions de bipériodicité sont appliquées deux à deux
entre les surfaces opposées. Le maillage d’une surface se déduit de celui de la surface associée :
il est construit sur ces deux surfaces de manière identique. Les champs des surfaces Γsupérieur et
Γinf érieur , sont liés par les équations suivantes :
~ ( xΓ
~ ( xΓ
E
, y, z) = exp(−jφ)E
, y, z),
supérieur
inf érieur
(2.13)
~ ( xΓ
~ ( xΓ
H
, y, z) = exp(−jφ)H
, y, z),
supérieur
inf érieur
(2.14)
avec φ = kx PT . Les conditions de périodicité sont appliquées de la même manière sur les faces
Γarrière et Γavant . Ces conditions de bipériodicité peuvent être vues comme comme un déphaseur
reliant les faces les unes entre les autres.
Dans le cas particulier où ~k = ky e~y et d’une polarisation tm, c’est à dire dans le cas de l’incidence
~ sur les faces Γsupérieur et
normale : il suffit d’annuler les composantes tangentielles du champ E
~ sur les faces Γarrière
Γinf érieur (Condition de mur électrique) et les composantes tangentielles de H
et Γavant (Condition de mur magnétique).
Remarque Notons que les déphasages entre les champs des parois opposées sont fixés par la
géométrie de la structure, la fréquence de travail et la direction du champ incident. Ce type de
condition aux limites n’est pas intrinsèque à la structure étudiée, comme pourrait l’être une condition
de mur électrique ou de mur magnétique.
(ii) Conditions simulant l’espace libre
Les parois SG et SD doivent préserver la condition de rayonnement à l’infini qui caractérise
notre milieu. Elles doivent donc simuler l’espace libre. Les deux solutions généralement utilisées et
envisageables avec le logiciel HFSS [89] sont les suivantes :
– L’utilisation de conditions absorbantes telles que les couches absorbantes de type PMLs (Perfectly Matched Layers) ou les conditions absorbantes locales (ABC ou Absorbing Boundary
Version provisoire
51
2.3 définition du problème à résoudre
Conditions). Ces dernières minimisent les refléxions de l’onde à la frontière mais elle ne sont
efficaces que pour les ondes d’incidence normale. Pour des angles d’incidence différents de la
normale, il est nécessaire d’utiliser les couches absorbantes PMLs.
– L’utilisation du modèle d’onde de répartition décrit § 2.2.3.
La première solution possède l’inconvénient de nécessiter un volume de calcul important car les
coefficients de transmission et de réflexion doivent être calculés avec des valeurs de champs calculées
suffisamment loin de la structure pour éviter la présence de composante évanescente.
La solution la plus avantageuse est la seconde mais le logiciel HFSS [89] ne permet l’utilisation du
modèle d’onde de répartition uniquement pour des incidences normales. Sauf pour la caractérisation
en incidence oblique, nous retiendrons la seconde solution.
Nous expliquons brièvement comment le modèle d’onde de répartition peut servir de condition
aux limites et les distributions des champs obtenues quand ce modèle est utilisé. Rappelons (du
§ 2.2.3) que le modèle consiste à calculer la matrice de répartition S, définie par :
[b] = [S][a],
(2.15)
où ap et bp sont respectivement les amplitudes des ondes progressives et régressives sur l’accès p
(figure 2.3). En excitant un accès et en chargeant les autres par des charges adaptées, les coefficients
ap sont nuls pour les accès non excités. Le principe de superposition permet d’exprimer linéairement
les ondes réfléchies en fonction des ondes incidentes. Pour comprendre la distribution de champ dans
le volume Ω, considérons le cas d’une excitation de l’accès p0 par une onde incidente d’amplitude
ap0 , où tous les autres accès sont chargés par des charges adaptées, c’est à dire ap = 0 pour p 6= p0 .
Ce cas correspond à une excitation par onde plane de la structure bipériodique sur un des parois
SG ou SD . Pour la définition de cette onde excitatrice, les champs sont décomposés sur leurs modes
propres (Cf. Annexe A).
Les parois SG et SD représentent les interfaces où la décomposition modale des champs a été
effectuée. Pour une structure bipériodique définie avec des périodicités transverses suivant les axes
ox et oz, le champ électrique incident, réfléchi et/ou transmis peut être défini par l’équation (2.16) :
E=
∞
X
∞
X
E l,m exp(−j
l=−∞ m=−∞
2πm
2πl
x) exp(−j
z) exp(−jkl,m y)
Px
Pz
(2.16)
~ et 0z.
~ klm est la constante
où Px et Pz sont respectivement les périodicités suivant les axes 0x
de propagation associée au mode (l, m)
Notons qu’à une fréquence donnée, un nombre fini de modes est propagatif, les autres sont évanescents. Le nombre de modes propagatifs dépend à la fois des périodes transverses, de la direction
de l’onde incidente, et de la fréquence.
2.3.1.3
Seconde étape
La seconde étape consiste à calculer des paramètres effectifs (εef f , µef f ) à partir des coefficients
de réflexion et de transmission à l’aide des méthodes d’inversion.
Ces méthodes d’inversion seront décrites § 2.4.1 et 2.4.2. Une attention particulière sera portée
sur le fait que le matériau puisse avoir un indice de réfraction de signe arbitraire afin que le signe
52
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
soit déterminé sans aucune ambiguïté. Le coefficient de transmission en partie réelle et imaginaire
est tracé en fonction de l’indice de réfraction (variant de -10 à 10) et de l’épaisseur normalisée sur
la figure 2.8.
(a) Partie réelle
(b) Partie imaginaire
Fig. 2.8 – Coefficient de transmission en fonction pour de l’indice de réfraction −10 ≤ n ≤ 10 de
l’épaisseur normalisée. Le niveau de gris à droite représente la partie réelle ou imaginaire de t.
Pour une valeur d’épaisseur fixée à λ0 /4, les parties réelles et imaginaires du coefficient de
Coefficient de transmission
transmission en fonction de l’indice de réfraction sont tracées sur la figure 2.9.
1
0.5
0
Im
Re
−0.5
−1
−10
−5
0
5
Indice de réfraction n
10
Fig. 2.9 – Coefficient de transmission en fonction de l’indice de réfraction pour une épaisseur = 0.25λ0 .
La partie réelle du coefficient de transmission est identique quel que soit l’indice de réfraction
du matériau. En revanche, la partie imaginaire est systématiquement de signe opposé. Il en est de
même pour le coefficient de réflexion. Cette information est importante car elle nous permet de
prévoir que la partie imaginaire des coefficients de Fresnel nous apporteront l’information du signe
de l’indice de réfraction du matériau. Une deuxième remarque importante est que le coefficient
de transmission (figure 2.9) peut présenter les mêmes valeurs complexes pour une épaisseur fixée.
En d’autres termes, il existe plusieurs indices de réfraction pouvant donner les mêmes valeurs de
coefficient de transmission. Ce problème d’unicité de solution sera particulièrement traité §2.4.2.
Version provisoire
53
2.4 méthodes d’« inversion »
2.3.2
Problématique bi-dimensionnelle
Réseau infini dans la direction de propagation
Les structures périodiques sont généralement étudiées comme nous l’avons déjà vu à l’aide du
théorème de Floquet-Bloch qui donne la solution de l’équation d’onde au sein d’un milieu périodique.
Un deuxième concept important dans l’étude des structures périodiques est lié à la définition du
réseau direct, du réseau réciproque et de la zone de Brillouin [95]. Si l’on considère la propagation
d’une onde électromagnétique dans le milieu périodique décrit figure 2.10(a), la solution de l’équation
de propagation donne des constantes de propagation kn = k+2mπ/P avec m ∈ Z et P = PL ou PT .
De part la nature périodique de la structure, l’étude de la propagation au sein d’une seule période
de la constante k est suffisante : le domaine fondamental d’étude est donc défini pour −π < kP < π.
Cet intervalle fondamental contient les informations suffisantes à la définition de la propagation au
sein de la structure.
(a) Réseau périodique bi-dimensionnel
(b) Contour de Brillouin associé
Fig. 2.10 – Réseau périodique bi-dimensionnel et zone irréductible de Brillouin associée.
La figure 2.10(b) montre la zone irréductible de Brillouin associée au réseau périodique pour
PT = PL . Cette zone de Brillouin peut être brièvement décrite en fonction des constantes de
propagation (kx , ky ) de la manière suivante :
1. le contour ΓX correspond aux constantes de propagation ky P = 0 et kx P ∈ [0; π]. Pour ce
contour, seule l’incidence normale est traitée.
2. le contour XM correspond aux constantes de propagation kx P = π et ky P ∈ [0; π]. Les angles
balayés varient de 0°à 45°.
3. le contour M Γ correspond aux constantes de propagation kx P et ky P ∈ [0; π]. Seule l’incidence
de 45°est traitée.
2.4
Méthodes d’« inversion »
Ces méthodes sont dites « d’inversion » car dans l’ensemble elles permettent de remonter aux
paramètres effectifs du milieu en partant des coefficients de réflexion r et de transmission t par
« inversion » des équations de Fresnel. Une des seules différences entre les différentes méthodes est
54
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
l’algorithme de résolution utilisé. Deux algorithmes ont été mis en œuvre afin d’isoler les problèmes
liés aux ambiguïtés numériques de ceux qui sont liés à l’interprétation physique des paramètres
effectifs calculés pour les composites. La première est une méthode de résolution directe (§ 2.4.1) et
la seconde est une méthode itérative (§ 2.4.2).
2.4.1
Méthodes Nicolson-Ross-Weir (NRW) et NRW-modifiée
La méthode Nicolson-Ross-Weir (NRW) [96, 97] est usuellement utilisée dans la caractérisation
de matériaux. Cette méthode consiste à calculer l’indice de réfraction, l’impédance d’onde et les
paramètres constitutifs de la lame à faces parallèles équivalente à partir du coefficient de réflexion
et de transmission mesurés ou calculés.
Il s’agit d’une méthode de résolution directe ; les équations de Fresnel : (r, t) = f (εef f , µef f )
étant « inversées » de manière analytique.
2.4.1.1
Étapes de calcul de la méthode NRW
Dans un premier temps, l’impédance d’onde et l’indice de réfraction sont calculés et la permitivitté et perméabilité effectives sont ensuite déduites.
(i) Calcul de l’impédance d’onde L’impédance d’onde normalisée
par :
Z=±
s
(2)
d’une lame est définie
(1 + r)2 − t2 e−2jk0 d
,
(1 − r)2 − t2 e−2jk0 d
(2.17)
avec d l’épaisseur de la lame, k0 = 2π/λ0 le nombre d’onde et λ0 la longueur d’onde en espace libre.
Le choix du signe devant la racine carrée de Z se fait en s’appuyant sur la relation fondamentale
énoncé § 2.2.5.2.
(ii) Calcul de l’indice de réfraction La partie réelle de l’indice de réfraction n est donnée par
l’équation (2.18) :
n′ =
arctan (Im(Y )/Re(Y )) ± mπ
,
k0 d
(2.18)
où m ∈ Z. La variable intermédiaire Y est définie comme :
Y = e−jnkd = X ±
avec
X=
p
X 2 − 1,
(2.19)
ejk0 d 1 − r2 + t2 e−2jk0 d .
2t
(2.20)
Le choix de la branche du membre de droite de l’équation (2.18) (i.e. le choix de la valeur de
m) constitue une ambiguïté de cette méthode. Nous y reviendrons dans la partie (iv).
(2)
L’impédance d’onde présentée par une lame peut être vue par analogie comme l’impédance ramenée d’une ligne
de transmission : elle contient donc comme information physique non seulement le rapport Ē/H̄ à l’interface des
deux milieux mais aussi la constante de propagation au sein du milieu constituant la lame
Version provisoire
55
2.4 méthodes d’« inversion »
La partie imaginaire de n est donnée par :
n′′ =
ln |Y |
k0 d
(2.21)
n′′ est calculé en utilisant la limitation fondamentale énoncée § 2.2.5.1, c’est à dire n′′ > 0 quel que
soit le signe de n′ .
(iii) Détermination de la permittivité et de la perméabilité
En utilisant les deux équations
indépendantes (Eq. (2.22)) on en déduit la permittivité et la perméabilité effectives (Eq. (2.23)).
n=
√
√
εef f µef f
εef f =
n
Z
q
µef f /εef f
et
Z=
et
µef f = nZ
Il est à noter que l’indice de réfraction est défini comme : n =
√
(2.22)
(2.23)
εef f
√
µef f . Nous avons vu dans le
chapitre 1 que quand εef f et µef f sont simultanément négatifs (en partie réelle), l’indice de réfraction
√
√
doit être négatif en partie réelle. Donc il faut s’assurer que l’on utilise la formule n = εef f µef f
√
et non la formulation usuelle : n = εef f µef f .
(iv) Ambiguïté liée à la méthode NRW
L’ambiguïté majeure de cette méthode qu’il reste à lever est le choix de la branche de la fonction arctangente de l’Eq. (2.18). En effet, un choix arbitraire de la valeur de m peut conduire à
l’attribution d’un indice négatif quel que soit le matériau. Il existe plusieurs moyens de lever cette
ambiguïté et nous les présentons § 2.4.1.2
2.4.1.2
Solutions proposées pour s’affranchir de l’ambiguïté sur la détermination de
n′
Plusieurs solutions sont proposées dans la littérature [70] mais la plupart s’applique au milieu
ayant une réponse diélectrique seule (µef f = 1). Nous rappelons ci-après uniquement les solutions
qui permettent la prise en compte d’une perméabilité effective différente de l’unité.
(i) Considération de plusieurs épaisseurs Cette solution consiste à prendre en compte plusieurs échantillons d’épaisseur différente. Ici, nous supposons que l’indice de réfraction est indépendant de l’épaisseur du matériau. Cette hypothèse est toujours vérifiée pour un matériau homogène
et continu. Cependant dans le cas des métamatériaux périodiques, la supposition est forte sauf à
partir d’un nombre de couches très important ; les effets de finitude peuvent alors être négligés.
Cette méthode consiste en la réécriture des équations (2.18) et (2.19) sous la forme suivante :
cos(−n′ k0 d) + jsin(−n′ k0 d) exp(−n′′ k0 d) = Y
(2.24)
Après identification à l’équation d’une droite, les coefficients directeurs des droites de n′ kd en
fonction de d et n′′ kd en fonction de d donne l’indice de réfraction sans aucune ambiguïté. A titre
56
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
d’exemple, la figure 2.11 montre la variation de n′ d en fonction de d pour une fréquence fixée à 8.5
GHz et un indice de réfraction de n = −2.2 − 0.1j.
20
n’ d (mm)
10
0
−10
−20
5
10
15
20
25
30
d (mm)
Fig. 2.11 – Courbe de n′ d en fonction de d.
Les sauts de phase dus aux singularités de la fonction arctangente sont visibles sur la figure 2.11.
Remarquons aussi que les segments de droite ont le même coefficient directeur ; leur valeur optimale
est ensuite calculée au sens des moindres carrés pour donner la valeur de n′ .
Remarque : Cette solution a été utilisée par Markos et al. [98] pour l’analyse des mirn. La
méthode numérique rigoureuse utilisée pour le calcul des paramètres S est la Transfer Matrix Method
(TMM). Cette méthode permet l’analyse d’un nombre de couches important avec prise en compte du
couplage entre couches. En revanche, la modélisation numérique d’un nombre de couche important
avec le logiciel [89] dont nous disposons est impossible sauf en implémentant un formalisme tel que
le Generalised Scattering Matrix (gsm) explicité dans les références [86, 99, 100].
(ii) Utilisation du temps de groupe mesuré La comparaison du temps de groupe mesuré
et celui calculé pour l’échantillon est utilisée [70]. Le temps de groupe calculé τg,calc est obtenu en
considérant l’évolution du vecteur d’onde k en fonction de la vitesse angulaire ω, par analogie à la
vitesse de groupe dω/dk :
τg,calc
d
=d·
df
r
εef f µef f f 2
c2
où m correspond au temps de groupe calculé pour la
mième
!
(2.25)
m
branche de la fonction arctangente de
l’équation 2.18. Le temps de groupe mesuré se met sous la forme suivante :
τg,mes =
−1 dφ
,
2π df
(2.26)
où φ est la phase de exp(−γd) avec γ la constante de propagation complexe.
La valeur de m retenue est celle qui minimise la fonction τg,calc (m) − τg,mes .
Remarque : Cette solution n’est envisageable que si l’on dispose de données de mesure. Une
correction de la longueur d’onde doit être faite si les mesures sont effectuées en environnement
guidé.
Version provisoire
57
2.4 méthodes d’« inversion »
(iii) Approximation proposée par Ziolkowski L’approximation proposée par Ziolkowski [101]
consiste à calculer (εef f , µef f ) à partir des paramètres S en exprimant le vecteur d’onde dans le
milieu k de la manière suivante :
k≈
avec V1 = S11 + S21 , V1 = S21 − S11 , et
Γ=Y ±
(1 − V1 )(1 − Γ)
,
jd(1 − ΓV1 )
p
Y2−1
et
(2.27)
Y =
1 − V 1 V2
.
V1 − V2
L’approximation faite par l’auteur dans cette équation est un développement limité du premier
ordre du terme de propagation e−jkd en 1 − jkd. Cette approximation est valable uniquement dans
le cas où le produit kd est inférieur à 1. Les expressions de µef f et εef f issus de ce calcul approché
sont les suivantes :
µef f ≈
2(1 − V2 )
, et
ik0 d(1 + V2 )
εef f ≈ µ + j
2S11
k0 d
(2.28)
(2.29)
L’approximation faite ici n’est pas toujours respectée pour des métamatériaux résonants car à la
résonance l’indice de réfraction et donc, le nombre d’onde peuvent atteindre des valeurs très élevées.
Remarque : Un des objectifs des approximations faites par l’auteur est l’élimination d’ambiguïtés
et notamment de discontinuités dans les allures des paramètres effectifs. Cette approximation n’a
pas été implémentée et nous nous attacherons dans le chapitre 4 à démontrer que ces discontinuités
ne proviennent pas d’erreur de calcul mais de la nature des inclusions que l’on étudie.
2.4.2
Optimisation par algorithme de Levenberg-Marquardt
Cette méthode consiste en la minimisation de l’écart qui existe entre les fonctions F1 (x), F2 (x)
et les paramètres S11 et S21 selon la fonction coût suivante [102] :
E(x) = |F1 (x) − S11 |2 + |F2 (x) − S21 |2
avec x = {εef f , µef f }
(2.30)
Les fonctions F1 (x) et F2 (x) sont également complexes et représentent respectivement les coefficients de réflexion et de transmission de Fresnel. Ces derniers peuvent, soit être définis pour une
interface, soit pour une lame magnéto-diélectrique.
Les composites que nous étudierons dans la suite ayant une épaisseur non négligeable dans le
plan de propagation, nous avons choisi la seconde solution (figure 2.12).
Considérons une lame magnéto-diélectrique d’épaisseur d et de dimensions transverses infinies.
Pour une onde plane d’incidence θi et de polarisation T E ou T M , les coefficients de réflexion r et
de transmission t sont définis par :
r=
A−B
A+B
et
t=
2A
,
A+B
(2.31)
58
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
Fig. 2.12 – Lame magnéto-diélectrique d’épaisseur d et définition des polarisations
j sin qd
avec A = cos qd +
,
Z0
et
n est défini comme n =
q = k0
B = Z0
s
1−
j sin qd cos qd
+
Z
Z0
1
sin θi
n
2
.
√ √
ε µ et k est le nombre d’onde dans la lame k = k0 n avec k0 = ω/c0 .
Pour la polarisation TE,
Z=
ωµef f
q
et
Z0 =
cos θi
.
ε0 c0
(2.32)
Z=
q
ωεef f
et
Z0 =
µ0 c0
.
cos θi
(2.33)
Pour la polarisation TM,
Dans notre cas, les fonctions F1 (x) et F2 (x) de l’équation (2.30) sont remplacées par r et t
de l’équation (2.31). La fonction de coût (2.30) est minimisée au sens des moindres carrés non
linéaires en utilisant l’algorithme de Levenberg-Marquardt. Cet algorithme présente une certaine
sensibilité au choix du point de départ et pour pallier à cet inconvénient, nous choisissons une plage
de variation assez importante pour le couple (εef f , µef f ) pour le premier point de fréquence. Ensuite
en supposant une bonne discrétisation fréquentielle des données issues de simulations numériques,
le point de départ choisi est le couple (εef f , µef f ) obtenu pour la fréquence précédente.
Un des problèmes rencontrés lors de l’utilisation de cette méthode pour le calcul de paramètres
effectifs de certains composites est que l’algorithme pouvait converger vers plusieurs solutions audelà d’une certaine épaisseur de lame. Ces solutions ne constituent en aucun cas des minima locaux
mais sont de véritables solutions aux équations de Fresnel. Pour retenir une des solutions, nous nous
appuyons sur deux critères physiques :
– Si le paramètres S21 est proche de 1, la structure est propagative. L’indice de réfraction, étant
un paramètre "indicatif" de propagation(3) , sa partie imaginaire doit être quasi-nulle.
(3)
La partie imaginaire de l’indice de réfraction ne permet pas de quantifier les pertes par absorption de ce milieu [90].
Elle représente uniquement la présence ou l’absence de propagation au sein d’un milieu.
Version provisoire
59
2.5 calcul de diagramme de dispersion
– Si le paramètres S11 est proche de 1, il n’y a pas de propagation au sein de la structure ; la
partie réelle de l’indice de réfraction doit donc être quasi-nulle,
Ces deux critères physiques ont été testés uniquement pour les composites que nous étudions. Les
principales limitations sont que le point de départ doit se situer loin de la résonance et le composite
ne doit pas présenter des pertes par absorption élevées en ce point.
Le schéma synoptique de cet algorithme est présenté figure 2.13.
2.4.3
Récapitulatif
Les deux méthodes implémentées (nrw ou résolution directe et résolution itérative) présentent
une certaine sensibilité à l’absence de pertes au sein du milieu étudié. En effet, l’absence de pertes
par absorption génère des problèmes numériques liés aux petits nombres.
Précisons également que pour l’analyse de structures d’épaisseur d significative dans la direction
de propagation (en particulier d > λ/2) la méthode itérative est plus adéquate que la méthode nrw.
Pour le traitement de structures multi-couches, nous utiliserons donc la méthode itérative.
2.5
Calcul de diagramme de dispersion
Le calcul de la constante de propagation au sein d’un milieu périodique peut se faire par la
méthode des ondes planes pour des structures périodiques de forme canonique. Dans notre cas, les
structures étudiées sont constituées d’inclusions métalliques de géométrie complexe noyées dans une
matrice diélectrique. Nous avons donc choisi de calculer les constantes de propagation soit de manière
semi-analytique (§ 2.5.1) soit par un calcul purement numérique beaucoup plus coûteux en temps
de calcul (§ 2.5.2). Dans le premier cas, le diagramme de dispersion obtenu est mono-dimensionnel
et dans le deuxième il est bi-dimensionnel.
2.5.1
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
La constante de propagation au sein d’un milieu périodique peut être calculée de la même
manière que pour une ligne de transmission. Considérons pour cela le cas général d’une structure
bipériodique et finie suivant la direction de propagation telle qu’elle est décrite figure 2.7.
Pour une incidence normale, sur les surfaces SG et SD , les champs électrique et magnétique
peuvent être exprimés sous la forme de combinaisons de N modes de propagation d’un guide d’onde
TEM.
~G =
E
N
X
VG,i~ei
et
~G =
H
N
X
IG,i~hi
(2.34)
ID,i~hi
(2.35)
i=1
i=1
~D =
E
N
X
VD,i~ei
et
~D =
H
i=1
N
X
i=1
où ~ei et ~hi sont respectivement les vecteurs modaux électrique et magnétique du guide d’onde. VG,i
et IG,i sont les tensions et courants associés à chaque mode sur les surfaces gauche et droite. Notons
que le passage du champ au modèle courant/tension est identique au modèle d’onde de répartition
décrit § 2.2.3 et les hypothèses requises sont identiques.
60
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
Détermination des coefficients
de réflexion et de transmission (r,t)
du matériau composite
Minimisation de la fonction coût E(ε, µ)
pour chaque point de départ
Choix du couple (ε, µ) donnant |Emin |
Validité physique
du résultat ?
non
oui
Incrément fréquentiel
Remplacement du point de départ
par le nouveau couple (étape précédente)
Minimisation de la fonction coût E(ε, µ)
Fin du balayage
fréquentiel ?
non
oui
Calcul de n et Z
Fig. 2.13 – Schéma synoptique de l’algorithme d’optimisation mis en œuvre
Version provisoire
61
2.5 calcul de diagramme de dispersion
La cellule unitaire peut ensuite être caractérisée par une matrice chaîne ou ABCD qui relie les
tensions et courants modaux sur les surfaces SG et SD de la manière suivante [103] :
VG
IG
!
A B
=
C D
!
VD
−ID
!
(2.36)
En imposant des conditions de périodicité avec le théorème de Floquet, nous obtenons une deuxième
relation liant les courants et tensions de la surface SG à ceux de la surface SD :
VG
IG
!
= exp(γd)
VD
−ID
!
(2.37)
où d est la distance entre les 2 surfaces SG et SD . γ est la constante de propagation complexe
associée au mode i. En combinant les équations (2.37) et (2.36), nous obtenons un problème aux
valeurs propres :
A − exp(γd)
C
B
D − exp(γd)
!
VD
−ID
!
(2.38)
=0
Pour une fréquence donnée, les valeurs propres donnent la constante de propagation des modes.
Les vecteurs propres correspondent aux valeurs de VD,i et ID,i les coefficients de pondération des
champs électrique et magnétique à la surface SD en fonction des modes du guide TEM.
L’existence d’une solution non triviale est garantie si le déterminant de la matrice est nul, c’est
à dire :
(2.39)
AD − exp(2γd) − (A + D) exp(γd) − BC = 0.
Cette relation peut être simplifiée si le système étudié est réciproque. D’un point de vue énergétique, la réciprocité implique la réversibilité énergétique, c’est à dire, la même réponse est obtenue
que l’excitation soit imposée à un accès ou à l’autre (pour un système à deux accès). La conséquence
de la réciprocité sur la matrice de répartition [S] est qu’elle est symétrique : [S] = [S]t . La conséquence sur la matrice chaîne est : AD − BC = 1. Pour un système réciproque, l’équation (2.39)
devient :
cosh(γd) =
A+D
.
2
(2.40)
Or la constante de propagation s’écrit γ = α + jβ. Les termes de déphasage β et d’atténuation α
de la constante de propagation peuvent donc être exprimés en fonction de A et D :
α=
β=
p
1 ln [(A + D)/2] ± [(A + D)/2]2 − 1
d
p
arctan [(A + D)/2] ± [(A + D)/2]2 − 1 + 2mπ
d
(2.41)
,m ∈ Z
(2.42)
Le choix du signe devant la racine se fait en s’assurant que la propagation s’accompagne d’une
atténuation de l’onde i.e. α doit toujours être négatif. β étant défini par la fonction arctangente,
elle est définie avec une périodicité de ±2mπ : Les solutions forment un ensemble infini de va-
leurs discrètes qui correspondent aux modes TEM qui définissent le contour ΓX du diagramme de
dispersion.
62
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
Dans notre cas, le calcul de la matrice ABCD se fait à partir des paramètres de diffusion calculés
avec HFSS à l’aide des relations de passage [104] :
A=
S12 S21 + (1 + S11 )(1 − S22 )
, et
2S21
(2.43)
(1 − S11 )(1 + S22 ) − S12 S21
.
2S21
(2.44)
D=
Remarque :
Il est important de noter que outre l’hypothèse de réciprocité, ce calcul requiert
également toutes les hypothèses énoncées § 2.2.3 pour le calcul de la matrice de répartition à partir
des distributions de champs.
2.5.2
Diagramme de dispersion bi-dimensionnel
Afin d’obtenir un diagramme de dispersion bi-dimensionnel pour des structures périodiques,
nous utilisons le module de résolution des équations de Maxwell sans source, du logiciel HFSS [89].
Le volume de calcul est discrétisé par la méthode des éléments finis [89] et pour des conditions
aux limites spécifiées aux frontières du volume, une recherche des valeurs propres de la "cavité" est
effectuée.
Pratiquement, pour le calcul du diagramme de dispersion, un couple de constantes de propagation (kx , ky ) appartenant au contour de la zone irréductible de Brillouin est imposé et la fréquence
propre feig associée est recherchée telle qu’elle satisfait les équations de Maxwell sans source ainsi
que les conditions aux limites imposées dans la cellule unitaire. Pour un couple (kx , ky ) donné, le
problème matriciel à résoudre est le suivant :
[S][X] + k02 [T ][X] = [0]
(2.45)
Les matrices [S] et [T ] sont des matrices dépendantes de la géométrie et du maillage, et [X] est un
vecteur colonne représentant les coefficients xi du champ électrique.
L’équation (2.45) peut s’exprimer plus simplement sous la forme [G][X] = [0]. Cette équation (2.45) a une solution non triviale uniquement si le déterminant de la matrice est nul. Dans ce
cas, le couple (kx , ky ) et la fréquence propre feig définissent un point sur le diagramme de dispersion. La matrice [G] dépend à la fois de la constante de propagation et de la fréquence. Comme il
n’est pas possible de séparer ces dépendances, la recherche des zéros de la matrice [G] se fait par
itération en faisant varier les valeurs de la fréquence.
Afin d’avoir des temps de calcul raisonnables, il est nécessaire d’imposer une borne inférieure
aux valeurs de feig et un nombre de fréquences propres fm in limité à deux ou trois. Cette procédure
est répétée jusqu’à ce que tous les couples (kx , ky ) appartenant aux contours de la zone irréductible
de Brillouin aient été analysés. Le schéma synoptique de cet algorithme est montré figure 2.14.
Le temps de calcul du diagramme de dispersion d’une structure relativement complexe est très
long. Néanmoins, l’avantage de cette procédure est que des structures très complexes peuvent être
analysées comme nous le verrons dans le chapitre 3.
Version provisoire
63
2.5 calcul de diagramme de dispersion
Détermination du contour
de Brillouin et des couples
(kx , ky ) associés
Recherche des zéros de [G]
pour un couple (kx , ky )
Incrément fréquentiel
pour f > fmin
Nombre de feig > fmin
atteint ?
non
oui
Analyse d’un nouveau couple (kx , ky )
Fin du balayage
non
du contour de
Brillouin ?
oui
Tracé du diagramme de dispersion
Fig. 2.14 – Schéma synoptique de l’algorithme de calcul de diagramme dispersion bi-dimensionnel
par la méthode des éléments finis.
2.5.3
Récapitulatif
Les deux méthodes de calcul de diagramme de dispersion sont très différentes. La seconde a
l’avantage de nous permettre de décrire tout le contour de Brillouin (ΓXM Γ) alors que la première
permet de décrire seulement le contour ΓX. En revanche, elle ne nous permet pas d’obtenir sim-
64
méthodes d’homogénéisation de composites en hyperfréquences
plement la partie imaginaire de la constante de propagation. De plus, les temps de calcul peuvent
être très longs (e.g. pour l’analyse d’un mirn le temps de calcul sur un PC moyen peut être de plus
d’un mois !).
Perspectives Il peut être intéressant de développer un formalisme analytique (ou semi-analytique)
bi-dimensionnel permettant l’analyse de structures bi-périodiques comme les mirn. Il existe un formalisme développé par A. Yaghjian et al. [105, 106] qui s’applique aux composites périodiques
magnéto-diélectriques. Il s’appuie sur l’écriture de la matrice de répartition du réseau à partir de
fonctions d’ondes sphériques. Nous pensons que ce formalisme peut être adapté pour l’analyse de
composites à inclusions de géométrie quelconque.
2.6
Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes attachés à définir la manière dont nous avons abordé le
concept de milieu effectif. L’extension de ce concept à l’étude de composites à inclusions résonantes
tels que les mirn a été traitée.
Différentes familles d’approches ont été considérées, celle qui a été retenue est celle des approches
« globales ». Ce choix se justifie par le fait que les mirn appartiennent à une catégorie particulière
où les limites de validité des théories de milieux effectifs ne sont pas définies. Deux types d’analyse
associée à cette approche ont été mis en œuvre.
La première permet l’analyse de structure d’extension finie dans la direction de propagation. Les
paramètres de répartition sont calculés et les paramètres effectifs sont ensuite déterminés à l’aide
de méthodes d’« inversion ». Deux méthodes ont été implémentées ; l’une s’appuie sur une méthode
de résolution directe (méthode nrw) et l’autre sur une méthode itérative (optimisation non-linéaire
à l’aide de la méthode Levenberg-Marquardt).
La seconde analyse des structures d’extension infinie dans la direction de propagation. Les valeurs
propres associées à la fréquence de résonance du « guide de Floquet » sont calculées et permettent
la caractérisation de la propagation dans le milieu périodique. La première méthode permet la
caractérisation du contour ΓX seul et la deuxième méthode permet une caractérisation sur tout le
contour de Brillouin (ΓXM Γ).
Une confrontation entre ces deux analyses nous permettra d’avoir une meilleure appréhension
physique des phénomènes mis en jeu. Nous verrons que ceci nous sera très utile dans le chapitre 4.
Les méthodes d’homogénéisation de composites que nous avons implémentées seront appliquées
à des composites ayant des réponses variées dans le chapitre 3.
Version provisoire
Chapitre 3
Paramètres effectifs de différents
métamatériaux
3.1
Introduction
Les méthodes de calcul de paramètres effectifs mises en œuvre dans le chapitre 2 seront appliquées
aux composites métallo-diélectriques.
L’objectif de ce chapitre est d’analyser des composites ayant des réponses électromagnétiques
variées. Nous considérons des composites ayant une réponse diélectrique non-résonante, résonante
et magnétique résonante et non résonante. Nous traiterons enfin les mirn constitué de l’association
d’un réseau d’anneaux résonants (srr) ayant une réponse magnétique et d’un réseau de pistes
continues ayant une réponse diélectrique.
La première étape consistera à valider les paramètres effectifs calculés par notre méthode semianalytique qui consiste à calculer numériquement les coefficients de réflexion et transmission et
ensuite extraire les paramètres effectifs à l’aide de méthodes d’inversion.
Pour cela, nous comparons les paramètres effectifs calculés par notre méthode à ceux issus de
modèles analytiques. Nous analyserons deux cas simples. Le premier est un milieu qui réagit au
champ électrique : un réseau périodique de fils métalliques continus. Le deuxième est un milieu qui
réagit au champ magnétique : un réseau périodique de tubes métalliques creux.
Nous appliquerons ensuite notre méthode pour calculer les paramètres effectifs de différents
milieux contenant des particules résonantes et non-résonantes. Nous étudierons notamment le cas
des composites constitués de :
– pistes métalliques discontinues,
– boucles fermées,
– boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr),
– pistes métalliques continues et de srr.
Notons que pour les méthodes d’inversion, les résultats obtenus sont strictement identiques si
ce n’est pas précisée.
65
66
paramètres effectifs de différents métamatériaux
3.2
Milieu à tiges et pistes métalliques continues
Les modèles analytiques proposés par différents auteurs pour un réseau de pistes métalliques
seront comparés aux résultats obtenus avec les méthodes d’homogénéisation mises en oeuvre.
3.2.1
Modèle analytique pour un réseau de tiges métalliques
La structure étudiée ici est composée d’un réseau périodique 2D de tiges métalliques de rayon
ra très faible par rapport à l’espacement entre les tiges Py ou Pz . Ce modèle analytique considère
uniquement l’interaction d’un champ électrique appliqué parallèlement aux tiges d’un réseau carré.
Fig. 3.1 – Réseau de tiges métalliques de rayon ra et de période Py et Pz suivant les axes oy
~ et oz
~
respectivement.
J. B. Pendry et al. [9, 107] ont proposé une expression (Eq. 3.1) qui permet de lier les paramètres
macroscopiques du système (rayon des tiges ra et la période des tiges P = Px = Py ) et les grandeurs
microscopiques (la masse mef f et la charge effectives nef f électroniques). En partant du modèle de
Drude, la pulsation plasma peut se mettre sous la forme explicitée dans l’équation 3.1.
ωp2 =
nef f e2
2πc20
= 2
ε0 mef f
P ln(P/ra )
(3.1)
c0 représente la vitesse de la lumière dans le vide et ε0 la permittivité du vide. La permittivité
effective est définie par :
εef f (ω) = 1 −
ωp2
ω(ω − jγ)
(3.2)
avec γ = ε0 P 2 / πra2 σ . σ est la conductivité du métal constituant les tiges métalliques.
Il est à noter que le modèle n’est valable que pour des tiges de rayon très inférieur à la période
spatiale P , qui doit elle même être inférieure à la longueur d’onde. Le domaine de validité de ce
modèle est donc restreint au cas de fortes dilutions. La théorie proposée par Pendry et al. pour
l’obtention d’une réponse analogue à un plasma à partir d’un réseau périodique de tiges a été
expliquée dans le chapitre 1.
Une deuxième théorie qui ne se limite pas aux structures fortement diluées a été proposée par
Sarychev et al. [108, 109]. Elle considère l’effet de peau et une polarisation quelconque du champ
Version provisoire
3.2 milieu à tiges et pistes métalliques continues
67
électrique. Leur approche est basée sur la solution directe des équations de Maxwell contrairement
à la méthode précédente. Pour un réseau périodique de tiges métalliques de rayon ra dans un milieu
hôte de permittivité εd , on montre que une composante du tenseur diélectrique εxx :
πra2 εd − 1 + π(Syz /λ20 )εd ε̃m
εef f,xx (ω) = εd −
Syz 1 − (πr/λ0 )2 (Lyz + 1)ε̃m
avec :
(3.3)
– Syz = Py Pz ,
– ε̃m est la permittivité du métal renormalisée en prenant en compte le champ électrique à l’intérieur du métal. Cette renormalisation est faite en utilisant le modèle de Claussius-Mossotti
pour relier la polarisabilité du métal à une permittivité diélectrique.
– Lyz est défini comme :
Lyz = 2 ln
Py
!
p
1 + Py /Pz
Py π
Py
Py
Pz
+
−
−
arctan
−3
2ra
2Pz
Pz
Py
Pz
En interchangeant les indices x, y et z, le tenseur diélectrique du milieu homogénéisé peut être
obtenu. La fréquence plasma issue de ce modèle (en supposant une dispersion de Drude pour la
permittivité) s’écrit :
fp2 =
3.2.2
2πPz2
c2
√0
ln(Pz / 2ra ) + π/2 − 3
(3.4)
Comparaison avec les paramètres effectifs calculés numériquement
Dans un premier temps, la fréquence plasma fp obtenue par le calcul semi-analytique (calcul
numérique et la méthode d’inversion) sera confrontée aux valeurs données dans par les différents
modèles analytiques. Nous considérons ici le cas d’un réseau de tiges de maille carrée et de dimension
Pz = Py = 3.3mm. Nous utiliserons les expressions de fp donnée par Pendry et al. (Eq. 3.1) et
Sarychev et al. (Eq. 3.4). Une troisième expression de fp a été donnée par Maslovski et al. [110] :
fp2 =
c20
2πPz2 (ln Pz2 /4ra (Pz − ra ))
(3.5)
L’analyse de Maslovski et al. est basée sur le calcul des courants quasi-statiques induits dans les
fils métalliques pour déduire la polarisabilité de chaque particule et ensuite calculer la permittivité
effective du réseau de tiges.
Les trois modèles supposent que la permittivité effective possède une dispersion fréquentielle
de Drude décrite par l’équation 3.2. Ainsi, pour les fréquences inférieures à la fréquence plasma
fp , la permittivité effective est négative. Nous rappelons que la fréquence plasma donnée par les
équations (3.1), (3.4) et (3.5) est uniquement fonction des paramètres géométriques du réseau i.e.
de la période Pz et du rayon des tiges ra .
Dans la suite de ce travail, nous chercherons à utiliser ce milieu à tiges métalliques pour obtenir
une permittivité négative. Afin de s’assurer de l’obtention d’une permittivité effective négative lors
de son association à un milieu à perméabilité négative (réseau de SRRs), il est important d’étudier
l’influence des paramètres géométriques (ra , P ) sur la fréquence plasma fp . La périodicité de notre
composite étant fixée par la périodicité du réseau de SRR, le seul paramètre que nous pouvons faire
68
paramètres effectifs de différents métamatériaux
varier est le rayon des tiges ra . La fréquence plasma fp sera définie par la fréquence limite où le
milieu devient propagatif. « L’indicateur » de propagation utilisé est la partie réelle de l’indice de
réfraction. Elle a été calculée de manière semi-analytique (à partir de calculs numériques du réseau
de tiges et utilisation de méthodes d’inversion). Elle est montrée figure 3.2 pour différentes valeurs
de ra = 0.01 mm, 0.04 mm, 0.06, 0.1 mm pour une périodicité Py = Pz fixée à 3.3 mm.
1
Re (n)
0.8
0.6
Re(n) pour ra = 0.01 mm
fp
Re(n) pour ra = 0.04 mm
0.4
Re(n) pour ra = 0.06 mm
Re(n) pour ra = 0.1 mm
0.2
0
15
20
25
Fréquence (GHz)
30
Fig. 3.2 – Partie réelle de l’indice de réfraction en fonction de la fréquence pour un réseau de tiges
métallques de rayon ra variable et de période Py = Pz = 3.3 mm.
La partie réelle de n prend des valeurs supérieures à zéro à partir d’un point de fréquence que
nous assimilerons à la fréquence plasma fp . On note que fp augmente avec le rayon des tiges ra .
Les valeurs de fp ainsi « calculées » sont superposées à celle obtenues à partir de trois expressions
Fréquence plasma fp (GHz)
analytiques de fp (figure 3.3).
30
25
Approche de J. B. Pendry et al.
Approche de A. Sarychev et al.
Approche de S. I. Maslovski et al.
Approche semi-analytique proposée
20
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Rayon des tiges ra (mm)
Fig. 3.3 – Fréquence plasma en fonction du rayon des tiges métalliques pour différents modèles
analytiques et notre méthode semi-analytique.
Les courbes de fp en fonction de ra calculées analytiquement sont proches les unes des autres, avec
fp qui croît avec ra . Notons que les valeurs de fp calculées par notre méthode sont en accord avec
les trois analyses théoriques de manière qualitative. Elles sont quantitativement plus proches de
l’approche de Maslovski et al. que celles de Pendry et al. et de Sarychev et al..
Version provisoire
69
3.2 milieu à tiges et pistes métalliques continues
La permittivité effective calculée est également cohérente pour les quatre approches (figure 3.4).
Dans ce cas, pour les trois modèles analytiques, nous considérons une dispersion de Drude (Eq. 3.2)
pour des tiges de cuivre (σ = 5.7 × 107 Sm−1 ).
0
ε(f)
−2
Approche de J. B. Pendry et al.
Approche de A. Sarychev et al.
−4
Approche de S. I. Maslovski et al.
Approche semi-analytique proposée
−6
−8
10
15
20
25
Fréquence (GHz)
Fig. 3.4 – Permittivité effective pour un réseau de tiges métalliques de rayon ra =0.06mm pour les
trois modèles analytiques et notre modèle semi-analytique .
Ces résultats montrent que la méthode proposée pour le calcul de paramètres effectifs à l’aide de
modélisation numérique et de méthodes d’inversion est assez précise pour le calcul de la permittivité
effective.
3.2.3
Milieu à pistes métalliques continues
Pour l’étude des métamatériaux à indice de réfraction négatif, nous utilisons généralement des
pistes métalliques (pour la planéité) plutôt que des tiges pour générer une permittivité négative. La
cellule unitaire du milieu étudié par notre calcul semi-analytique est montré figure 3.5. La piste de
largeur W = 0.5 mm est répété avec les périodicités suivantes :
– Pz = 4.5 mm suivant l’axe oz,
~
– Px = 3.3 mm suivant l’axe ox.
~
La dimension Py de la cellule suivant l’axe oy
~ (// à la direction de propagation) est de 3.3 mm.
Fig. 3.5 – Piste métallique en cuivre d’épaisseur 17 µm imprimée sur un substrat de téflon d’épaisseur 0.254 mm (εr = 2, 2, tan δ = 9 × 10−4 ). La largeur W est de 0,5 mm.
Les coefficients de réflexion r et de transmission t sont calculés numériquement [89] et sont
illustrés figure 3.6. On note que les allures de phase sont monotones pour r et t.
Les paramètres effectifs calculés par les méthodes d’inversion (Cf. Chapitre 2, § 2.4.1) à partir
des coefficients (r, t) sont montrés figure 3.7.
70
paramètres effectifs de différents métamatériaux
3
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−5
−10
−15
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
2
1
0
−1
r
t
5
r
t
−2
30
5
(a) Module
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(b) Phase
Fig. 3.6 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à pistes
métalliques continues.
10
−2
Re
Im
−4
6
4
2
0
−6
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(a) Indice de réfraction
0
1
−10
0.8
Re
Im
−20
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
0.6
Re
Im
0.4
0.2
−30
−40
5
(b) Impédance d’onde normalisée
µ(f)
ε(f)
Re
Im
8
Z(f)
n(f)
0
0
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
30
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(d) Perméabilité complexe
Fig. 3.7 – Paramètres effectifs du milieu à pistes métalliques continues
L’indice de réfraction [figure 3.7(a)] montre un début de propagation à une fréquence de 19.8
GHz (partie réelle qui devient non-nulle), que nous assimilerons à la fréquence plasma du milieu.
Le tableau 3.1 récapitule les fréquences plasma calculées avec les 3 modèles analytiques. Deux
Version provisoire
71
3.3 milieu à pistes et/ou tiges métalliques discontinues
corrections sont effectuées dans le but d’appliquer les modèles analytiques des tiges aux pistes
métalliques :
– Le rayon équivalent vaut ra = W/4,
– La longueur d’onde guidée est corrigée en considérant une permittivité effective, εe = (εsubstrat +
ε0 )/2.
Approche
Approche
Approche
Approche
de J. B. Pendry et al.
de A. Sarychev et al.
de S. I. Maslovski et al.
semi-analytique proposée
Fréquence
23.9
23.4
20.1
19.8
plasma, fp
GHz
GHz
GHz
GHz
Tab. 3.1 – Comparaison des fp calculées à l’aide des 3 modèles analytiques et notre méthode
combinant la modélisation numérique et les méthodes d’inversion.
L’impédance d’onde [figure 3.7(b)] possède une partie imaginaire positive jusqu’à fp : le milieu
est donc inductif en dessous de la fp . La structure devient passante pour f > fp et la partie
réelle présente un saut et passe de zéro à des valeurs positives (elles attestent de la passivité du
milieu). Notons également qu’à la fréquence fp , le milieu présente un saut d’impédance qui coïncide
exactement avec le saut subit par l’indice de réfraction. En outre, à cette fréquence, le milieu est à
forte impédance avec des parties réelles et imaginaires élevées. La différence entre les surfaces haute
impédance et ce milieu est l’absence de composante capacitive (Im(Z) ≥ 0). La partie réelle de la
permittivité effective (figure 3.7(c)) est négative pour f < fp et devient légèrement positive après. La
partie imaginaire est quasiment nulle avec prise en compte des pertes métalliques et diélectriques
du milieu. La perméabilité effective (figure 3.7(d)) est constante et proche de 1 en partie réelle,
attestant de l’absence d’activité magnétique au sein du milieu.
Ces résultats montrent que non seulement le milieu à pistes métalliques se comporte en plasma
artificiel avec une permittivité négative pour f < fp mais aussi que les règles de conception d’un
tel milieu peuvent être déduites des modèles analytiques des milieu à tiges avec des corrections,
notamment de longueur d’onde et de rayon équivalent.
3.2.4
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
Le diagramme de dispersion mono-dimensionnel du milieu à pistes métalliques continues a été
calculé à l’aide de la méthode développé dans § 2.5.1 du chapitre 2. Il est montré figure 3.8.
La partie réelle β nous donne le diagramme de dispersion mono-dimensionnel sur le contour
ΓX. Le milieu est propagatif à partir de la fréquence plasma prévu à 19.8 GHz. La constante
d’atténuation alpha est égale à zéro pour f > 19.8 GHz.
3.3
Milieu à pistes et/ou tiges métalliques discontinues
Les milieux à tiges discontinues avec un comportement analogue au diélectrique artificiel sont
connus depuis les années 50 [111, 112]. En considérant un réseau de tiges (de rayon ra ) discontinues
denses (représenté figure 3.9), la permittivité effective est résonante et peut se mettre sous la forme
72
0.29
26
0.23
21
0.23
21
0.18
16
0.18
16
0.12
11
0.12
11
0.066
6
0.066
6
1
0.011
0.011
0
0.5
1
1.5
β (rad m−1)
2
−3
1
0
−2
−1
α (dBmm−1)
(a)
f (GHz)
26
f × d /c0
0.29
f (GHz)
f × d /c0
paramètres effectifs de différents métamatériaux
(b)
Fig. 3.8 – Constante de propagation γ du milieu à pistes métalliques continues. L’échelle de fréquence à gauche représente la fréquence normalisée (d = Py ).
[72, 113] :
εef f = 1 +
C/(ε0 s2 )
1 − ω 2 /ω02
(3.6)
où C est le produit de la capacitance C0 et de la périodicité lc = Px des insertions ou les fentes
p
Py Pz . Si les fentes ne sont pas chargées, en première
non chargées. s est défini comme s =
approximation, C0 = ε2πra /lc . La fréquence de résonance d’un tel milieu est définie comme :
Fig. 3.9 – Réseau de tiges discontinues avec les discontinuités de période lc .
ω02 =
avec
2π/(µ0 C)
,
ln(s/(2πra )) + F (υ)
+∞ X
1
F (υ) = − log υ +
2
n=1
où υ = Py /Pz
coth(πnυ) − 1
n
(3.7)
+
π
,
6
Les équations (3.6) et (3.7) nous laissent prévoir que ce milieu sera un diélectrique de résonant
avec une dispersion de Lorentz.
Version provisoire
73
3.3 milieu à pistes et/ou tiges métalliques discontinues
3.3.1
Paramètres effectifs calculés
L’étude de ce milieu est intéressante car nous disposons cette fois-ci d’un milieu diélectrique
résonant contrairement au cas étudié § 3.2. La cellule unitaire du milieu à pistes discontinues est
montré figure 3.10. Ce motif constitué d’une piste de largeur W = 0.5 mm est répétée avec les
périodicités suivantes :
– Pz = 4.5 mm suivant l’axe oz,
~
– Px = lc = 3.3 mm suivant l’axe ox.
~
La dimension d de la cellule suivant l’axe oy
~ (// à la direction de propagation) est de 3.3 mm.
Fig. 3.10 – Cellule unitaire du réseau de pistes discontinues. (M =0.6 mm.) La piste métallique
(W = 0.5 mm) en cuivre d’épaisseur 17 µm est imprimée sur un substrat de Teflon d’épaisseur de
0.254 mm (εr = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 .
Les coefficients de réflexion r et de transmission t sont calculés numériquement [89] et sont
illustrés figure 3.11. La structure présente une résonance à une fréquence de 23 GHz avec une bande
interdite autour de cette fréquence. À cette même fréquence, le coefficient de transmission présente
un saut de phase de +π.
2
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−30
−40
r
t
0
−2
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
(a) Module
30
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(b) Phase
Fig. 3.11 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à pistes métalliques continues
Les paramètres effectifs déduits des méthodes d’inversion à partir des coefficients (r, t) sont
montrés figure 3.12. L’indice de réfraction (figure 3.12(a)) a une partie imaginaire non-nulle dans
toute la bande interdite (20 GHz < f < 27 GHz). La partie réelle présente un pallier de 2.5 pour
20 GHz < f < 23 GHz et elle est nulle pour 23 GHz < f < 27 GHz. À l’extérieur de cette bande
de fréquence, n′ est proche de 1.
74
paramètres effectifs de différents métamatériaux
6
Re
Im
2
Z(f)
n(f)
4
0
2
−2
Re
Im
−4
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
0
5
30
(a) Indice de réfraction
Re
Im
3
Re
Im
µ(f)
5
ε(f)
30
(b) Impédance d’onde normalisée
15
10
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
0
2
1
−5
−10
−15
0
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(c) Permittivité complexe
5
10 15 20 25
Fréquence (GHz)
30
(d) Perméabilité complexe
Fig. 3.12 – Paramètres effectifs d’un milieu à pistes métalliques discontinues
L’impédance d’onde (figure 3.12(b)) présente une partie réelle nulle pour 20 GHz < f < 27 GHz
et une partie imaginaire positive attestant de la nature inductive du milieu. Cette caractéristique
accompagne en général un milieu à permittivité négative comme nous l’avons vu précédemment
dans la figure 3.7(b). Notons qu’à la fréquence de 27 GHz, les parties réelle et imaginaire de Z sont
très élevées comme pour le cas des pistes continues. En outre, à cette même fréquence n′ passe de
zéro à des valeurs positives. L’impédance d’onde n’admet pas un saut à la fréquence de résonance
(|t| ≈ 0) de 23 GHz contrairement à n′ .
En effet, la permittivité (figure 3.12(c)) est résonante avec une allure Lorentzienne (comme
prévue par l’analyse théorique de Tretyakov et al. [72]) et présente des valeurs négatives pour
20 GHz < f < 27 GHz. La partie imaginaire de ε est très élevée pour 20 GHz < f < 23 GHz et de
l’ordre de 10−3 pour 23 GHz < f < 27 GHz.
La perméabilité (figure 3.12(d) présente une partie réelle avec une allure anti-résonante avec
la partie imaginaire prenant des valeurs positives pour 20 GHz < f < 23 GHz. À l’extérieur de
cette bande de fréquence, µ′ ≈ 1 et µ′′ ≈ 0. Cette allure anti-résonante de µ n’est pas prédite par
l’analyse théorique de Tretyakov et al. car une des hypothèses de départ consiste à négliger l’activité
magnétique du composite et de poser µ = µ0 . Une interprétation à cette observation sera donnée
dans le chapitre 4.
Version provisoire
75
3.4 milieu à boucles fermées
3.3.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
Le diagramme de dispersion mono-dimensionnel du milieu à pistes métalliques discontinues a
26
0.23
21
0.23
21
0.18
16
0.18
16
0.12
11
0.12
11
0.066
6
0.066
6
1
0.011
0.011
0
1
2
−1
β (rad m )
3
f × d /c0
0.29
f (GHz)
26
ω d × d /c0
0.29
−10
−5
α (dBmm−1)
(a)
f (GHz)
été calculé à l’aide de la méthode développé dans § 2.5.1 du chapitre 2. Il est montré figure 3.13.
1
0
(b)
Fig. 3.13 – Constante de propagation γ du milieu à pistes métalliques discontinues. L’échelle de
fréquence à gauche représente la fréquence normalisée.
La constante de propagation est réelle pure jusqu’à la fréquence de 20 GHz qui correspond à
la fréquence plasma de la piste continues. Sur la bande 19 GHz - 27 GHz, nous avons une bande
interdite car α > β.
3.4
Milieu à boucles fermées
Le milieu à boucle fermée constitue le composite magnétique artificiel le plus simple à étudier.
L’obtention d’une perméabilité différente de celle du vide est basée sur les propriétés géométriques
du réseau périodique ainsi que sur l’écrantage du champ [114].
3.4.1
Modèle analytique pour un réseau de tubes métalliques creux
L’étude de milieux constitués d’inclusions métalliques creuses pour l’obtention d’une réponse
magnétique a été faite par plusieurs auteurs [115, 116, 10]. Si l’on considère l’analyse théorique de
Pendry et al. [10], il utilise l’approximation quasi-statique pour expliquer l’obtention d’une réponse
magnétique dans le composite. Le réseau périodique de tubes métalliques creux étudié est représenté
~ pénètre dans le tube pour les basses
figure 3.14. Pour une polarisation incidente TM, le champ H
fréquences et la perméabilité effective de ce milieu vaut 1. Pour des fréquences plus élevées, un
~ int est nul. Ainsi,
phénomène d’écrantage se produit : le champ magnétique à l’intérieur du tube H
l’induction magnétique moyenne calculée pour une cellule unitaire est :
~ 0 + αµ0 H
~ int = (1 − α)µ0 H
~0
hBi = (1 − α)µ0 H
(3.8)
La permeabilité effective vaut :
µ=1−α
(3.9)
76
paramètres effectifs de différents métamatériaux
Fig. 3.14 – Réseau périodique de tubes métalliques creux
avec α = πr2 /P 2 , la fraction volumique du composite dans le plan de propagation. r est le rayon
externe du cylindre creux.
La formule générale de la perméabilité effective [10] en tenant compte de la conductivité finie
du métal est :
µ=1−
1
πr2
P 2 1 + i2σ/ωrµ0
(3.10)
où σ est la résistance du tube métallique par unité de surface.
Nous pouvons conclure que pour un tel composite, α sera toujours inférieur ou égal à 1, ce
qui implique que ce composite est diamagnétique (c’est à dire, 0 < µ < 1) et qu’en aucun cas la
perméabilité ne prendra des valeurs négatives.
Dans le prochain paragraphe, nous analyserons un réseau périodique de boucles métalliques qui
représente en première approximation le réseau de la figure 3.14 en deux dimensions. Notons que la
fraction volumique considérée sera plutôt une fraction surfacique dans le plan de propagation.
3.4.2
Comparaison avec les paramètres effectifs calculés
La perméabilité effective obtenue en utilisant le formalisme de Pendry et al. sera comparée à la
perméabilité effective calculée par analyse numérique et méthode d’inversion d’un réseau de boucles
fermées dont la cellule unitaire est représentée figure 5.1. Ce motif est répété avec les périodicités
suivantes :
– Pz = 4.5 mm suivant l’axe oz,
~
– Px = 3.3 mm suivant l’axe ox.
~
La dimension d de la cellule suivant l’axe oy
~ (// à la direction de propagation) est de 3.3 mm.
Fig. 3.15 – Boucle fermée en cuivre d’épaisseur 17 µm imprimée sur un substrat de téflon d’épaisseur
0.254 mm (εr = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ). La largeur du ruban est de 0.25 mm et S=2.63 mm.
Version provisoire
77
3.4 milieu à boucles fermées
Les coefficients de réflexion r et de transmission t sont calculés numériquement [89] et sont
illustrés figure 3.16.
2
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−30
−40
r
t
0
−2
10
20
30
Fréquence (GHz)
(a) Module
40
10
20
30
Fréquence (GHz)
40
(b) Phase
Fig. 3.16 – Coefficients de réflexion et de transmission du milieu à boucles fermées. La zone nongrisée représente la bande de fréquence où l’on considère l’approximation quasi-statique valable.
Nous observons une résonance à une fréquence de 34 GHz et une bande interdite autour de cette
fréquence. À cette même fréquence, le coefficient de transmission subit un saut de phase de +π/2.
La zone non-grisée représente la bande de fréquence où nous pouvons supposer une approximation quasi-statique. Cette approximation consiste à supposer que la circonférence de l’anneau doit
être inférieure à 0.2λ0 [117], ce qui correspond à une fréquence proche de 5 GHz. Ici, nous montrons
que cette analyse quasi-statique peut être étendue au-delà de ces critères c’est à dire jusqu’à des
fréquences proches de 20 GHz.
Dans un premier temps, nous nous placerons dans cette approximation. Les paramètres effectifs
calculés par méthodes d’inversion à partir des coefficients (r, t) pour cette bande de fréquence sont
montrés figure 3.17.
La permittivité effective (figure 3.17(a)) est quasiment constante autour de 1.5 en partie réelle.
Cette valeur est cohérente avec la permittivité effective obtenue par loi de mélange en considérant
la fraction volumique de diélectrique dans la structure (de l’ordre de 1.2).
La perméabilité effective (figure 3.17(b)) calculée par les méthodes d’inversion est superposée
aux valeurs analytiques déduites des formules de Pendry en utilisant pour σ la conductivité du
cuivre. Les 2 courbes sont en accord en partie réelle et imaginaire. µ′ est inférieur à 1 et µ′′ est
proche de 0 : le composite est diamagnétique comme prévu par l’analyse quasi-statique de Pendry
et al..
Au delà des fréquences où l’approximation quasi-statique est valable, le composite est résonant
(bande grisée de la figure 3.16). Nous présentons dans la figure 3.18 les paramètres effectifs associés à
cette bande de fréquence. Il est important de noter que dans ce cas, la longueur d’onde est de l’ordre
de grandeur de la périodicité du composite. On pourrait contester la validité de l’homogénéisation
d’une telle structure. Néanmoins, ces paramètres effectifs sont intéressants à étudier et nous serviront
de support pour l’analyse et l’interprétation que nous ferons dans le chapitre 4.
L’indice de réfraction (figure 3.18(a)) a une partie imaginaire non-nulle dans la bande de fréquence interdite (28 GHz < f < 35 GHz) ainsi que l’impédance d’onde (figure 3.18(b)). La partie
78
2
1
1.5
0.8
1
Perméabilité
Permittivité
paramètres effectifs de différents métamatériaux
Re
Im
0.5
0
0.6
0.4
0.2
0
10
15
Fréquence (GHz)
20
(a)
10
15
Fréquence (GHz)
20
(b)
Re(µ) - Inversion
Im(µ) - Inversion
Re(µ) - Quasi-statique
Im(µ) - Quasi-statique
Fig. 3.17 – Paramètres effectifs du milieu à boucles fermées en régime quasi-statique (bande de fréquence non-grisée). (b) Superposition des grandeurs analytiques et numériques pour la perméabilité
effective.
imaginaire de celle-ci est positive, traduisant un comportement inductif à la résonance tout comme
dans le cas des pistes métalliques discontinues étudiées § 3.3. Nous pouvons ainsi prévoir que la
permittivité sera négative en partie réelle pour 29.6 GHz < f < 34 GHz comme le montre la figure
3.18(c).
La perméabilité (figure 3.18(d)) présente la même allure anti-résonante en partie réelle que celle
vu précédemment (figure 3.12(d)). La seule différence entre les courbes est la valeur asymptotique
en régime quasi-statique :
– pour la structure constituée de boucles fermées, 0 < µ′ < 1 et le composite est diamagnétique,
– pour la structure constituée de pistes métalliques discontinues, µ′ ≈ 1.
3.4.3
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
Le diagramme de dispersion mono-dimensionnel du milieu à pistes boucles fermées a été calculé
à l’aide de la méthode développé dans § 2.5.1 du chapitre 2. Il est montré figure 3.19.
Le diagramme de dispersion de cette structure est relativement complexe. Pour des fréquences
inférieures à 28 GHz, nous observons une bande propagée. De 33.5 à 36 GHz nous observons un
mode complexe. Ce types de modes est observée dans les structures périodiques comme nous le
reverrons dans le chapitre 4.
3.5
Milieu à boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr)
Le milieu à boucle fermée bien qu’ayant une réponse magnétique statique ne permet pas d’avoir
une perméabilité négative. Pour cela nous étudierons dans ce paragraphe des boucles fendues. La
présence d’une composante capacitive au sein de la structure est importante pour l’obtention d’une
perméabilité négative [10]. Cet effet sera plus amplement décrit dans la Partie 2.
Version provisoire
79
3.5 milieu à boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr)
1.5
Re
Im
3
Z(f)
1
n(f)
0.5
0
1
Re
Im
−0.5
−1
2
10
0
20
30
Fréquence (GHz)
10
40
4
2.5
2
2
0
−2
(c) Permittivité complexe
1.5
1
0
−4
20
30
Fréquence (GHz)
Re
Im
0.5
Re
Im
10
40
(b) Impédance d’onde normalisé
µ(f)
ε(f)
(a) Indice de réfraction
20
30
Fréquence (GHz)
40
10
20
30
Fréquence (GHz)
40
(d) Perméabilité complexe
Fig. 3.18 – Paramètres effectifs du milieu à boucles fermées sur toute la bande de fréquence, comprenant également les fréquences au delà du régime quasi-statique.
80
0.23
0.18
0.12
0.066
0
21
16
11
6
1
2
−1
β (rad m )
3
0.4
0.34
0.29
36
31
26
0.23
0.18
0.12
0.066
−6
21
16
11
6
0
−4
−2
α (dBmm−1)
(a)
f (GHz)
36
31
26
f × d /c0
0.4
0.34
0.29
f (GHz)
f × d /c0
paramètres effectifs de différents métamatériaux
(b)
Fig. 3.19 – Constante de propagation γ du milieu à boucles fermées. L’échelle de fréquence à gauche
représente la fréquence normalisée.
3.5.1
Paramètres effectifs calculés
La structure proposée par Pendry et al. et adaptée par Smith et al. [1] et K. Li et al. [118] pour
avoir une perméabilité négative est constituée de deux boucles ouvertes imbriquées ; elle est montrée
figure 3.20(a).
(a) EC-SRR
(b) BC-SRR
Fig. 3.20 – Cellule unitaire du milieu à srr. Les pistes métalliques en cuivre et de largeur 0.25 mm
sont imprimées sur un substrat de Téflon (ε = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ) d’épaisseur 0.254 mm.
Les dimensions géométriques sont les suivantes :
– S=2.63 mm,
– G=0.46 mm,
– B=0.3 mm,
Le couplage capacitif qui existe entre les deux anneaux tels qu’il est présenté (figure 3.20(a))
présente des désavantages notamment, une bianisotropie indésirable dans le cas où le champ électrique est parallèle au gap de l’anneau. En effet, en première approximation seule la présence d’un
champ magnétique axial semble importante, ce qui limite notre étude à une polarisation (tm).
Dans cette structure, à cette limitation s’ajoute le choix de l’angle d’incidence dans la polarisation choisie. Dans le cas d’une incidence oblique, la composante de champ électrique présente au
niveau de la fente induit un courant qui crée à son tour un champ magnétique. Cette réponse au
champ électrique n’est pas identique pour les deux anneaux étant donné leur différence de taille [119]
Version provisoire
81
3.5 milieu à boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr)
et ne s’annule pas complètement. La structure répond au champ électrique appliqué en créant une
composante magnétique : elle est bianisotrope.
La première étude théorique faite sur la bianisotropie de cette structure a été faite par Marquès et
al. [119]. Pour s’en affranchir, l’auteur propose la solution suivante : l’utilisation de deux anneaux
ayant les mêmes dimensions. Nous nous sommes basés sur ce concept et nous avons conçu la structure
« broad-side »-srr ou bc-srr présentée figure 3.20(b) [120]. Le terme « broad-side » est utilisé pour
caractériser le couplage qui s’appuie cette fois-ci sur la largeur les lignes microruban plutôt que sur
les épaisseurs de lignes (« edge-coupling ») pour la structure de K. Li et al. [118]. Ainsi par la suite,
nous nommerons ces deux structures BC-SRR et EC-SRR, respectivement.
Les paramètres de diffusion du mode fondamental des deux structures sont montrés figure 3.21.
0
r
t
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−1
−2
−30
−40
−3
10
12
14
Fréquence (GHz)
10
16
(a) Module (EC-SRR)
12
14
Fréquence (GHz)
(b) Phase (EC-SRR)
r
t
0
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−10
r
t
−20
−30
−40
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
(c) Module (BC-SRR)
16
10
−1
−2
−3
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(d) Phase (BC-SRR)
Fig. 3.21 – Coefficients de réflexion et de transmission d’un milieu à boucles ouvertes ou split-ring
resonators (srr). (a,b) Milieu à ec-srr (c,d) Milieu à bc-srr.
Les structures bc-srr et ec-srr résonnent respectivement à une fréquence de 8 GHz et 12.3
GHz, ce qui correspond à des dimensions électriques de la cellule unitaire de 2λ0 /15 et 2λ0 /25
respectivement. Remarquons qu’avant la fréquence de résonance, le coefficient de réflexion subit un
saut de phase proche de +π pour les 2 structures. Les milieux étudiés précédemment ne présentaient
pas ce type de saut de phase pour le coefficient de réflexion. Ce saut de phase est propre au milieu
82
paramètres effectifs de différents métamatériaux
présentant une perméabilité négative dans leur bande interdite ou une impédance d’onde purement
capacitive dans cette bande de fréquence.
Les paramètres effectifs calculés par les méthodes d’inversion à partir des coefficients (r, t) sont
montrés figure 3.22. Ceux des deux structures sont superposés avec des échelles de fréquences distinctes. Celle du haut (en noir) représente le milieu à ec-srr et celle du bas (en cyan) représente
le milieu à bc-srr.
10.75
12.5
14.25
16
6
4
2
2
0
0
−2
−2
−4
−4
n(f)
4
−6
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
9
5
Z(f)
9
6
−6
10
12.5
14.25
−5
10
7
8
9
Fréquence (GHz)
9
20
16
5
4
3
3
2
2
1
1
0
0
7
8
9
Fréquence (GHz)
16
5
(b) Impédance d’onde normalisée
4
6
14.25
0
−5
6
10
µ(f)
ε(f)
10.75
12.5
0
(a) Indice de réfraction
9
5
10.75
10.75
12.5
14.25
16
20
10
10
0
0
−10
−10
6
(c) Permittivité complexe
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(d) Perméabilité complexe
Partie réelle - ec-srr
Partie imaginaire - ec-srr
Partie réelle - bc-srr
Partie imaginaire - bc-srr
Fig. 3.22 – Paramètres effectifs d’un milieu à boucle ouverte ou split-ring resonators (srr. L’échelle
de fréquence du haut correspond à la structure ec-srr et celle du bas au bc-srr.
L’indice de réfraction [figure 3.22(a)] est nul en partie réelle sur la bande de fréquence 12.7 GHz
-13.3 GHz pour la structure ec-srr et 8.1 GHz - 8.9 GHz pour le bc-srr. Il présente un pallier plus
élevé (n ≈ 5.5) pour la structure bc-srr (7.9 GHz < f < 8.1 GHz) que celui du ec-srr (n ≈ 3.5)
pour 12.3 GHz < f < 12.7 GHz.
L’impédance d’onde [figure 3.22(b)] est imaginaire pure pour 12.3 GHz < f < 13.3 GHz pour
la structure ec-srr présentant des valeurs négatives attestant d’une réponse capacitive du milieu.
Celui-ci a bien un comportement dual comparé aux réseaux de pistes discontinues étudiées dans
Version provisoire
83
3.5 milieu à boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr)
§ 3.3, ce qui laisse supposer que ce milieu présentera une perméabilité négative dans sa bande
interdite.
En effet, µ′ est résonant avec une allure de Lorentz [figure 3.22(d)]. Il est négatif pour 12.7 GHz <
f < 13.3 GHz. µ′′ présente un pic d’absorption autour de 12.3 GHz.
La permittivité [figure 3.22(c)] a une allure anti-résonante en partie réelle pour les deux structures. Cette variation est également le dual du milieu à pistes discontinues (§ 3.3). Cette observation
fera l’objet d’une analyse approfondie dans le chapitre 4. Le tableau 3.2 récapitule les bandes de
fréquences à retenir pour le milieu à bc-srr et ec-srr.
bc-srr
7.9 GHz
8.1 GHz
8.1-8.9 GHz
7.9-8.9 GHz
8.1-8.9 GHz
7.9 GHz
8.0 GHz
Z′
Saut de
Saut de n′
n′ ≈ 0
Z ′′ 6= 0
µ′ < 0
Pic de µ′′
Pic de ε′′
ec-srr
12.3 GHz
12.7 GHz
12.7-13.3 GHz
12.3-13.3 GHz
12.7-13.3 GHz
12.3 GHz
12.5 GHz
Tab. 3.2 – Bande de fréquences importantes pour les paramètres effectifs du milieu à bc-srr et
ec-srr
3.5.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
Les diagramme de dispersion mono-dimensionnel du milieu à srr ont été calculés à l’aide de la
0.11
10
0.055
0
1
2
β (rad m−1)
3
5
(a)
0.16
15
0.11
10
0.055
−8
−6
−4
−2
α (dBmm−1)
f (GHz)
15
f × d /c0
0.16
f (GHz)
f × d /c0
méthode développée dans § 2.5.1 du chapitre 2. Ils sont montrés figure 3.23 et 3.24.
5
0
(b)
Fig. 3.23 – Constante de propagation γ du milieu à boucles fermées. L’échelle de fréquence à gauche
représente la fréquence normalisée.
Plusieurs constats peuvent être faits sur ces figures :
1. Nous avons quasiment les mêmes diagrammes de dispersion pour les deux structures mais avec
un décalage fréquentiel,
2. Les structures présentent une bande interdite de 7.9 GHz à 8.9 GHz pour le bc-srr et de 12.3
GHz à 13.3 GHz pour le ec-srr,
84
paramètres effectifs de différents métamatériaux
0.099
0
1
2
β (rad m−1)
3
9
14
f (GHz)
f (GHz)
0.15
f × d /c0
14
f × d /c0
0.15
0.099
−10
−5
α (dBmm−1)
(a)
9
0
(b)
Fig. 3.24 – Constante de propagation γ du milieu à boucles fermées. L’échelle de fréquence à gauche
représente la fréquence normalisée.
3. Nous confirmons que les structures bc-srr et ec-srr ont bien la même réponse électromagnétique mais pour des dimensions électriques différentes.
3.6
Milieu composite à pistes métalliques et split-ring resonators
(srr)
L’association du milieu à srr (§ 3.5) présentant une perméabilité négative à un milieu à pistes
métalliques continues (§ 3.2) présentant une permittivité négative permet d’obtenir un milieu à
indice de réfraction négatif (mirn).
Pour cela, les cellules unitaires montrées figure 3.25 sont modélisées.
(a) Cellule unitaire ec-srr
(b) Cellule unitaire ec-srr
Fig. 3.25 – Cellules unitaires des métamatériaux constitués de l’association de bc-srr et ec-srr
et de pistes métalliques continues.
Elles sont constitués de deux substrats de Teflon ((ε = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ) d’épaisseur 0.254
mm. Pour la structure ec-srr (figure 3.25(a)), sur une des faces d’un substrat est imprimée le
ec-srr et sur l’autre face une piste métallique de largeur de 0.25 mm. Sur le deuxième substrat on
Version provisoire
85
3.6 milieu composite à pistes métalliques et split-ring resonators (srr)
imprime une deuxième piste métallique de même largeur. Pour la structure bc-srr (figure 3.25(b)),
sur un des substrats est imprimé le bc-srr et sur le deuxième une piste métallique. La largeur de
la piste métallique est de 0.5 mm. Les dimensions géométriques de la cellule élémentaire sont :
– PH = Pz =4.5 mm,
– PT = Px =3.3 mm,
– d = Py =3.3 mm,
3.6.1
Paramètres effectifs
Les coefficients de réflexion et de transmission des structures bc-srr et ec-srr sont représentés
figure 3.26. Nous observons une résonance et les structures ec-srr et bc-srr sont transparentes à
3
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
2
1
−30
−40
0
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(a) Module - EC-SRR
10
12
14
Fréquence (GHz)
3
Phase (rad)
−10
16
(b) Phase - EC-SRR
0
Magnitude (dB)
r
t
r
t
−20
r
t
2
1
−30
−40
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
(c) Module - BC-SRR
10
0
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(d) Phase - BC-SRR
Fig. 3.26 – Coefficients de réflexion et de transmission complexes en fonction de la fréquence pour
un mirn constitué de bc-srr et ec-srr
l’onde incidente sur une bande de fréquence centrée autour de 12.3 GHz et 8.1 GHz respectivement.
Les coefficients de réflexion et de transmission subissent un saut de phase de +π. Une comparaison
entre les courbes des figures 3.21 et 3.26 nous montrent qu’il existe une dualité entre le paramètres
r et t en module et en phase, ce qui implique que le comportement du mirn est essentiellement
dicté par celui des srr seuls.
86
paramètres effectifs de différents métamatériaux
Les paramètres effectifs calculés par méthodes d’inversion à partir des coefficients (r, t) sont
illustrés figure 3.27. Ceux des deux structures sont superposés avec des échelles de fréquences distinctes. Celle du haut (en noir) représente le milieu à ec-srr et celle du bas (en cyan) représente
le milieu à bc-srr.
10.75
12.5
14.25
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
9
5
16
0
Z(f)
n(f)
9
0
−8
10
12.5
14.25
4
3
3
2
2
1
1
0
0
6
16
5
0
−5
−5
7
8
9
Fréquence (GHz)
16
5
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(b) Impédance d’onde normalisée
0
6
14.25
10
9
10
10.75
12.5
14.25
0
16
10
0
µ(f)
ε(f)
10.75
12.5
4
(a) Indice de réfraction
9
5
10.75
−10
−10
−20
6
(c) Permittivité complexe
−20
10
7
8
9
Fréquence (GHz)
(d) Perméabilité complexe
Partie réelle - ec-srr
Partie imaginaire - ec-srr
Partie réelle - bc-srr
Partie imaginaire - bc-srr
Fig. 3.27 – Paramètres effectifs d’un mirn constitué de bc-srr et ec-srr. L’échelle de fréquence
du haut correspond à la structure ec-srr et celle du bas au bc-srr.
Les mirn à base de ec-srr et de bc-srr présentent respectivement un indice de réfraction
négatif de 11.5 GHz - 13.3 GHz et de 7.7 GHz - 8.7 GHz [figure 3.27(a)]. Notons que l’indice
présente également un pallier pour les deux cas (11.5 GHz < f < 12.3 GHz pour le ec-srr et
7.7 GHz < f < 7.9 GHz pour le bc-srr), témoignant de l’existence de dispersion spatiale au sein
de la structure comme nous le verrons dans le chapitre 4. Les valeurs maximales de n′ atteintes sont
supérieures pour le mirn constitué de bc-srr.
Dans la bande 12.3 GHz < f < 13.3 GHz , l’impédance d’onde est réelle avec des parties
imaginaires très faibles (figure 3.27(b)).
Version provisoire
87
3.6 milieu composite à pistes métalliques et split-ring resonators (srr)
Dans cette même bande de fréquences, la perméabilité montrée figure 3.27(d) est résonante (avec
un comportement de Lorentz) ; nous retrouvons les allures vues précédemment pour le milieu à srr
seuls (§ 3.5). Elle est négative dans la bande 7.9 GHz < f < 8.7 GHz pour le mirn constitué de
bc-srr et dans 12.3 GHz < f < 13.3 GHz pour le mirn constitué de ec-srr.
La permittivité [figure 3.27(c)] est négative sur toute la bande de fréquences d’étude et présente
une allure anti-résonante en partie réelle. La partie imaginaire est positive dans la bande 11.5 GHz <
f < 12.3 GHz pour le ec-srr et 7.7 GHz < f < 7.9 GHz pour le bc-srr. Notons que ces bandes
de fréquences coïncident avec les bandes où n′ admet un pallier.
Les pertes par absorption (représentées par les parties imaginaires de ε et µ) sont cependant
faibles (inférieures à 0.05) uniquement de 12.9 GHz à 13.3 GHz pour le ec-srr et de 8.3 à 8.7 GHz
pour le bc-srr
Le tableau 3.3 récapitule les bandes de fréquences à retenir pour le MIRN à bc-srr et ec-srr.
bc-srr
7.9 GHz
8.1 GHz
7.7 -8.7 GHz
7.9-8.7 GHz
7.9 -8.7 GHz
6-10 GHz
7.7-7.9 GHz
7.7-7.9 GHz
Z′
Saut de
Saut de n′
n′ < 0
Z ′ 6= 0
µ′ < 0
ε′ < 0
Pallier de n′
Antirésonance de ε′
ec-srr
12.3 GHz
11.5 GHz
11.5-13.3 GHz
12.3-13.3 GHz
12.3-13.3 GHz
9-16 GHz
11.5-12.3 GHz
11.5-12.3 GHz
Tab. 3.3 – Bande de fréquences importantes pour les paramètres effectifs du mirn à bc-srr et
ec-srr
3.6.2
Diagramme de dispersion mono-dimensionnel
Les diagramme de dispersion mono-dimensionnel du mirn ont été calculés à l’aide de la méthode
0.11
10
0.055
0
1
2
β (rad m−1)
3
5
(a)
0.16
15
0.11
10
0.055
−10
−5
α (dBmm−1)
f (GHz)
15
f × d /c0
0.16
f (GHz)
f × d /c0
développée dans § 2.5.1 du chapitre 2. Ils sont montrés figure 3.28 et 3.29.
5
0
(b)
Fig. 3.28 – Constante de propagation γ du milieu à boucles fermées. L’échelle de fréquence à gauche
représente la fréquence normalisée.
représente la ligne de l’air (β = k0 ).
Plusieurs constats peuvent être faits sur ces figures :
88
paramètres effectifs de différents métamatériaux
0.099
0
1
2
β (rad m−1)
3
14
9
f (GHz)
f (GHz)
0.15
f × d /c0
14
f × d /c0
0.15
0.099
−15
(a)
−10
−5
α (dBmm−1)
9
0
(b)
Fig. 3.29 – Constante de propagation γ du milieu à boucles fermées. L’échelle de fréquence à gauche
représente la fréquence normalisée.
représente la ligne de l’air (β = k0 ).
1. Nous avons quasiment les mêmes diagrammes de dispersion pour les deux structures mais avec
un décalage fréquentiel,
2. Les structures présentent une bande interdite de 7.9 GHz à 8.7 GHz pour le mirn à bc-srr
et de 12.3 GHz à 13.3 GHz pour le mirn à ec-srr,
3. Nous confirmons que les structures mirn à bc-srr et mirn à ec-srr ont bien la même réponse
électromagnétique mais pour des dimensions électriques différentes.
3.7
Conclusion
Nous avons comparé les paramètres effectifs calculés par notre méthode à ceux issus de modèles
analytiques. Nous avons analysé deux cas simples. Le premier est un milieu qui réagit au champ
électrique : un réseau périodique de fils métalliques continus. Le deuxième est un milieu qui réagit
au champ magnétique : un réseau périodique de tubes métalliques creux.
Nous avons ensuite appliqué notre méthode pour calculer les paramètres effectifs de différents
milieux contenant des particules résonantes et non-résonantes. Nous avons étudié notamment le cas
des composites constitués de :
– pistes métalliques discontinues,
– boucles fermées,
– boucles ouvertes ou split-ring resonators (srr),
– pistes métalliques continues et de srr.
Nous avons mis en évidence que l’interprétation des paramètres effectifs de certains composites,
notamment les composites résonants était difficile. Ceci était prévisible étant donné que notre approche d’homogénéisation est « opaque ». C’est pour cela le chapitre suivant sera intégralement
consacrée à l’interprétation des paramètres effectifs.
Version provisoire
Chapitre 4
Analyse et interprétation des paramètres
effectifs des métamatériaux résonants
4.1
Introduction
Les paramètres effectifs calculés dans le chapitre 3 nous ont montré l’intérêt de nous attarder sur
le comportement de métamatériaux résonants tels que les tiges discontinues et les srr. Pouvonsnous considérer que les paramètres constitutifs (ε, µ) calculés autour de la résonance représentent
correctement la réponse macroscopique de ces structures ? Si oui, quelles sont leurs limites de validité
physique ? Ce sont à ces questions que nous essaierons de répondre dans ce chapitre. La réponse à
ces questions nous permettra non seulement de déterminer à quel point les composites originaux
présentés par Smith et al. peuvent être assimilés à un matériau à indice de réfraction négatif mais
aussi d’établir le lien entre l’indice de réfraction tel qu’il est défini pour les matériaux conventionnels
et celui calculé pour les milieux composites.
Pour cela, nous commencerons (§ 4.2) par énoncer les critères physiques sur les paramètres
effectifs des matériaux isotropes conventionnels. Nous nous attacherons à démontrer l’extension de
ces critères aux matériaux à indice de réfraction négatif. Nous présenterons ensuite dans le § 4.3
les relations théoriques de dispersion, c’est à dire la pulsation ω en fonction du vecteur d’onde
k pour des milieux ayant une permittivité et une perméabilité dispersives. Différents modèles de
dispersion seront considérés. Dans le but de nous rapprocher des milieux réels, nous étendrons
notre analyse en considérant que ces milieux sont des cristaux, ce qui est effectivement le cas
des matériaux conventionnels à l’échelle nanométrique, ainsi que des métamatériaux à l’échelle
millimétrique. L’influence de la périodicité sur la relation de dispersion d’un milieu quelconque sera
clairement mise en évidence.
Dans la suite de ce chapitre (à partir du § 4.4), tout en nous appuyant sur ces analyses théoriques,
nous proposerons d’analyser et d’interpréter des paramètres effectifs des métamatériaux présentés
dans le chapitre 3. Un bref historique (§ 4.4.1) montrera que plusieurs auteurs ont mis en évidence
le comportement anormal des paramètres effectifs des métamatériaux à indice de réfraction négatif.
Nous mettrons également en évidence les anomalies présentées par les métamatériaux précédemment
étudiés.
Ensuite, nous apporterons une interprétation à ces anomalies en nous appuyant sur :
89
90analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
– la différence entre l’indice de réfraction calculé à l’aide du diagramme de dispersion et les
méthodes d’inversion (§ 4.5),
– une analyse multimodale des composites périodiques d’extension finie (§ 4.6),
– une analyse des cartographies des champs, notamment à la fréquence de résonance (§ 4.7).
4.2
Critère physique sur le signe de la partie imaginaire de ε(ω) et
µ(ω)
Un des critères physiques qui nous sera utile dans la suite de ce travail est celui qui exige que les
parties imaginaires de ε(ω) et µ(ω) d’un milieu sont toujours négatives si l’on suppose une dépendance temporelle en exp(jωt) des champs. Il nous semble important de rappeler la démonstration
de ce critère et de démontrer son extension au mirn. Ce critère constitue un des théorèmes les
plus importants de l’électrodynamique macroscopique [121, 122] et il a été démontré de plusieurs
manières, notamment par Callen et al. à l’aide du théorème de la fluctuation-dissipation [123] pour
des systèmes linéaires et dissipatifs quelconques, et par Landau et al. [90] pour les ondes électromagnétiques. Nous nous baserons sur cette dernière démonstration et nous démontrerons sa validité
pour un mirn.
Pour cela, considérons un milieu passif, linéaire, homogène, isotrope et dispersif de permittivité
~ r, t)
ε(ω) = ε′ (ω) − jε′′ (ω) et de perméabilité µ(ω) = µ′ (ω) − jµ′′ (ω). Le vecteur de Poynting S(~
permet de définir la densité de flux d’énergie dans un tel milieu pour des champs variables. Son
expression [Eq. ( 4.1)] dans le domaine temporel reste valable même en présence de dispersion
fréquentielle :
~ r, t) = E(~
~ r, t) × H(~
~ r, t)
S(~
(4.1)
À l’aide des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en l’absence de sources,
et
~ r, t),
~ r, t) = − ∂ B(~
∇ × E(~
∂t
(4.2)
~ r, t) = ∂ D(~
~ r, t),
∇ × H(~
∂t
(4.3)
la divergence du vecteur de Poynting peut s’exprimer en coordonnées cartésiennes sous la forme
suivante :
~ r, t) = E(~
~ r, t) ·
− ∇ · S(~
∂ ~
~ r, t) · ∂ B(~
~ r, t).
D(~r, t) + H(~
∂t
∂t
(4.4)
L’équation (4.4) exprime la conservation de l’énergie dans un milieu dispersif en régime temporel [31]. Afin de passer en régime fréquentiel, les champs sont exprimés à l’aide de leur transformée
de Fourier :
Z ∞
1
~ r, ω) exp(jωt)dω,
~
E(~
E(~r, t) =
2π −∞
Z ∞
∂ ~
j
~ r, ω) exp(jωt)dω.
ωε(ω)E(~
D(~r, t) =
∂t
2π −∞
(4.5)
(4.6)
Version provisoire
91
4.2 critère physique sur le signe de la partie imaginaire de ε(ω) et µ(ω)
~ r, ω) = ε(ω)E(~
~ r, ω). L’intégration du produit
L’équation (4.6) suppose un milieu isotrope avec D(~
des Eq. (4.5) et Eq. (4.6) en fonction du temps donne :
Z
Z
∞
~ r, t) · ∂ D(~
~ r, t)dt = j
E(~
∂t
4π 2
−∞
∞
−∞
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
~ r, ω)E(~
~ r, ω ′ ) exp j(ω + ω ′ )t dωdω ′ dt.
ωε(ω)E(~
(4.7)
Une première intégration en fonction de t du membre de droite de l’Eq. (4.7) se fait en utilisant le
résultat
Z
∞
−∞
exp j(ω + ω ′ )t dt = 2πδ(ω + ω ′ ),
La distribution de Dirac est ensuite éliminée par une seconde intégration en fonction de ω ′ . En
utilisant le résultat imposé par le principe de causalité et la réalité des champs [124] :
~ r, −ω) = E(~
~ r, ω)∗ ,
E(~
le membre de droite de l’Eq. (4.7) peut finalement s’écrire :
j
2π
Z
∞
−∞
2
~
ωε(ω) E(~
r, ω) dω.
(4.8)
~ et on obtient :
Le même raisonnement peut être appliqué pour le champ magnétique H,
Z
∞
~ r, t)dt = j
~ r, t) · ∂ B(~
H(~
∂t
2π
−∞
Z
∞
−∞
2
~
r, ω) dω.
ωµ(ω) H(~
(4.9)
En substituant ensuite ε(ω) et µ(ω) par leur expression complexe, nous obtenons l’expression de
l’énergie dissipée (sur toute la durée de variation des champs) en régime fréquentiel :
Z
∞
1
Qdt =
2π
−∞
Z
∞
−∞
2 2
~
~
′′
′′
ω ε (ω) E(~r, ω) + µ (ω) H(~r, ω) dω.
(4.10)
Notons que l’intégrale de −∞ à ∞ peut être exprimée comme le double d’une intégrale de 0 à ∞.
On assimile ici la divergence du vecteur de Poynting au taux d’énergie transformée en chaleur :
cette énergie dissipée s’exprime notamment en fonction de ε′′ (ω) et µ′′ (ω). La dépendance en ε′ (ω)
et µ′ (ω) est annulée car l’intégrande de l’équation (4.8) est une fonction impaire de ω
(1) .
Les deux
termes du membre de droite de l’Eq. (4.10) représentent respectivement les pertes électriques et
magnétiques.
Selon le deuxième principe de la thermodynamique, « pour tout corps en équilibre thermodynamique en l’absence d’un champ variable, la dissipation de l’énergie s’accompagne nécessairement
d’une évolution de chaleur » , ce qui implique que Q > 0. Il est donc nécessaire d’après l’équation
(4.10) que :
2
2
~
~
r, ω) > 0
ε′′ (ω) E(~
r, ω) + µ′′ (ω) H(~
(4.11)
pour les fréquences positives (ω > 0).
Outre le fait que l’entropie d’un corps isolé ne peut décroître, le deuxième principe de la thermodynamique exprime également la notion d’irréversibilité, c’est à dire le caractère fondamentalement
(1)
La causalité impose que [124] : ε(−ω) = ε(ω)∗ et µ(−ω) = µ(ω)∗ .
92analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
différent entre deux types d’énergie : chaleur et travail [125]. L’énergie dissipée par les champs en
chaleur est irréversible. En d’autres termes, il ne peut y avoir d’échange entre le travail d’un des
~ r, ω) ou H(~
~ r, ω)] et la chaleur dissipée par l’autre. Ceci implique que :
champs [E(~
ε(ω)′′ > 0 et µ(ω)′′ > 0
4.2.1
(4.12)
Extension au mirn
Le point de départ de cette démonstration est la conservation de l’énergie à travers l’expression
de la divergence du vecteur de Poynting [Eq. (4.4)]. Ce dernier s’écrit à l’aide des équations de
Maxwell-Ampère [Eq. (4.3)], Maxwell-Faraday [Eq. (4.2)] et le théorème de Poynting [Eq. (4.1)]. Il
est important de noter que l’expression des équations de Maxwell ainsi que du théorème de Poynting
reste valable et inchangée dans un mirn [4]. En effet, rappelons que seul le sens du vecteur ~k change
~ · ~k négatif pour un mirn et positif pour un mirp. Ceci
dans un mirn ce qui conduit à un produit S
peut être facilement vérifié pour le cas de l’interaction avec une onde monochromatique. Mais il est
également vérifié si nous considérons une onde non-monochromatique.
Considérons par exemple, l’expression du vecteur de Poynting moyen pour un milieu dispersif
excité par une superposition de 2 ondes mono-chromatiques de pulsation ω1 et ω2 tel que ω1 6=
ω2 [126] :
2
~ r, t) >= |E|
< S(~
2
~k(ω2 )
~k(ω1 )
+
ω1 µ(ω1 ) ω2 µ(ω2 )
!
(4.13)
~ et celui
Cette équation montre explicitement la relation entre le sens du vecteur de Poynting S
~ est indépendant du signe de l’indice de réfraction et pour
du vecteur d’onde ~k. Le sens du vecteur S
tout milieu propagatif, c’est à dire ~k réel, nous obtenons un rapport k/µ positif (2) ; si k est negatif,
µ sera négatif aussi.
Résultat 4.1 Le critère énoncé Eq. (4.12) est donc également valable pour un mirn continu.
Rappelons qu’un mirn est nécessairement dispersif et que l’excitation considérée peut être nonmonochromatique.
Remarquons finalement que si l’on considère une dépendance en exp(−jωt) des champs, toutes
les grandeurs fréquentielles doivent être exprimées sous la forme de leur complexe conjugué [par
exemple : ε(ω) = ε′ (ω) + jε′′ (ω)] et le critère énoncé Eq. (4.12) reste valable. Notons que dans cette
convention la partie imaginaire de ε(ω) doit être positive alors que dans la convention exp(jωt), elle
est négative.
(2)
Rappelons qu’un indice de réfraction négatif en partie réelle implique que les parties réelles de permittivité et de
la perméabilité soient simultanément négatives
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus93
4.3
Étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus
4.3.1
Motivation de l’étude
Les anomalies que nous avons constatées dans le chapitre 3, l’ont été pour des milieux résonants.
Or, la résonance de ces milieux peut être considérée comme étant liée à la résonance propre de chaque
inclusion constituant le milieu. Ceci sera démontré dans le chapitre 5 pour les srrs. Pour l’instant,
nous admettons que l’inclusion isolée est résonante et que par « milieu » nous désignons donc un
réseau de résonateurs.
Nous sommes non seulement confrontés à l’interaction d’une particule résonante avec une onde
électromagnétique mais aussi à la propagation de cette onde dans une structure périodique. L’onde
qui se propage dans une structure périodique peut être décomposée en modes et, pour que seul le
mode fondamental se propage, il existe certaines limitations, notamment celle qui définit la longueur
d’onde minimale λmin où le vecteur d’onde maximal kmax en fonction de la périodicité P de la
structure dans la direction de propagation :
|kmax | =
π
P
(4.14)
Ceci résulte directement des conditions requises pour la propagation du mode fondamental dans
une structure périodique [95].
4.3.1.1
Modèle issus de la mécanique classique
Dans son livre [95], L. Brillouin traite également des réseaux mono-dimensionnels complexes,
c’est à dire d’un réseau de résonateurs. Il fait notamment référence aux travaux de Kelvin et Vincent.
Ces derniers ont étudié un modèle mécanique qui représente l’oscillation d’un système périodique
dont les constituants possède une fréquence de résonance propre. Les détails de cette étude sont
données dans l’annexe B. Le résultat que nous devons retenir de cette étude expérimentale, est que
dans le cas d’un système faiblement amorti, l’indice de réfraction atteint une valeur maximale et il
est discontinu autour de la fréquence de résonance propre de l’inclusion.
Cette étude nous rappelle le milieu (mirn) que nous étudions, c’est à dire la répartition périodique de particules résonantes. De plus, nous observons également une saturation de l’indice de
réfraction dans nos calculs. Une analogie peut être faite entre la propagation d’une onde électromagnétique et ce système mécanique. En effet, la dispersion fréquentielle de la fonction diélectrique
d’un matériau conventionnel est généralement définie à l’aide de modèles issus de la mécanique
classique tels que le modèle du gaz d’électrons libres de Drude ou celui de l’électron élastiquement
lié à son noyau (modèle de Lorentz). Tout en nous appuyant sur ces modèles, il serait intéressant
de voir l’influence de la superposition des limitations liées à la structure périodique et la résonance
des inclusions.
4.3.1.2
D’une description microscopique à une description macroscopique
La motivation de cette étude réside également dans le fait que (comme nous l’avons vu dans
le chapitre 2) les mirn constitués d’un réseau d’anneaux résonants appartiennent à une catégorie
94analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
particulière où la limite où les résonances peuvent être attribuées aux résonances propres des inclusions ou à la périodicité n’est pas évidente. Le lien entre les deux approches pour la définition d’un
milieu effectif (les approches « globales » et « locales ») n’est pas trivial. Mais ce lien mérite d’être
défini car les mesures s’appuient généralement sur les approches globales, et les approches locales
ont le mérite de permettre une meilleure appréhension des phénomènes physiques mis en jeu.
Approches locales Pour la définition des paramètres effectifs des milieux constitués de srr, le
champ statique [10] ou la polarisabilité [72] sont souvent utilisés ; ceux-ci sont des paramètres locaux
ou microscopiques. À partir de ces paramètres microscopiques, les grandeurs macroscopiques sont
calculées. Ces modèles permettent d’avoir en première approximation le comportement du milieu
lors de l’interaction avec une onde électromagnétique.
Approches globales La procédure que nous avons utilisée est celle qui consiste à déterminer les
paramètres effectifs à partir des coefficients de réflexion et de transmission de Fresnel. Ces derniers
sont calculés comme le rapport de l’amplitude de l’onde réfléchie et transmise sur celle de l’onde
incidente. Nous avons là des paramètres effectifs définis au sens de la propagation d’onde ou au sens
de Fresnel.
Lien entre les deux approches Nous tenterons de démontrer le lien qui existe entre ces deux
approches. Pour cela, nous utiliserons la définition de la perméabilité effective donnée par Pendry [10]
pour un réseau de srr. Rappelons que cette expression est établie en considérant le champ défini
localement et ensuite en faisant une moyenne sur la cellule unitaire. En partant de cette définition,
nous analyserons la propagation d’une onde électromagnétique dans ce milieu effectif à travers le
calcul de la constante de propagation. Nous utiliserons ensuite le fait que le milieu est périodique
ainsi que les limitations qu’impliquent cette périodicité.
Démarche adoptée Il s’agit d’étudier les caractéristiques de propagation dans ce milieu et ensuite
de se poser la question suivante. Si nous revenons à la description du réseau périodique d’inclusions
où un vecteur d’onde maximal peut être défini, retrouve-t-on ce vecteur d’onde maximal dans le
milieu effectif défini ? Cette démarche ne consiste pas à supposer que nous avons un milieu périodique
constitué de lames ayant des perméabilités effectives définies par les formulations analytiques de
Pendry.
La démarche adoptée est la suivante : nous calculons d’abord le vecteur d’onde dans le milieu
effectif ainsi que l’indice de réfraction associé. Ensuite nous superposons aux courbes d’indice de
réfraction, les isocourbes de valeurs maximales de l’indice (déduites du vecteur d’onde maximal)
que peut atteindre ce milieu compte tenu de sa structuration. Rappelons que cette valeur maximale
d’indice de réfraction est uniquement dictée par la structuration du milieu et ne dépend en aucun
cas de la nature des inclusions.
4.3.2
Description de l’étude
Nous cherchons à déterminer les relations théoriques de dispersion, c’est à dire la pulsation
ω en fonction du vecteur d’onde k pour des milieux ayant une permittivité et une perméabilité
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus95
dispersives. Nous considérerons pour cela différents modèles de dispersion. Pour ne pas trop nous
éloigner des milieux qui nous intéressent, nous considérerons des milieux avec les caractéristiques
suivantes :
– La perméabilité présente une dispersion de Lorentz et la permittivité est constante. Cette
configuration rappelle les formules analytiques données par Pendry et al. [10] pour un milieu
constitué de srr.
– La perméabilité présente une dispersion de Lorentz et la permittivité, une dispersion de Drude.
Cette configuration pourrait représenter l’association du milieu précédent à un plasma électrique, ce qui correspondrait à un milieu à indice de réfraction négatif dans une bande de
fréquence pour des paramètres des modèles de Drude et de Lorentz judicieusement choisis.
– La perméabilité présente une dispersion de Lorentz et la permittivité, une dispersion hybride et
anti-résonante. Elle est constituée de la somme de l’inverse d’une dispersion de Lorentz et d’une
dispersion de Drude. Cette configuration représente qualitativement l’allure de paramètres
effectifs calculés pour les mirn.
Avec le souci constant de se rapprocher des milieux réels, nous considérons systématiquement
que les milieux sont des cristaux et nous supposerons une périodicité P ≈ λ0 /10 à la fréquence de
travail, c’est à dire P = 3.3 mm pour une fréquence de résonance de 10 GHz.
4.3.3
4.3.3.1
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) constante
Définition du modèle
Considérons un milieu de perméabilité relative d’allure lorentizienne donnée par l’Eq. (4.15).
µ(ω) = 1 −
2 − ω2
ωmp
m0
2 − jγ ω
ω 2 − ωm0
m
(4.15)
Le modèle de Lorentz est employé ici car il est couramment utilisé en électromagnétisme pour la
prise en compte de l’absorption et de la dispersion lors de la propagation d’une onde dans la matière.
Il s’agit d’une analogie entre la théorie classique de la propagation de la lumière dans la matière [127]
et la théorie de l’électromagnétisme. Ce modèle a eté établi par Lorentz en considérant les particules
chargées du milieu comme des oscillateurs harmoniques. La pulsation propre du système est donnée
2 − ω 2 ) exprime la différence entre la
par ω0 et le terme du numérateur de l’équation (4.15) : (ωmp
m0
pulsation de résonance effective et la pulsation propre du système. γm est le terme d’« amortissement » qui dans le cas du système d’oscillateurs chargés représente la force de rappel de l’électron
au noyau de son atome ou de l’ion à la maille de son réseau cristallin.
Ce modèle a été utilisé par Pendry et al. [10] pour la caractérisation d’un milieu constitué
de srr. Dans ce cas, γm = 2σ/(rµ0 ) représente le coefficient d’amortissement associé aux pertes
magnétiques. σ est la conductivité du métal constituant les srr et r leur rayon moyen. Pour définir
la permittivité de notre milieu nous nous basons sur l’expression définie dans la Réf. [10] :
ε = (1 − F )−1 ,
(4.16)
où F représente la fraction volumique externe aux srr. Cette formule permet d’avoir une estimation de la permittivité pour le cas où l’axe des srr est perpendiculaire à l’orientation du champ
96analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
électrique [10]. Elle permet, en outre, de s’assurer que la vitesse de la lumière dans le milieu n’excède
pas la vitesse de la lumière c0 .
Les valeurs des différents paramètres des modèles sont définis comme suit :
– ωmp = 2πfmp avec fmp = 12.5 GHz,
– ωm0 = 2πfm0 avec fm0 = 10 GHz,
– F = 80 %.
4.3.3.2
Dispersion fréquentielle de la perméabilité
La variation de µ en fonction de la fréquence [équation (4.15)] est montrée figures 4.1 et 4.2pour
γm égale à 0, 0.01 GHz, et 0.08 GHz.
50
µ’( f )
25
γm = 0
γm = 0.01 GHz
0
−25
γm = 0.08 GHz
fm0
−50
9
fmp
10
11
12
Fréquence (GHz)
13
Fig. 4.1 – Partie réelle de la perméabilité en fonction de la fréquence pour différentes valeurs de
γm .
0
fm0
fmp
γm = 0
Im(µ )
−20
−40
γm = 0.01 GHz
γm = 0.08 GHz
−60
−80
9
10
11
12
Fréquence (GHz)
13
Fig. 4.2 – Partie imaginaire de la perméabilité en fonction de la fréquence pour différentes valeurs
de γm .
La fréquence propre fm0 ainsi que la fréquence plasma fmp sont indiquées sur la courbe. La
première est la fréquence à laquelle la perméabilité µ(f ) diverge et change de signe pour γm = 0. Le
terme « fréquence plasma » a été attribué à la fréquence fmp par Pendry et al [10] car le milieu peut
supporter à cette fréquence des modes longitudinaux de la même manière qu’un plasma constitué
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus97
d’un nuage d’électrons libres. Il est à noter que cette terminologie est une simple analogie et ne
suggère en aucun cas la présence de charges magnétiques libres.
4.3.3.3
Diagramme de dispersion
À partir de la perméabilité (Eq. 4.15) et de la permittivité (Eq. 4.16), la relation de dispersion
ω = f(k) est calculée à l’aide de l’expression suivante :
k=
ω √
( εµ).
c0
(4.17)
Elle est représentée figure 4.3.
0.18
ωnorm
ωmp × P/(2πc)
γm = 0
0.14
γm = 0.01 GHz
γm = 0.08 GHz
0.1
0.06
0
ωm0 × P/(2πc)
500
1000 1500
Re( k )
2000
Fig. 4.3 – Pulsation normalisée ωnorm en fonction de la partie réelle du vecteur d’onde dans le
milieu pour différentes valeurs de γm .
En ordonnée, nous représentons la pulsation ωnorm définie comme ωnorm = ω × P/(2πc) comme
pour les diagrammes de dispersion des milieux périodiques (3) . Les pulsations propres ωm0 et plasma
ωmp sont mises en évidence sur la courbe. La figure 4.3 montre clairement que dans la bande de
fréquence fm0 < f < fmp , il n’y a quasiment pas de propagation avec des coupures d’autant plus
abruptes que la valeur de γm est faible. Notons également que plus γm est petit, plus les valeurs
atteintes par la partie réelle du vecteur d’onde k sont élevées. Ce qui laisse prévoir que les valeurs
d’indice de réfraction atteintes seront d’autant plus élevées.
4.3.3.4
Dispersion fréquentielle de l’indice de réfraction
L’indice de réfraction n est calculé à partir de k à l’aide de la relation suivante :
n(ω) = sign (∇k ω)
kc
,
ω
(4.18)
avec ∇k représente la dérivée partielle d’ordre un par rapport à k.
La partie réelle n′ est présentée figure 4.4 et montre que des valeurs élevées de n′ sont atteintes
pour γm petit.
(3)
Cette variable peut être vue comme le rapport de la periodicité par rapport à la longueur d’onde dans le vide,
P/λ0
98analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
12
10
n = 2πc /(ωP)
n’( f )
8
γm = 0
6
n = πc /(ωP)
4
γm = 0.01 GHz
γm = 0.08 GHz
2
0
0.06
0.1
0.14
ωnorm
0.18
Fig. 4.4 – Partie réelle d’indice de réfraction, n′ en fonction de la fréquence pour différentes valeurs
représentent les isocourbes de n = m π c /( ωP ) avec m ∈ Z.
de γm . Les courbes
n′ est positif pour ω < ωm0 et ω > ωmp et proche de zéro ailleurs. Des isocourbes de n = m π c /(ω P )
avec m ∈ Z sont également tracées (pointillés rouges sur la figure 4.4) ; elles représentent le point
supérieur de la zone irréductible de Brillouin(4) pour m = 1, et pour |m| > 1 ceux des zones d’ordre
supérieur. Dans le cas des structures périodiques, la valeur de l’indice de réfraction sera tronquée et
elle le sera d’autant plus que γm est faible. Cette observation est très intéressante ; elle nous rappelle
la courbe de n′ que nous avons calculée dans le chapitre 3 pour le milieu à bc-srr et ec-srr [Fig.
3.22(a) - p. 82]. L’influence de la périodicité sur un milieu ayant une perméabilité résonante est
démontrée ; elle définit la borne supérieure que peut atteindre l’indice de réfraction. La périodicité
P étant au dénominateur, nous constatons que plus elle est faible, plus cette borne supérieure sera
élevée. Une deuxième information à retenir est que la troncature de la valeur de n′ est d’autant
plus importante que les pertes par dissipation sont faibles. En effet, pour le milieu à γm = 0.08
GHz, la valeur de n′ n’est absolument pas tronquée. Ce résultat semble intuitif ; son impact sur les
anomalies observées sera particulièrement discuté dans § 4.7.
Notons que nous avons fixé P à un dixième de la longueur d’onde dans le vide ; ce qui est
généralement considéré comme un critère suffisant pour l’homogénéisation d’un composite. À travers
ce graphique, nous démontrons que ce critère est loin d’être suffisant si l’on considère un milieu
résonant. Pour P = λ0 /10, la valeur maximale n′max atteint est inférieure à 5 pour un milieu ayant
des pertes par dissipation modérée (γm = 0.01 GHz).
Ces résultats ont été obtenus sur un milieu présentant une dispersion fréquentielle uniquement
sur la perméabilité. Il serait maintenant intéressant d’étudier un milieu ayant une permittivité et une
perméabilité dispersives et présentant un indice de réfraction négatif dans une bande de fréquence.
(4)
Rappelons que nous faisons l’hypothèse que ce milieu est périodique avec un réseau de maille carré d’arête P .
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus99
4.3.4
4.3.4.1
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) une dispersion de Drude
Définition du modèle
Considérons pour cela, un milieu ayant une perméabilité d’allure lorentzienne identique à celle
définie par l’Eq. (4.15) (figures 4.1 et 4.2) et une permittivité présentant une dispersion de Drude :
ε(ω) = 1 −
2
ωep
ω 2 − jγe ω
(4.19)
Le modèle de Drude est issu de la théorie des charges libres. La pulsation ωep représente la pulsation
plasma ou la pulsation de l’oscillation collective des charges. γe est un terme d’amortissement qui
représente la fréquence de collision des charges.
Ce modèle a aussi été exploité par Pendry et al. [9, 107] pour assimiler un réseau de tiges
métalliques fortement dilué à un plasma comme il est expliqué dans le chapitre 1.
4.3.4.2
Dispersion fréquentielle de la permittivité et la perméabilité
La dispersion fréquentielle de la permittivité calculée à l’aide de l’expression 4.19 est montrée
figure 4.5 avec un coefficient γe =0.08 GHz et une fréquence plasma fep = 14 GHz.
ε (f)
0
fep
−2
Partie réelle
Partie imaginaire
−4
−6
5
10
Fréquence (GHz)
15
Fig. 4.5 – Permittivité complexe ε en fonction de la fréquence (γe = 0.08 GHz et fep = 14 GHz).
On vérifie que la la partie réelle de la permittivité ε′ (ω) est croissante et s’annule en fep .
4.3.4.3
Diagramme de dispersion
Cette permittivité est associée à une perméabilité identique à celle de l’Eq. (4.15) et la relation
de dispersion du milieu ω = f(k) calculée à l’aide de l’Eq. 4.17 est montrée figure 4.6.
Le coefficient de dissipation γe est fixé à 0.01 GHz et les valeurs de γm considérées sont 0, 0.01
GHz et 0.08 GHz. Les valeurs de la partie réelle de k atteintes sont d’autant plus élevées que γm
est faible. Nous pouvons également noter que pour fm0 < f < fmp , la courbe de dispersion montre
une rétropropagation (donnée par le signe négatif de la pente).
100analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
ωnorm
0.18
ωep × P/(2πc)
γm = 0
0.14
ωmp × P/(2πc)
0.1
0.06
γm = 0.01 GHz
γm = 0.08 GHz
ωm0 × P/(2πc)
0
500
1000 1500
Re( k )
2000
Fig. 4.6 – Pulsation normalisée ωnorm en fonction de la partie réelle du vecteur d’onde dans le
milieu pour différentes valeurs de γm . γe est fixé à 0.01 GHz.
4.3.4.4
Dispersion de l’indice de réfraction
Dans cette bande ǫ′ (ω) et µ′ (ω) sont simultanément négatives et l’indice de réfraction est donc
négatif comme nous pouvons le vérifier sur la figure 4.7.
n’( f )
0
n = − πc /(ωP)
−5
γm = 0
γm = 0.01 GHz
γm = 0.08 GHz
n = − 2πc /(ωP)
−10
0.06
0.1
0.14
ωnorm
0.18
Fig. 4.7 – Partie réelle de l’indice de réfraction, n′ en fonction de la fréquence pour différentes valeurs
de γm . γe est fixé à 0.08 GHz. Les courbes
représentent les isocourbes de n = m π c /( ωP )
avec m ∈ Z.
Pour fmp < f < fep et f < fm0 , il n’y a pas de propagation d’après la figure 4.6 et la partie réelle
de l’indice de réfraction n′ est nulle. Pour des fréquences f > fep , nous observons une propagation
normale. En effet, n′ est légèrement positif et ǫ′ (ω) et µ′ (ω) sont positifs.
Sur la figure 4.7, nous avons également tracé des isocourbes de n = mπc/( ωP ) avec m ∈
Z (comme sur la figure 4.4). Rappelons que ces isocourbes nous permettent de définir la valeur
maximale atteinte par la partie réelle de l’indice de réfraction si le milieu est de périodicité P .
Notons que comme précédemment, n′ est d’autant plus tronquée que γe est faible. De plus, ces
allures de courbes nous rappellent fortement les courbes d’indice de réfraction calculées dans le
chapitre 3 [Fig. 3.27(a), p. 86].
Ce résultat nous confirme que la troncature de la partie réelle de l’indice de réfraction dépend
effectivement de 2 paramètres. Le premier est la périodicité P et le deuxième est le coefficient de
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus101
dissipation γ. Le cas asymptotique γ = 0 nous montre que quelle que soit la valeur de P , n′ sera
tronquée, ce qui laisse prévoir que pour un milieu à très faibles pertes, n′ sera tronquée sauf si P
tend vers des valeurs infiniment petites.
4.3.5
4.3.5.1
µ(ω) présentant une dispersion de Lorentz et ε(ω) une dispersion hybride
et anti-résonante
Définition du modèle
Considérons maintenant un milieu ayant une permittivité d’allure anti-résonante donnée par
l’équation (4.20) :
2 − jγ
ω 2 − ωe0
e2
ε(ω) =
+
2 − 8jγ
2
8ω − 9ωe0
e2
2
ωep
1− 2
ω − jγe1 ω
!
(4.20)
Ce modèle théorique a été défini avec l’objectif de retrouver l’allure de dispersion qui correspond
à l’antirésonance observée pour la permittivité des mirn [Fig. 3.27(c), p. 86]. Le modèle est un
modèle hybride composé de l’addition de l’inverse d’une fonction de Lorentz (premier terme) et
d’un modèle de Drude (deuxième terme). Précisons que les valeurs numériques de ce modèle ont été
déterminées de manière heuristique. Nous nous sommes assurés que tout comme pour les paramètres
effectifs déterminés, les parties imaginaires de la permittivité prennent des valeurs positives pour le
cas γe 6= 0.
4.3.5.2
Dispersion fréquentielle de la permittivité et de la perméabilité
Pour ce cas de figure, il existe une bande de fréquence où la permittivité admet une anti-résonance
en partie réelle et une partie imaginaire positive (figure 4.8).
ε (f)
2
0
Re(ε) pour γe2 = 0
Im(ε) pour γe2 = 0
Re(ε) pour γe2 = 0.01 GHz
−2
Im(ε) pour γe2 = 0.01 GHz
−4
8
9
10
11
Fréquence (GHz)
12
Fig. 4.8 – Permittivité complexe pour différentes valeurs de γe2 . γe1 est fixé à 0.01 GHz.
La fréquence propre fe0 associée à la pulsation propre ωe0 est fixée à 10 GHz et la fréquence
plasma fep associée à la pulsation propre ωep à 19 GHz. Le cas γe = 0 est aussi représenté car il
représente le cas asymptotique pour la partie réelle. Remarquons que hormis l’allure anti-résonante
à 10 GHz, ε′ (ω) a une allure quasi-Drude. Précisons que selon le critère énoncé dans le § 4.2, ce
milieu n’est pas physique. Il est cependant causal et la démonstration de sa causalité est triviale.
102analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
La perméabilité du milieu est à nouveau définie comme ayant une dispersion de Lorentz (Eq.
4.15). Elle est montrée en partie réelle et imaginaire sur la figure 4.9.
40
Re(µ) pour γm = 0
µ(f)
20
Im(µ) pour γm = 0
0
Re(µ) pour γm = 0.01 GHz
Im(µ) pour γm = 0.01 GHz
−20
−40
−60
8
9
10
11
Fréquence (GHz)
12
Fig. 4.9 – Perméabilité complexe pour différentes valeurs de γm .
La partie imaginaire pour γm 6= 0 prend des valeurs négatives. Le cas asymptotique γm = 0 est
également montré.
4.3.5.3
Diagramme de dispersion
Cette perméabilité, définie physiquement, est ensuite associée à la permittivité définie par
l’Eq.4.20 (figure 4.8). La relation de dispersion ainsi obtenue est montrée figure 4.10 :
0.18
ωnorm
ωmp × P/(2πc)
0.14
γm = γe2 = 0.08 GHz
γm = γe2 = 0
0.1
ωm0 × P/(2πc)
0.06
0
1000
2000
Re( k )
3000
Fig. 4.10 – Pulsation normalisée ωnorm en fonction de la partie réelle du vecteur d’onde dans le
milieu pour différentes valeurs de γm = γe2 (γe1 est fixé à 0.01 GHz).
Le coefficient de dissipation γe est fixé à 0.01 GHz et les valeurs de γm considérées sont 0,
0.01 GHz. Notons que pour fm0 < f < fmp , la courbe de dispersion montre une rétropropagation
(donnée par le signe de la pente).
4.3.5.4
Dispersion de l’indice de réfraction
Dans cette bande ǫ′ (ω) et µ′ (ω) sont simultanément négatives et l’indice de réfraction est donc
négatif. On peut aussi remarquer qu’il existe des sauts autour de la fréquence normalisée de 0.1. Ces
Version provisoire
4.3 étude des relations de dispersion d’onde dans les milieux dispersifs et continus103
sauts sont d’autant plus visibles quand l’indice de réfraction est calculé à partir de cette relation de
dispersion (Cf. figure 4.11).
n’( f )
15
10
n = 2πc /(ωP)
5
n = πc /(ωP)
0
γm = γe2 = 0.08 GHz
−5
n = − πc /(ωP)
−10
n = − 2πc /(ωP)
−15
0.06
0.1
0.14
ωnorm
γm = γe2 = 0
0.18
Fig. 4.11 – Partie réelle de l’indice de réfraction, n′ en fonction de la fréquence pour différentes
valeurs de γm = γe2 . γe1 est fixé à 0.08 GHz. Les courbes
représentent les isocourbes de
n = mπc/( ωP ) avec m ∈ Z.
En effet autour de la fréquence normalisée de 0.1, l’indice de réfraction passe de valeurs positives
à des valeurs négatives. Il est positif notamment dans la bande de fréquence où ε(ω)′ est négatif.
Notons que bien que l’allure de la permittivité corresponde bien aux allures calculées pour des
composites, l’indice de réfraction ne correspond pas aux allures calculées.
Nous pouvons conclure que ce milieu non-physique n’est pas représentatif du mirn que nous
avons étudié numériquement (Fig. 3.25, p. 84). En effet, ses caractéristiques de dispersion d’onde
sont différentes de ceux du mirn réel.
Il existe bien une « anomalie » sur la permittivité déterminée pour les structures réelles, notamment dans la bande de fréquence où la partie imaginaire change de signe.
4.3.6
Résultats dégagés de l’étude
La superposition des caractéristiques de résonance des milieux continus et des caractéristiques
de propagation dans des milieux périodiques nous ont permis de mettre en évidence les résultats
suivants :
Résultat 4.2 À la résonance, la partie réelle de l’indice de réfraction peut atteindre des valeurs
très élevées pour un milieu continu. En revanche, les valeurs atteintes par un milieu périodique est
bornée et cette borne vaut πc/(ωP ). L’influence de la périodicité intrinsèque d’un milieu sur la valeur
maximale de l’indice de réfraction est démontrée.
Cette démonstration nous laisse prévoir que dans le cas d’un composite périodique constitué de
particules ayant chacune une polarisabilité résonante, la réponse globale du milieu sera représentée
par une réponse macroscopique résonante dans la limite où nous ne considérons pas la propagation
d’une onde au sein du milieu. Si nous considérons la propagation d’une onde, nous ne pouvons
104analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
négliger l’effet de la périodicité. L’indice de réfraction étant défini au sens de la propagation d’onde,
l’effet de la périodicité ne peut pas être négligée lors de sa détermination.
Résultat 4.3 La dissipation semble avoir un rôle à jouer dans la validité de l’indice de réfraction
défini pour une structure périodique. En effet, pour les milieux continus, plus la dissipation est élevée,
moins les valeurs de la partie réelle de l’indice de réfraction sont importantes.
Il existe donc un cas limite où la valeur maximale atteinte par l’indice de réfraction à la résonance
sera inférieure à celle de la borne définie dans le résultat (4.2). Dans ce cas, la périodicité du milieu
n’a aucune influence sur la définition de l’indice de réfraction.
Résultat 4.4 Pour un milieu ayant ε′ (ω) présentant une allure anti-résonante semblable à celle
observée pour le mirn mis en œuvre, nous obtenons un diagramme de dispersion incohérent avec
le diagramme du mirn réel. Nous concluons que si un milieu avec une permittivité antirésonante
pouvait existait, son diagramme de dispersion ne serait pas celui qui est calculé. Nous soulignons que
ce résultat a été établi pour une loi de dispersion déterminée de manière heuristique représentant
ainsi la loi de dispersion uniquement de manière qualitative.
4.4
Mise en évidence d’anomalie pour les structures résonantes
Différentes anomalies ont été mises en évidence lors de la détermination des paramètres effectifs
notamment lors de l’analyse de particules résonantes dans leur bande de fréquence de fonctionnement. Quel que soit le composite résonant que nous avons étudié, nous avons observé deux anomalies
qui sont rappelées ci-dessous.
Saturation de la partie réelle de l’indice de réfraction, n′ :
n′
Il existe une bande de fréquence où
semble saturer, notamment à des fréquences où l’on a une résonance et où théoriquement l’indice
devrait atteindre des valeurs très élevées.
Anti-résonance de la partie réelle de la permittivité accompagnée d’une partie imaginaire positive :
Dès que l’on observe une résonance dans un des paramètres ε ou µ, le deuxième paramètre
admet une allure anti-résonante(5) dans sa partie réelle. Cette anti-résonance est accompagnée d’une
partie imaginaire qui devient positive ; elle change de signe dans la bande de fréquence d’intérêt.
Nous commencerons par un bref historique dans le but de montrer que d’autres auteurs ont
également observé ces anomalies. Ensuite, dans le but d’analyser ces anomalies, nous considérerons
les 3 différents milieux résonants étudiés dans le chapitre 3, notamment :
1. le milieu à pistes discontinues présentant une permittivité résonante,
2. le milieu constitué de srr présentant une perméabilité résonante,
3. le milieu consititué de srr et de pistes métalliques continues présentant un indice de réfraction
négatif.
(5)
Par anti-résonance, nous désignons une courbe ayant une allure inverse à celle d’une résonance de type Lorentz.
Version provisoire
105
4.4 mise en évidence d’anomalie pour les structures résonantes
4.4.1
Bref historique
Différents auteurs ont observé ces comportements anormaux des paramètres effectifs. Nous faisons ici référence aux travaux de deux équipes de recherche très actives dans le domaine des mirn
(Pendry et Soukoulis). Dans une publication, S. O’brien et Pendry [128] présentent des paramètres
effectifs d’un milieu résonant que nous illustrons dans la figure 4.12. Précisons que les calculs de
(a)
(b)
Fig. 4.12 – (a) Permittivité et perméabilité complexes issues de la réf. [128] pour un milieu constitué
de motifs montrés figure (b). Les courbes en pointillés représentent la partie imaginaire et les trait
pleins la partie réelle.
la permittivité et la perméabilité dans cette publication ont été fait en supposant une dépendance
temporelle en exp(−jωt) des champs. Dans ce cas, les parties imaginaires de ε et µ (représentant
la dissipation du milieu) doivent être positif. On observe sur la figure 4.12 que la partie réelle de la
perméabilité est résonante autour de 75 THz ; autour de cette même fréquence, nous observons une
anti-résonance sur la partie réelle de permittivité et les partie imaginaire est négative.
La même observation a été faite dans la publication de T. Koschny et al. [129]. Les paramètres
effectifs issus de cette publication sont présentés dans la figure 4.13 (la convention utilisée par ces
auteurs est exp(−jωt)).
Le comportement anormal de la permittivité au voisinage de la fréquence pour laquelle la perméabilité est résonante est signalé dans ces deux publications. Néanmoins, ces auteurs attribuent
ces observations à un comportement inhérent à ces structures. Ils ne discutent pas leur validité et
ne démontrent pas l’origine de ces anomalies. C’est en cela que l’étude que nous proposons ici se
différencie de leur travaux. Cette étude a fait l’objet d’une publication [130].
4.4.2
Propriétés anormales du milieu à pistes discontinues
Les courbes de l’indice de réfraction, de l’impédance d’onde, de la permittivité et de la perméabilité sont superposées sur la figure 4.14 :
La bande de fréquence anormale est définie comme la bande de fréquence sur laquelle les 4
anomalies sont visibles. Elle s’étend de 20 à 23 GHz ; elle est grisée sur la figure 4.14. Nous pouvons
effectivement remarquer que pour ces fréquences :
106analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
(a)
(b)
Fig. 4.13 – (a) Permittivité et perméabilité complexes issues de la réf. [129] pour un milieu constitué
de srr montré figure (b). Les courbes en pointillés représentent la partie imaginaire et les trait pleins
la partie réelle.
15
10
Partie imaginaire
Partie réelle
5
5
0
−5
15
20
25
30
Fréquence (GHz)
0
−5
−10
−15
15
n
(a)
Z
20
25
30
Fréquence (GHz)
(b)
(c)
µ
ε
Fig. 4.14 – (a,b) Paramètres effectifs du milieu à pistes métalliques discontinues. La zone grisée
représente la bande de fréquence anormale. (c) Géométrie de l’inclusion.
– l’indice de réfraction sature autour de n′ = 2,
– la perméabilité est anti-résonante en partie réelle et sa partie imaginaire est positive,
– la permittivité a une allure quasi-lorentizienne mais elle est est chahutée dans la bande grisée,
– le saut de n′ se situe à une fréquence de 23 GHz alors que celui de Z ′ se situe à 27 GHz.
La valeur maximale de n′ correspond au vecteur d’onde maximal pouvant se propager dans ce
milieu donné par l’équation suivante :
′ nmax ≤ π = 2
kP
(4.21)
Version provisoire
107
4.4 mise en évidence d’anomalie pour les structures résonantes
Cette équation est déduite de la relation de dispersion du milieu périodique. Notons également
que n′ est tronqué tout comme nous l’avons vu dans le § 4.3.
4.4.3
Propriétés anormales du milieu à SRR seuls
Considérons le milieu constitué de srr où nous disposons cette fois-ci non plus d’une permittivité
résonante mais d’une perméabilité résonante.
La figure 4.15 montre la superposition de l’indice de réfraction, l’impédance d’onde, la permittivité et la perméabilité pour les milieux constitués de bc-srr et ec-srr.
Partie imaginaire
Partie réelle
10
5
0
−5
11
0
−5
−10
11
12
13
14
Fréquence (GHz)
n
(a)
12
13
14
Fréquence (GHz)
(b)
Z
(c)
µ
ε
Partie imaginaire
Partie réelle
5
0
0
−5
−5
7.5
8
8.5
Fréquence (GHz)
9
(d)
−10
7.5
8
8.5
Fréquence (GHz)
9
(e)
(f)
Fig. 4.15 – Mise en évidence d’anomalies pour les milieux constitués de ec-srr (a-c) et de bcsrr(d-f). La zone grisée représente la bande de fréquence anormale.
Les anomalies sont mises en évidence par la bande de fréquence grisée. Nous pouvons constater
que pour les deux structures, les observations sont identiques :
– l’indice de réfraction sature,
– la permittivité est anti-résonante en partie réelle et positive en partie imaginaire,
108analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
– la perméabilité est résonante.
Ces structures ont une fréquence de fonctionnement différente, si bien que les valeurs de l’indice
de réfraction maximales atteintes en partie réelle (déduites de la relation de dispersion) sont n′max
= 3.8 pour le milieu à ec-srr et n′max = 5.6 pour le milieu à ec-srr. Il est à noter que ces deux
structures ont une périodicité P = 3.3 mm identique et que les dimensions électriques sont de
2λ0 /25 pour le bc-srr et de 2λ0 /12 pour le ec-srr.
Ainsi, nous disposons « concrètement » d’un exemple où le rôle de la périodicité est mis en
évidence pour les valeurs d’indice de réfraction atteintes. Cet exemple nous permet de valider les
prévisions faites à l’aide des relation de dispersion dans le § 4.3.
4.4.4
Propriétés anormales du milieu à indice de réfraction négatif
L’association du milieu constitué de srr et de pistes métalliques continues donnent un milieu
à indice de réfraction négatif dont l’indice de réfraction, l’impédance d’onde, la permittivité et la
perméabilité sont montrés figure 4.16.
Les anomalies sont mises en évidence par la bande de fréquence grisée. Nous pouvons constater
que pour les deux structures, les observations sont identiques :
– l’indice de réfraction sature,
– la permittivité est anti-résonante en partie réelle et positive en partie imaginaire,
– la perméabilité est résonante.
À l’extérieur de la bande de fréquence d’anomalie, la permittivité a une allure quasi-Drude.
La perméabilité est identique à celle obtenue pour le cas du milieu à srr seuls sauf que µ′ (ω)
est perturbé avant la fréquence de résonance alors que dans le cas précédent la perturbation était
observé pour des fréquences supérieures à la fréquence de résonance.
4.4.5
Analyse de ces propriétés anormales
Structure choisie pour l’analyse des propriétes anormales Pour l’analyse des différentes
anomalies, nous nous concentrerons sur le cas du mirn constitué de pistes métalliques et de la
structure à boucle ouverte de type bc-srr. Il est à noter que cette analyse est applicable aux autres
milieux précédemment étudiés.
Justification mathématique des résultats Sur la figure 4.16 (c,d), nous pouvons noter que
n′′ (ω) > n′ (ω) en début de la bande grisée, ce qui semble normal vu que dans cette bande de
fréquence le module du coefficient de transmission est faible (Fig. ??,p. ??). L’absence de propagation dans le milieu implique également que ε′ (ω) et µ′ (ω) sont de signe opposé ; c’est ce que nous
observons.
Rappelons que le couple [ε(ω), µ(ω)] est calculé à partir de [n(ω), Z(ω)] et que n2 (ω) = ε(ω)µ(ω).
Ainsi si n(ω) est borné dans la bande de fréquence grisée, ε(ω) et µ(ω) ont des comportements inverse
avec des pôles et zéros inversés. C’est ce que l’on observe sur la figure 4.16(c), ε′ (ω) a une allure
anti-résonante et µ′ (ω) est résonant. Mathématiquement, les paramètres effectifs que nous avons
calculés sont cohérents.
En outre, les paramètres effectifs sont systématiquement réinjectées dans les équations de Fresnel
(généralisées pour une lame ayant un indice de réfraction de signe arbitraire) pour vérifier la précision
Version provisoire
109
4.4 mise en évidence d’anomalie pour les structures résonantes
5
Partie imaginaire
Partie réelle
5
0
0
−5
−5
11
12
13
14
Fréquence (GHz)
11
12
13
14
Fréquence (GHz)
n
(a) EC-SRR
(b) EC-SRR
Z
(c) EC-SRR
µ
ε
5
Partie imaginaire
Partie réelle
5
0
−5
−10
0
−5
−10
7
8
Fréquence (GHz)
9
7
(d) BC-SRR
8
Fréquence (GHz)
(e) BC-SRR
9
(f) BC-SRR
Fig. 4.16 – Mise en évidence d’anomalies pour les MIRN constitués de pistes métalliques et ec-srr
(a-c) et bc-srr(d-f). La zone grisée représente la bande de fréquence anormale.
numérique de la procédure d’inversion. La différence entre les deux calculs est de l’ordre de la
précision machine.
Rappelons que nous avons implémenté deux méthodes, une méthode directe (méthode nrw) et
une méthode itérative (optimisation non-linéaire par algorithme de Levenberg-Marquardt) et que
ces méthodes convergent vers les mêmes résultats. C’est pourquoi nous déduisons que la procédure
d’inversion n’est pas à remettre en cause, du moins d’un point de vue mathématique.
Première analyse physique des propriétés anormales Une interprétation de ces anomalies
réside donc dans une analyse physique des propriétés observées. Une première analyse peut être
effectuée à l’aide des résultats obtenus § 4.2 et § 4.3.
110analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
Saturation de la partie réelle de l’indice de réfraction, n′ :
Le résultat (4.2) nous permet de
justifier l’obtention d’un indice de réfraction borné en partie réelle et la valeur de la borne : πc/(ωP )
prédite théoriquement a été confirmée pour tous les milieux résonants. Ceci constitue une validation
numérique de notre résultat théorique (4.2).
Anti-résonance de la partie réelle de la permittivité accompagnée d’une partie imaginaire positive :
D’après le résultat (4.1), nous savons qu’une partie imaginaire de ε(ω) ou de µ(ω) positive
n’a pas de sens physique pour un milieu continu, linéaire, homogène et isotrope (dans notre convention). Les paramètres effectifs calculées dans les bandes de fréquences grisées semblent donc ne pas
avoir de sens physique que le milieu soit à indice de réfraction positif ou négatif.
Compléments d’analyse des propriétés anormales Afin de compléter l’analyse de ces anomalies, il nous semble important de comparer ces paramètres effectifs calculés pour une structure
d’extension finie dans la direction de propagation à ceux déterminés pour une structure infinie. Le
calcul pour une structure infinie fournit la valeur asymptotique des paramètres effectifs pour un
nombre de couches qui tend vers l’infini. Concrètement, nous comparons la propagation dans une
lame d’épaisseur finie à la propagation dans un milieu fait du même matériau que la lame.
4.5
4.5.1
Propriétés des modes guidés au sein des composites résonants
Analyse bi-dimensionnelle
La nature périodique des composites nous permet d’étudier leur diagramme de dispersion. Ces
derniers nous donnent des informations importantes sur les modes qui peuvent se propager dans un
milieu périodique. La figure 4.17 illustre le diagramme de dispersion (calculé à l’aide de la procédure
décrite §2.5.2) pour le milieu constitué de bc-srr et de pistes métalliques dans la zone irréductible
de Brillouin.
Fig. 4.17 – Diagramme de dispersion bi-dimensionnel pour le milieu à bc-srr seul et le mirn dans
la zone irréductible de Brillouin.
Le diagramme de dispersion du milieu constitué uniquement de bc-srr est également représenté
sur la figure 4.17. Dans la bande de fréquence grisée, nous pouvons remarquer que le milieu constitué
Version provisoire
4.5 propriétés des modes guidés au sein des composites résonants
de bc-srr seul présente une bande interdite totale
(6) .
111
Dans cette même bande de fréquence, ce
milieu associé aux pistes métalliques continues présente une bande propagée. La vitesse de phase
(représentée par la pente de la courbe) étant négative, cette bande de fréquence représente une
bande de rétropropagation.
À partir de ce diagramme, nous pouvons également calculer l’indice de réfraction du milieu à
l’aide de l’Eq. 4.18. La figure 4.18 montre l’indice de réfraction calculé à partir de la bande de
fréquence grisée du diagramme de dispersion.
Fig. 4.18 – Superposition de l’indice de réfraction calculée à partir de diagramme de dispersion
à celui calculée par inversion. La bande de fréquence grisée représente la bande de fréquence de
rétropropagation.
Cet indice est superposé à l’indice calculé par la méthode d’homogénéisation par inversion des
équations de Fresnel. Cette comparaison est rigoureuse car la composante tangentielle du vecteur
d’onde est conservée à l’interface du milieu périodique dans le diagramme de dispersion. La superposition montre un bon accord entre l’indice ainsi calculé et la méthode d’homogénéisation par
inversion. En revanche notons que dans la bande de fréquence où l’indice sature, il n’y a pas de
propagation selon le diagramme de dispersion.
4.5.2
Résultats dégagés de l’analyse bi-dimensionnelle
Résultat 4.5 La bande de rétropropagation apparaît à l’intersection des bandes interdites des
deux milieux étudiés séparément (Réseau de srr et réseau de pistes métalliques continues). Ce
résultat est favorable à la thèse (Cf. Chapitre 1) que l’association d’un milieu à perméabilité négative
(ε > 0, µ < 0) et d’un milieu à permittivité négative (ε < 0, µ > 0) constitue un mirn. Concrètement
l’association de deux structures non-propagatives (Réseau de srr et réseau de pistes métalliques
continues) peut donner un milieu rétropropagatif.
Résultat 4.6 Le diagramme de dispersion donne des informations uniquement sur la propagation
dans le cas d’une structure infinie (dans la direction de propagation) : ce qui constitue donc une
étude limite. L’absence de propagation prédite dans la bande de fréquence où l’indice de réfraction
sature nous pousse à conclure que la saturation observée peut être attribué à un effet de finitude
(6)
Notons que sur toute la bande de fréquence d’étude, le milieu à pistes présente une bande interdite
112analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
dans la direction de propagation. Cet effet de finitude sera analysé § 4.6 à l’aide d’une analyse
multimodale au sein de la structure finie.
4.5.3
Analyse mono-dimensionnelle
La méthode que nous utilisons pour le calcul numérique des modes ne permet pas d’avoir la
partie réelle (α) de la constante de propagation (γ = α + jβ). Afin d’évaluer la variation de la
constante d’atténuation α pour le milieu résonant
(7) ,
nous proposons d’étudier les diagrammes de
dispersion mono-dimensionnel calculés à l’aide de la méthode explicitée dans le § 2.5.1 du chapitre
0.11
10
0.055
0
1
2
β (rad m−1)
3
5
0.16
15
0.11
10
0.055
−10
(a)
−5
α (dBmm−1)
f (GHz)
15
f × P /c0
0.16
f (GHz)
f × P /c0
2 (p. 59). Ce diagramme est montré figure 4.19.
5
0
(b)
Fig. 4.19 – Diagramme de dispersion mono-dimensionnel pour le mirn. (a) Partie imaginaire de la
constante de propagation (β), (b) Partie réelle de la constante de propagation (α).
La figure 4.19(a) montre la partie imaginaire de la constante de propagation (β) et la figure
4.19(b) la partie réelle de constante de propagation (α). En ordonnées, nous présentons à gauche
la fréquence normalisée et à droite la fréquence en GHz. La bande de fréquence grisée représente la
bande de fréquence anormale que nous avons défini dans le §4.4.
Dans cette bande de fréquence, un mode ayant une constante de propagation avec α et β nonnulle est mise en évidence. Ce mode est appelé mode complexe. La présence de ce type de mode dans
une structure peut indiquer la présence de courant alternatif suivant l’axe de propagation [131].
4.5.4
Résultat dégagé de l’analyse mono-dimensionnelle
Résultat 4.7 L’intérêt de cette analyse par rapport à l’analyse bidimensionnelle est qu’il nous
permet de disposer de la constante d’atténuation au sein du milieu périodique. L’existence d’un
mode complexe a été mise en évidence dans la bande de fréquence anormale (bande grisée). Or,
les modes hybrides ne peuvent pas exister dans les milieux continus [131]. Cette analyse peut nous
permettre de mettre en évidence que dans cette bande de fréquence, cette structure ne peut être
assimilée à un milieu homogène ou continu.
(7)
Le calcul de la constante d’atténuation à l’aide du logiciel HFSS [89] via le calcul du diagramme de dispersion
bi-dimensionnel n’est pas immédiat. C’est pour cela que nous ne disposons pas de la constante d’atténuation dans
l’analyse bidimensionnel
Version provisoire
113
4.6 analyse multimodale du milieu résonant
4.6
Analyse multimodale du milieu résonant
Les propriétés des modes guidées au sein de ce type de milieu nous mènent évidemment à
nous poser la question suivante : Comment s’effectue la transmission au sein d’un tel milieu ? La
réponse à cette question nous permettrait de comprendre à quel point nous pouvons considérer que
l’assimilation de la transmission au sein du milieu au modèle d’interférences multiples de la lame à
faces parallèles est correcte. En effet, dans le modèle à faces parallèles, seul le mode fondamental
est pris en compte. En d’autres termes, les conditions aux limites à l’interface des structures sont
données par la continuité des champs associées au mode fondamental.
Nous proposons dans ce paragraphe de vérifier si cette hypothèse est bien vérifiée. Pour cela,
nous considérons cette fois-ci une lame de dimension finie dans la direction de propagation et nous
regardons la pondération des différents modes en transmission (le deuxième accès), sachant que seul
le premier mode est excité au premier accès.
4.6.1
Décomposition modale
La décomposition du champ en fonction des modes de Floquet a été présentée dans le chapitre
2. Nous présentons sur la figure 4.20 le profil des quatre premiers modes pour la topologie du mirn
que nous étudions.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 4.20 – Profil des quatre premiers modes pour le mirn.
Les flèches représentent le vecteur champ électrique pour une onde en incidence normale. Dans
ce cas particulier, nous pouvons considérer que sur les arêtes verticales, nous avons une condition
de mur électrique et sur les arêtes horizontale des conditions de mur magnétique parfait.
Nous présenterons sur les graphiques uniquement les modes dont le module du paramètres S21
est supérieur à -40 dB.
4.6.2
Analyse multimodale du mirn constitué de bc-srr
La figure 4.21 montre le paramètre S21 modal et les constantes de propagation associées à ces
deux modes(8) .
Le paramètres S21 du mode fondamental présente une résonance à une fréquence proche de 7.8
GHz. Autour de cette fréquence et dans la bande grisée, nous constatons que le deuxième mode est
(8)
Par mode2 :mode1, nous désignons le mode excité et/ou observé sur l’accès correspondant. Par exemple, S21
mode2 :mode1 signifie que l’on observe ce que l’on récupère comme champ ayant le profile du deuxième mode sur
l’accès 2, sachant que seul le premier mode est excité à l’accès 1.
114analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
700
600
−10
500
−20
γ
Magnitude (dB)
0
Im(γ) mode 1
Re(γ) mode 2
400
300
−30
−40
S21 mode 1:mode 1
S21 mode 2:mode 1
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
200
10
100
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
(a)
10
(b)
Fig. 4.21 – (a) Paramètre de diffusion S21 modal pour les deux premiers modes. (b) Constante
de propagation des deux premiers modes. Pour le premier mode, uniquement Im(γ) est montrée
car la partie réelle de γ est proche de zéro. Pour le deuxième mode, uniquement Re(γ) est montré
car la partie imaginaire de γ est proche de zéro. La bande grisée représente la bande de fréquence
anormale
supérieur au mode fondamental [figure 4.21(a)]. Or, d’après la figure 4.21(b), ce deuxième mode est
évanescent (constante de propagation réelle pure) alors que le premier est propagatif (constante de
propagation imaginaire pure).
Ceci signifie que dans cette bande de fréquence, la continuité des champs aux interfaces est
essentiellement assurée par la composante évanescente du champ. En d’autres termes, les équations
de Fresnel ne peuvent pas représenter correctement ce phénomène physique pour ces fréquences. En
effet, les calculs sont faits en considérant uniquement la composante en champ lointain (ou le mode
propagatif).
4.6.3
Résultat dégagé de cette analyse
Résultat 4.8 Le fait que la continuité des champs ne peut être représentée correctement par
seules ses composantes propagatives nous permet de conclure que, dans cette bande de fréquence, les
paramètres effectifs ne sont donc pas valables au sens des équations de Fresnel. Si nous considérons
notamment le champ qui se propage au sein de la lame, le modèle d’interférences multiples que nous
utilisons pour la modélisation de propagation de la lame n’est pas adéquat.
4.7
Description du champ macroscopique à partir du champ microscopique
4.7.1
Théorie des milieux diélectriques résonants par Sipe
L’électromagnétisme macroscopique des diélectriques résonants a été étudié par Sipe et al. [132].
Dans cette étude, il met en évidence l’influence de la périodicité des cristaux à l’échelle microscopique sur les paramètres macroscopiques du milieu. Dans ses travaux, les auteurs étudient notamVersion provisoire
4.7 description du champ macroscopique à partir du champ microscopique
115
ment les cristaux aux fréquences optiques mais cette étude peut être étendue aux métamatériaux
résonants ayant des réponses maagnétiques et/ou diélectriques. Une démonstration de la déduction
des équations de Maxwell pour la propagation dans un milieu macroscopique à partir des équations microscopiques de Lorentz est faite dans la Réf. [132]. Il n’est pas question de développer
ici les calculs de cette démonstration qui s’appuie sur la théorie semi-classique du rayonnement
électromagnétique. Nous dégagerons seulement les résultats à retenir.
Considérons la relation constitutive permettant de lier la polarisabilité électrique, P~ (~r), au
~ r) :
champ électrique E(~
~ r)
P~ (~r) = ε0 χe E(~
(4.22)
où χe représente la susceptibilité électrique. Rappelons que la polarisabilité électrique d’un milieu
est définie en fonction du moment dipolaire p~i par unité de volume de la manière suivante :
P~ (~r) = lim
∆v→0
"
#
Ne ∆v
1 X
d~
pi ,
∆v
(4.23)
i=1
avec ∆v le volume du milieu considéré et Ne le nombre de dipôles électriques par unité de volume.
A partir de la relation 4.23, il est évident qu’une des hypothèses faite dans la relation constitutive
4.22 est la faible variation spatiale des moments dipolaires. Lors de l’attribution d’une polarisabilité
à un cristal, une des conditions à respecter est donc que la variation spatiale du moment dipolaire
se produise sur des distances très faibles par rapport à la périodicité. Cette condition n’est pas
respectée à la résonance si bien que le passage de l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique
se fait difficilement.
Cette étude nous permet, déjà dans le cas de cristaux classiques, d’établir les limites de validité de
l’équivalence entre les équations microscopiques et les équations macroscopiques. Quand la théorie
microscopique prédit des résonances ou de fortes valeurs de l’indice de réfraction, cet indice de
réfraction ne peut être considéré comme décrivant « macroscopiquement » le milieu étudié. Notons
également que cela signifie qu’une description adéquate d’un tel milieu ne peut se faire que de
manière microscopique ; en d’autres termes, ce milieu ne peut pas être homogénéisé ou ne peut pas
être considéré comme étant homogénéisable.
Remarque Nous ne disposons pas de méthode de calcul de paramètres effectifs à partir de valeurs
de champs moyennés comme celle explicitée § 2.2.2 (p. 41). L’implémentation de cette méthode a
été initiée ; les résultats obtenus n’étant pas concluants, nous avons inclus dans ce mémoire aucun
résultats numériques.
Nous nous contenterons dans le prochain paragraphe de démontrer : (i) Comment la théorie
de Sipe peut être interprétée de manière qualitative par l’analyse des cartographies de champ et
(ii) la cohérence entre notre résultat théorique (4.3) les résultats numériques issus des méthodes
d’inversion.
4.7.2
Cartographie des champs du milieu à indice de réfraction négatif
La théorie développée par Sipe [132] est applicable à notre étude car nous disposons d’un milieu
périodique que nous cherchons à homogénéiser. Nous proposons de considérer dans ce paragraphe
116analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
l’homogénéisation comme un processus de calcul de champs moyens. Analysons la cartographie du
mirn constitué de piste métalliques et de bc-srr proche de la fréquence de résonance (figure 4.22).
Fig. 4.22 – Cartographie de champs pour le MIRN proche de la résonance dans la bande de fréquence
anormale : f = 7.8 GHz
À la résonance, nous avons une forte concentration de champ du champ électrique entre les
deux anneaux. Cette concentration montre la forte capacitance qui existe entre les anneaux. Cette
observation semble intuitive à la résonance et il est également normal d’observer une forte variation
de champ au sein d’une seule cellule unitaire. La théorie de Sipe nous permet de supposer qu’à
cette fréquence les paramètres effectifs définis ne seront pas valables et que le composite n’est pas
homogénéisable à cette fréquence.
Rappelons que dans le § 4.3 [Résultats (4.2) et (4.3)], nous avons mis en évidence deux paramètres
critiques permettant le passage de la description microscopique (modèle de Lorentz et/ou Drude) à la
description macroscopique (relation de dispersion). L’influence de ce dernier paramètre est également
donnée par la théorie de Sipe car il est évident que plus les pertes par dissipation sont élevées, moins
forte sera la variation des champs dans une cellule élémentaire. Nous pouvons constater que si nous
considérons un milieu à fortes pertes, les anomalies présentées par les paramètres effectifs diminuent,
comme le montre la figure 6.6.
(a)
(b)
Fig. 4.23 – Permittivité et perméabilité pour un milieu à fortes pertes. (Le substrat diélectrique
sur lequel les srr sont imprimés possède un tan δ = 0.01.)
Version provisoire
4.8 rappel des hypothèses
117
En effet, l’anti-résonance montrée par la permittivité est moins forte ainsi que le pic de la partie
imaginaire qui prend toujours des valeurs positives mais plus faibles. La perméabilité présente
en revanche une allure lorentzienne non chahutée ; les valeurs maximales de la partie réelle de la
perméabilité atteinte ne sont pas élevées (de l’ordre de 2).
Remarquons que µ′ prend des valeurs qui sont plus élevées en valeurs positives qu’en valeurs
négatives (après la résonance). Cette observation peut facilement être expliquée par le fait que les
fortes pertes diélectriques du substrat ont certes aidées à diminuer la concentration de champs entre
les anneaux ; mais la capacitance entre les anneaux a aussi diminué. Or, cette capacitance a un rôle
important pour l’obtention d’une perméabilité négative ; ce rôle sera plus amplement décrit dans le
chapitre 5.
4.7.3
Résultat dégagé de cette étude
Résultat 4.9 Cette étude nous a permis de démontrer la validité du résultat théorique (4.3). En
effet, nous avons démontré que les anomalies étaient moins accentuées pour des pertes par dissipation
plus élevées.
Nous souhaitons souligner le fait que cette étude mérite d’être continuée : nous n’avons pas
montré de comparaison numérique entre des paramètres effectifs calculés à partir de champs locaux
et ceux définis à partir de méthode globale. Ce travail peut être très intéressant d’autant plus
qu’il existe très peu d’articles dans la littérature sur le sujet. En effet, l’inconvénient de l’analyse
qualitative est qu’elle ne permet pas de définir le seuil à partir duquel les paramètres macroscopiques
peuvent être définis.
4.8
Rappel des hypothèses
Nous rappelons dans ce paragraphe les différentes hypothèses faites lors des analyses effectuées
dans ce chapitre. Le rappel des hypothèses est essentiel surtout que nous avons démontré certaines
limites quant à la validité de la définition d’un milieu effectif pour les mirn structurés.
Les hypothèses que nous avons faites lors de la caractérisation des composites et des procédures
d’homogénéisation sont les suivantes :
1. Pour l’assimilation des paramètres S aux coefficients de transmission et de réflexion (r, t),
nous avons supposé qu’uniquement le mode fondamental est propagatif.
2. Nous supposons qu’il n’existe aucune composante croisée des champs, c’est à dire qu’en champ
lointain le champ électrique et/ou magnétique ne se retrouvera pas dans une direction autre
que celle imposée à l’excitation.
3. Le milieu est (i) linéaire et (ii) isotrope.
4. Les différents critères pour que le milieu soit homogénéisable ont été largement traités. L’hypothèse d’un milieu effectif est évidente si l’on peut considérer que les champs sont statiques
ou s’ils ont une variation spatiale négligeable par rapport à la taille des inhomogénéités locales.
118analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
Hypothèse 1 Si cette hypothèse est vérifiée, l’énergie électromagnétique est essentiellement focalisée dans les directions spéculaires. Dans le cas contraire, il est impossible de définir des coefficients
de transmission et de réflexion (r, t) au sens de Fresnel et on pourrait définir des facteurs de transmission et de réflexion en puissance [86]. Une autre alternative serait de définir des « indices de
réfraction modaux » [94] associés à chaque mode des paramètres S généralisés. Notons que dans
notre cas, le seul terme que nous prenons en compte est le mode fondamental.
Hypothèse 2 Cette hypothèse est toujours vérifiée car une décomposition modale des champs est
effectuée et seul le mode fondamental est retenu. Nous pouvons néanmoins vérifier que les autres
modes ne sont pas propagatifs ; en régime métamatériaux, ce n’est jamais le cas car la longueur
d’onde est toujours beaucoup plus grande que la périodicité du matériau.
Hypothèse 3 (ii) L’hypothèse d’isotropie peut sembler forte ici. Nous pensons que les anomalies
observées ne proviennent pas d’un défaut d’isotropie et nous souhaitons le démontrer. Pour cela,
nous proposons sur la figure 4.24 une superposition du coefficient de transmission et de réflexion
calculés pour différents angles d’incidence.
Nous avons considéré uniquement la polarisation tm. Les coefficients de réflexion et de transmission calculés sont quasiment identiques en module et phase pour les angles d’incidence considérés.
Nous confirmons ici non seulement notre hypothèse d’isotropie mais aussi le fait que les anomalies
observées ne proviennent pas d’un effet de diffraction suivant des angles différentes de la direction
spéculaire.
Hypothèse 4 Rappelons que les relations constitutives considérées suite aux hypothèse faites
pendant les procédure d’homogénéisation sont les suivantes :
~ r, ω) = ε(~r, ω)E(~
~ r, ω) et B(~
~ r, ω) = µ(~r, ω)H(~
~ r, ω)
D(~
(4.24)
Or, nous avons également négligé la dispersion spatiale pour les paramètres effectifs calculés, ce
qui conduit à une réécriture de l’équation (4.24) en supprimant la dépendance en ~r des toutes les
grandeurs.
4.9
Zones de validité des paramètres effectifs
Dans la bande de fréquence grisée, pour tous les composites résonants, nous avons montré que
les paramètres effectifs ne sont pas valables au sens de Fresnel. Nous avons également démontré
que pour des fréquences n’appartenant pas à cette bande, les paramètres effectifs sont correctement
définis.
En effet, si nous considérons le cas du mirn constitué de bc-srr et de pistes continues, pour
f > 7.9 GHz, l’indice effectif calculés est en accord avec l’indice de réfraction déduit du diagramme
de dispersion (valeur asymptotique de l’indice pour le milieu semi-infini).
Résultat 4.10 La validité des paramètres effectifs pour f > 7.9 GHz est démontrée pour les mirn
constitués de bc-srr. Elle a été démontrée à l’aide de (i) l’indice déduit du diagramme de dispersion,
Version provisoire
119
0
0
−10
−5
Module (dB)
Module (dB)
4.10 conclusion
−20
−30
−40
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
−10
−15
−20
−25
6
10
4
1
3
0
2
1
0
−1
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(b) Coefficient de transmission
Phase (rad)
Phase (rad)
(a) Coefficient de réfléxion
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(c) Coefficient de réfléxion
−1
−2
−3
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(d) Coefficient de transmission
Angle d’incidence de 10 °
Angle d’incidence de 20 °
Angle d’incidence de 30 °
Fig. 4.24 – Coefficient de réflexion et de transmission pour différents angles d’incidence. Le milieu
considéré est un réseau de bc-srr.
et (ii) l’analyse modale. Le mode fondamental du paramètre S21 devient prédominant par rapport au
mode supérieur au delà de cette fréquence de 7.9 GHz.
4.10
Conclusion
Pour les composites à indice de réfraction négatif, l’homogénéisation est repoussée au delà de
ses limites de validité telle qu’elle est traditionnellement utilisée. C’est pour cela qu’une étude
systématique a été faite dans le but de déterminer les zones de validité des paramètres effectifs
calculés pour les métamatériaux à indice de réfraction négatif.
Rappels des principaux résultats Nous rappelons les résultats à retenir de l’analyse des paramètres effectifs des métamatériaux résonants.
120analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
Nous avons mis en évidence une bande de fréquence où les paramètres effectifs ont un comportement anormal : dans le cas d’un composite magnétique résonant, la permittivité effective est
anti-résonante en partie réelle et la partie imaginaire est positive.
L’étude des propriétés des modes guidés au sein du milieu périodique montre l’existence de
modes hybrides dans la bande de fréquence anormale, ce qui rend impossible la description de ce
milieu comme un milieu continu. De plus, le diagramme de dispersion bidimensionnel du milieu
montre que dans cette bande de fréquence aucune propagation n’est prédite. Ce qui laisse penser
que le comportement anormal est la conséquence d’un effet de finitude de la structure périodique.
En effet, l’analyse multimodale du même milieu, mais d’extension finie, montre que l’existence
d’un mode évanescent qui est prédominant par rapport au mode propagatif dans la bande de fréquence anormale. Ceci nous a permis de démontrer que les équations de Fresnel ne peuvent pas
définir correctement le milieu à ces fréquences car uniquement les composantes propagatives sont
considérées dans le calcul alors que dans ce cas la continuité des champs est essentiellement assurée
par la composante évanescente du champ.
La théorie de Sipe traitant des diélectriques résonants nous a fait mettre en doute la validité des
paramètres effectifs au voisinage de la résonance. En effet, pour ces fréquences, la forte variation des
champs dans une cellule unitaire nous a permis de conclure que le passage de l’échelle microscopique
à l’échelle macroscopique est délicate.
Version provisoire
Conclusion de la Partie I
Nous avons défini le concept de milieu effectif tel qu’il a été appliqué au mirn. Nous avons
considéré que les mirn appartiennent à une catégorie de composites périodiques particulière où les
inclusions possèdent une fréquence de résonance propre.
L’homogénéisation de ces milieux hétérogènes a été traité d’un point de vue semi-analytique
en exploitant des résultats numériques issus de calcul par éléments finis. La nature périodique du
milieu a également été exploitée par le biais des diagrammes de dispersion bi-dimensionnels pour
l’extraction de l’indice de réfraction effectif.
Les composites métallo-diélectriques traités sont de nature différentes : résonantes électriquement
ou magnétiquement et non-résonantes. Il est important de noter que l’homogénéisation de structures
résonantes a été traité car l’ensemble des structures adapté à l’espace libre et présentant un indice
de réfraction négatif (ou une permittivité et une perméabilité simultanément négatives) repose sur
l’utilisation d’anneaux fendus autour de leur fréquence de résonance. Des anomalies ont été mis en
évidence pour les paramètres effectifs des structures résonantes.
En effet, l’obtention d’une perméabilité négative est possible uniquement autour de la fréquence
de résonance de l’anneau. Dans cette étude, nous nous sommes donc attachés non seulement à définir
les paramètres constitutifs de ces métamatériaux mais aussi de déterminer systématiquement leur
validité physique.
Ainsi, deux résultats importants ont été dégagés de cette étude. Premièrement, dans le cas particulier d’un métamatériau à faibles pertes (ayant donc un intérêt pour d’éventuelles applications),
un rapport période devant la longueur d’onde très faible ne suffit pas pour considérer que le milieu
est homogénéisable. Il faut également négliger une bande de fréquence autour de la résonance, ce
qui confirme le caractère faible bande intrinsèque à ce type de structures.
Deuxièmement, nous avons démontré que l’indice de réfraction effectif d’un tel milieu est borné,
la valeur des bornes étant étroitement liées à la dispersion spatiale de la structure.
Ces résultats nous ont permis d’interpréter les anomalies présentées par les paramètres effectifs
calculés des métamatériaux résonants. Des analyses complémentaires : analyse modale et comparaison des indices issus de diagramme de dispersion (structure infinie) et de méthode d’« inversion »
ont été effectués pour confirmer la validité des paramètres effectifs.
Nous rappelons dans la figure 1 l’allure générique des paramètres effectifs des quatre différents
composites que nous avons étudiés :
– (a) le milieu à pistes métalliques continues : ce milieu est non résonant et sa permittivité
présente une dispersion de Drude et une perméabilité constante et proche de un.
– (b) le milieu à pistes métalliques discontinues : ce milieu est résonant et sa permittivité
présente une dispersion de Lorentz.
121
122analyse et interprétation des paramètres effectifs des métamatériaux résonants
– (c) le milieu constitué de srr : il présente une perméabilité résonante (allure de Lorentz).
– (d) le mirn : il est constitué de l’association du milieu (a) et le milieu (c). Il présente donc une
perméabilité résonante avec une dispersion de Lorentz et une permittivité avec une dispersion
de Drude. Remarquons que la bande de fréquence provient du milieu à srr et non du milieu
à pistes métalliques non-résonants.
µ(ω)
ε(ω)
µ(ω)
ε(ω)
ω
ω
ω
(a) Pistes métalliques continues
µ(ω)
ω
(b) Pistes métalliques discontinues
ε(ω)
µ(ω)
ε(ω)
ω
ω
ω
(c) srr seul
ω
(d) mirn
Fig 1 : Allures génériques des paramètres effectifs des principaux composites étudiés. (La bande
grisée présente la bande de fréquence autour de la résonance où nous avons démontré que les paramètres effectifs ne sont pas valables.)
Une comparaison entre les paramètres effectifs des figures 1(c) et 1(d) nous montre la forte
corrélation qui existe entre les milieux constitué de srr et les mirn. Nous en concluons que la
compréhension du principe de fonctionnement et l’ingénierie des mirn passe nécessairement par
une maîtrise de la conception des milieux constitués de srr.
Version provisoire
Deuxième partie
Composites à perméabilité artificielle
Introduction de la Partie II
La partie I met en évidence la forte corrélation qui existe entre le comportement des composites
à perméabilité artificielle et les mirn. Cette observation laisse entendre que l’ingénierie de mirn
passe obligatoirement par une maîtrise de la conception de milieux magnétiques artificiels. C’est
pourquoi cette deuxième partie du mémoire est consacrée à l’étude de ces milieux.
La conception de composites présentant une perméabilité négative n’est pas simple. Il est important de noter que les matériaux magnétiques bruts ne présentent aucun magnétisme naturel
exploitable en hyperfréquences. J. B. Pendry et al. [10] a introduit des matériaux artificiels constitués d’anneaux pouvant avoir une réponse magnétique non négligeable. Les inclusions métalliques
sont périodisées dans une matrice diélectrique ; l’interaction résonante entre l’inductance propre de
l’anneau et des effets capacitifs associés au couplage sont à l’origine de la réponse magnétique de
ces composites.
Les structures telles qu’elles ont été introduites par J. B. Pendry et al. présentent plusieurs
désavantages, notamment :
– l’étroitesse de la bande passante,
– les dimensions de la cellule unitaire par rapport à la longueur d’onde de travail. Elle est
typiquement de l’ordre de 2λ0 /15 et la dispersion spatiale ne peut pas être négligée. Nous
avons vu dans le chapitre le rôle de la dispersion spatiale : elle définit la valeur maximale
atteinte par la partie réelle de l’indice de réfraction.
De nouvelles particules présentant de meilleures performances méritent d’être conçues. Pour
cela, la première étape est d’approfondir l’étude des composites à perméabilité artificielle. C’est ce
que nous présenterons dans le chapitre 5.
Des boucles isolées seront étudiées à l’aide d’analyses ondulatoires ; une analogie sera faite à partir de la théorie de King pour les antennes boucles résonantes et électriquement petites. Des résultats
seront dégagés pour la conception et le dimensionnement des particules ayant une polarisabilité magnétique prédominante. Ces résultats nous permettront d’élaborer un modèle quasi-statique pour
caractériser la fréquence de résonance des srr imprimées. La mise en réseau de ces particules sera
ensuite pris en compte à travers une étude numérique de l’influence de la périodicité.
Nous nous appuierons ensuite sur les résultats dégagés dans le chapitre 5 pour concevoir un
composite à réponse magnétique ayant de meilleures performances en terme de dispersion spatiale
et de compacité. Cette étude sera présentée dans le chapitre 6.
Les particules envisagées sont des spirales pour leur compacité. En outre, leur géométrie permettent de modifier à la fois l’inductance et la capacitance de la particule. Les règles de conception
dégagées dans le chapitre précédent nous permettent de définir une géométrie optimale. La mise en
réseau de cette particule pour l’obtention d’un milieu à perméabilité négative est ensuite effectuée.
125
126
Des pertes conséquentes sont observées ; elles sont minimisées à l’aide d’une étude numérique des
paramètres critiques. Finalement, nous aboutissons à une structure optimale dont nous comparons
les performances avec les structures de la littérature. Les performances obtenues sont supérieures
en terme de dispersion spatiale, compacité et aussi de valeur maximale d’indice de réfraction atteinte. Nous aborderons finalement dans ce chapitre les limitations de ces composites magnétiques
artificiels ayant une réponse résonante, notamment en terme de bande passante et de pertes.
Version provisoire
Chapitre 5
Milieux magnétiques artificiels
5.1
Introduction
Les composites constitués d’anneaux métalliques fendus [10] ou non-fendus répartis périodiquement présentent une perméabilité artificielle qui est directement liée aux propriétés géométriques et
au phénomène d’écrantage du champ magnétique.
L’objectif de ce chapitre est d’approfondir l’étude de l’obtention d’une réponse magnétique
« pure » à partir de composites à anneaux métalliques. Pour cela, une étude détaillée est présentée
sur les composites magnétiques artificiels. Dans le but de comprendre le principe de fonctionnement
de ces milieux, plusieurs types d’analyses seront effectuées.
Nous proposons une démarche scientifique qui commence par une phase d’observation (§ 5.2).
Nous ferons la forte hypothèse que les milieux constitués de boucles sont homogénéisables quelle
que soit la configuration des boucles. Des expériences numériques seront faites : simulation des
milieux pour le calcul des coefficients de réflexion et de transmission, puis les paramètres effectifs
seront déterminés. Les résultats obtenus seront analysés à l’aide des critères physiques du chapitre
4 et d’analyses quasi-statiques de la littérature [119] sur la « bianisotropie » ou du couplage qui
existe entre le dipôle magnétique et le dipôle électrique. Cependant les analyses quasi-statiques ne
permettent pas de répondre à toutes les questions que se pose l’ingénieur qui souhaite concevoir
un milieu magnétique artificiel : comment découpler ce dipôle électrique du dipôle magnétique ?
Comment s’assurer de l’obtention d’une polarisabilité magnétique prédominante dans le milieu ?
Pour répondre à ces questions, nous proposerons d’étudier les particules isolées. L’excitation
considérée sera non pas le champ électrique ou magnétique statique mais une onde électromagnétique, ceci dans le but de conserver le couplage entre le champ électrique et magnétique. Dans le
§ 5.3, nous nous appuierons sur la théorie de R. W. P. King [133] sur les antennes boucles électriquement petites. Une analogie sera faite entre ces antennes boucles en réception et les particules
que nous étudions et elle nous permettra de dégager un critère pour l’obtention d’une polarisabilité magnétique prédominante. Nous considérons que ces particules ont une réponse magnétique
« pure ».
Ensuite, dans le § 5.4, nous présenterons un modèle analytique basé sur le critère de conception
dégagé § 5.3 pour le calcul de la fréquence de résonance des srr. Le développement et la validation
de ce modèle avec des résultats numériques a une utilité double. Ils permettront, d’une part, de
valider le critère de conception de composites à réponse magnétique « pure » établi dans le § 5.3.
127
128
milieux magnétiques artificiels
dans le but de dégager des règles de dimensionnement. D’autre part, nous disposerons ainsi de règles
de dimensionnement pour les srr.
Ainsi, une fois que le principe de fonctionnement de la particule isolée est connue, nous avancerons vers une l’étude de mise en réseau de ces particules (§ 5.5). Cette étude sera purement
numérique. Les potentiels de ces milieux magnétiques artificiels ainsi que des améliorations de leurs
performances seront finalement proposés dans le § 5.6.
5.2
Milieu constitué de boucles réparties périodiquement
Dans le but d’étudier le principe de l’obtention du magnétisme artificiel à l’aide d’un milieu
constitué d’anneaux métalliques, nous effectuons une étude systématique de la réponse des boucles
au voisinage de la fréquence de résonance. Les différentes configurations étudiées sont :
– les boucles fermées,
– les boucles fendues avec deux différentes orientations possibles du champ électrique dans la
fente,
– les boucles fendues et fortement couplées ou srr. Les deux types de couplages, broad-side et
edge-side, seront pris en compte.
Pour permettre la comparaison des paramètres effectifs de ces différents composites, nous conserverons les mêmes périodicités pour la répartition des particules, c’est à dire :
– Pz = 4.5 mm suivant l’axe oz,
~
– Px = 3.3 mm suivant l’axe ox.
~
La dimension Py de la cellule suivant l’axe oy
~ (// à la direction de propagation) est de 3.3 mm. Une
seule cellule est considérée dans la direction de propagation.
5.2.1
Milieu à boucles fermées
La cellule unitaire du milieu à boucles fermées est montrée figure 5.1.
Fig. 5.1 – Boucle fermée en cuivre imprimée sur un substrat de Teflon d’épaisseur h = 0.254 mm
(εr = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ). La largeur du ruban est de 0.25 mm et S=2.63 mm.
Ce milieu a déjà été étudié au chapitre 3. Nous rappelons brièvement les résultats à retenir
pour un tel milieu. En régime quasi-statique ce milieu est diamagnétique (la perméabilité effective
est comprise entre 0 et 1). Pour des fréquences au delà du régime quasi-statique, le composite est
résonant et les paramètres effectifs sont rappelés figure 5.2 :
Notons qu’au voisinage de la résonance, la partie imaginaire de Z [Fig. 5.2(b)] est positive ; ce
milieu est donc inductif. De plus, comme le montre la figure 5.2(c), la permittivité effective est
résonante. Ce milieu réagit essentiellement au champ électrique autour de la résonance. Rappelons
Version provisoire
129
5.2 milieu constitué de boucles réparties périodiquement
1.5
Re
Im
3
Z(f)
n(f)
1
0.5
0
1
Re
Im
−0.5
−1
10
0
20
30
Fréquence (GHz)
10
40
4
2.5
2
2
0
Re
Im
1.5
1
0
−4
20
30
Fréquence (GHz)
40
0.5
Re
Im
10
20
30
Fréquence (GHz)
(b) Impédance d’onde normalisée
µ(f)
ε(f)
(a) Indice de réfraction
−2
2
40
(c) Permittivité complexe
10
20
30
Fréquence (GHz)
40
(d) Perméabilité complexe
Fig. 5.2 – Paramètres effectifs du milieu à boucles fermées pour des fréquences situées au delà du
régime quasi-statique.
que l’antirésonance observée sur la perméabilité est un résultat non-physique et ne témoigne pas
d’une réaction du milieu au champ magnétique (Chapitre 4).
5.2.2
Milieu à boucles fendues
Les cellules unitaire du milieu à boucles fendues sont montrées figure 5.3. On envisage deux
configurations :
– le champ électrique est perpendiculaire à la fente de l’anneau [§ 5.3(a)],
– le champ électrique est parallèle à la fente de l’anneau [§ 5.3(a)].
~ à la fente
(a) E⊥
~ // à la fente
(b) E
Fig. 5.3 – Boucle fendue (S = 2.63 mm), le ruban métallique de largeur 0.25 mm est imprimée sur
un substrat de Teflon d’épaisseur 0.254 mm (εr = 2.2). La largeur de la fente est de 0.46 mm.
5.2.2.1
~ perpendiculaire à la fente
Champ E
Coefficients de réflexion et de transmission Les coefficient de réflexion et de transmission
calculés avec HFSS [89] sont montrés figure 5.10.
130
milieux magnétiques artificiels
0
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−10
−20
−30
10
r
t
15
Fréquence (GHz)
20
r
t
−1
−2
−3
10
(a) Module
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Phase
Fig. 5.4 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à boucles fendues
~ perpendiculaire à la fente).
(E
Plusieurs constats peuvent être faits à partir de ces courbes :
– le module du coefficient de transmission t présente une résonance à la fréquence de 16.9 GHz,
– le module du coefficient de réflexion r présente une résonance à 15 GHz ainsi qu’un saut de
phase à cette même fréquence
– le module de r présente une pente très élevée entre 15 GHz et 16.9 GHz : il passe de -40 dB
à 0 dB sur une bande de fréquence égale à 0.19 GHz
Ces observations sont typiques aux milieux à perméabilité négative comme nous l’avons vu
dans le chapitre 3. Les allures de (r, t) avec les caractéristiques décrites ci-dessus nous laissent déjà
supposer que ce milieu est à perméabilité artificielle.
Paramètres effectifs Les paramètres effectifs du milieu calculés sont illustrés figure 5.5. L’indice
de réfraction admet un saut et est maximum pour f =16.9 GHz et sa partie réelle est nulle pour
17 GHz < f < 17.5 GHz [Fig. 5.5(a)]. La partie imaginaire de l’impédance d’onde est négative pour
16.5 GHz < f < 17.5 GHz ; témoignant de la nature capacitive du milieu.
En effet, le milieu réagit au champ magnétique dans cette bande de fréquence : la perméabilité
est résonante en partie réelle et prend des valeurs négatives pour 16.5 GHz < f < 17.5 GHz. La
permittivité ε est anti-résonante en partie réelle et la partie imaginaire prend des valeurs positives
(jusqu’à 16.9 GHz), tel qu’il est prédit pour les métamatériaux résonants (Chapitre 4).
5.2.2.2
~ parallèle à la fente
Champ E
Considérons cette fois-ci la même boucle fendue mais avec champ électrique parallèle à la fente
[figure 5.3(b)].
Coefficients de réflexion et de transmission Les coefficients de réflexion et de transmission
calculés avec HFSS [89] sont montrés figure 5.10. Ils sont complètement différents (en module et
en phase) de ceux obtenus dans le cas précédent, c’est à dire quand le champ électrique était
Version provisoire
131
5.2 milieu constitué de boucles réparties périodiquement
3
2
2
1
Z(f)
n(f)
1
0
−1
−1
Re
Im
−2
−3
10
0
−2
15
Fréquence (GHz)
20
10
(a) Indice de réfraction
3
2
µ(f)
ε(f)
20
4
1
0
−2
−4
0
Re
Im
−6
10
15
Fréquence (GHz)
(b) Impédance d’onde normalisée
Re
Im
2
Re
Im
15
Fréquence (GHz)
20
10
(c) Permittivité complexe
15
Fréquence (GHz)
20
(d) Perméabilité complexe
~ perpendiculaire à la fente).
Fig. 5.5 – Paramètres effectifs du milieu à boucles fendues (E
r
t
2
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−5
−10
−15
10
−2
r
t
15
Fréquence (GHz)
(a) Module
0
20
10
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Phase
Fig. 5.6 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à boucles fendues
~ parallèle à la fente).
(E
perpendiculaire à la fente (5.10). L’allure de phase présentée par r est monotone. Notons que ce
milieu présente une absorption assez élevée car les pertes imposées sont élevées.
132
milieux magnétiques artificiels
Remarque Nous avons montré dans le chapitre 2 qu’il était nécessaire d’avoir des pertes par
dissipation pour l’utilisation des procédures d’inversion. Dans le cas de ce milieu nous avons dû
imposer une tangente de pertes plus élevée que celle que nous imposons en général au substrat
(tan δ = 5 × 10−3 au lieu de 9 × 10−4 ) pour permettre l’extraction de paramètres effectifs.
Paramètres effectifs Les paramètres effectifs ainsi extraits sont présentés figure 5.7. L’impédance
10
1
Re
Im
0.5
Z(f)
n(f)
5
0
−0.5
−1
−1.5
10
0
Re
Im
15
Fréquence (GHz)
−5
10
20
(a) Indice de réfraction
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Impédance d’onde normalisée
4
1
Re
Im
0.5
µ(f)
ε(f)
2
0
−0.5
0
Re
Im
−1
−1.5
10
15
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
20
−2
10
15
Fréquence (GHz)
20
(d) Perméabilité complexe
~ parallèle à la fente).
Fig. 5.7 – Paramètres effectifs du milieu à boucles fendues (E
d’onde présente un saut dans sa partie imaginaire à la fréquence de 18 GHz. Le milieu semble donc
être inductif avant et capacitif au delà de cette fréquence. Cependant notons les allures chaotiques
de ε et de µ : la partie imaginaire de µ est positive pour 10 GHz < f < 16.7 GHz et celle de ε pour
17.7 GHz < f < 20 GHz. Ces résultats ne respectent pas le critère physique énoncé dans le chapitre
4 (§ 4.2, page 90). En effet, une des hypothèses faites pour établir ce critère est que :
~ r, ω) = ε(ω)E(~
~ r, ω),
D(~
~ r, ω) = µ(ω)H(~
~ r, ω)
B(~
(5.1)
Version provisoire
5.2 milieu constitué de boucles réparties périodiquement
133
Dans ce cas, nous avons exclu les composites qui présentaient une interaction entre les dipôles
magnétiques et électriques.
D’autre part, notre procédure de calcul de paramètres effectifs considère uniquement les milieux
isotropes et il est donc inapproprié de calculer les paramètres effectifs d’un tel milieu avec cette
procédure. Il faudrait pour cela étendre la procédure en considérant les équations généralisées pour
les milieux bi-anisotropes. Mais notre objectif n’est pas de caractériser ce type de milieu et plutôt
d’eviter d’obtenir ce type de réponse.
Le résultat à retenir de ce paragraphe est qu’un milieu constitué de boucles fendues avec la
fente orientée parallèlement au champ électrique, ne peut pas être considérée comme un milieu
magnétique simplement décrit par l’équation 5.1.
5.2.3
5.2.3.1
Milieu à boucles fendues chargées par des capacités distribuées
Principe de fonctionnement
La structure proposée par Pendry pour avoir un milieu à réponse magnétique consiste en 2
anneaux imbriqués ou srr ; ils sont décrits dans la figure 5.9. Le principe de fonctionnement repose
d’une part sur l’inductance de l’anneau et d’autre part sur la composante capacitive apportée par la
capacitance entre les anneaux. L’astuce de ce résonateur consiste également à placer judicieusement
les fentes des anneaux (figure 5.8). Le fait de les agencer de manière diamétralement opposée permet
Fig. 5.8 – Sens de circulation du courant et lieu d’accumulation de charges
d’amplifier l’effet de cette capacitance. En effet, si le courant circule dans le même sens dans les
deux anneaux (imposé par le sens du champ magnétique l’induisant), une accumulation de charges
opposées se fait sur les faces en regard. Cette accumulation de charges est à l’origine de la composante
capacitive au sein de la structure. Cette composante capacitive a comme avantage de permettre une
résonance à des fréquences plus basses pour des dimensions identiques de la cellule unitaire. Les
srr tels qu’ils ont été introduits par Pendry possèdent un couplage « edge-side ».
5.2.3.2
srr avec un couplage « edge-side » (ec-srr)
La cellule unitaire du milieu constitué de srr est montrée figure 5.9. Les deux orientations
extrêmes de la fente par rapport au champ électrique sont considérées.
~ perpendiculaire aux fentes Les coefficients de réflexion et de transmission du miChamp E
~ perpendiculaire aux fentes sont montrés figure 5.10. Le coefficient de
lieu à srr pour le champ E
transmission t résonne à la fréquence de 15.8 GHz et le coefficient de réflexion r admet un saut de
134
milieux magnétiques artificiels
~ aux fentes
(a) E⊥
~ // aux fentes
(b) E
Fig. 5.9 – Boucle extérieure du ec-srr identique à la boucle fendue (Fig. 5.3) avec un espacement
entre anneaux de 0.3 mm). La fente de la boucle interne est également de larguer de 0.46 mm.
0
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−10
−20
−30
10
15
Fréquence (GHz)
20
(a) Module
r
t
−1
−2
−3
10
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Phase
~
Fig. 5.10 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à ec-srr (E
perpendiculaire à la fente).
phase comme pour le milieu à simple anneau fendu (Fig. 5.10). La seule différence étant la fréquence
de résonance qui est légèrement plus basse pour le srr (15.8 GHz) que pour l’anneau fendu (16.9
GHz).
~ perpendiculaire aux fentes sont montrés
Les paramètres effectifs du milieu à srr pour le champ E
figure 5.11.
L’indice de réfraction est nul en partie réelle [Fig. 5.11(a)] pour 15.4 GHz < f < 16.3 GHz et la
partie imaginaire de Z est négative [Fig. 5.11(b)] pour14.6 GHz < f < 16.3 GHz. La perméabilité
est résonante et négative dans la bande 15.4 GHz < f < 16.3 GHz [Fig. 5.11(d)]. À l’exception du
décalage fréquentiel, ces résultats sont identiques à ceux obtenus pour le milieu à boucles fendues
~
dans le cas où la fente des boucles est perpendiculaire au champ E.
~ parallèle aux fentes Considérons dans ce paragraphe, le même srr mais avec une
Champ E
~ parallèle aux fentes [décrit figure 5.9(b)]. Les coefficients (r, t) sont calculés
orientation du champ E
numériquement(figure 5.12).
Les coefficients de réflexion et de transmission sont complètement différents du cas où le champ
~ est perpendiculaire aux fentes : aucune résonance n’est observée pour le module de r et l’allure
E
de la phase de r est monotone. Cependant, la résonance de t se produit à une fréquence identique,
f =15.8 GHz. L’absorption que l’on observe sur les coefficients (r, t) est due à la présence de pertes
plus élevées comme nous l’avons expliqué dans le §5.2.2.
Version provisoire
135
5.2 milieu constitué de boucles réparties périodiquement
3
2
2
1
Z(f)
n(f)
1
0
−1
−1
Re
Im
−2
−3
10
0
−2
15
Fréquence (GHz)
20
10
(a) Indice de réfraction
3
2
µ(f)
ε(f)
20
4
1
0
−2
−4
0
Re
Im
−6
10
15
Fréquence (GHz)
(b) Impédance d’onde normalisée
Re
Im
2
Re
Im
15
Fréquence (GHz)
20
10
(c) Permittivité complexe
15
Fréquence (GHz)
20
(d) Perméabilité complexe
~ perpendiculaire à la fente).
Fig. 5.11 – Paramètres effectifs du milieu à ec-srr (E
r
t
2
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−5
−10
−15
10
−2
r
t
15
Fréquence (GHz)
(a) Module
0
20
10
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Phase
~
Fig. 5.12 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à ec-srr (E
parallèle à la fente).
~ parallèle aux fentes sont montrés
Les paramètres effectifs du milieu à srr avec le champ E
figure 5.13. Nous remarquons une similitude entre ces paramètres effectifs et ceux calculés pour
~ Nous ne nous attarderons pas à décrire ces courbes
le milieu à boucles fendues avec le champ E.
136
milieux magnétiques artificiels
2
4
2
Z(f)
n(f)
1
0
0
Re
Im
−1
10
15
Fréquence (GHz)
−2
10
20
(a) Indice de réfraction
15
Fréquence (GHz)
20
(b) Impédance d’onde normalisée
2
4
Re
Im
1
2
µ(f)
ε(f)
Re
Im
0
0
−1
Re
Im
−2
10
15
Fréquence (GHz)
20
(c) Permittivité complexe
−2
10
15
Fréquence (GHz)
20
(d) Perméabilité complexe
~ parallèle à la fente).
Fig. 5.13 – Paramètres effectifs du milieu à ec-srr (E
car nous avons déjà démontré que, dans ces cas, les paramètres effectifs calculés n’avaient pas de
sens car les hypothèses de départ ne sont pas toutes vérifiées, notamment le fait que le champ électrique ne pourra créer qu’une polarisabilité électrique et le champ magnétique qu’une polarisabilité
magnétique(1) .
En effet, si l’on analyse la répartition des charges sur le srr (Fig. 5.8), on constate qu’il y
a une légère dissymétrie due à la différence de taille des deux boucles constituant le srr. C’est
cette dissymétrie qui est à l’origine d’un moment dipolaire non-nul suivant la direction du champ
électrique (oy).
~ Marqués et al. [134] ont démontré que ce dipôle électrique ne pouvait pas être
négligé au voisinage de la fréquence de résonance. Pour supprimer cette dissymétrie, une solution
est d’utiliser deux boucles de mêmes dimensions.
(1)
Si l’on considère des anneaux à géométrie carrée, les mêmes résultats sont obtenus (non présentées ici). Le choix
de la géométrie circulaire est fait ici pour permettre une comparaison avec la modélisation analytique dans les sections
suivantes
Version provisoire
137
5.2 milieu constitué de boucles réparties périodiquement
5.2.3.3
srr avec un couplage « broad-side » (bc-srr)
Dans cette partie, nous étudierons les srr dont les boucles ont des dimensions identiques. Elles
sont imprimées de part et d’autre du substrat. Ces particules sont appelées « broad-side coupled »
srr ou bc-srr. Le motif est illustré figure 5.14.
~ aux fentes
(a) E⊥
~ // aux fentes
(b) E
Fig. 5.14 – Boucle extérieure du bc-srr identique à la boucle fendue (Fig. 5.3) avec un espacement
entre anneaux de 0.254 mm, ce qui correspond à l’épaisseur du substrat.
Les coefficients de réflexion et de transmission du milieu constitué de bc-srr sont montrés
figure 5.15.
0
r
t
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−1
−2
−30
−40
6
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
−3
6
(a) Module
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(b) Phase
Fig. 5.15 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à bc-srr
~ parallèle et perpendiculaire).
(courbes identiques pour E
Les courbes (r, t) pour les deux configurations, c’est à dire le champ électrique perpendiculaire
ou parallèle aux fentes, sont rigoureusement identiques. Le coefficient de transmission t présente
une résonance à la fréquence de 10.2 GHz. La phase de r subit un saut de phase prononcé à 9
GHz. Notons que ce type de saut de phase est toujours observé quand nous étudions un milieu à
perméabilité négative.
Les paramètres effectifs du milieu à bc-srr sont montré figure 5.16.
La partie réelle de l’indice de réfraction est nul sur la bande 10.3-11 GHz [Fig. 5.16(a)]. La partie
imaginaire de Z est négative pour 9.8 GHz < f < 11 GHz : ce milieu est capacitif. La perméabilité
est résonante et négative sur la bande de fréquences 10.1-11 GHz.
138
milieux magnétiques artificiels
5
4
Re
Im
Z(f)
n(f)
2
Re
Im
0
0
−2
−4
6
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
−5
6
16
(a) Indice de réfraction
10
12
14
Fréquence (GHz)
10
Re
Im
Re
Im
5
2
µ(f)
ε(f)
16
(b) Impédance d’onde normalisée
4
3
8
0
1
−5
0
6
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(c) Permittivité complexe
−10
6
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(d) Perméabilité complexe
~ parallèle et perpendiculaire aux fentes
Fig. 5.16 – Paramètres effectifs du milieu à bc-srr (E
identiques).
5.2.4
Récapitulatif des résultats
Les résultats des milieux constitués de différents types de boucles sont synthétisés dans le tableau 5.1.
Résultat 5.1 Nous avons mis en évidence deux cas où la permittivité et la perméabilité effective ne
pouvait pas être définies comme pour un milieu isotrope dans une polarisation donnée. Ces cas sont
le boucle fendue et le ec-srr dans la configuration où le champ électrique est parallèle aux fentes.
Nous avons attribué ce résultat à la bianisotropie. En d’autres termes, dans cette configuration
cette structure a une réponse résonante au champ magnétique et au champ électrique à la même
fréquence. Il y ainsi un couplage entre dipôle électrique et dipôle magnétique. Dans ces cas, les
relations constitutives sont :
~ r, ω) = ε(ω)E(~
~ r, ω) + α(ω)H(~
~ r, ω),
D(~
~ r, ω) = β(ω)E(~
~ r, ω) + µ(ω)H(~
~ r, ω),
B(~
Version provisoire
139
5.3 interprétation des résultats
Milieu étudié
Boucle fermée
Boucle fendue
~ à la fente
avec E⊥
Boucle fendue
~ // à la fente
avec E
ec-srr
~ aux fentes
avec E⊥
ec-srr
~ // aux fentes
avec E
bc-srr
~ aux fentes
avec E⊥
bc-srr
~ // aux fentes
avec E
Perméabilité effective
(i) Anti-résonante (non-physique)
(ii) µ′ < 1 (régime QS)
Résonante
16.5 GHz < f < 17.5 GHz
Indéfinie
Permittivité effective
(i) Résonante
28 GHz < f < 35 GHz
(ii) ε′ ≈ 1.5 (régime QS)
Anti-résonante
(non-physique)
Indéfinie
Résonante
15.4 GHz < f < 16.3 GHz
Indéfinie
Anti-résonante
(non-physique)
Indéfinie
Résonante
10.1 GHz < f < 11 GHz
Résonante
10.1 GHz < f < 11 GHz
Anti-résonante
(non-physique)
Anti-résonante
(non-physique)
Tab. 5.1 – Récapitulatif des paramètres effectifs des différents milieux à boucles.
où α(ω) et β(ω) sont les coefficient de bianisotropie.
Résultat 5.2 Le phénomène donné dans le résultat 5.1 ne se produit pas pour le milieu à bc-srr.
Il nous semble important d’approfondir cette analyse pour comprendre les phénomènes mis en
jeu à la résonance. L’analyse de la bianisotropie que nous avons faite précédemment repose sur
des considérations quasi-statiques. Or, lors d’une interaction avec une onde plane, plusieurs modes
de courant seront excités dans les boucles. C’est pourquoi dans le paragraphe suivant, nous nous
attacherons à donner une interprétation des résultats observés à l’aide d’un modèle plus précis, c’est
à dire en considérant comme excitation une onde électromagnétique et non le champ électrique seul
ou le champ magnétique seul.
5.3
Interprétation des résultats
Pour l’interprétation des résultats, nous commencerons par une analyse analytique basé sur le
développement en série de Fourier-Bessel du courant induit par une onde électromagnétique dans
une antenne boucle électriquement petite. Une analogie sera faite entre cette antenne en réception
et l’anneau isolé et non sur un réseau de boucles. C’est dans cette analogie que réside notre apport,
c’est pour cela que nous ne nous attarderons pas sur les détails de calcul de la décomposition en
série.
5.3.1
Analyse s’appuyant sur l’étude des antennes boucles électriquement petites
Le modèle sur lequel nous nous appuierons est celui développé par R. W. King [133] pour des
antennes boucles électriquement petites en réception. L’étude portera donc
140
milieux magnétiques artificiels
Considérons l’interaction d’une onde plane incidente défini figure 5.17(a) sur une boucle de rayon
R contenue dans le plan x0y [figure 5.17(b)].
(a) Onde plane excitatrice
(b) Boucle chargée
Fig. 5.17 – (a) Définition de l’onde plane incidente, (b)Boucle de rayon R, chargée d’une impédance
Z en x = 0 et la projection du champ électrique incident dans le plan x0y.
Cette boucle est chargée par une impédance localisée Z en ϕ = 0. Dans notre cas, la boucle
étant ouverte, nous poserons Z = ∞.
Le champ électrique incident est décomposé dans le plan x0y et les composantes s’écrivent
\
~ Ces
et E0i sin ψ cos θ. L’angle ψ est contenu dans le plan du front d’onde et θ = (k~0 , 0z).
E0i cos ψ
composantes de champ électrique sont également représentées sur la figure 5.17(b).
Le champ électrique incident au point P = (r, ϕ) sur la surface de la boucle s’écrit :
E i (r, ϕ) = E0i exp[jk0 r sin θ cos(ϕ − ϕi )]
(5.2)
La composante ϕ du champ électrique [équation (5.2)] s’écrit :
Eϕi (r, ϕ) = E0i F (ϕ, ϕi , ψ, θ)
(5.3)
C’est cette composante de champ, tangente à la surface de la boucle qui induit un courant dans
celle-ci. Elle est décomposée en série de Fourier et F (ϕ, ϕi , ψ, θ) s’écrit [133] :
Fpaire (ϕ, ϕi , ψ, θ) =
∞
X
fn exp(−jnϕ) = f0 + 2
∞
X
fn cos nϕ
(5.4)
1
−∞
avec f−n = fn et les coefficients fn sont donnés par :
fn =
2
π
Z
π
F (ϕ) cos nϕ dϕ
(5.5)
0
La charge Z étant située en ϕ = 0, seules les fonctions paires de ϕ peuvent maintenir un différence
de potentiel aux bornes de Z. C’est pour cela qu’uniquement les fonctions paires sont considérées.
Version provisoire
141
5.3 interprétation des résultats
Les coefficients fn sont calculés et le courant I(ϕ) est ensuite déterminé. Nous ne développerons
pas ces calculs ici (les détails sont disponibles dans la référence [133]) ; nous présentons uniquement
les résultats qui se dégagent de cette étude.
Considérons la différence de potentiel en circuit ouvert calculé en ϕ = 0 qui peut se mettre sous
cette forme :
U(Z=∞) = −2πRE0i u(0)Z ′ ,
(5.6)
où u(0) s’écrit en fonction des coefficients de la série de Fourier et Z ′ est l’impédance de la boucle.
Par analogie avec une antenne dipôle, la longueur effective de la boucle ouverte he peut être
définie comme le coefficient de −E0i dans l’expression de la différence de potentiel en circuit ouvert,
c’est à dire,
U(Z=∞) = −E0i he (θ, ϕi , ψ).
Pour une boucle électriquement petite, nous ne considérerons que les deux premiers termes de
la série de Fourier. Ainsi la longueur électrique effective s’écrit :
k0 he (θ, ϕi , ψ) =
A
B
,
−1 +
2a0 a1
2a0 a−1
1
(5.7)
avec A et B définis par les équations (5.8) et (5.9) :
A = jπR2 k02 sin θ cos ψ,
B=
2πRk0 a0
(cos θ sin ϕi sin ψ + cos ϕi cos ψ).
a1
(5.8)
(5.9)
a0 et a1 sont les coefficients de la série de Fourier.
L’équation (5.7) constitue l’équation générale de l’interaction d’une onde d’incidence quelconque
avec la boucle ouverte. Le premier terme du membre de droite de l’équation (5.7) est proportionnel
à la surface de la boucle et il est indépendant de l’angle ϕi : ce terme constitue le mode magnétique
ou le mode de courant continu. Le deuxième terme est proportionnel au périmètre de la boucle : il
constitue le mode électrique ou le mode de courant oscillant.
Dans notre cas, nous avons fixé l’angle ϕ qui est l’angle associé au point d’observation par
rapport au positionnement de la charge. La variable ici est donc l’angle ϕi , c’est à dire la direction
du champ électrique par rapport à la position de la charge. Nous pouvons facilement imaginer
l’inverse pour avoir la distribution de courant sur la boucle pour une onde d’incidence donnée. La
distribution de courant peut alors s’écrire [135] :
I(ϕ) = I (0) + I (1) (cos ϕ) + I (2) (sin ϕ) + . . .
(5.10)
Cette expression montre bien que le premier terme est un courant constant indépendant de l’angle
ϕ : c’est le courant que nous avons défini comme étant le mode magnétique. Le deuxième terme
représente le courant oscillant ou dipolaire : c’est le mode électrique. Par mode « électrique » et
« magnétique », nous entendons la composante de courant qui induit le moment dipolaire électrique
et magnétique respectivement.
À partir de l’expression (5.7), nous constatons que pour avoir un effet maximal pour le mode
magnétique, il convient de poser ψ = 0 et θ = π/2. Ceci revient à considérer que le champ électrique
142
milieux magnétiques artificiels
est contenu dans le plan de la boucle et le champ magnétique perpendiculaire au plan(2) . L’expression
de la longueur électrique effective devient :
k0 he
π
2
, ϕi , 0 =
1
2a0 a1−1
2πRk0 a0
2 2
cosϕi .
jπR k0 +
a1
(5.11)
Analogie avec les boucles étudiées dans le § 5.2 Nous nous retrouvons maintenant dans les
mêmes conditions d’excitation que celle de l’étude effectuée dans le § 5.2.2, à ceci près que nous
avions étudié un réseau de boucle ouvertes ou fendues, alors que nous considérons ici l’interaction
d’une boucle seule avec l’onde électromagnétique. Nous verrons que cette hypothèse, bien qu’elle
semble forte, est vérifiée car à l’aide de l’équation (5.11) nous pourrons prévoir qualitativement le
comportement du milieu à la résonance.
Cas de la boucle parallèle au champ électrique Ainsi pour l’angle ϕi = 0, c’est à dire
pour la fente de la boucle parallèle au champ électrique, les deux termes du membre de droite
de l’équation (5.11) sont non-nuls. En d’autres termes dans cette configuration nous avons une
superposition des moments dipolaires électrique et magnétique. C’est pourquoi ce composite ne
se comporte pas comme un milieu magnétique artificiel « pur ». Nous avons également qualifié ce
milieu de bianisotrope pour représenter l’interaction entre les dipôles magnétiques et électriques.
Cas de la boucle parallèle au champ électrique Considérons maintenant le cas où la fente
de la boucle est perpendiculaire au champ électrique, c’est à dire ϕi = π/2. Le terme en cos ϕi
de l’équation (5.11) est nul si bien que que la longueur électrique effective ne dépend plus que du
mode de courant continu. C’est à dire qu’à la résonance la particule présentera uniquement un
moment dipolaire magnétique. En effet, pour le milieu à boucles fendues avec le champ électrique
perpendiculaire à la fente, nous obtenons une perméabilité effective résonante (Cf. tableau 5.1).
~ à la fente), l’expression de la longueur électrique
Dans cette dernière configuration (champ E⊥
effective [Eq. (5.11)] ne dépend plus du terme en ϕi ou du mode de courant oscillant. Ceci n’implique
pas que ce mode de courant a été éliminé. En effet, rappelons que k0 he a été calculé à l’aide de
l’expression de la différence de potentiel en circuit ouvert, U(Z=∞) . Ceci signifie que le mode oscillant
ne maintient pas de différence de potentiel dans la charge Z ou dans la fente : le courant oscillant
présente des noeuds aux bornes de Z. C’est pourquoi la réponse de la boucle semble indépendante
(du moins par rapport à sa réponse macroscopique) de la présence du mode de courant oscillant.
Remarque Notons que même si la boucle a une réponse où le mode de courant continu prédomine,
le courant oscillant crée une distribution de charges non uniforme sur la boucle. C’est d’ailleurs cette
distribution de charges qui permet de créer une capacité distribuée dans le cas dans le srr. Ceci
sera
Résultat 5.3 La règle à retenir pour l’obtention d’une réponse magnétique artificielle peut être
synthétisée de la manière suivante. À la résonance, il convient de s’assurer que le mode oscillant
de la boucle ne maintient pas de différence de potentiel aux bornes de la charge Z ou de la fente.
(2)
Dans ce cas la seule composante de champ électrique non-nulle est E0i cos ψ = E0i
Version provisoire
5.3 interprétation des résultats
143
Ainsi, le mode de courant continu prédomine et la boucle présente une polarisabilité magnétique
~ mais nous
prédominante. Ceci sera toujours vérifié si la fente est perpendiculaire au champ E
obtiendrons obligatoirement une réponse différente pour d’autres orientations du champ électrique
par rapport à la charge.
Résultat 5.4 Si nous souhaitons avoir une réponse magnétique « pure » quelle que soit l’orientation du champ électrique, il convient d’utiliser une boucle chargée capacitivement. En effet, le
rôle de la capacité sera de bloquer uniquement la composante continue du courant sans perturber la
composante alternative. Ainsi la résonance sera créée uniquement par la composante continue ou le
mode magnétique. En revanche, cette méthode ne nous permet pas d’obtenir une réponse identique
~ par rapport à la fente.
quelle que soit l’orientation du champ E
Précisons que l’astuce du résultat (5.4) concerne uniquement l’obtention d’une perméabilité
effective différente de un ; mais cette perméabilité ne sera pas forcément négative. Nous proposons
d’illustrer ce phénomène dans le prochain paragraphe.
5.3.2
Milieu à boucles fendues chargées par des capacités localisées
Pour cela, considérons une boucle fendue de diamètre S = 2.63 mm chargée par une capacité
localisée CG décrite figure 5.18.
Fig. 5.18 – Boucle métallique en cuivre imprimée sur un substrat de Teflon d’épaisseur 0.254 mm
(εr = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ). La largeur W du ruban est de 0.25 mm.
Nous considérons un réseau périodique de ces boucles avec les périodicités suivantes :
– Pz = 4.5 mm suivant l’axe oz,
~
– Px = 3.3 mm suivant l’axe ox.
~
La dimension Py de la cellule suivant l’axe oy
~ (// à la direction de propagation) est de 3.3 mm.
Les coefficients de réflexion et de transmission de ce milieu pour CG = 1 pF sont montrés figure
5.10(3) . Nous observons une résonance dans le module coefficient de transmission à la fréquence de
1.39 GHz. Notons l’allure de la phase de r : elle est différente de tous les milieux que nous avons
étudiés précédemment. En revanche, la phase du coefficient de transmission t est identique. En effet,
à ce stade de l’étude, il est important de noter que ce milieu étant réfléchissant à la fréquence de
fonctionnement, sa phase apporte une information importante sur la manière dont l’onde incidente
a été perturbée. Toute la difficulté de l’analyse réside dans la correspondance entre la manière dont
(3)
La capacité localisée est modélisée sous HFSS à l’aide d’un formalisme s’appuyant sur la définition d’une condition
d’impédance de surface.
144
milieux magnétiques artificiels
−10
r
t
−20
−30
0
−2
−40
1
r
t
2
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
1.8
1
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
(a) Module
1.8
(b) Phase
Fig. 5.19 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à boucles
~ parallèle à la fente).
fendues (E
~ et H
~ l’ont été individuellement. Malheureusement,
l’onde a été perturbée et celle dont les champs E
sans le calcul de paramètres effectifs et une analyse de leur validité, il est difficile de conclure si
~ ou le H
~ qui a été écranté ou exalté. Notre démarche sur l’observation de l’allure
c’est le champ E
de la phase du coefficient de réflexion ne demeure qu’heuristique même si elle apporte un élément
d’information pour l’ingénierie des composites à réponse magnétique.
Les paramètres effectifs du milieu périodique à boucles chargées par des capacités sont montrés
figure 5.20.
L’indice de réfraction [Fig. 5.20(a)] a une allure à laquelle le lecteur est maintenant familier pour
un composite résonant (avec des paramètres effectifs définis) : la partie réelle est proche de zéro
dans la bande interdite sauf pour les fréquences basses de cette bande. Il en de même pour la partie
réelle de Z. En revanche, remarquons que la partie imaginaire de Z [Fig. 5.20(b)] est positive, ce
qui implique que le milieu est inductif. Ceci nous fait penser à un milieu ayant une permittivité
négative : un plasma électrique. En effet, la partie réelle de la permittivité est négative dans cette
bande de fréquence [Fig. 5.20(c)].
La partie réelle de la perméabilité [Fig. 5.20(d)] présente des valeurs très importantes avant la
résonance (f = 1.39 GHz). Notons que exactement à cette fréquence la partie imaginaire est positive.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 4, ceci résulte de la nature résonante de l’inclusion et les
(ε, µ) calculés dans cette bande ne sont pas valables.
Ce milieu est donc paramagnétique avant la fréquence de résonance et diamagnétique après
comme nous pouvons le prévoir à l’aide de l’analyse présentée dans les réf. [72, 136]. En effet si nous
considérons le courant induit dans une petite boucle chargée (de section S) placée perpendiculaire~ quasi-statique, le courant induit peut se mettre sous cette forme :
ment à un champ H
I=
ω 2 µ0 SC
−jωµ0 S
−jωµ0 S
H=
H
H=
Zboucle
jωL + (1/jωC)
1 − ω 2 LC
Si la pulsation propre ω0 de la particule est définie comme
(5.12)
p
1/(LC), le coefficient de H est
positif pour ω < ω0 et pour ω > ω0 , le coefficient est négatif. Un coefficient positif indique que le flux
magnétique généré par le courant augmente le flux incident et que le milieu sera paramagnétique.
Version provisoire
145
5.4 modèle analytique des srr
5
4
Re
Im
3
Z(f)
n(f)
2
0
2
−2
1
−4
0
1
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
1
1.8
(a) Indice de réfraction
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
1.8
(b) Impédance d’onde normalisée
20
2
Re
Im
15
µ(f)
1
ε(f)
Re
Im
4
0
−1
5
Re
Im
−2
1
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
10
1.8
(c) Permittivité complexe
0
1
1.2
1.4
1.6
Fréquence (GHz)
1.8
(d) Perméabilité complexe
~
Fig. 5.20 – Paramètres effectifs du milieu à boucles chargées par une capacité CG = 1 pF (E
parallèle à la fente).
Résultat 5.5 L’analyse quasi-statique est en accord avec les paramètres effectifs que nous avons
calculés (dans la bande où ils sont valables). Ce résultat est positif et signifie que les paramètres effectifs sont correctement définis. Nous avons bien à la résonance une prédominance de la polarisabilité
magnétique.
5.4
Modèle analytique des srr
Dans ce paragraphe, la fréquence de résonance des srr sera calculée à l’aide d’un modèle de
circuit électrique équivalent. Cette étude traitera de la résonance de la particule seule et non celle
du milieu périodique constitué de srr. En effet, la résonance du milieu à srr est dite statique
car elle est due à la résonance propre des particules (résonance un champ défini localement) et
non aux dimensions électriques de leur répartition. La bianisotropie ne sera pas traitée car nous
nous intéressons particulièrement à l’obtention d’un milieu à réponse magnétique isotrope dans une
polarisation donnée.
146
milieux magnétiques artificiels
L’élaboration de ce modèle repose sur une connaissance approfondie du principe de fonctionne-
ment de ces particules. Nous nous appuierons sur les observations et analyses faites dans les § 5.2
et § 5.3.
Apport de ce modèle Ce modèle nous sera d’une utilité double. Il permettra d’une part de
valider les résultats dégagés précédemment d’autre part de donner des règles de dimensionnement
de srr. Notre travail se différencie des modèles existants de la littérature en cela que ce modèle
quasi-statique est élaboré à partir de considérations physiques déduites d’une analyse ondulatoire(4) .
Aussi, notre but n’est pas d’élaborer un modèle quantitatif mais plutôt de permettre une meilleure
appréhension des phénomènes mis en jeu et notamment le rôle de chaque paramètre géométrique
du srr : les discontinuités dans les anneaux, les fentes entre anneaux, le rayon des boucles.
5.4.1
Problématique
Dans l’ensemble, nous pouvons considérer que le principe de fonctionnement des bc-srr et ecsrr est identique. Dans les deux cas, la fente des anneaux est plus grande que la distance entre
anneaux ; le couplage capacitif est ainsi très important entre les anneaux. Les différence entre ces
deux configurations de srr sont : le type de couplage entre anneaux et les dimensions des boucles.
Ces différences peuvent être qualifiées de quantitatives. Cependant, qualitativement et notamment
en approximation quasi-statique pour une excitation magnétique, le comportement de ces deux srr
est identique.
Si l’on applique un champ magnétique externe ou local de pulsation ω perpendiculaire au plan des
srr, une force électromotrice sera induite autour des srr. Pour des dimensions du srr petites devant
la longueur d’onde, la réponse de la particule peut être considérée comme étant quasi-statique. La
forte capacitance qui existe entre les anneaux font que les lignes de courant passent d’une boucle
à l’autre. Avec ce modèle quasi-statique, nous pouvons assimiler simplement le fonctionnement de
cette particule à celui d’un circuit électrique RLC excité par une f.e.m externe. Ce circuit est le
même pour les deux SRR et il est montré figure 5.21. La pulsation de résonance du circuit est
Fig. 5.21 – Circuit RLC équivalent pour les srr
donnée par :
ω0 =
r
1
LC
(5.13)
(4)
Nous sommes conscients de la complexité de la réponse macroscopique qui peut être générée lors de l’interaction
d’une onde plane. Nous négligerons l’effet de la bianisotropie car nous supposerons que les conditions d’excitation du
résultat 5.3sont adéquates mais la distribution de courant non uniforme ne sera pas négligée
Version provisoire
5.4 modèle analytique des srr
147
Nous traiterons les deux types de srr, c’est à dire le ec-srr et le bc-srr. Les § 5.4.1.1 et
§ 5.4.1.2 décrivent la répartition de charges sur les deux particules ainsi que la manière dont les
différentes composantes réactives sont décomposées.
5.4.1.1
ec-srr
Le schéma de la figure 5.22 représente la répartition de charges et de courant sur le ec-srr.
Fig. 5.22 – Schéma du ec-srr
Les deux grandeurs réactives pour le ec-srr sont :
– l’inductance L qui représente l’inductance des deux boucles. Le calcul de L sera détaillé dans
le § 5.4.2.
– la capacité C qui représente essentiellement la capacitance entre les deux anneaux. La capacité
des fentes des boucles est considérée comme étant négligeable par rapport à la capacité entre
anneaux (g >> d). En effet, dans le principe de fonctionnement que nous avons décrit dans le
§ 5.2.3.1, le rôle de la fente est uniquement de créer une répartition non-uniforme de charges.
C’est cette répartition qui permet ensuite l’obtention d’une capacité maximale entre les deux
anneaux. La capacité C sera donc assimilée à la capacitance entre deux boucles coplanaires.
Les grandeurs géométriques qu’il est important de savoir dimensionner sont :
– la distance entre anneaux d,
– la largeur des rubans métalliques c,
– le rayon rext .
Le dernier paramètre à considérer est la permittivité du substrat , εh sur lequel le ec-srr est
imprimé.
5.4.1.2
bc-srr
Le schéma de la figure 5.23 représente la répartition de charges et de courant sur le bc-srr.
Les deux grandeurs réactives pour le bc-srr sont :
– l’inductance L qui représente l’inductance des deux boucles.
– la capacité C qui représente essentiellement la capacitance entre les deux anneaux. Tout
comme pour le ec-srr, le rôle de la fente est uniquement de créer une répartition de charges
non-uniforme (Cf. § 5.2.3.1) ; la capacité de la fente sera donc négligée. C peut donc être
assimilée à la capacitance entre deux lignes couplées par leur largeur.
148
milieux magnétiques artificiels
Fig. 5.23 – Schéma du bc-srr.
Les grandeurs géométriques qu’il est important de savoir dimensionner sont :
– la distance entre anneaux ou l’épaisseur du substrat d,
– la largeur des rubans métalliques c,
– le rayon des boucles r
Le dernier paramètre à considérer est la permittivité du substrat, εh sur lequel le bc-srr est
imprimé.
5.4.2
Modélisation de l’inductance du srr
Le calcul de l’inductance des srr peut être très compliqué car il consiste en deux anneaux avec
une répartition de courant assez complexe à la résonance. Cependant l’inductance présentée par les
srr peut être modélisée approximativement par celle d’une boucle de courant métallique de rayon
équivalent R0 et de largeur c, montrée figure 5.24.
Fig. 5.24 – Schéma d’une boucle de courant équivalent de rayon R0 et de largeur c.
Dans ce modèle, nous considérons que le courant induit est indépendant de l’angle ϕ. Comme
nous l’avons vu dans le § 5.3.1, si cette hypothèse n’est pas vérifiée pour le cas de la boucle fendue
seule, elle l’est pour les srr. En effet, ces derniers sont constituées de deux boucles fendues dont les
distributions de charges sont opposées. Ainsi, si la répartition de courant est variable sur les boucles
prises seules, elle peut être considérée comme constante si l’on considère la somme des courants sur
les deux boucles.
Version provisoire
149
5.4 modèle analytique des srr
L’inductance des srr est donc équivalente à celle d’une boucle fermée de rayon équivalent R0
et de largeur c. Pour le ec-srr, R0 = (rint + rext )/2 et c et pour le bc-srr, R0 = r (c représente
la largeur du ruban métallique).
Considérons un courant I qui circule sur la boucle montrée figure 5.24. Ce courant ainsi que les
champs sont indépendants de l’angle ϕ. En coordonnées cylindriques, l’énergie magnétostatique [119]
s’écrit :
WM = π
Z
∞
rAϕ Js,ϕ dr
(5.14)
0
où Aϕ est la composante en azimut du potentiel vecteur magnétique. Js,ϕ est la densité surfacique
de courant sur l’anneau défini de la manière suivante :
(
I
c pour R0 − c/2 < r < R0 + c/2
Js,ϕ =
0 sinon.
Seule la démarche et les résultats utiles au calcul de l’inductance seront présentés. Le détail de ces
calculs est disponible dans la réf. [119]. L’inductance L de la boucle s’écrit L = 2WM /I 2 . L peut
aussi s’écrire en fonction de la transformée de Fourier-Bessel du courant I(r) de la manière suivante :
µ0 π 2
L= 2
I
avec
I(r) =
Z
Z
∞
0
∞
e 2 k 2 dk,
[I(k)]
(5.15)
Js,ϕ (r′ )dr′
(5.16)
r
e
La transformée de Fourier-Bessel I(k)
est résolue analytiquement et L s’écrit en fonction des
fonctions de Bessel et de Struve de la manière suivante :
Z
L
π3 ∞ 1
= 2
[bB(kb) − aB(ka)]2 dk
µ0
4c 0 k 2
(5.17)
avec a = R0 − c/2, b = R0 + c/2 et la fonction B(x) est définie comme :
B(x) = S0 (x)J1 (x) − S1 (x)J0 (x)
(5.18)
où Sn et Jn sont respectivement les fonctions de Struve et de Bessel de premier espèce d’ordre n.
L’intégrale de l’équation 5.17 est résolue numériquement. Précisons que l’algorithme de la fonction de Bessel de premier espèce que nous avons utilisé est celui implémenté sous Matlab. L’algorithme de la fonction de Struve utilisé est celui qui est décrit dans la réf. [137].
5.4.3
Modélisation de la capacité distribuée entre anneaux
La modélisation de la capacité distribuée entre anneaux se décompose essentiellement en deux
parties. Dans un premier temps nous ferons l’hypothèse que la capacité entre anneaux peut être
assimilée à la capacité entre deux lignes couplées soit par leur épaisseur [Figure 5.25(a)], soit par
leur largeur [Figure 5.25(b)]. Le couplage coplanaire sera utilisé pour le ec-srr et le couplage par
la largeur pour le bc-srr.
150
milieux magnétiques artificiels
(a)
(b)
Fig. 5.25 – Schéma du couplage entre lignes microruban. (a) Lignes coplanaires couplées par leur
épaisseur (b) Lignes couplées par leur largeur.
Ce calcul nous permettra de disposer de la capacité par unité de longueur. Ensuite, la longueur
électrique effective sera calculée à l’aide d’un modèle de distribution de charge sur les anneaux.
5.4.3.1
Calcul de la capacité de lignes coplanaires
Le calcul de la capacité par unité de longueur, C0coplan , de deux lignes coplanaires couplées [Cf.
figure 5.25(a)] est fait à l’aide de la relation suivante [138] :
C0coplan
q
d/2
εK
1− c
=
,
K d/2
c
(5.19)
Z
(5.20)
où K(z) est l’intégrale elliptique de première espèce :
K(z) =
π/2
0
dϕ
p
.
1 − z 2 sin2 ϕ
La fonction K(z) est définie pour z 2 < 1. Pour la prise en compte de la permittivité du diélectrique
ε, il faut considérer que la moitié de la ligne se trouve dans le diélectrique et que l’autre moitié se
trouve dans l’air. La relation utilisé est donc ε = (εsubs + 1)/2.
5.4.3.2
Calcul de la capacité de lignes couplées par leur largeur
La capacité par unité de longueur C0large pour des lignes couplées par leur largeur est calculée
à l’aide des formules existantes pour la capacité d’une ligne microruban sur le même substrat mais
d’épaisseur d/2. Les formules que nous utilisons sont déduites d’une solution quasi-statique de la
ligne microruban. Ce modèle quasi-statique est expliqué dans la réf [103]. Le calcul de la capacitance
se fait à l’aide de la résolution de l’équation de Laplace dans la zone entre les murs électriques
verticaux placés en −a/2 et a/2 (figure 5.26).
Version provisoire
151
5.4 modèle analytique des srr
Fig. 5.26 – Géométrie de la ligne microruban avec murs électriques verticaux.
Le détail des calculs sont disponibles dans la référence [103] et ne sera pas présenté ici. Nous
présentons uniquement l’expression de la capacité par unité de longueur C0large :
C0large =



∞
X
n=1(impaire)
−1

4a sin(nπc/2a) sinh(nπd/2a)
(nπ)2 cε0 [sinh(nπd/2a) + ε sinh(nπd/2a)] 
(5.21)
Pour le calcul numérique de C0large , il convient de prendre une valeur a >> d. À titre d’exemple
nous avons pris a = 100d pour les exemples numériques présentés ci-après. Cette condition est
nécessaire pour que les lignes de champ localisées sous la ruban ne soient pas perturbées par les
parois électriques verticaux.
5.4.3.3
Calcul de la longueur effective
Pour le calcul de la longueur effective à prendre en compte pour la capacitance totale des boucles,
nous ferons l’hypothèse que les charges ont une répartition quasi-sinusoïdale [135].
Rappelons que lors de l’analyse effectuée dans le § 5.3.1, nous avions attribué le deuxième terme
du membre de droite de l’équation (5.10) au mode de courant qui contribue à la création d’une
distribution de charge non-uniforme. Si l’on suppose que la distribution de courant est donnée par
l’équation (5.10), alors la distribution de charges τ (ϕ) en fonction de l’angle ϕ sera donnée par
l’équation suivante [135] :
τ (ϕ) = τ1 sin ϕ + τ2 cos ϕ + ...
(5.22)
Nous supposons que la deuxième boucle a la même distribution que la première
Nous considérons uniquement le premier terme comme il est suggéré dans la référence [133].
Ainsi, la longueur effective Leff à considérer est de :
Leff = R0
5.4.4
Z
2π
sin ϕdϕ
(5.23)
0
Confrontation à des résultats numériques
Nous comparerons la fréquence de résonance calculée à l’aide du modèle analytique pour les
ec-srr et bc-srr à celle calculée numériquement.
152
milieux magnétiques artificiels
5.4.4.1
Calculs numériques
Pour le calcul numérique de la fréquence de résonance des particules, nous avons utilisé le module
de calcul aux valeurs propres du logiciel HFSS [89]. La fréquence de résonance est calculée pour la
particule seule placée dans une cavité aux parois métalliques.
Afin qu’il n’y ait aucun doute sur le fait que la résonance du srr dans la cavité métallique et
celle de la particule seule sont identiques nous comparons la fréquence de résonance obtenue à l’aide
du calcul de la surface équivalente radar (ser) d’une particule seule à celle obtenue dans une cavité
métallique.
Surface équivalente radar de la particule seule À titre d’exemple, nous considérons la particule ec-srr pour un éclairement sous onde plane (en polarisation tm et en incidence normale). La
figure 5.27 montre la variation de la ser de la particule en fonction de la fréquence pour l’incidence
normale :
SER (dBm2)
−40
−50
−60
−70
−80
−90
10
15
Fréquence (GHz)
20
Fig. 5.27 – Surface équivalente radar (ser) de la particule ec-srr pour (l’incidence normale) en
fonction de la fréquence.
La particule est résonante et la ser présente un pic à la fréquence de 15.8 GHz. La fréquence
de résonance calculé pour la particule dans une cavité métallique est 15.88 GHz ; ce qui représente
une erreur de 0.5%. Dans la suite, nous avons calculé la fréquence de résonance dans la cavité
métallique. Cette solution a été privilégiée car elle offre l’avantage d’avoir un volume de moins
important à discrétiser et donc d’avoir un résultat rapide.
5.4.4.2
Influence des paramètres géométriques des srr
Les grandeurs géométriques que nous étudierons pour les srr sont le rayon extérieur rext , la distance entre anneaux d, la largeur des rubans métalliques constituant les anneaux c et la permittivité
du substrat ε sur lequel les anneaux sont imprimé.
Influence du rayon extérieur, rext
L’influence du rayon extérieur rext des deux particules ec-
srr et bc-srr sur leur fréquence de résonance pour est présentée figure 5.28.
Distance entre anneaux, d L’influence de la distance d entre anneaux des deux particules ecsrr et bc-srr sur leur fréquence de résonance est présentée figure 5.29.
Version provisoire
153
5.4 modèle analytique des srr
50
Fréquence (GHz)
Fréquence (GHz)
40
30
20
10
0
0.5
1
1.5
rext (mm)
40
30
20
10
0
0
2
(a) ec-srr
0.5
1
1.5
rext (mm)
2
(b) bc-srr
Fig. 5.28 – Influence du rayon extérieur des particules sur leur fréquence de résonance. Comparaison
entre modèle analytique (traits pleins) et résultats numériques (cercles).
14
Fréquence (GHz)
Fréquence (GHz)
17
16.5
16
15.5
15
14.5
0
0.1
0.2
d (mm)
0.3
0.4
(a) ec-srr
12
10
8
0
0.2
0.4
d (mm)
0.6
0.8
(b) bc-srr
Fig. 5.29 – Influence du rayon extérieur des particules sur leur fréquence de résonance. Comparaison
entre modèle analytique (traits pleins) et résultats numériques (cercles).
Largeur des rubans métalliques constituant les anneaux c L’influence de la largeur des rubans métalliques constituant les anneaux c des deux particules ec-srr et bc-srr sur leur fréquence
de résonance pour est présentée figure 5.30.
La permittivité du substrat, ε L’influence de la permittivité du substrat, ε des deux particules
ec-srr et bc-srr sur leur fréquence de résonance est présentée figure 5.31.
Un bon accord est obtenu pour les fréquences de résonances entre notre modèle analytique et
les résultats numériques. L’erreur relative est de l’ordre de 3 % à 4 %. Ces résultats valide notre
modèle analytique ainsi que notre approche ondulatoire issue de la théorie de King.
154
milieux magnétiques artificiels
12
Fréquence (GHz)
Fréquence (GHz)
25
20
15
10
0
0.1
0.2
c (mm)
0.3
11.5
11
10.5
10
0
0.4
(a) ec-srr
0.1
0.2
c (mm)
0.3
0.4
(b) bc-srr
Fig. 5.30 – Influence de la largeur c des rubans métalliques constituant les anneaux des particules
sur leur fréquence de résonance. Comparaison entre modèle analytique (traits pleins) et résultats
numériques (cercles).
16
Fréquence (GHz)
Fréquence (GHz)
25
20
15
10
1
2
ε
(a) ec-srr
3
4
14
12
10
8
1
1.5
2
ε
2.5
3
(b) bc-srr
Fig. 5.31 – Influence du rayon extérieur des particules sur leur fréquence de résonance. Comparaison
entre modèle analytique (traits pleins) et résultats numériques (cercles).
5.5
Influence des paramètres géométriques de la cellule élémentaire
Plusieurs études ont été menées par de différents auteurs [139, 140] dans le but de mettre en évidence l’influence des différents paramètres géométriques et de la répartition spatiale des particules.
Cependant toutes ces études s’appuyaient sur la structure de Pendry (ec-srr). Ces études considéraient uniquement les paramètres de répartition et non les permittivité et perméabilité effectives.
Nous avons choisi d’étudier l’influence du choix des dimensions géométriques de la cellule unitaire
sur les paramètres effectifs pour la structure bc-srr. Dans un premier temps, nous comparerons
les srr carrés et ceux de géométrie circulaire. Si la géométrie circulaire se prête bien au calculs
analytiques et à l’explication des phénomènes par analyse quasi-statique, la géométrie carré est plus
avantageuse d’un point de vue applicatif. C’est pourquoi, nous proposons une comparaison entre
les deux géométries. Cette comparaison permettra d’étendre toute notre analyse théorique sur les
srr de géométrie circulaire aux srr de géométrie carrée. Ensuite, en choisissant comme structure
Version provisoire
155
5.5 influence des paramètres géométriques de la cellule élémentaire
nominale le SRR à géométrie carrée, nous étudierons l’influence de la période transverse Px et de
la période d’empilement Pz .
5.5.1
Comparaison entre srr circulaires et srr carrés
Nous proposons sur la figure 5.32 uniquement une comparaison du module des coefficients de
réflexion et de transmission et la perméabilité effective. Les résultats de srr circulaires et carrés
0
20
−10
10
r
t
µ(f)
Magnitude (dB)
ont déjà été détaillé dans le § 5.2.3.3 et le § 3.5 respectivement.
−20
−30
0
−10
−40
6
7
8
9
Fréquence (GHz)
−20
6
10
0
10
−10
5
r
t
−20
−30
7
8
9
Fréquence (GHz)
10
(b) µ - SRR carré
µ(f)
Magnitude (dB)
(a) |r| et |t| - SRR carré
−40
6
Re
Im
(c)
Re
Im
0
−5
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(d) |r| et |t| - SRR circulaire
−10
6
8
10
12
14
Fréquence (GHz)
16
(e) µ - SRR circulaire
(f)
Fig. 5.32 – Comparaison entre srr circulaires et carrés.
Il est à noter que dans les deux cas les périodicités sont identiques. Le srr carré fait 2.63 mm
de côté, ce qui correspond au diamètre des boucles du srr circulaire. Les dimensions des fentes et
les largeurs de ligne sont identiques.
Un décalage d’environ 2 GHz est observé entre les deux cas. Ce décalage est attribué à la
différence de distance parcourue par le courant dans les deux cas. Dans le cas de la géométrie
circulaire, le distance parcourue est d’environ πS (S est le diamètre de la boucle) alors que pour
la géométrie carrée, elle est de 4S. Hormis ce décalage fréquentiel, les coefficients (r, t) ainsi que la
perméabilité complexe calculés sont identiques.
L’avantage de la géométrie carrée est qu’elle offre une meilleure compacité. De plus, nous verrons
dans le chapitre 6 que si nous souhaitons modifier la géométrie pour améliorer les performances de
la structure, une géométrie carrée est plus facile à reproduire.
156
milieux magnétiques artificiels
5.5.2
Variation de la période transverse Px
La période transverse a un rôle importante pour la validité des paramètres effectifs. Px étant une
grandeur géométrique contenue dans le plan de propagation, plus elle est petite plus la dispersion
spatiale sera réduite.
Les valeurs de Px considérées sont multiples de λ0 /25 et ces multiples varient de 1 à 4. Pz est
constante et vaut 4.5 mm. Les paramètres S pour ces différentes valeurs de Px sont illustrés figure
5.33. λ0 est la longueur d’onde dans le vide à la fréquence de résonance (≈ 8 GHz).
0
0.5
0
Phase(rad)
module (dB)
-10
-20
-30
-0.5
-1
-1.5
-2
-40
-2.5
-50
-3
5
6
7
8
9
fréquence (GHz)
10
11
5
6
(a) |S11 |
7
8
9
fréquence (GHz)
10
11
10
11
(b) Arg(S11 )
0
0
-0.5
Phase (rad)
module (dB)
-5
-10
-15
-20
-1
-1.5
-2
-25
5
6
9
7
8
fréquence (GHz)
(c) |S21 |
10
11
5
Px = λ0 /25
6
8
7
9
fréquence (GHz)
(d) Arg(S21 )
Px = 2λ0 /25
Px = 3λ0 /25
Px = 4λ0 /25
Fig. 5.33 – Coefficient de réflexion et de transmission complexe en fonction de la fréquence pour
un métamatériau constitué de bc-srr pour de différentes valeurs Px
La fréquence de résonance ainsi que les sauts de phase à la résonance sont quasiment identiques
quelle que soit la valeur de Px . En revanche, les bandes interdites sont de moins en moins profondes
quand Px augmente.
Les paramètres effectifs associés à ces paramètres S sont présentés figure 5.34. La permittivité
effective est plus importante pour des petites valeurs de Px ; pour des valeurs de Px supérieures ou
égales à 3λ0 /25, la permittivité est proche de 1.5 dans la bande de fréquence d’intérêt i.e. quand la
Version provisoire
157
5.5 influence des paramètres géométriques de la cellule élémentaire
5
3
2
Im(ε(f ))
Re(ε(f ))
4
3
2
1
1
0
7
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
9
7
(a) Re(ε(f ))
9
0
-5
15
10
Im(µ(f ))
Re(µ(f ))
8
8.5
fréquence (GHz)
(b) Im(ε(f ))
20
5
0
-10
-15
-5
-20
-10
-25
7
7.5
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
(c) Re(µ(f ))
9
7
Px = λ0 /25
7.5
8.5
8
fréquence (GHz)
9
(d) Im(µ(f ))
Px = 2λ0 /25
Px = 3λ0 /25
Px = 4λ0 /25
Fig. 5.34 – Paramètres effectifs en fonction de la fréquence pour un métamatériau constitués de
bc-srr pour de différentes valeurs Px
partie réelle de la perméabilité est négative. Ceci peut être expliqué d’une part, par une diminution
de la fraction volumique et d’autre part, par le couplage électrique qui existe entre les srr des
cellules voisines.
Plus les srr sont proches les uns des autres, plus ce couplage sera important. Ce couplage est
indésirable car il perturbe l’isotropie de la particule. En effet, on peut facilement imaginer que ce
couplage sera plus important quand le champ électrique est perpendiculaire aux pistes.
5.5.3
Variation de la période horizontale Pz
Les paramètres S de la structure pour différentes valeurs de la période Pz sont illustrés dans la
figure 5.35. Les différentes valeurs considérées sont Pz = 2.5 mm, 3.0 mm, 3.5 cm et 4.5 cm. Px est
constante et vaut 2λ0 /25.
158
milieux magnétiques artificiels
0
0.5
0
Phase(rad)
module (dB)
-10
-20
-30
-40
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
5
6
7
8
9
fréquence (GHz)
10
5
11
6
(a) |S11 |
10
11
10
11
(b) Arg(S11 )
0
0
-5
-0.5
-10
Phase (rad)
module (dB)
7
8
9
fréquence (GHz)
-15
-20
-1
-1.5
-2
-25
-30
-2.5
5
6
7
8
9
fréquence (GHz)
(c) |S21 |
10
11
5
Pz = 2.5mm
6
7
8
9
fréquence (GHz)
(d) Arg(S21 )
Pz = 3.0mm
Pz = 3.5mm
Pz = 4.5mm
Fig. 5.35 – Coefficient de réflexion et de transmission complexe en fonction de la fréquence pour
un métamatériau constitué de bc-srr pour de différentes valeurs Pz
Plus Pz est petit, plus la fréquence de résonance se décale vers les basses fréquences. Les sauts
de phase des coefficients de transmission et de réflexion sont quasiment identiques (environ +π).
Les paramètres effectifs associés à ces paramètres S sont illustrés dans la figure 5.36.
Plus Pz est petit, plus la permittivité est élevée hors résonance. La perméabilité est également
plus importante pour de petites valeurs de Pz . Cette augmentation de l’activité magnétique de
la structure est exploitée dans les références [141, 142] pour créer des metasolénoïdes qui peuvent
présenter des perméabilités effectives supérieures à 100. Cet effet sera détaillé dans le chapitre 6.
5.5.4
Variation de la période longitudinale Py
La périodicité longitudinale Py est la périodicité de la structure suivant l’axe de propagation
~ Cette périodicité influe directement sur la relation de dispersion sur le contour ΓX de la zone
(0y).
irréductible de Brillouin.
Version provisoire
159
5.5 influence des paramètres géométriques de la cellule élémentaire
7
4
6
3
Im(ε(f ))
Re(ε(f ))
5
4
3
2
1
2
1
0
7
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
9
7
7.5
9
(b) Im(ε(f ))
25
0
20
-5
15
-10
Im(µ(f ))
Re(µ(f ))
(a) Re(ε(f ))
8
8.5
fréquence (GHz)
10
5
0
-15
-20
-25
-5
-30
-10
7
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
(c) Re(µ(f ))
9
7
7.5
Pz = 2.5mm
8
8.5
fréquence (GHz)
9
(d) Im(µ(f ))
Pz = 3.0mm
Pz = 3.5mm
Pz = 4.5mm
Fig. 5.36 – Paramètres effectifs en fonction de la fréquence pour un métamatériau constitué de
bc-srr pour de différentes valeurs Pz
Nous considérons deux couches de cellules élémentaires dans la direction de propagation. Les
valeurs de périodicité choisies sont 2λ0 /25, 3λ0 /25 et 4λ0 /25. Les coefficients de réflexion et de
transmission en module et phase de ces configurations sont montrés
Notons les discontinuités supplémentaires dans les paramètres S par rapport à l’analyse des cas
où une seule couche est considérée dans la direction de propagation. L’origine de ces discontinuités
ne peut pas être simplement déterminée. Plus Py est faibles, plus ces oscillations sont importantes.
Les paramètres effectifs calculés à partir de ces paramètres de répartition sont montrés figure
5.38.
La perméabilité effective conserve une allure Lorentzienne. Les parties imaginaires de la perméabilité et la permittivité prennent des valeurs positives. Ces paramètres sont dur à interpréter sans
que l’on puisse s’appuyer sur un diagramme de dispersion pour la structure infinie(5) . La valeur de la
périodicité choisie nous semble avoir un impact sur les paramètres effectifs. Or, pour des dimensions
(5)
Pour cela, il est nécessaire de disposer d’un milieu propagatif pour que l’on puisse comparer l’indice effectif. Ce
milieu étant non-propagatif, cette analyse n’est pas possible.
160
milieux magnétiques artificiels
0
0.5
0
-20
Phase(rad)
module (dB)
-10
-30
-40
-50
-1
-1.5
-2
-2.5
-60
-70
-0.5
-3
5
6
7
8
9
fréquence (GHz)
10
5
11
6
(a) |S11 |
7
8
9
fréquence (GHz)
10
11
10
11
(b) Arg(S11 )
0
2.5
2
-10
Phase (rad)
module (dB)
-5
-15
-20
1.5
1
0.5
0
-25
-0.5
-30
-1
5
6
7
8
9
fréquence (GHz)
10
11
5
6
(c) |S21 |
7
8
9
fréquence (GHz)
(d) Arg(S21 )
Py = 2λ0 /25
Py = 3λ0 /25
Py = 4λ0 /25
Fig. 5.37 – Coefficient de réflexion et de transmission complexe en fonction de la fréquence pour un
~ pour de différentes valeurs
métamatériau constitué de 2 cellules élémentaires de bc-srr suivant 0y
Py
aussi petites devant la longueur d’onde, ce n’est pas a priori un effet de Bragg. Or, nous pensons
qu’il pourrait un phenomène de résonance d’ordre zéro. Ce phenomène sera étudié dans le chapitre
7
5.6
Potentiels de ce type de milieu et améliorations
Les milieux constitués de srr peuvent se comporter comme un milieu paramagnétique, diamagnétique ou à perméabilité négative. Nous disposons donc de milieux qui se comportent comme
des magnéto-diélectrique uniaxe aux fréquences micro-ondes ; ce qui peut permettre d’envisager
l’utilisation de ces milieux dans des dispositifs en hyperfréquences.
Associées à des milieux ayant une permittivité négative (milieu à pistes continues pour des fréquences inférieures à la fréquence plasma), ces structures présentent un indice de réfraction négatif.
Rappelons que ce fonctionnement est obtenue pour des fréquences proches de la fréquence de résoVersion provisoire
161
5
2
4
1
3
0
Im(ε(f ))
Re(ε(f ))
5.6 potentiels de ce type de milieu et améliorations
2
-1
-2
1
-3
0
-4
7
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
9
7
(a) Re(ε(f ))
9
5
20
0
15
Im(µ(f ))
Re(µ(f ))
8
8.5
fréquence (GHz)
(b) Im(ε(f ))
25
10
5
-5
-10
-15
-20
0
-5
7.5
-25
7
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
9
7
(c) Re(µ(f ))
7.5
8
8.5
fréquence (GHz)
9
(d) Im(µ(f ))
Py = 2λ0 /25
Py = 3λ0 /25
Py = 4λ0 /25
Fig. 5.38 – Paramètres effectifs en fonction de la fréquence pour un métamatériau constitué de 2
~ pour de différentes valeurs Py .
cellules élémentaires de bc-srr suivant 0y
nance. De ce fait, ces matériaus présentent une bande passante exploitable très faible (ce problème
sera traité dans le chapitre 6).
Il existe néanmoins une caractéristique du fonctionnement à la résonance que nous pouvons
exploiter. En effet, à la résonance de fortes concentrations de champ sont générées entre les boucles
constituant les srr. Ainsi, l’utilisation d’un matériau non-linéaire en petite quantité est suffisante
pour la modification de la fréquence de résonance du matériau. C’est ce que nous démontrerons dans
le § 5.6.1.
5.6.1
Potentiel de reconfigurabilité
Pour cela, considérons comme structure nominale le mirn constitué de bc-srr et de pistes
métalliques continues tel qu’il est défini dans la figure 3.25 (chapitre 3 - p. 84). Les boucles du srr
sont couplées par leur largeur à travers le substrat sur lequel elles sont imprimées ; la fréquence de
résonance du srr est donc très sensible à la variation de la permittivité de ce substrat.
162
milieux magnétiques artificiels
À titre d’exemple, nous présentons sur la figure 5.39, l’indice de réfraction pour un mirn constitué
de bc-srr. La permittivité du substrat varie de 2.2 à 2.8. Concrètement, cela pourrait représenter
l’utilisation de cristaux liquides avec une anisotropie diélectrique positive de ∆ε = 0.6. En d’autres
termes, à l’état non-polarisée, le substrat présente une permittivité ε// =2.8 et ε⊥ =2.2 quand une
différence de potentiel est appliquée entre les boucles du bc-srr (figure 5.40).
Fig. 5.39 – Indice de réfraction en fonction de la fréquence pour la permittivité du substrat variant
de 2.2 à 2.8.
Nous constatons que pour des valeurs plus élevées de la permittivité, la fréquence de résonance du
milieu est plus faible et la l’indice de réfraction est négatif dans des bandes de fréquences différentes.
Le métamatériau présentera dans le premier cas un indice de réfraction négatif dans la bande 7.4-8.0
GHz et dans le deuxième de 8.0-8.6 GHz, ce qui correspond à une agilité en fréquence de 10%.
Fig. 5.40 – Schéma du bc-srr avec des cristaux liquides entre les boucles.
Nous montrons que les cristaux liquides peuvent être introduits uniquement dans une zone
légèrement plus large que les lignes métalliques (en tenant compte du débordement de champ)
comme le montre la figure 5.40. Les zones sous la fente peuvent également être exclu car il n’existe
aucune concentration de champ à cette endroit. En effet nous avons déjà vu que la capacité entre
les boucles est beaucoup plus importante que celle entre les fentes.
La figure 5.41 montre la superposition de l’indice de réfraction obtenu pour trois configurations
de cristaux liquides :
– les cristaux liquides sont introduits dans tout le substrat
– les cristaux liquides sont introduits uniquement sous les boucles (incluant les fentes)
– les cristaux liquides sont introduits sous les boucles (excluant les fentes)
Un décalage fréquentiel d’environ 50 MHz est observé dans entre les configurations où les cristaux
liquides sont présents dans tout le substrat et le cas où ils sont introduits uniquement sous les rubans
métalliques. En revanche, aucune différence n’est observée que les fentes soient exclues ou pas. Ce
Version provisoire
5.6 potentiels de ce type de milieu et améliorations
163
Fig. 5.41 – Indice de réfraction pour les différents cas où les cristaux liquides sont introduits dans
des parties du substrat.
résultat est intéressant car uniquement une petite quantité de cristaux liquides est nécessaire (la
réduction de coût est de l’ordre de 2 :1).
L’agilité fréquentielle de 10% obtenue dans ce cas concernent l’utilisation de cristaux liquides
avec une anisotropie diélectrique de 0.6. Mais il est important de considérer que les cristaux liquides
présentent des pertes assez importantes dont les méchanismes ne sont pas évidents [143]. L’inconvénient de l’utilisation de ce diélectrique non-linéaire dans notre cas est que leur l’introduction à
des endroits où la concentration de champ est forte risque d’engendrer des pertes très importantes.
Il serait donc plus judicieux de faire un compromis entre agilité fréquentielle et pertes. Ainsi, il ne
serait pas nécessaire d’en introduire sous toute la longueur des rubans.
5.6.2
Améliorations
Nous avons vu le potentiel de reconfigurabilité de ces milieux que nous attribuons à la forte
concentration de champ et au fonctionnement autour de la résonance. Il est aussi important de
noter que le fonctionnement autour de la résonance engendre certaines limitations notamment,
pour la description macroscopique du milieu. En effet, nous avons vu dans le chapitre 4 que le
passage du modèle microscopique (en terme de polarisabilité) tel qu’il est utilisé classiquement pour
les matériaux à la description macroscopique est délicate.
Une des limitations à cette description macroscopique est la dispersion spatiale et les dimensions électriques des périodes du composite. Nous avons également montré que la partie réelle de
l’indice de réfraction n′ ne pouvait pas aller au delà d’une certaine valeur dictée par la structuration
(résultat 4.2, p. 104).
Une des améliorations à apporter aux structures à perméabilité artificielle serait de réduire la
fréquence de résonance tout en conservant les mêmes dimensions physiques des périodicités. La
fréquence de résonance de ces particules a été définie comme la résonance d’un circuit LC. La
réduction de la fréquence de résonance implique donc, soit une augmentation de l’inductance, soit
une augmentation de la capacitance de la structure.
Les règles de conception de milieux à perméabilité artificielle que nous avons dégagés [résultats
(5.3) et (5.4)] nous aident dans ce choix : si nous souhaitons avoir un matériau à perméabilité
effective négative, il faudrait augmenter à la fois l’inductance et la capacitance.
164
milieux magnétiques artificiels
5.7
Conclusion
Des boucles isolées ont été étudiées à l’aide d’analyses ondulatoires ; une analogie a été faite à
partir de la théorie de King pour les antennes boucles résonantes et électriquement petites. Nous
pensons que l’analyse ondulatoire, bien que plus compliquée que des analyses quasi-statiques est
importante dans notre cas. S’il est vrai qu’une analyse quasi-statique peut permettre de mieux
appréhender certains phénomènes physiques, elle n’est pas suffisante dans notre cas car elle ne
permet pas de rendre compte du couplage entre champ électrique et champ magnétique. En effet,
ces anneaux ont une réponse au champ électrique ainsi qu’au champ magnétique.
Notre objectif a été de déterminer les configurations optimales pour s’assurer de l’obtention
d’une réponse magnétique prédominante du milieu. Des résultats ont été dégagés pour la conception
d’inclusions résonantes ayant une réponse magnétique prédominante. Ces résultats nous ont ensuite
permis d’élaborer un modèle quasi-statique pour caractériser la fréquence de résonance des srr
imprimées. L’inductance de la boucle est modélisée en considérant l’énergie magnétostatique au
sein d’une boucle imprimée et la capacité entre anneaux est modélisée à l’aide d’approche quasistatique utilisée pour les lignes micro-rubans.
La mise en réseau de ces particules a ensuite été pris en compte à travers une étude numérique
de l’influence de la périodicité. Nous avons notamment mis en évidence un phénomène important :
l’apparition d’une nouvelle forme de résonance pour certaines valeurs de la périodicité dans la
direction de propagation. Cette résonance est appelé résonance d’ordre zéro et elle sera traitée dans
le chapitre 7.
Les règles de conception de milieux magnétiques artificiels dégagées dans le chapitre 5 nous ont
permis, dans le chapitre 6, de concevoir des composites magnétiques artificiels plus performants.
Par performance, nous entendons dispersion spatiale moindre (dimensions électriques) et valeur
maximale d’indice de réfraction atteinte.
Version provisoire
Chapitre 6
Amélioration des performances des
milieux magnétiques artificiels et leur
limitations
6.1
Introduction
Les structures étudiées (ec-srr et bc-srr) jusqu’à présent ne permettent pas d’avoir des dimensions électriques de la période inférieures à 2λ0 /25 pour l’utilisation d’un substrat faible permittivité. Une permittivité plus élevée du substrat entraînerait une concentration de champ plus
élevée et donc des pertes par dissipation plus élevées. Dans ce chapitre, notre but est de concevoir
une particule présentant moins de dispersion spatiale mais en variant uniquement la géométrie de
l’inclusion métallique.
Nous nous appuierons sur les règles de conception que nous avons dégagées dans le chapitre 5
pour concevoir une nouvelle structure à perméabilité artificielle ayant de meilleures performances,
notamment en terme de dimensions électriques.
La diminution de la fréquence de résonance de la boucle peut être obtenue en augmentant
l’inductance de la structure (le nombre de tours), par exemple en réalisant une spirale. Nous avons
vu dans le chapitre 5 que la conception de composites magnétiques artificiels à partir de boucles n’est
pas simple. En outre, l’obtention d’une polarisabilité magnétique «pure»n’est pas évidente. Notre
objectif est de créer une nouvelle particule qui aurait non seulement une polarisabilité magnétique
« pure » mais qui présenterait également en réseau une perméabilité négative dans une bande de
fréquence.
Nous commencerons par l’étude d’un milieu à pseudo-spirale carrée. Cette géométrie a été choisie car la réalisation de spirale à l’aide du logiciel de calcul numérique que nous utilisons [89] est
relativement délicate. En effet, il est très difficile d’obtenir une spirale analytique ayant une épaisseur de métallisation non nulle. Nous avons donc choisi de dessiner des pseudo-spirales à l’aide de
pistes (spirale carrée). En outre, ces pseudo-spirales présentent l’avantage d’avoir une symétrie quasi
énantiomères. Nous verrons par la suite que cette propriété est très intéressante car elle nous permet
d’augmenter les surfaces en regard et ainsi d’avoir un couplage capacitif plus important.
165
166amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
Les limitations présentées par la spirale simple nous conduiront à étudier une particule que nous
appellerons « broad-side coupled » (bc-)spirales. Étant donnée la sensibilité de la structure par
rapport à la variation des paramètres géométriques, une étude paramétrique a été effectuée. Les
résultats de cette étude des paramètres critiques nous a conduit au choix d’une structure optimale.
Cette structure optimale sera ensuite associée à un milieu à pistes continues pour obtenir un
mirn. Ce milieu sera ensuite comparé aux milieux que nous avons étudiés précédemment (les mirn
constitués de bc-srr et ec-srr).
Nous étudierons ensuite les limitations des composites magnétiques artificiels et des mirn que
nous avons étudiés jusqu’à présent. Les pertes présentées par ces milieux seront notamment abordées
ainsi que l’étroitesse de la bande de fonctionnement.
6.2
Milieux constitués de pseudo-spirales
Nous présentons une structure constituée de pseudo-spirales carrées. Le motif est présenté figure 6.1.
Fig. 6.1 – Pseudo-spirale métallique de coté S = 2.4 mm
Les lignes microruban (cuivre d’épaisseur 17 µm) de largeur 0.2 mm sont imprimées sur un
substrat (εr = 2.2, tan δ = 9 × 10−4 ) d’épaisseur 0.254 mm. L’espacement entre les lignes est de
0.2 mm. Ce motif est reproduit avec des périodicités Px = 2.6 mm, Pz = 4.5 mm. La dimension
Py = 2.6 mm. Une seule cellule unitaire est considérée dans la direction de propagation.
Les coefficients de réflexion et de transmission calculés avec HFSS [89] sont montrés figure 6.2.
Le coefficient de transmission t présente une résonance à la fréquence de 6.5 GHz. La phase de
r et de t présente un saut à cette même fréquence.
Les paramètres effectifs du milieu sont illustrés figure 6.3.
Remarquons que la partie imaginaire de la permittivité ε est positive pour f < 6.5 GHz et qu’au
delà de cette fréquence, celle de la perméabilité le devient. C’est pourquoi nous n’analyserons pas
ces paramètres effectifs et nous supposerons que ce milieu ne peut pas être défini comme un milieu
effectif uniaxial au sens de Fresnel.
Ce cas de figure nous rappelle l’étude d’une boucle fendue avec la fente orientée parallèlement au
champ électrique. Rappelons que nous avions conclu que la polarisabilité magnétique de la particule
ne pouvait pas être séparée de la polarisabilité électrique à la résonance. Pour une boucle isolée en
interaction avec une onde plane, nous avons attribué cet effet à une résonance créée à la fois par la
composante continue du courant dans la boucle et la composante oscillante. Un moyen de découpler
ces deux composantes à la résonance est l’insertion d’une capacité soit localisée, soit distribuée dans
le milieu.
Version provisoire
167
0
1
−5
0
Phase (rad)
Magnitude (dB)
6.2 milieux constitués de pseudo-spirales
−10
−15
−20
−1
−2
r
t
−25
5
6
7
Fréquence (GHz)
r
t
−3
5
8
(a) Module
6
7
Fréquence (GHz)
8
(b) Phase
Fig. 6.2 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à pseudo-spirales
carrées.
4
1
2
0
Z(f)
n(f)
0.5
0
−2
−0.5
Re
Im
−4
−6
5
Re
Im
−1
6
7
Fréquence (GHz)
−1.5
8
(a) Indice de réfraction
5
6
7
Fréquence (GHz)
8
(b) Impédance d’onde normalisée
6
0
µ(f)
4
ε(f)
2
Re
Im
2
−2
−4
0
Re
Im
−6
−2
5
6
7
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
8
5
6
7
Fréquence (GHz)
8
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.3 – Paramètres effectifs du milieu à pseudo-spirales carrées.
Nous optons pour le deuxième choix, c’est à dire l’ajout d’une composante capacitive distribuée
dans le milieu. Pour cela, deux solutions peuvent être envisagées. La première consiste à augmenter
168amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
la capacité présente entre les rubans métalliques constituant la spirale en diminuant la séparation
entre les rubans ou en augmentant la permittivité du milieu. Cette solution risque d’engendrer
d’une part des pertes diélectriques dues aux concentration de champ et d’autre part une plus forte
sensibilité à l’orientation du champ électrique dans le plan de la particule. La deuxième consiste à
rajouter une deuxième spirale avec un sens d’enroulement inverse sur la deuxième face du substrat
par analogie au bc-srr. Il y aura aussi une concentration de champ élevée dans le substrat mais
elle sera distribuée dans un plus grand volume. C’est cette solution que nous avons choisie et qui
sera développée dans le § 6.3.
6.3
Milieux constitués de « Broadside coupled » (bc)-spirales
Considérons une structure constituée de deux spirales imprimées sur les deux faces d’un substrat
diélectrique ; le sens d’enroulement d’une des spirales est inversé par rapport à l’autre tout en
s’assurant que les rubans ont bien leur face en regard. Cette structure est montrée figure 6.4.
Fig. 6.4 – bc-spirale métallique de coté S = 2.4 mm
La géométrie des deux spirales ainsi que les dimensions de la cellule unitaire sont identiques à
celles du milieu précédent.
Le coefficient de réflexion et de transmission calculés avec HFSS [89] sont montrés figure 6.5.
1
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−20
−30
−40
−50
3
r
t
4
5
Fréquence (GHz)
(a) Module
r
t
0
−1
−2
6
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(b) Phase
Fig. 6.5 – Module et phase du coefficient de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées.
Le coefficient de transmission présente une résonance à la fréquence de 3.9 GHz. Notons le saut
de phase présenté par le coefficient de réflexion qui, comme nous l’avons vu dans le chapitre 5, est
propre aux milieux à perméabilité effective négative. Les pertes par absorption sont très élevées.
Version provisoire
169
6.3 milieux constitués de « broadside coupled » (bc)-spirales
Elles sont de -1.9 dB pour la structure à bc-spirales alors qu’elles étaient de -0.9 dB pour la structure
à spirales seules. Nous étudierons cette augmentation de pertes dans le § 6.3.1.
Remarquons également que nous disposons là d’une structure ayant une fraction volumique de
métal deux fois plus grande que le cas précédent.
Les paramètres effectifs de ce milieu sont illustrés figure 6.6.
6
3
Re
Im
4
1
Z(f)
n(f)
2
0
0
−1
−2
−2
−4
3
Re
Im
2
4
5
Fréquence (GHz)
−3
3
6
(a) Indice de réfraction
4
5
Fréquence (GHz)
6
(b) Impédance d’onde normalisée
2
10
Re
Im
1
0.5
0
3
Re
Im
5
µ(f)
ε(f)
1.5
0
−5
−10
4
5
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
6
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.6 – Paramètres effectifs du milieu à bc-spirales carrées.
L’indice de réfraction est positif en partie réelle et proche de zéro dans la bande 4GHz < f <
4.2GHz [figure 6.6(a)]. La partie imaginaire de Z est négative dans la bande 3.9GHz < f < 4.2GHz,
témoignant de la nature capacitive du milieu. En effet, la perméabilité effective est résonante et prend
des valeurs négatives dans la bande de fréquence 3.9 GHz-4.2 GHz. La permittivité est constante
en partie réelle hormis l’anti-résonance qu’elle présente à la fréquence de 3.9 GHz.
Le saut présenté par les valeurs de la permittivité est cependant plus faible ici (de l’ordre de
0.5) alors qu’il était d’environ 4.5 pour le cas des structures constituées de bc-srr et ec-srr. Ceci
témoigne d’une réduction de la dispersion spatiale du milieu. Cette réduction n’est pas uniquement
liée à l’amélioration de la structuration du matériau (la dimension de la période est de λ0 /25, soit
deux fois moins que pour le bc-srr) mais aussi d’une augmentation des pertes par absorption.
170amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
Afin de mieux comprendre l’origine de ces dernières, nous avons étudié l’influence des pertes dues
aux différents constituants de ce composite métallo-diélectrique. Cette étude est présentée dans le
§ 6.3.1.
6.3.1
Pertes dues aux différents constituants
Pour étudier les pertes dues aux différents constituants du milieu, nous considérons quatre cas.
Dans le premier cas, nous conservons les pertes diélectrique du substrat (tan δ = 9 × 10−4 ) ainsi que
les pertes métalliques (cuivre σ = 5.8 × 107 Sm−1 ). Ensuite, nous considérons le milieu sans perte
métallique, sans perte diélectrique et enfin sans aucune perte.
Les coefficients de réflexion et de transmission pour ces quatre cas sont superposés figure 6.7.
1
Phase S11(rad)
Module S11(dB)
0
−10
−20
−1
−2
−3
−30
−40
−4
3.9
3.94
0
−1
3.98
−2
3.6
3.8
4
Fréquence (GHz)
4.2
3.6
(a) |S11 |
1
−2
Phase S21(rad)
Module S21(dB)
4.2
(b) arg(S11 )
0
−4
−6
−8
−10
3.8
4
Fréquence (GHz)
3.6
3.8
4
Fréquence (GHz)
(c) |S21 |
4.2
0
−1
−2
3.6
Pertes métalliques et diélectriques
3.8
4
Fréquence (GHz)
4.2
(d) arg(S21 )
Pertes métalliques seules
Pertes diélectriques seules
Sans pertes
Fig. 6.7 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées avec et sans pertes.
Les pertes ne modifient pas l’allure des coefficients (r, t) en module et en phase. L’analyse du
module du coefficient de réflexion montre que les pertes présentées par les constituants métalliques
sont prédominantes. Notons que nous utilisons ici une épaisseur de métallisation de 17 µm. Nous
Version provisoire
171
6.3 milieux constitués de « broadside coupled » (bc)-spirales
avons vérifié que l’épaisseur de métallisation n’était pas critique ; pour une épaisseur de 5 µm à
30 µm, les résultats obtenus sont identiques.
Ce résultat laisse entendre qu’il est difficile d’améliorer les pertes présentées par ce milieu sans
compromis. Nous choisissons donc d’étudier l’influence des différents paramètres de la structure
bc-spirales dans le but d’améliorer ses performances au prix d’une réduction de la compacité du
milieu (tout en essayant d’avoir une compacité plus importante que les structures existantes).
Pour cela dans les prochains paragraphes, nous présentons l’influence de certains paramètres
critiques sur les performances du milieu à bc-spirales. Ces paramètres sont :
– l’agencement de la première spirale par rapport à la seconde (§ 6.3.2),
– le nombre de tours de chaque spirale (§ 6.3.3),
– l’épaisseur du substrat (§ 6.3.4),
– les périodicités transverses (§ 6.3.5),
Il ne s’agit pas de faire une étude paramétrique exhaustive mais uniquement de montrer l’influence
de certains paramètres critiques. Pour cette étude, la structure nominale est celle que nous avons
étudiée dans ce paragraphe (avec prise en compte des pertes métalliques et diélectriques).
6.3.2
Agencement d’une spirale par rapport à l’autre
L’agencement de la spirale sur la deuxième face du substrat par rapport à celle de la première
face n’est pas intuitive. En effet, si par analogie à la particule bc-srr, nous savons que le sens
d’enroulement doit être inversé, il n’est pas évident de savoir quelle configuration privilégie un
couplage capacitif plus important. La distribution de charges sur les spirales n’est plus si simple à
calculer.
Nous considérons quatre cas. Ces cas correspondent aux angles de rotation de la deuxième spirale
par rapport à la première : les angles considérés sont de 0, π/2, π et 3π/2 ; ces configurations sont
illustrées figure 6.8.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 6.8 – Les quatre configurations des bc-spirales étudiées. (a) Configuration nominale, (b) Rotation de π/2, (c) Rotation de π et (d) Rotation de 3π/2.
Les coefficients de réflexion et de transmission associés à ces différentes configurations sont
montrés figure 6.9.
La configuration pour laquelle l’angle de rotation vaut π est quasiment identique à celle de la
configuration nominale, sauf avec un léger décalage fréquentiel. Les coefficients de réflexion et de
transmission pour le cas de la rotation de π/2 et ceux pour la rotation de 3π/2 sont quasiment
identiques avec encore un décalage fréquentiel.
172amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
1
Phase S11(rad)
Module S11(dB)
0
−10
−20
−30
−40
2
3
4
Fréquence (GHz)
0
−1
−2
2
5
(a) |S11 |
1
Phase S21(rad)
−2
Module S21(dB)
5
(b) arg(S11 )
0
−4
−6
−8
−10
2
3
4
Fréquence (GHz)
3
4
Fréquence (GHz)
(c) |S21 |
5
0
−1
−2
2
Configuration nominale
3
4
Fréquence (GHz)
5
(d) arg(S21 )
Rotation de π/2
Rotation de π
Rotation de 3π/2
Fig. 6.9 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées.
Les allures de phases de r sont très différentes. Celles des configurations π/2 et 3π/2 nous
rappellent l’allure de phase de la structure constituée de pseudo-spirales que nous avons étudiée
dans le § 6.2. Ces configurations ne sont pas exploitables car nous savons qu’elle ne permettent
pas l’obtention d’une perméabilité effective négative. Ces configurations correspondent au cas où la
capacitance du milieu est minimale. L’intérêt de la démarche que nous avons menée avec le § 5.2 est
démontré ici. Il suffit d’analyser les paramètres S pour avoir une idée de la réponse macroscopique
du milieu.
La structure nominale est donc celle qui est retenue.
Il est intéressant de remarquer que hormis les bandes de fréquences de résonance, les allures du
module des paramètres S sont identiques pour toutes les configurations.
6.3.3
Nombre de tours des spirales
Tout en conservant les mêmes dimensions extérieures, nous étudions l’effet du nombre de tours
sur les pertes de la structure ; la fraction volumique de métal dans la structure est diminuée.
Version provisoire
173
6.3 milieux constitués de « broadside coupled » (bc)-spirales
Les coefficients de réflexion et de transmission pour une structure à deux tours et à trois tours
sont présentés dans la figure 6.10.
1
Phase S11(rad)
Module S11(dB)
0
−10
−20
−30
0
−1
−2
−40
3
4
5
Fréquence (GHz)
3
6
(a) |S11 |
0.5
Phase S21(rad)
Module S21(dB)
6
(b) arg(S11 )
0
−5
−10
−15
3
4
5
Fréquence (GHz)
4
5
Fréquence (GHz)
0
−0.5
−1
−1.5
3
6
(c) |S21 |
4
5
Fréquence (GHz)
6
(d) arg(S21 )
3 tours
2 tours
Fig. 6.10 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées pour un nombre de tours différents.
Réduire le nombre de tour permet de réduire les pertes par absorption : elles passent d’environ
-1 dB à -0.5 dB. Cependant, la fréquence de résonance de la structure augmente pour un nombre
de tours plus faible. En effet, l’inductance ainsi que la capacitance de la structure sont réduites. Il
est à noter que nous n’avons pas étudié des spirales avec un nombre de tours plus important afin
de ne pas augmenter la fraction volumique de métal.
6.3.4
Influence de l’épaisseur du susbtrat
L’épaisseur h du substrat est un paramètre important qui influence le couplage entre les deux
spirales.
Les coefficients de réflexion et de transmission pour trois hauteurs différentes de substrat sont
montrés dans la figure 6.11. Les épaisseurs de substrat considérées sont de 0.05 mm, 0.127 mm et
0.254 mm.
174amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
1
Phase S11(rad)
Module S11(dB)
0
−10
−20
−30
−40
1
2
3
4
Fréquence (GHz)
0
−1
−2
1
5
(a) |S11 |
0.5
−2
Phase S21(rad)
Module S21(dB)
5
(b) arg(S11 )
0
−4
−6
−8
−10
1
2
3
4
Fréquence (GHz)
2
3
4
Fréquence (GHz)
0
−0.5
−1
−1.5
1
5
(c) |S21 |
2
3
4
Fréquence (GHz)
5
(d) arg(S21 )
h = 0.05 mm
h = 0.127 mm
h = 0.254 mm
Fig. 6.11 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées pour différentes épaisseurs h de substrat.
Nous pouvons constater que plus l’épaisseur du substrat est faible, plus la fréquence de fréquence
de résonance est faible. En effet pour des distances plus faibles entre les spirales, la capacitance est
plus forte. Cependant, une plus forte capacitance résulte en une plus forte concentration de champ
dans le substrat, ce qui engendre des pertes supplémentaires. Les pertes par absorption sont de
l’ordre de -5 dB pour le substrat d’épaisseur 0.05 mm. Le choix d’un substrat épais sera fait dans
le but de minimiser les pertes.
6.3.5
Influence de la périodicité transverse Px
Trois valeurs différentes de la périodicité transverse sont considérées : Px = 2.6 mm, 3.3 mm et
5.5 mm , ce qui correspond à des dimensions électriques de λ0 /29, λ0 /25 et 2λ0 /27 respectivement
où λ0 est la longueur d’onde à la résonance.
Les coefficients de réflexion et de transmission pour ces différentes valeurs de périodicités sont
montrés figure 6.12.
Version provisoire
175
6.3 milieux constitués de « broadside coupled » (bc)-spirales
1
Phase S11(rad)
Module S11(dB)
0
−10
−20
−30
−40
2
3
4
5
Fréquence (GHz)
0
−1
−2
2
6
(a) |S11 |
0.5
−2
Phase S21(rad)
Module S21(dB)
6
(b) arg(S11 )
0
−4
−6
−8
−10
2
3
4
5
Fréquence (GHz)
3
4
5
Fréquence (GHz)
0
−0.5
−1
−1.5
2
6
(c) |S21 |
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(d) arg(S21 )
Px = 2.6 mm
Px = 3.3 mm
Px = 5.5 mm
Fig. 6.12 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées pour différentes valeurs de la périodicité transverse Px .
Nous pouvons remarquer que la variation de la périodicité transverse Px a une influence très
faible sur la fréquence de la résonance de la structure. En revanche, l’absorption du milieu évolue
de manière importante : plus la valeur de Px est faible, moins l’absorption est élevée. Elle est de
-1.3 dB pour Px = λ0 /29 et de -2.6 dB pour Px = 2λ0 /27.
Cette observation est assez surprenante car jusqu’ici, les pertes métalliques étaient principalement responsable des pertes par absorption du milieu. Ici, nous réduisons la périodicité transverse
entraînant une augmentation de la fraction volumique de métal dans le milieu. Nous vérifierons
que cet effet n’était pas dû à l’influence des pertes par absorption présentées par le substrat. Ceci
sera démontré dans le §6.6. Le mécanisme de compensation de pertes ou d’absorption mis en jeu ici
semble être lié à un effet champ proche du milieu.
En effet, quand les spirales sont plus proches les unes des autres dans le plan de propagation, un
couplage capacitif peut également exister dans l’espacement entre spirales. Cependant, la réduction
d’absorption grâce à ce couplage est difficile à interpréter. L’étude approfondie de ce mécanisme de
réduction de pertes n’a pas été menée dans le cadre de ce travail.
176amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
6.3.6
Définition de la structure optimale
Les études menées dans les paragraphes précédents nous mènent à la définition d’une structure
optimale qui présente des pertes par absorption réduite. Elle est présentée figure 6.13. Ce motif
Fig. 6.13 – Géométrie de la spirale optimisée. Ce motif est imprimé sur un substrat (ε = 2.2, tan δ =
9 × 10−4 ) d’épaisseur h = 0.254 mm.
métallique (cuivre d’épaisseur 17 µm) est imprimé sur les deux faces d’un substrat (ε = 2.2, tan δ =
9 × 10−4 ) d’épaisseur h = 0.254 mm. Les périodicités du composite sont :
– Px = 2.6 mm
– Pz = 4.5 mm
La dimension Py vaut 2.6 mm.
Les coefficients de réflexion et de transmission de ce milieu sont présentés figure 6.14.
1
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
r
t
0
−1
−30
−2
−40
3
4
5
Fréquence (GHz)
(a) Module
6
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(b) Phase
Fig. 6.14 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
optimal.
Le coefficient de transmission présente une résonance à la fréquence de 4.7 GHz. Notons le saut
de phase du coefficient de réflexion qui est caractéristique des milieux à perméabilité négative. Les
pertes par absorption maximale présentées par ce milieu sont de -0.9 dB.
Les paramètres effectifs du milieu à bc-spirales optimisé sont présentés figure 6.15.
Version provisoire
177
6.3 milieux constitués de « broadside coupled » (bc)-spirales
3
10
2
1
Z(f)
n(f)
5
0
0
−1
−5
Re
Im
−10
3
−2
4
5
Fréquence (GHz)
−3
3
6
(a) Indice de réfraction
Re
Im
4
5
Fréquence (GHz)
6
(b) Impédance d’onde normalisée
5
Re
Im
Re
Im
20
3
µ(f)
ε(f)
4
2
0
−20
1
0
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(c) Permittivité complexe
−40
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.15 – Paramètres effectifs du milieu à bc-spirales optimal.
L’indice de réfraction est nul pour 4.7 GHz < f < 5.3 GHz. Sur cette même bande de fréquence,
l’impédance d’onde présente des valeurs négatives en partie imaginaire.
La perméabilité est négative en partie réelle sur une bande de 600 MHz. La partie réelle de la
permittivité présente une anti-résonance à 4.7 GHz ; elle est constante et vaut 3.2 à l’extérieur de
cette bande. Nous savons (Cf. chapitre 4) que ces paramètres effectifs ne sont pas valables dans la
bande d’antirésonance.
Par rapport à la configuration nominale dont les paramètres effectifs sont présentés figure 6.6, le
coefficient d’absorption à la résonance est passé de 0.36 à 0.21. En revanche, le décalage fréquentiel
est de 800 MHz.
6.3.7
mirn constitué d’un réseau de bc-spirales et de pistes
Le milieu constitué de bc-spirales est associé à un réseau de pistes métalliques continues. La
cellule unitaire du mirn constitué de l’association d’un réseau de bc-spirales et de pistes continues
est montrée figure 6.16.
Les coefficients de réflexion et de transmission du mirn constitué de l’association de bc-spirales
et de pistes continues sont présentés figure 6.17.
178amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
Fig. 6.16 – Cellule unitaire du mirn constitué d’une bc-spirales et d’une piste continue de largeur
0.5 mm. Les substrats et les dimensions de la bc-spirale sont les identiques à celles de la structure
nominale du §6.3.6.
4
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−30
−40
3
4
5
Fréquence (GHz)
6
(a) Module
r
t
3
2
1
0
2
4
6
Fréquence (GHz)
8
(b) Phase
Fig. 6.17 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du mirn constitué de
l’association de bc-spirales et pistes continues.
Le coefficient de réflexion présente une résonance à la fréquence de 4.7 GHz. Notons le comportement dual avec le milieu constitué de bc-spirales seules. Le coefficient de réflexion du milieu
présente la même allure que le coefficient de transmission du mirn tant en module qu’en phase.
Cette observation justifie toute l’étude que nous avons menée sur le milieu à bc-spirales seules. Nous
pouvons constater que la réponse du mirn dépend presque entièrement du milieu à bc-spirales.
Les paramètres effectifs du mirn constitué de l’association de bc-spirales et pistes continues
sont présentés figure 6.18.
L’indice de réfraction est négatif en partie réelle sur la bande de fréquence 4.7 GHz-5.2 GHz. Il
présente une saturation sur la bande de fréquence 4.4 GHz-4.7 GHz : cette saturation témoigne de
la présence de dispersion spatiale dans le milieu. La valeur maximale atteinte par n′ vaut 20. Cette
valeur est en accord avec le résultat 4.2 de la page 104.
La permittivité est négative sur toute la bande de fréquence et elle est anti-résonante au voisinage
de 4.7 GHz. La perméabilité présente une résonance en partie réelle et elle prend des valeurs négatives
de 4.7 GHz à 5.2 GHz.
Version provisoire
179
6.4 comparaison avec les structures existantes
0
1.5
−10
1
n(f)
Z(f)
Re
Im
0.5
−20
Re
Im
−30
3
4
5
Fréquence (GHz)
0
3
6
(a) Indice de réfraction
4
5
Fréquence (GHz)
6
(b) Impédance d’onde normalisée
40
10
20
µ(f)
ε(f)
0
−20
−40
−10
−60
Re
Im
−80
3
0
4
5
Fréquence (GHz)
Re
Im
−20
6
3
(c) Permittivité complexe
4
5
Fréquence (GHz)
6
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.18 – Paramètres effectifs du mirn constitué de l’association de bc-spirales et pistes continues.
6.4
Comparaison avec les structures existantes
Les différentes géométries de particules constituant des milieux à perméabilité négative sont
illustrées dans la figure 6.19.
(a) ec-srr
(b) bc-srr
(c) bc-spirales
Fig. 6.19 – Les différentes géométries de particule constituant des milieux à perméabilité négative.
Rappelons que les deux composites (a) et (b) ont été étudiés dans le chapitre 3 et 5. Afin de
comparer leurs performances, considérons les paramètres effectifs des mirn constitués des différentes
particules montrées dans la figure 6.19.
180amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
Le tableau 6.1 présente une comparaison entre les structures existantes et celle à bc-spirales en
terme de dimensions électriques à la résonance et bande de fréquence de fonctionnement en régime
d’indice de réfraction négatif.
Dimension électrique des périodes
Px et Py
Bande de fréquence avec
(εef f , µef f ) < 0
Bande de fréquence avec
(εef f , µef f ) < 0 et faibles pertes
ec-srr
2λ0 /15
bc-srr
2λ0 /25
bc-spirales
λ0 /25
12.3 - 13.3 GHz
7.9 - 8.7 GHz
4.6 - 5.25 GHz
12.9 - 13.3 GHz
8.3 - 8.7 GHz
5.1 - 5.25 GHz
Tab. 6.1 – Comparaison entre la structure bc-spirales et des structures existantes
La figure 6.20 montre une comparaison de l’indice de réfraction calculé pour trois structures
différentes. Elles ont été dimensionnées pour résonner dans la même bande de fréquence. Pour des
Fig. 6.20 – Indice de réfraction de différentes pour les mirn constitués de particules présentées
figure 6.19.
dimensions électriques plus faibles, l’indice de réfraction est plus élevé : une valeur maximale de
-6.5 est obtenue pour la structure bc-spirales contrairement à -3.5 pour la structure ec-srr qui
est équivalente à celle proposée par Pendry. Ceci est dû à une dimunition de la dispersion spatiale.
La structure constituée de bc-spirales nous permet non seulement d’obtenir un composite compact
mais aussi des valeurs d’indice plus élevées. Notons que la bande de fréquence anormale signalée
dans le chapitre 4 est néanmoins toujours présente pour ce composite mais le palier de saturation
de l’indice de réfraction est atteint pour des valeurs plus élevées.
6.5
Autre limitation des milieux magnétiques artificiels : la bande
passante
Une des limitations présentées par les milieux magnétiques artificiels est la dispersion spatiale
et nous avons montré dans les précédents paragraphes comment elle pouvait être diminuée. Une
Version provisoire
181
6.5 autre limitation des milieux magnétiques artificiels : la bande passante
autre limitation de ces milieux est leur caractère faible bande. Par faible bande, nous entendons
la bande de fréquence sur laquelle le milieu présente un comportement ou une réponse magnétique
exploitable, c’est à dire, faible pertes par dissipation ainsi qu’une réponse magnétique prédominante.
S. Maslovski [142] a présenté une nouvelle particule : le métasolénoïde. Cette particule n’est pas
tout à fait nouvelle car elle est constituée d’une bc-srr dont la périodicité Pz a été réduite au strict
minimum. Cependant, conceptuellement cette particule possède des caractéristiques nouvelles : elle
permet d’avoir une réponse magnétique suffisamment loin de la résonance de la particule. Ce milieu
peut donc être décrit comme étant à bande passante plus large. Cet effet est notamment visible pour
des fréquences inférieures à la fréquence de résonance, dans la bande de fréquence pour laquelle le
milieu est paramagnétique. Cette élargissement de bande ou plutôt l’extension de la bande de
fréquences où l’on obtient une réponse effective magnétique est attribuée à la présence d’ondes
magnéto-inductives crées par une meilleure concentration du flux magnétique grâce à la proximité
des boucles. Les propriétés de ces ondes et les phénomènes associées sont décrits dans la Réf. [144].
Nous proposons d’appliquer ce concept à nos particules bc-spirales dans le but d’élargir leur
bande de fréquence de fonctionnement. Pour cela, nous prenons comme valeur de périodicité Pz = 0.5
mm. Les paramètres effectifs associés à ce milieu sont présentés dans la figure 6.21.
2
20
Re
Im
1
Z(f)
n(f)
10
0
0
−1
−10
−20
2
Re
Im
3
4
Fréquence (GHz)
−2
2
5
(a) Indice de réfraction
3
4
Fréquence (GHz)
5
(b) Impédance d’onde normalisée
25
Re
Im
20
10
0
−10
−20
5
0
2
Re
Im
10
15
µ(f)
ε(f)
20
−30
3
4
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
5
2
3
4
Fréquence (GHz)
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.21 – Paramètres effectifs de la structure bc-spirales pour Pz = 0.5 mm.
5
182amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
Nous remarquons que l’indice de réfraction est proche de zéro sur la bande 3 GHz-4.7 GHz.
Cette bande de fréquence est relativement grande et sur quasiment toute cette bande de fréquence
la perméabilité effective est négative. Notons que la fréquence de résonance est de 2.9 GHz et nous
avons toujours une activité magnétique au delà de 4 GHz. Ce résultat est très prometteur car nous
disposons là d’un milieu magnétique artificiel avec un comportement magnétique relativement loin
de la fréquence de fonctionnement.
Un fonctionnement pour des fréquences éloignées de la fréquence de résonance signifie que les
pertes ne sont pas obligatoirement élevées et les inconvénients tels que la saturation de l’indice de
réfraction peuvent facilement être évités.
À des fins comparatives, nous présentons également les paramètres effectifs (figure 6.22) des métasolénoïdes de S. Maslovski. Nous prenons comme particule les bc-srr et la valeur de la périodicité
Pz est aussi fixée à 0.5 mm.
2
10
Re
Im
1
Z(f)
5
n(f)
0
−5
0
−1
−10
4
5
6
Fréquence (GHz)
−2
4
7
(a) Indice de réfraction
20
7
Re
Im
10
10
µ(f)
ε(f)
5
6
Fréquence (GHz)
(b) Impédance d’onde normalisée
Re
Im
15
5
0
4
Re
Im
0
−10
−20
−30
5
6
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
7
4
5
6
Fréquence (GHz)
7
(d) Perméabilité complexe
Fig. 6.22 – Paramètres effectifs de la structure bc-srr pour Pz = 0.5 mm.
Les mêmes observations peuvent être faites sur les courbes précédentes. L’indice de réfraction
est nul sur une large bande de fréquence de 5.3 à 7 GHz. Cette structure est moins compacte que le
milieu à bc-spirales et présente une dispersion spatiale plus élevée, comme le témoigne l’indice de
réfraction qui sature pour n′ ≈ 9. La perméabilité effective est négative en partie réelle de 5.3 à 7
GHz.
Version provisoire
6.6 les pertes associées aux milieux magnétiques artificiels
183
Notons que dans les deux cas, avant la fréquence de résonance, la perméabilité prend des valeurs
positives et très élevées. Cette perméabilité reste différente de un pour des fréquences relativement
éloignées de la résonance. Dans cette bande le milieu est paramagnétique ; de tels milieux peuvent
trouver des applications dans les dispositifs et antennes micro-ondes.
Remarque : Nous n’avons pas effectué d’étude approfondie sur ce phénomène. Nous nous sommes
contentés de l’illustrer comme une technique d’élargissement de bande de notre structure constituée
de bc-spirales. Aussi, cette technique est difficilement applicables au mirn car la piste et la bcspirale se retrouvent alors très proches et fortement couplées. Notre interprétation de l’indice de
réfraction négative comme une superposition de permittivité négative apportée par un réseau de
pistes continues et la perméabilité négative apportée par un réseau de srr n’est plus vraie.
6.6
Les pertes associées aux milieux magnétiques artificiels
J. D. Baena [145] a récemment proposé une structure à spirales. Le milieu à spirales proposé
présente des pertes par absorption élevées. Nous proposons dans ce paragraphe de réduire ces pertes
en utilisant les règles empiriques que nous avons déduites de l’étude paramétrique effectuée dans le
§ 6.3.
La géométrie étudiée est décrite figure 6.23.
Fig. 6.23 – Spirale proposé par J. D. Baena. Ce motif est imprimé sur un substrat (ε = 2.43, tan δ =
9 × 10−4 ) d’épaisseur 35 µm.
Ce motif est répété avec les périodicités suivantes :
– Px = Py = 10mm,
– Pz = 4 mm.
Les coefficients de réflexion et de transmission de cette structure sont présentés figure 6.24.
Ce milieu présente des pertes par absorption de -1.7 dB comme l’attestent les coefficients (r, t)
présentés sur la figure 6.24. Si nous réduisons la périodicité transverse, ces pertes peuvent être
améliorées tout en conservant les mêmes allures de courbes que précédemment. Les coefficients de
réflexion et de transmission pour la structure à périodicité transverse réduite sont montrés figure
6.25. Les périodicité Px = Py sont définies à 4.6 mm.
Les pertes par absorption présentées par ce milieu ont été diminuées par 1 dB. Elles sont passées
de -1.7 dB à 0.7 dB. Nous avons démontré que la périodicité peut être un paramètre critique pour
les pertes par absorption. Précisons que ce résultat est valable que le substrat soit à pertes ou pas.
0
1
−10
0
−20
r
t
−30
−40
1.5
Phase (rad)
Magnitude (dB)
184amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
2
2.5
Fréquence (GHz)
−1
−2
−3
1.5
3
r
t
(a) Module
2
2.5
Fréquence (GHz)
3
(b) Phase
Fig. 6.24 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à spirales de
J. D. Baena (Px = Py = 10 mm).
1
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−10
−20
r
t
0
−1
−2
−30
1.5
2
2.5
Fréquence (GHz)
3
1.5
(a) Module
2
2.5
Fréquence (GHz)
3
(b) Phase
Fig. 6.25 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à spirales
pour une périodicité plus faible (Px = Py = 4.6 mm).
En effet, les pertes par absorption d’un milieu périodique ne sont pas seulement dépendantes
des pertes présentées par les différents constituants du milieu. Elles dépendent souvent de la structuration du milieu ou de défaut dans la structure périodique.
Il a été démontré [146, 147, 148] que lors de la fabrication des structures comme les srrs ou
les spirales, une légère variation dans la géométrie peut engendrer un décalage dans la fréquence de
résonance de la particule. La mise en réseau de particules ayant des résonances légèrement différentes
peut engendrer des pertes supplémentaires .
Intérêt de l’étude des pertes présentées par les milieux magnétiques artificiels Ces
milieux magnétiques artificiels sont des constituants des mirn et nous savons que la maîtrise de la
conception des mirn passe nécessairement par la maîtrise de celle de ces milieux. Nous présentons
dans le prochain paragraphe une réalisation de mirn effectuée pendant cette thèse. De fortes pertes
non prédites par la simulation des structures parfaitement périodiques ont été observées. Or, la
Version provisoire
6.7 réalisation de mirn et mesures en espace libre
185
modélisation numérique de notre maquette de dimensions finies est difficile. C’est pourquoi nous
nous baserons sur des résultats dégagés des références [146, 147, 148] pour interpréter l’origine de
ces pertes.
6.7
Réalisation de mirn et mesures en espace libre
La cellule élémentaire de la structure réalisée a été présentée dans § 3.6. On rappelle qu’elle
est constituée de deux substrats Rogers 5880 (ε = 2.2, h = 0.254 mm) séparés par de la mousse
Rohacell (ε = 1.07, h =2 mm). L’un des substrats possède une piste imprimée de largeur 0.25 mm.
Sur l’autre substrat, on imprime une piste métallique sur l’une des faces et un ec-srr sur l’autre
face. La structure globale possède trois cellules selon l’axe de propagation (ny = 3) (figure 6.26). On
Fig. 6.26 – Schéma des structures réalisées.
a choisi un nombre de cellules suffisamment grand dans les deux directions transverses (nx = 54 et
nz = 80) pour pouvoir considérer la structure comme infinie. La structure complète possède donc
les dimensions suivantes :
– Lx = nx Px = 18 cm
– Ly = ny Py = 1 cm
– Lz = nz Pz = 27 cm
On a fait réaliser 100 bandelettes de Rogers impriméees : 50 en simple face et 50 en doubles
faces (lignes et ec-srr). Les bandelettes sont présentées figure 6.27(a). Chacune des bandelettes
de substrat est intercalée avec une bande de mousse, l’ensemble étant maintenu par deux tiges de
plexiglass situées aux extrémités de la maquette [figure 6.27(b)].
6.7.1
Mesures de coefficients de réflexion et de transmission
Les mesures de ce métamatériau ont été effectuées en espace libre au CEA-Le Ripault ; une
photographie de leur banc de caractérisation de matériaux est montrée figure 6.28.
Ce banc est constitué de deux antennes cornet et l’échantillon est placé au centre ; il est entouré
d’absorbants pour éviter les trajets directs.
Les coefficients de réflexion et de transmission mesurés sont présentés figure 6.29. Les courbes
simulées sont superposées aux résultats mesurés.
186amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
(a)
(b)
Fig. 6.27 – Maquette de métamatériau à indice de réfraction négatif réalisée. (a) Bandelette de Rogers avec réseau de pistes de réseau de ec-srr (b) Maquette complète constituée de 200 bandelettes
maintenues par 2 tiges de plexiglass.
Fig. 6.28 – Banc de caractérisation de matériaux en espace libre du CEA-Le Ripault.
Un décalage fréquentiel de 1.6 GHz est observé entre les fréquences de résonance du coefficient
de réflexion réfléchi et mesuré. En outre, le module du coefficient de transmission mesuré présente
une valeur maximale de 0.65 alors que celui celui de t mesuré présente une valeur de 0.91. (Les
pertes métalliques et diélectriques sont prises en compte dans la simulation numérique).
Indice de réfraction calculé à partir des coefficients mesurés L’indice de réfraction calculé
à partir des données de mesures est présenté figure 6.30.
Dans la bande de fréquence 13GHz < f < 14.6GHz, l’indice de réfraction est nul en partie
réelle. Ce qui montre que cette structure n’est pas transparent à l’onde et comme le montre la figure
6.30(b) le coefficient d’absorption est très élevé dans cette bande de fréquence
6.7.2
Indice de réfraction calculé à partir des paramètres S simulés
Les paramètres effectifs calculés pour la structure mirn simulée sont montrés figure 6.31.
La méthode d’inversion utilisée ici est la méthode itérative. L’indice de réfraction est négatif en
partie réelle de 12.3 GHz-13.3 GHz. Remarquons que dans la bande de fréquence 11.2 GHz -12.3
GHz, l’indice de réfraction n’est pas valable (vu au chapitre 4).
Version provisoire
6.7 réalisation de mirn et mesures en espace libre
187
(a) Module
(b) Phase
Coefficient de réflexion simulé
Coefficient de réflexion mesuré
Coefficient de transmission simulé
Coefficient de transmission mesuré
Fig. 6.29 – Module et phase des coefficients de réflexion et de transmission du milieu à bc-spirales
carrées pour différentes valeurs de la périodicité transverse Px .
Origine des pertes observées Les pertes présentées par ce type de mirn sont attribuées [149]
aux pertes dues aux diélectriques et aux colles utilisées pour l’assemblage. Dans notre échantillon,
nous utilisons un substrat faibles pertes (tan δ = 9 × 10−4 ) et nous n’utilisons pas de colle pour
l’assemblage. La précision d’assemblage de notre échantillon est donc très faible.
Les pertes présentées par les mirn peuvent être également attribuées à une faible précision
d’assemblage et une variation de la fréquence de résonance des particules comme il a été prévu dans
la référence [146, 148]. Il a également été montré théoriquement que la présence de pertes peut être
responsable du fait que l’indice de réfraction effectif présenté par le composite n’est plus négatif.
On en conclut qu’il est non seulement nécessaire de s’assurer que les constituants du métamatériau (substrat,colle) soient à faibles pertes mais il faut aussi avoir une bonne précision de gravure
pour les motifs métalliques et lors de l’assemblage.
188amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
1
0.8
Module
n
0.5
0
|r|
|A|
|t|
0.6
0.4
0.2
−0.5
13
14
15
fréquence (GHz)
16
0
10
12
14
fréquence (GHz)
(a)
16
(b)
Fig. 6.30 – (a) Indice de réfraction calculé à partir des coefficients de réflexion et de transmission
mesurés (les traits pleins représentent la partie réelle et les pointillés la partie imaginaire). (b)
Superposition des pertes et des coefficients |r| et |t|.
Fig. 6.31 – Paramètres effectifs du mirn simulé.
6.8
Conclusion
Les règles de conception de milieux magnétiques artificiels dégagées dans le chapitre 5 nous
ont permis, dans ce chapitre, de concevoir des composites magnétiques artificiels plus performants.
Par performance, nous entendons dispersion spatiale moindre (dimensions électriques) et valeur
maximale d’indice de réfraction atteinte.
Un milieu constitué de spirales a été conçu et nous avons montré que ces performances sont
supérieures aux milieux constitués de srr. Nous n’avons pas souhaité modifié la permittivité du
substrat car nous savons que plus la permittivité est élevée, plus la concentration de champ sera
élevée et plus les pertes par dissipation seront élevées. La fréquence de résonance de l’inclusion a
été modifiée uniquement en modifiant la particule métallique.
Nous avons enfin souligné les limitations de ces milieux notamment en terme de pertes et de
bande passante. Nous avons vu que les pertes pouvaient faire disparaître la réponse de la structure en terme d’indice de réfraction négatif. Les pertes peuvent aussi être attribuées à un défaut
Version provisoire
6.8 conclusion
189
de répartition périodique et des fréquences de résonances de srr légèrement variables. La bande
passante des composites magnétiques artificiels peut être améliorée en augmentant le couplage magnétique entre les particules par exemple en diminuant la périodicité de la structure parallèle au
champ magnétique.
Conclusion de la Partie II
Dans le but de mieux comprendre le principe de fonctionnement des mirn, nous avons étudié
les milieux magnétiques artificiels.
Ainsi dans le chapitre 5, des boucles isolées ont été étudiées à l’aide d’analyses ondulatoires ; une
analogie a été faite à partir de la théorie de King pour les antennes boucles résonantes et électriquement petites. Nous pensons que l’analyse ondulatoire, bien que plus compliquée que des analyses
quasi-statiques est importante dans notre cas. S’il est vrai qu’une analyse quasi-statique peut permettre de mieux appréhender certains phénomènes physiques, elle n’est pas suffisante dans notre cas
car elle ne permet pas de rendre compte du couplage entre champ électrique et champ magnétique.
En effet, ces anneaux ont une réponse au champ électrique ainsi qu’au champ magnétique.
Notre objectif a été de déterminer les configurations optimales pour s’assurer de l’obtention
d’une réponse magnétique prédominante du milieu. Des résultats ont été dégagés pour la conception
d’inclusions résonantes ayant une réponse magnétique prédominante. Ces résultats nous ont ensuite
permis d’élaborer un modèle quasi-statique pour caractériser la fréquence de résonance des srr
imprimées. L’inductance de la boucle est modélisée en considérant l’énergie magnétostatique au
sein d’une boucle imprimée et la capacité entre anneaux est modélisée à l’aide d’approche quasistatique utilisée pour les lignes micro-rubans.
La mise en réseau de ces particules a ensuite été pris en compte à travers une étude numérique
de l’influence de la périodicité. Nous avons notamment mis en évidence un phénomène important :
l’apparition d’une nouvelle forme de résonance pour certaines valeurs de la périodicité dans la
direction de propagation. Cette résonance est appelé résonance d’ordre zéro et elle sera traitée dans
le chapitre 7.
Les règles de conception de milieux magnétiques artificiels dégagées dans le chapitre 5 nous ont
permis, dans le chapitre 6, de concevoir des composites magnétiques artificiels plus performants.
Par performance, nous entendons dispersion spatiale moindre (dimensions électriques) et valeur
maximale d’indice de réfraction atteinte.
Un milieu constitué de spirales a été conçu et nous avons montré que ces performances sont
supérieures aux milieux constitués de srr. Nous n’avons pas souhaité modifié la permittivité du
substrat car nous savons que plus la permittivité est élevée, plus la concentration de champ sera
élevée et plus les pertes par dissipation seront élevées. La fréquence de résonance de l’inclusion a
été modifiée uniquement en modifiant la particule métallique.
Nous avons enfin souligné les limitations de ces milieux notamment en terme de pertes et de
bande passante. Nous avons vu que les pertes pouvaient faire disparaître la réponse de la structure
en terme d’indice de réfraction négatif. L’origine des pertes a été attribué à un défaut de répartition
périodique et des fréquences de résonances de srr légèrement variables. La bande passante des
191
192amélioration des performances des milieux magnétiques artificiels et leur limitations
composites magnétiques artificiels peut être améliorée en augmentant le couplage magnétique entre
les particules par exemple en diminuant la périodicité de la structure parallèle au champ magnétique.
Version provisoire
Troisième partie
Application antennaire s’appuyant sur le
concept de résonance d’ordre zéro
Chapitre 7
Application antennaire s’appuyant sur le
concept de résonance d’ordre zéro
7.1
Introduction
La résonance d’ordre zéro est présente dans les structures guidées et circuits à la fréquence
nulle. Cependant il a été montré que la mise en cascade des mirn et mirp peut donner ce type de
résonance à une fréquence différente de zéro [150].
Considérons une combinaison de deux lames à indice de réfraction positif et négatif. Le vecteur
−
→
−
→
de propagation k et le vecteur de Poynting S sont antiparallèles contrairement au cas de la lame
à indice de réfraction positif (figure 7.1).
Fig. 7.1 – Combinaison d’une lame d’indice de réfraction négatif n2 d’épaisseur d2 et d’une lame à
indice positif n1 d’épaisseur d1
Le choix judicieux de l’épaisseur des deux lames a été déterminé par la résolution exacte des
équations de Maxwell [151] pour une valeur quelconque de l’impédance d’onde des deux milieux.
Afin d’avoir un déphasage nul, il suffit de satisfaire la relation (figure 7.1) :
n1 k0 d1 − n2 k0 d2 = 0
où k0 est le vecteur d’onde dans le vide.
195
(7.1)
196
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
Un choix approprié du rapport d1 /d2 en fonction de n2 /n2 permet de satisfaire la condition
du déphasage nul entre l’interface d’entrée et celle de sortie. L’utilisation de ce principe pourrait
permettre de réduire la taille des résonateurs utilisés à des valeurs très inférieures à la longueur
d’onde.
C’est ce phénomène de résonance que nous proposons d’étudier dans ce chapitre. Nous commencerons par étudier ce concept de résonance. Nous la caractériserons à l’aide de modèle analytique
dans le domaine fréquentiel et de modélisation numérique dans le domaine temporel.
Ensuite, nous synthétiserons un mirn et nous mettrons en évidence ce concept. L’approche
utilisée pour la synthèse du mirn et sa caractérisation est légèrement différente de celle que nous
avons utilisée jusqu’à présent. Nous la décrirons et les analogies et différences seront explicitées.
Le mirn mis en œuvre sera ensuite associé à un mirp pour donner un résonateur d’ordre zéro.
Nous caractériserons cette résonance. Nous avons vu que ce phénomène pouvait conduire à des dispositifs plus compactes. Nous proposons donc d’utiliser ce concept de résonance pour la conception
d’une antenne. Une première topologie d’antenne sera présentée et l’antenne sera caractérisée.
7.2
Résonance d’ordre zéro
La résonance d’ordre zéro peut être considérée comme un cas particulier de la résolution de la
propagation d’onde dans un guide métallique rectangulaire. En effet, il existe trois types de solutions
(modes) aux équations de Maxwell dans un guide métallique uniforme. Outre les modes transverse
électrique (te) et transverse magnétique (tm), on peut également considérer les modes ayant une
fréquence de coupure nulle.
Considérons l’expression des champs donnée en coordonnées cartésiennes par :
o
n
~ r⊥ , ω) exp(jωt − jγz)
~ r, t) = Re E(~
E(~
o
n
~ r⊥ , ω) exp(jωt − jγz)
~ r, t) = Re H(~
et H(~
(7.2)
où ~r⊥ = xx̂ + y ŷ représente les coordonnées transverses du guide et γ la constante de propagation.
La résolution des équations de Maxwell sans source avec la prise en compte des conditions
aux limites nous donnent les équations vectorielles de Helmholtz qui peuvent se mettre sous la
forme [152] :
où
~ = 0 et
∇2⊥ + γc2 H
γc2 = γ02 − γ 2
~ =0
∇2⊥ + γc2 E
(7.3)
avec γ02 = ω 2 εµ.
(7.4)
γc est la constante de propagation de coupure. ε et µ sont respectivement la permittivité et la
permittivité du milieu au sein du guide.
Revenons maintenant au cas particulier où la fréquence de coupure est nulle (γc = 0). À partir
des équations (7.3), nous pouvons vérifier que les composantes suivant ẑ s’annulent :
∇2⊥ Hz = ∇2⊥ Ez = 0
(7.5)
On montre [152] à partir du théorème de Green que les composantes Hz et Ez sont nulles dans la
section transverse du guide. Ceci implique qu’un mode ayant une fréquence de coupure nulle est un
Version provisoire
7.2 résonance d’ordre zéro
197
mode transverse électromagnétique (mode tem) avec des composantes longitudinales des champs
qui s’annulent.
Les modes ayant une fréquence de coupure nulle ont une constante de propagation γ = γ0 ,
ce qui peut être assimilé à une onde plane dans un milieu continu (sans borne par opposition au
guide) et se propageant suivant la direction ẑ [152]. Comme nous l’avons vu dans l’annexe A, de
façon analogue aux guides d’ondes, le concept de modes est utilisé pour les structures périodiques.
De la même manière, le cas particulier de la constante de propagation nulle est retrouvé pour des
structures périodiques.
Si nous généralisons le concept de résonance d’ordre zéro dans les structures périodiques, cela
implique qu’à cette fréquence, la structure supporte la propagation d’une onde plane et elle pourraît
être assimilée à celle dans un milieu continu. En d’autres termes, si nous pouvons concevoir un
composite présentant une résonance d’ordre zéro, il pourra être considéré, du moins à une fréquence,
comme un milieu homogène et continu.
7.2.1
Mise en cascade de mirn et mirp
Il a été montré [153, 154, 155] que la mise en cascade des mirn et des mirp peut donner une
résonance d’ordre zéro à une fréquence différente de zéro et indépendante des dimensions électriques
des lames.
C’est ce que nous nous proposons d’étudier. Nous considérons un cristal photonique monodimensionnel de périodicité P et constitué d’une succession de mirn et de mirp (figure 7.2).
Fig. 7.2 – Cellule élémentaire du cristal photonique mono-dimensionnel de périodicité P et constitué
d’une succession de lames magnéto-diélectriques (ε1 , µ1 ) et (ε2 , µ2 ).
Les deux milieux (ε1 , µ1 ) et (ε2 , µ2 ) sont homogènes, isotropes, linéaires, non dispersifs et sans
perte. Nous faisons ici une hypothèse forte car les mirn sont nécessairement dispersifs (Chapitre 1).
Mais nous négligerons cette contrainte dans le but de simplifier l’étude du phénomène et d’obtenir
des relations analytiques simples.
Démarche adoptée La démarche que nous adopterons pour l’étude de ce phénomène consiste
dans un premier temps, à étudier les caractéristiques de dispersion du cristal photonique infini
(§ 7.2.2). Nous analyserons ensuite les coefficients de réflexion et de transmission pour des structures
d’extension finie dans la direction de propagation (§ 7.2.3).
La sensibilité du phénomène sera également abordée (§ 7.2.4) car la résonance d’ordre zéro
semble se produire en un seul point de fréquence, d’après les calculs précédents. Finalement, nous
198
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
montrerons les caractéristiques de propagation dans un tel milieu à l’aide d’une simulation numérique. La propagation d’une onde monochromatique dans un milieu constitué d’une alternance de
mirn et mirp sera comparée à celle dans un milieu ayant un indice de réfraction nul. Une méthode
temporelle a été privilégiée pour cette étude numérique car elle permet également de s’assurer de la
causalité de la propagation de l’onde.
7.2.2
Caractéristique de dispersion : extension infinie dans la direction de propagation
La relation de dispersion d’un cristal photonique peut être obtenue en suivant une démarche
identique à celle explicitée dans le § 2.5.1 (p. 59). L’expression analytique de la relation de dispersion
pour une succession de couches de magnéto-diélectrique est la suivante (la démonstration est dans
la réf. [72]) :
cos(qP ) = cos(k1 d1 ) cos(k2 d2 ) −
η12 + η22
sin(k1 d1 ) sin(k2 d2 )
2η1 + η2
(7.6)
p
(µm /εm ) représente l’impédance d’onde du milieu m (m = 1, 2). km = k0 nm avec k0
√ √
le nombre d’onde dans le vide et nm = εm µm l’indice de réfraction du milieu m. q = ϕ/P où
où ηm =
ϕ est le facteur de phase exprimant la différence de phase (à l’aide du théorème de Floquet) entre
les champs séparés d’une distance égale à la périodicité P : exp(−jϕ). Cette expression est valable
quel que soit le signe de l’indice de réfraction des milieux.
7.2.2.1
Exemples numériques
Considérons le cas d’une structure où les indices de réfraction des lames sont de signe opposé
(n1 = −n2 et k1 d1 = −k2 d2 ). Pour des épaisseurs identiques, la relation 7.6 nous donne cos(qP ) =
1 [72, 155]. Ceci implique que quelle que soit la fréquence, il existe des oscillations du champ
électromagnétique dans la structure. C’est ce que nous appelons résonance d’ordre zéro car cette
résonance est caractérisée par une phase de Floquet ϕ = 0.
Considérons maintenant un cristal avec les caractéristiques suivantes :
– pour la première couche ε1 = −8, µ1 = −2, d1 = 4 mm,
– pour la deuxième couche ε2 = 1, µ2 = 1, d2 = 16 mm.
La relation n1 d1 = −n2 d2 est vérifié pour ce cas.
Nous présentons sur la figure 7.3 la variation de cos(qP ) en fonction de la fréquence normalisée
pour cette configuration. Cette variation est supérieure à un, sauf pour certains points comme le
montre la figure 7.3(a). Ces points correspondent à des valeurs de fréquences normalisées multiples
entiers de 0.1. La partie imaginaire de q représentant les bandes interdites est différente de zéro sauf
en ces points particuliers [figure 7.3(b)].
Ce milieu est donc réfléchissant sur quasiment toute la bande de fréquence sauf sur une bande
très étroite autour de ces points particuliers. Ces structures peuvent constituer des filtres passebande très sélectifs. De plus, ces filtres peuvent fonctionner pour des dimensions très faibles devant
la longueur d’onde de travail.
On peut considérer dans ce cas également que nous avons un indice effectif valant zéro car la
valeur moyenne (volumique) de l’indice de réfraction est nulle.
Version provisoire
199
7.2 résonance d’ordre zéro
0.5
0.4
f × P/c0
cos (qP)
1.2
1.1
0.3
0.2
0.1
1
0
0.2
f × P/c0
0
0
0.4
0.005
0.01
0.015
Im ( q )
(a)
(b)
Fig. 7.3 – (a) Courbe de cos(qP ) en fonction de la fréquence normalisée. (b) Partie imaginaire de
q représentant les bandes de fréquences interdites.
7.2.3
7.2.3.1
Structures d’extension finie dans la direction de propagation
Modèle analytique multicouche
Soit une structure stratifiée (figure 7.4) à N couches de lames magnéto-diélectriques homogènes, linéaires et isotropes. Chaque lame d’épaisseur d(m) présente une permittivité ε(m) et une
perméabilité µ(m).
Fig. 7.4 – Structure stratifiée à N lames magnéto-diélectriques : chaque lame d’épaisseur d(m)
présente une permittivité ε(m) et une perméabilité µ(m).
Si l’on considère l’interaction d’une onde suivant les deux polarisations (te et tm) avec cette
structure pour une onde incidente suivant l’angle θi , les coefficients de réflexion et de transmission
de la mième couche s’écrivent :
A(m) +
B(m)
Z0
A(m) +
B(m)
Z0
A(m) +
B(m)
Z0
R=
T =
− Z0 C(m) +
+ Z0 C(m) +
A(m)
+ Z0 C(m) +
D(m)
Z0
D(m)
Z0
D(m)
Z0
(7.7)
(7.8)
200
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
avec
A(m) = D(m) = cos (q(m)d(m)) ,
s
et
n(m) est défini comme n(m) =
k0 = ω/c0 .
B(m) = jZ(m) sin (q(m)d(m)) ,
q(m) = k(m)
1−
1
sin θi
n(m)
2
C(m) =
j sin (q(m)d(m))
,
Z(m)
.
p
p
ε(m) µ(m) et k(m) est le nombre d’onde : k(m) = k0 n(m) avec
Pour la polarisation TE,
Z=
ωµ(m)
q(m)
et
Z0 =
cos θi
.
ε0 c0
(7.9)
Z=
q(m)
ωε(m)
et
Z0 =
µ0 c0
.
cos θi
(7.10)
Pour la polarisation TM,
Pour la mise en cascade des couches, il suffit de multiplier les matrices
A B
C D
relations sont vérifiées pour les mirn et les mirp.
7.2.3.2
!
. Notons que ces
Exemple numérique
Nous présentons sur la figure 7.5 le coefficient de réflexion et de transmission pour la même
configuration que celle considérée pour la structure infinie, c’est à dire :
– pour la première couche ε1 = −8, µ1 = −2, d1 = 4 mm,
– pour la deuxième couche ε2 = 1, µ2 = 1, d2 = 16 mm.
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
f×P/c0
f×P/c0
Nous avons considéré dans ce cas une succession de 20 lames dans la direction de propagation.
0.2
0.1
0.1
0
0
0.2
0
0.5
Module
(a)
1
−2
0
Phase (rad)
2
(b)
Fig. 7.5 – (a)Module du coefficient de réflexion et de transmission (b) Phase du coefficient de
réflexion et de transmission. Cas de la structure alternant des mirn et des mirp.
Tout comme pour le cas de la structure infinie, nous observons un pic dans le coefficient de
transmission pour des fréquences normalisées multiples de 0.1. Ailleurs, la structure est parfaitement
Version provisoire
201
7.2 résonance d’ordre zéro
réfléchissante. Remarquons également que la phase du coefficient de transmission passe par zéro en
ces points. Ce résultat confirme les prédictions de la relation de dispersion.
7.2.4
Sur la sensibilité du phénomène
Nous avons vu que le phénomène se produit sur une bande de fréquence très faible. Une faible
variation d’un des paramètres pourrait le faire disparaître. Nous présentons sur la figure 7.6 les
0.5
0.5
0.4
0.4
f × P/c0
f×P/c0
coefficients de réflexion et de transmission pour une variation de 1% du produit nm dm .
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.3
0
0
0.5
Module
(a)
1
−2
0
Phase (rad)
2
(b)
Fig. 7.6 – (a)Module du coefficient de réflexion et de transmission (b) Phase du coefficient de
réflexion et de transmission.
Les résultats sont complètement différents tant en module qu’en phase. Bien que les résonances
ne disparaissent pas complètement, elles sont perturbées et la phase du coefficient de transmission
ne passe plus par zéro à la résonance.
Cependant, nous pensons que malgré cette forte sensibilité prédite par cette analyse théorique,
les réponses seront différentes pour les mirn réels. En effet, les mirn sont obligatoirement dispersifs
(Cf. Chapitre 1) et l’indice n’est en général jamais constant sur une bande de fréquence. Il a été
montré [154] que la dispersion a comme seul effet d’élargir la bande de fréquences pour lequel la
résonance zéro est observé ; ce qui est encourageant. La largeur de la bande dépend de la dispersion
fréquentielle de l’indice du mirn. Pour les variations rapides, le phénomène sera observé sur une
bande plus étroite.
Nombre de couches dans la direction de propagation Il est également important de voir
l’influence du nombre de couches dans la direction de propagation. Dans une structure réelle, il serait
judicieux d’utiliser un nombre de couches le plus faible possible et ainsi d’optimiser les dimensions
des dispositifs.
Nous présentons sur la figure 7.7 les coefficients de réflexion et de transmission pour une succession d’un mirn et d’un mirp (2 couches, puis 4 couches, dans la direction de propagation).
Les dimensions et les constantes diélectriques et magnétiques sont identiques à celles considérées
précédemment.
Le phénomène est observable même pour un nombre de couches minimal (simple alternance
mirn et mirp). En revanche, tout comme pour des structures périodiques classiques, la réjection
202
0.5
0.5
0.4
0.4
f×P/c0
f×P/c0
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
0.5
Module
(a)
1
Coeff. de réflexion (2 couches)
−2
0
Phase (rad)
2
(b)
Coeff. de transmision (2 couches)
Coeff. de réflexion (4 couches)
Coeff. de transmision (4 couches)
Fig. 7.7 – (a) Module du coefficient de réflexion et de transmission (b) Phase du coefficient de
réflexion et de transmission.
est d’autant moins importante dans la bande interdite que le nombre de couches est faible. Nous
observons là des effets de périodicité mais pour des dimensions très faibles par rapport à la longueur
d’onde de travail.
7.2.5
Caractéristiques de propagation à la résonance d’ordre zéro
Nous considérons ici une alternance de 17 couches de mirp (n = 1) et de mirn (n = −1),
chacune d’épaisseur=3 cm. Le champ électrique est observé en fonction du temps pour l’interaction
d’une onde plane monochromatique (fréquence de 1.414 GHz) avec cette structure [156].
Bien que notre observation s’opère à une seule fréquence pour les besoins de la simulation
numérique(1) , il est nécessaire de considérer un modèle de dispersion pour la permittivité et la
perméabilité. Nous considérons ici un modèle de Drude sans pertes défini par :
ε(ω) = µ(ω) = 1 −
ω02
ω2
(7.11)
avec ω0 = 2π×1.414 GHz.
Le champ électrique en fonction du temps en régime établi est montré figure 7.8
Deux constats peuvent être faits sur ces courbes :
– le champ au sein des lames est continu ; il a une variation spatiale quasiment nulle et l’ensemble
oscille à une fréquence identique à la fréquence d’excitation
– à la sortie de la structure, on retrouve la phase de l’onde incidente ; la structure se comporte
en compensateur de phase [151].
À des fins comparatives, nous présentons également l’allure du champ électrique en fonction du
temps (figure 7.9) pour une lame de même épaisseur mais présentant un indice de réfraction nul à
la fréquence d’excitation (f = 1GHz).
(1)
La méthode utilisée est la FDTD (logiciel IMELSI développé à l’IETR).
Version provisoire
203
7.3 synthèse du mirn
t = 20.237 ns
t = 20.453 ns
1
1
0.5
0.5
0.5
0
Ez(t)
1
Ez(t)
Ez(t)
t = 20.03 ns
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
(a) t0 + 20.03 ns
(b) t0 + 20.237 ns
(c) t0 + 20.453 ns
Fig. 7.8 – Variation du champ électrique en fonction du temps pour une alternance de lames mirp
et mirn. Le milieu ambiant est le vide.
t = 20.237 ns
t = 20.453 ns
1
1
0.5
0.5
0.5
0
Ez(t)
1
Ez(t)
Ez(t)
t = 20.03 ns
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
(a) t0 + 20.03 ns
(b) t0 + 20.237 ns
(c) t0 + 20.453 ns
Fig. 7.9 – Variation du champ électrique en fonction du temps pour une lame ayant un indice de
réfraction nulle.
Exactement les mêmes constats peuvent être faits sur ces courbes. L’amplitude des oscillations
est plus faible que pour la structure précédente. Ces résultats sont en accord avec ceux de la
publication de R. Ziolkowski [157].
Remarque :
Les résultats numériques que nous présentons nous permettent d’avoir une meilleure
appréhension du phénomène. En revanche, nous observons des ondulations en entrée et en sortie
des lames que nous attribuons à un problème de modélisation numérique. La composante au sein
de la lame devrait également être constante [157] mais nous observons une variation de l’amplitude. L’origine de ces variations mérite d’être étudiée et constitue une perspective de cette étude
numérique.
7.3
Synthèse du mirn
Afin de mettre en évidence ce phénomène de résonance, il est nécessaire de synthétiser un mirn.
Nous décrirons ici l’approche que nous avons privilégiée pour la synthèse du mirn ainsi que le calcul
des paramètres effectifs.
7.3.1
Approche privilégiée
Nous privilégions ici une approche qui consiste à utiliser des structures résonantes. Cette approche a été privilégiée en fonction des résultats des deux premières parties de la thèse. Nous avons
204
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
vu que la réalisation des milieux résonants distribués et adaptés à l’espace libre n’est pas simple.
Nous avons donc opté pour une approche sur ligne micro-ruban.
Cette approche a été introduite par Mao et al. [158] et la structure modélisée est présentée figure
7.10.
Fig. 7.10 – Structure microruban chargée d’un via et de srr (largeur de piste de 0.4 mm) situés
de part et d’autre de la ligne (W1 = 1.4 mm, Lsrr = 3.15 mm, Gsrr = 0.75 mm, W3 = 0.5 mm).
La structure comporte deux substrats (ε1 = 10.2, tan δ1 = 9 × 10−4 , h1 = 0.635 mm) et (ε2 = 2.2,
tan δ1 = 9 × 10−4 , h2 = 1.575 mm) et la distance PL = 3.65 mm.
Elle est constituée d’une ligne micro-ruban de largeur W1 = 1.4 mm. Un « via » de diamètre
W3 0.5 mm est introduit au centre de la ligne et des bc-srr sont disposés de part et d’autre de
la ligne à une distance de 0.2 mm de celle-ci. La structure comporte deux substrats (ε1 = 10.2,
h1 = 0.635 mm) et (ε2 = 2.2, h2 = 1.575 mm).
L’impédance caractéristique Zc de la ligne est de 85Ω.
7.3.2
Paramètres de diffusion de la structure
Nous calculons numériquement [89] les paramètres de diffusion de cette structure pour trois
configurations différentes :
– La ligne chargée par le via seul,
– La ligne chargée par les srr seuls,
– La ligne chargée par les srr et le via.
Les coefficients de réflexion et de transmission pour les différentes configurations sont présentés
figure 7.11.
La ligne chargée par le via seul est réfléchissante sur toute la bande de fréquence d’étude (3 à 5
GHz). La ligne chargée par le srr seul est transparente sauf sur la bande de fréquence 4.4 GHz <
f < 4.55 GHz. Dans cette même bande de fréquence, l’association des srr et via donne une bande
passante. Il s’agit maintenant de calculer les paramètres effectifs de cette structure à partir de ces
paramètres S.
Remarque sur le calcul numérique des paramètres S
Les paramètres S sont calculés exacte-
ment de la même manière que pour les structures périodiques à ceci près que, cette fois-ci, les modes
considérés sont les modes quasi-tem d’une ligne microruban. Les accès physiques présentent donc
une impédance caractéristique identique à celle de la ligne. Seul le mode fondamental est considéré.
Version provisoire
205
7.3 synthèse du mirn
2.5
2
−5
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
−10
−15
−20
3
1
0.5
r
t
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
0
3
5
0
1
−10
0
−20
−40
3
r
t
3
5
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(d) Ligne et srr
0
3
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
r
t
−1
(c) Ligne et srr
−20
−40
3
5
−2
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
−30
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
(b) Ligne et via
Phase (rad)
Magnitude (dB)
(a) Ligne et via
−30
r
t
1.5
r
t
2
1
r
t
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(e) Ligne, srr et via
0
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(f) Ligne, srr et via
Fig. 7.11 – Coefficients de réflexion et de transmission en module et phase pour trois configurations.
(a,b) Ligne chargée par les vias, (c,d) Ligne chargée par les srr, (e,f) Ligne chargée par les srr et
les vias. Une seule couche est considérée dans la direction de propagation.
7.3.3
Milieu effectif associé au mirn
Nous commençons par détailler les analogies et les différences entre la propagation d’une onde
plane dans un milieu ouvert et celle sur une ligne micro-ruban. Ceci nous permettra d’utiliser nos
206
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
méthodes de calculs existantes en apportant si nécessaire certaines corrections. Nous analyserons
ensuite les paramètres effectifs des différentes configurations de la structure : (i) ligne micro-ruban
et via, (ii) ligne micro-ruban et srr, et (iii) ligne micro-ruban, srr et via.
7.3.3.1
Analogie entre la propagation sur une ligne micro-ruban et celle d’une onde
plane dans un milieu ouvert
Nous proposons d’exploiter l’analogie qui existe entre la propagation d’une onde plane dans un
milieu ouvert et la propagation sur une ligne micro-ruban (quasi-tem). Ainsi les résultats dégagés
dans nos études précédentes seront valables également pour cette approche. Nous utiliserons les
mêmes méthodes de calculs de paramètres effectifs que celles développées pour les structures adaptée à l’espace libre. Pour cela, certaines corrections doivent être apportées à certains paramètres
électromagnétiques.
7.3.3.2
Différence entre la propagation sur ligne micro-ruban et celle d’une onde plane
dans un milieu ouvert
Les corrections à apporter sont dues aux différences entre la propagation d’une onde dans un
milieu ouvert et sur une ligne micro-ruban. Il est nécessaire de considérer l’impédance caractéristique
Zc de la ligne ainsi que l’impédance ZaT L que présenterait la même ligne si le substrat était remplacé
par du vide.
En effet, l’impédance effective telle qu’elle est calculée en espace libre doit être corrigée par un
facteur K [159] :
K = Zc ZaT L
(7.12)
L’impédance ZaT L est calculée analytiquement en utilisant la relation [103] :
1
c0 C0
ZaT L =
(7.13)
où c0 est la célérité de la lumière et C0 est la capacité par unité de longueur présentée par la ligne
suspendue. C0 est calculée à l’aide de l’équation (5.21) donnée dans le chapitre 5 (p. 151) en posant
ε = ε0 .
L’impédance caractéristique Zc est calculé analytiquement :
Zc =
√
εe
c0 C
(7.14)
où εe = C/C0 . C est déterminée à l’aide de l’équation (5.21) en utilisant ε = (h1 ε1 + h2 ε2 )/(h1 + h2 ).
7.3.3.3
Paramètres effectifs de la structure
Les paramètres effectifs des différentes configurations de la structure sont calculés à l’aide de la
méthode nrw à laquelle on applique les corrections décrites dans le § 7.3.3.2.
Ligne et via La variation fréquentielle de l’indice de réfraction, de l’impédance d’onde effective,
de la permittivité et la perméabilité effectives pour la configuration ligne et via seul est montrée
figure 7.12.
Version provisoire
207
7.3 synthèse du mirn
0
Re
Im
0.4
0.3
Re
Im
−4
Z(f)
n(f)
−2
0.2
0.1
0
−6
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
−0.1
3
5
(a) Indice de réfraction
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(b) Impédance d’onde normalisée
5
0
3
µ(f)
ε(f)
−10
−20
−30
−40
3
Re
Im
4
1
Re
Im
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
(c) Permittivité complexe
2
0
5
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(d) Perméabilité complexe
Fig. 7.12 – Paramètres effectifs de la ligne chargée par les vias.
L’indice de réfraction est imaginaire pur caractérisant l’absence de propagation dans la structure. La partie imaginaire de l’impédance d’onde est positive témoignant de la nature inductive
de la structure. En effet, ce milieu possède une permittivité effective négative. Cette allure de la
permittivité nous rappelle la réponse diélectrique d’un plasma ou d’un réseau de pistes métalliques
continues avant la fréquence plasma. La perméabilité effective est proche de 1 ; elle vaut 1.2.
Ligne et srr La variation fréquentielle de l’indice de réfraction, l’impédance d’onde effective,
la permittivité et la perméabilité effective pour la configuration ligne et srr seul est montrée figure 7.13.
L’indice de réfraction est imaginaire pur de 4.4 à 4.6 GHz. Dans cette même bande l’impédance
d’onde est imaginaire pure et cette partie imaginaire est négative : la structure est capacitive à la
résonance. La perméabilité effective présente une résonance de Lorentz et des parties réelles négatives
de 4.4 à 4.6 GHz. Notons l’allure anti-résonante présentée par la partie réelle de la permittivité
effective et les valeurs positives prises par la partie réelle. Ces réponses nous rappellent les structures
constituées de srr que nous avons étudiées précédemment. La question de la validité des paramètres
effectifs se pose une fois de plus. Nous y reviendrons dans le § 7.3.5.
208
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
2
10
0
0
−1
−5
−10
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
−2
3
5
(a) Indice de réfraction
5
20
Re
Im
Re
Im
10
6
µ(f)
ε(f)
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
(b) Impédance d’onde normalisée
10
8
Re
Im
1
Z(f)
n(f)
5
Re
Im
4
2
0
3
0
−10
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
−20
3
(c) Permittivité complexe
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(d) Perméabilité complexe
Fig. 7.13 – Paramètres effectifs de la ligne chargée par les srr.
Ligne, srr et via La variation fréquentielle de l’indice de réfraction, l’impédance d’onde effective, la permittivité et la perméabilité effective pour la configuration ligne, srr et via est montrée
figure 7.14.
L’indice de réfraction présente une saturation en partie réelle sur la bande (4.25 GHz-4.4 GHz)
et il est négatif de 4.25 GHz à 4.7 GHz. La partie réelle de la perméabilité est négative de 4.4 à
4.7 GHz. La partie réelle permittivité présente une allure quasi-Drude sauf autour de la fréquence
de 4.3 GHz où elle présente une anti-résonance. La partie imaginaire présente des valeurs positives.
Afin d’étudier la validité de ce résultat, nous procéderons comme pour le cas des structures ouvertes,
c’est à dire, nous analyserons le diagramme de dispersion qui nous donne les caractéristiques de la
structure d’extension infinie dans la direction de propagation.
7.3.4
Caractéristiques de dispersion du mirn
Nous calculons le diagramme de dispersion de cette structure micro-ruban à l’aide de la procédure
décrite dans le chapitre 2. Nous présentons les parties réelles et imaginaires de la constante de
propagation figure 7.18.
Version provisoire
209
7.3 synthèse du mirn
2
0
Re
Im
1.5
n(f)
Z(f)
−5
1
−10
0.5
Re
Im
−15
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
0
3
5
(a) Indice de réfraction
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(b) Impédance d’onde normalisée
20
5
0
ε(f)
µ(f)
0
−10
−20
Re
Im
−40
3
Re
Im
−5
−15
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
−20
3
5
(c) Permittivité complexe
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(d) Perméabilité complexe
0.061
5
0.056
4.6
0.056
4.6
0.051
4.2
0.051
4.2
0.046
3.8
0.046
3.8
0.041
3.4
0.041
3.4
3
0.036
0.036
0
1
2
β (rad m−1)
(a)
3
−10
−5
α (dBmm−1)
f (GHz)
5
f × PL /c0
0.061
f (GHz)
f × PL /c0
Fig. 7.14 – Paramètres effectifs de la ligne chargée par les vias et les srr.
3
0
(b)
Fig. 7.15 – Caractéristiques de dispersion du mirn. (a) Partie imaginaire de la constante de propagation (β) et (b) partie réelle de la constante de propagation (α). L’échelle de gauche représente
la fréquence normalisée et l’échelle de droite la fréquence en GHz.
La partie réelle de la constante de propagation β est décroissante en fonction de la fréquence
à partir de la fréquence de 4.4 GHz ou de la fréquence normalisée de 0.052. Pour les fréquences
210
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
inférieures à 4.4 GHz, la constante d’atténuation α est différente de zéro ; ce qui implique que la
structure n’est pas propagative.
7.3.5
7.3.5.1
Interprétation physique
Les paramètres effectifs
Les résultats dégagés dans le cahpitre 4 simplifient l’interprétation de ces paramètres effectifs.
Le lecteur est maintentant familier aux allures de courbes des paramètres effectifs que nous avons
présentés. Une partie imaginaire négative est présentée par la permittivité autour de la résonance
et dans la bande de fréquence 4.25 à 4.4 GHz, les paramètres effectifs calculés ne sont pas valables.
Nous avons également vu que le diagramme de dispersion ne prévoit pas de propagation à ces
fréquences.
L’indice de réfraction est donc négatif et valable dans le bande de 4.4 à 4.6 GHz. Mao et al. [158]
ne discutent pas la validité des paramètres effectifs qu’ils calculent (quand ils présentent la structure)
bien qu’ils observent les mêmes anomalies que celles que nous présentons.
7.3.5.2
Le modèle équivalent
Nous avons calculé les paramètres effectifs pour cette structure distribuée et le modèle équivalent
correspond à une ligne sur un substrat homogénéisé. Les inclusions (srr et vias) sont pris en compte
dans le substrat. Ceci est intéressant car nous pouvons considérer que nous avons une ligne microruban imprimée sur un substrat à indice de réfraction négatif. Cette approche est valable uniquement
quand les inclusions sont excités.
7.4
Synthèse du résonateur d’ordre zéro
Le résonateur d’ordre zéro est constitué (§ 7.2) d’une alternance de couches à indice de réfraction
positif et à indice de réfraction négatif. La structure à indice positif que nous utiliserons ici est tout
simplement la ligne microruban imprimée sur le substrat bi-couche. La structure est présentée
figure 7.16.
7.4.1
Présentation de la structure
Les dimensions des srr, du via et des substrats sont identiques à celles de la structure de la
figure 7.10.
Nous pensons que les mirn résonants sont des candidats de choix pour la réalisation de résonateurs d’ordre zéro. En effet l’indice varie rapidement et passe de valeurs très négatives à zéro.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre 5, une simple variation de la périodicité peut donner naissance à ce type de résonance. Concrètement, il s’agit juste de faire un choix adéquat pour la valeur
de la périodicité PL .
7.4.2
Mise en évidence de la résonance d’ordre zéro
La permittivité effective présentée par la ligne sur le substrat bi-couche isotrope est de 4.49
et l’indice de réfraction est donc d’environ 2.1. Nous faisons le choix de prendre une longueur de
Version provisoire
211
7.4 synthèse du résonateur d’ordre zéro
Fig. 7.16 – Structure quasiment identique à celle présentée figure 7.10. La ligne après le srr est
plus longue et PL = 7.3 mm.
ligne identique à la dimension du mirn dans la direction de propagation. Ce qui implique que notre
dispositif aura une résonance d’ordre zéro à la fréquence où le mirn présente un indice de réfraction
de -2.1. Cette fréquence correspond à 4.6 GHz.
Les paramètres de répartition d’une succession de ligne micro-ruban et du mirn sont présentés
figure 7.17.
3
−10
Phase (rad)
Magnitude (dB)
0
r
t
−20
−30
r
t
2
1
0
−40
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
(a) Ligne et via
5
3
3.5
4
4.5
Fréquence (GHz)
5
(b) Ligne et via
Fig. 7.17 – S11 et S21 en module et phase pour le résonateur d’ordre zéro.
Le module des paramètres S11 et S21 est quasiment identique à celui des mirn sauf pour un
décalage fréquentiel. Si les allures des phases semblent identiques, le saut de phase du coefficient de
réflexion est très différent : pour le résonateur d’ordre zéro elle passe de -0.5 à 1.5 alors que pour le
mirn elle passe de 0.5 à 2.7.
Pour la mise en évidence de la résonance d’ordre zéro, nous calculons le diagramme de dispersion
de la structure. La fréquence normalisée en fonction des parties réelles et imaginaires de la constante
de propagation est montrée figure 7.18
À la fréquence de 4.6 GHz, β prend des valeurs nulles. En outre, on passe d’une bande de
rétropropagation à la résonance zéro à une bande de propagation normale. On a ainsi une bande
propagée sur une large bande de fréquence. Ce phénomène a également été observée dans les struc-
212
0.12
5
0.11
4.6
0.11
4.6
0.1
4.2
0.1
4.2
0.092
3.8
0.092
3.8
0.083
3.4
0.083
3.4
3
0.073
−6
0.073
0
1
2
β (rad m−1)
(a)
−4
−2
α (dBmm−1)
f (GHz)
5
f × d /c0
0.12
f (GHz)
f × d /c0
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
3
0
(b)
Fig. 7.18 – Caractéristiques de dispersion du résonateur d’ordre zéro.
tures constitués de srr adaptés à l’espace libre (Chapitre 5). Elle a aussi été étudiée par Caloz et
al. [150, 160] pour les structures « crlh » (ou composite right left handed).
7.5
Antenne à résonateur d’ordre zéro
Notre approche ici consiste à considérer une antenne comme un résonateur. Généralement, pour
une ligne de transmission classique, une résonance est observée pour des dimensions d’une demie
longueur d’onde. Cette résonance est issu d’un phénomène d’interférence d’onde, c’est pourquoi elle
dépend directement de longueur électrique du résonateur.
La résonance d’ordre zéro, en revanche dépend uniquement de la relation n1 d1 = n2 d2 avec
n2 < 0. Cette relation peut être vérifiée pour des dimensions physiques du résonateur très faibles
devant la longueur d’onde(2) . Nous pensons que l’exploitation de ce phénomène de résonance d’ordre
zéro peut conduire à la conception d’antennes de taille réduite.
7.5.1
Présentation de l’antenne
Dans cette partie, nous tentons d’exploiter la résonance d’ordre zéro présentée par la structure
que nous avons étudiée pour concevoir une antenne. La structure de l’antenne est présentée dans la
figure 7.19. Nous considérons seulement deux cellules élémentaires dans la direction de propagation.
7.5.2
Caractéristiques de l’antenne
La variation du coefficient de réflexion de cette antenne en fonction de la fréquence est présentée
en fonction de la fréquence figure 7.21 et en abaque de Smith figure 7.21
Cette antenne est adaptée à la fréquence de 5.77 GHz pour l’impédance présentée au port c’est à
dire à l’impédance caractéristique de la ligne (85Ω). La première résonance présente une impédance
beaucoup trop élevée en partie réelle pour être adaptée.
Le rayonnement de l’antenne en trois dimensions à cette fréquence est présentée figure 7.22.
Le diagramme de rayonnement est presque omnidirectionnel. Nous observons les valeurs de
champ dans les plans E et H en fonction de θ (figure 7.23).
(2)
Cette résonance nécessite la présence d’un mirn et ne peut pas être obtenu avec les milieux conventionnels.
Version provisoire
213
7.5 antenne à résonateur d’ordre zéro
Fig. 7.19 – Structure de l’antenne constitué de deux cellules élementaires du résonateur d’ordre
zéro. L’excitation est appliquée à une extrémité de la ligne et nous considérons un plan de masse
infini.
0
|S11| (dB)
−2
−4
−6
−8
−10
−12
4
4.5
5
5.5
fréquence (GHz)
6
Fig. 7.20 – Module du coefficient de réflexion en fonction de la fréquence.
Fig. 7.21 – Module du coefficient de réflexion.
Nous observons une polarisation croisée assez élevée en θ = 90 pour la composante Etheta pour
l’angle ϕ = 90. Cette polarisation croisée peut être due à la présence des vias.
Notons que l’antenne présente un gain de 1.3 dB à la fréquence de résonance, f0 = 5.75 GHz.
214
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
Fig. 7.22 – Rayonnement de l’antenne en trois dimensions à la fréquence f0 .
Composantes de E (dB)
0
−10
−20
−30
−40
−100
−50
0
θ (deg)
50
100
Eϕ pour ϕ = 0
Eϕ pour ϕ = 90
Eθ pour ϕ = 90
Eθ pour ϕ = 0
Fig. 7.23 – Composantes de champ électrique en champ lointain dans les plans E et H à la fréquence
f0 .
Remarque :
Ce concept de résonance d’ordre zéro a déjà été exploitée pour la réalisation
d’antenne. L’approche utilisée pour la mise en œuvre est l’utilisation de lignes de transmission
duales [160]. En revanche, cette antenne présente un gain de l’ordre de -10 dB. Ceci résulte du
fait que les lignes duales « guident » moins efficacement l’onde que la ligne basée sur l’utilisation
de structures résonantes [158]. C’est pourquoi nous pensons que les structures résonantes sont de
meilleurs candidats pour la réalisation de la résonance d’ordre zéro. Cependant, remarquons le décalage en fréquence ; nous avions prévu une résonance d’ordre zéro à une fréquence de 4.6 GHz et
l’antenne résonne avec un décalage fréquentielle de 1 GHz. C’est pourquoi nous pouvons mettre en
doute le fonctionnement à la résonance de zéro et la propagation au sein de cette antenne mérite
d’être caractérisée.
Version provisoire
7.6 conclusion
7.5.3
215
Améliorations envisageables
Les résultats numériques que nous avons présentés constituent les résultats préliminaires de cette
étude. Nous pensons qu’il est possible d’optimiser la taille (la dimension de l’antenne actuelle est de
l’ordre de λ0 /4) dans un premier temps en utilisant des bc-spirales présentés dans le chapitre 6 ; ce
qui permettrait de réduire les dimensions physiques de l’antenne. La caractérisation de cette antenne
mérite d’être approfondi notamment pour s’assurer que la résonance est bien une résonance d’ordre
zéro. Afin de réduire la polarisation croisée, nous envisageons d’utiliser une technologie coplanaire.
7.6
Conclusion
Le phénomène de résonance d’ordre zéro présenté par une succession de mirn et de mirp a été
étudié dans ce chapitre. Nous avons analysé ce concept de résonance à l’aide de modèle analytique
dans le domaine fréquentiel et de modélisation numérique dans le domaine temporel.
Nous avons ensuite synthétisé un mirn et nous avons mis en évidence ce concept. L’approche
utilisée pour la synthèse du mirn et sa caractérisation est légèrement différente de celle que nous
avons utilisée jusqu’à présent. Il s’agit de charger une ligne micro ruban par des vias et des srr
placés de part et d’autre de la ligne.
Ce mirn a ensuite été associé à un mirp pour donner un résonateur d’ordre zéro. La résonance
présentée a été caractérisé. Nous avons proposé d’utiliser ce concept de résonance pour la conception
d’une antenne. Une première topologie d’antenne a été présentée et l’antenne a été caractérisée.
Notre apport ici se situe dans le fait d’exploiter cette résonance d’ordre zéro à l’aide de ligne
chargée de structures résonantes. En effet, nous pensons que les caractéristiques de ce type de ligne
sont plus adéquates pour l’exploitation de ce phénomène.
Conclusion générale
Les travaux présentés dans ce manuscrit ont été guidés par les objectifs de recherche que nous
nous étions fixés. Nous rappelons ci-après ces objectifs ainsi que les résultats que nous avons obtenus.
Étude de la propagation d’onde au sein d’un mirn continu Les propriétés générales des
mirn ainsi que les caractéristiques de propagation d’une onde électromagnétique dans un mirn ont
été décrites dans le chapitre 1. Les similitudes et les différences entre un milieu conventionnel et
un mirn ont été soulignées. Les contraintes fondamentales sur les paramètres électromagnétiques
des mirn ont été également été décrites. Nous avons défini l’approche privilégiée dans ce travail,
c’est à dire celle qui consiste à considérer un mirn comme un milieu ayant une permittivité et
une perméabilité simultanément négatives. Pour la mise en œuvre des métamatériaux, l’approche
privilégiée est l’utilisation des structures résonantes (réseaux d’anneaux résonants ou srr et pistes
métalliques) seront utilisés.
Caractérisation des composites proposés dans la littérature pour la mise en œuvre
des mirn Le concept de milieu effectif tel qu’il est appliqué aux mirn a été explicitée dans
le chapitre 2. Nous avons notamment considéré que les mirn appartenaient à une catégorie de
composites périodiques particulière où les inclusions possèdent une fréquence de résonance propre.
Des approches « globales » (par opposition aux approches « locales ») ont été mises en œuvre pour
le calcul des paramètres effectifs. Il s’agit de méthodes d’« inversion » directe et itérative et de
méthodes de calcul de diagramme de dispersion. Les avantages et inconvénients de ces approches
ont été traités.
Ces méthodes ont ensuite été appliquées aux composites métallo-diélectriques et ces analyses
sont présentées dans le chapitre 3. L’objectif de ce chapitre était d’analyser des composites ayant
des réponses électromagnétiques variées. Des anomalies ont été observées pour certains composites
et ils ont tous comme particularité d’être constitués d’inclusions possédant une résonance propre.
Description macroscopique des métamatériaux à indice de réfraction négatif Le chapitre
4 a été intégralement consacré à l’analyse de cette catégorie de composites. À partir du modèle de
description microscopique de Lorentz, nous avons étudié les implications de la mise en réseau de ces
inclusions à l’aide de relation de dispersion macroscopique. Des résultats théoriques sont dégagés
de cette étude et des bornes sont prédites pour la partie réelle de l’indice de réfraction. Cette étude
a permis de mettre l’accent sur le fait que le problème auquel nous sommes confrontés est non
seulement l’interaction d’une onde avec une particule résonante mais également la propagation de
l’onde dans le milieu périodique.
217
218
application antennaire s’appuyant sur le concept de résonance d’ordre zéro
Les comportements anormaux des paramètres effectifs mis en évidence ont été analysés à l’aide
de ces résultats théoriques. Nous nous sommes également attachés à démontrer l’extension au mirn
des critères physiques qui régissent la propagation dans un milieu classique ceci dans le but de
définir le signe de la partie imaginaire des paramètres constitutifs pour un mirn continu et isotrope.
Des analyses complémentaires ont été effectués et elles nous ont permis de confirmer que les
paramètres effectifs ne sont pas valables physiquement dans la bande de fréquence où des anomalies
ont été soulignées. Les zones de validité des paramètres effectifs des mirn ont enfin été définies.
Compréhension du principe de fonctionnement de ces métamatériaux et amélioration
de leurs performances Nos études numériques et physiques précédentes nous ont permis de
mettre en évidence la forte corrélation qui existe entre les composites à perméabilité artificielle résonantes (les anneaux résonants ou srr) et les mirn : L’ingénierie des mirn passe donc forcément
par une maîtrise de la conception des composites magnétiques artificiels. Dans le chapitre 5, des
boucles isolées ont été étudiées à l’aide d’analyses ondulatoires ; une analogie a été faite à partir de
la théorie de King pour les antennes boucles résonantes et électriquement petites. Des résultats ont
été dégagés pour la conception et le dimensionnement des particules ayant une polarisabilité magnétique prédominante et ils nous ont permis d’élaborer un modèle quasi-statique pour caractériser
la fréquence de résonance des srr imprimées. La mise en réseau de ces particules a ensuite été pris
en compte à travers une étude numérique de l’influence de la périodicité.
Les règles de conception de milieux magnétiques artificiels dégagées nous ont permis, dans le
chapitre 6, de concevoir des composites magnétiques artificiels plus performants. Par performance,
nous entendons dispersion spatiale moindre (dimensions électriques) et valeur d’indice de réfraction
atteinte. Un milieu constitué de spirales a été conçu et nous avons montré que ces performances
sont supérieures aux milieux constitués de srr. Nous avons souligné les limitations de ces milieux
notamment en terme de pertes et de bande passante. Nous avons montré que les pertes pouvaient
faire disparaître la réponse de la structure en terme d’indice de réfraction négatif.
Passage du concept à la mise en œuvre d’applications Nous avons explicité une application
qui exploite une particularités des mirn : la résonance d’ordre zéro présentée pour une succession de
couches mirn/mirp. Ce concept est étudié à l’aide de modèles analytiques dans le domaine fréquentielle. Une modélisation numérique dans le domaine temporel permet de caractériser la propagation
à cette résonance. Un résonateur d’ordre zéro est ensuite mis en œuvre. Pour cela, nous avons utilisé
des srr couplés à une ligne micro-ruban et nous avons montré que les structures résonantes sont
des candidats idéaux pour la synthèse de résonateur d’ordre zéro. Cette résonance a finalement été
exploité comme topologie d’antenne.
Perspectives
Les perspectives de ce travail de thèse sont multiples et peuvent être définis en fonction de
la démarche que l’on choisi d’adopter pour l’étude des mirn ; nous détaillerons uniquement les
perspectives qui découlent directement de la démarche que nous avons adoptée.
Ce travail montre que davantage de recherche fondamentale est requise afin d’étudier la mise en
œuvre des mirn et leurs applications potentielles.
Version provisoire
7.6 conclusion
219
Le développement outils de calculs de diagramme de dispersion basés sur des calculs semianalytiques nous semble essentiel pour l’étude des mirn. En effet, ces structures sont complexes et
des calculs numériques sont très long : par exemple, il n’est pas envisageable de calculer les courbes
isofréquences des mirn à l’aide de la méthode numérique dont on dispose.
La détermination des paramètres effectifs à l’aide d’approches « locales » nous semble important.
Les approches utilisant le champ défini localement ont le mérite de permettre une meilleure appréhension des phénomènes physiques mis en jeu. Le lien entre les approches « globales » basées sur
la mesure d’observables et les approches « locales » doit être défini pour les composites périodiques
résonants.
Le passage du concept à la mise en œuvre des applications utilisant les mirn requiert un modèle macroscopique adéquat des composites. Ainsi, pour les besoins de la modélisation approchée,
il peut être intéressant d’étudier ces composites à l’aide de relations constitutives généralisées. Mais
cela permettra uniquement de disposer d’un modèle plus précis du composite. Les caractéristiques
électromagnétiques du composite sont cependant plus complexes et ne peuvent pas être défini simplement par un indice de réfraction négatif. La modélisation approchée permet en effet par rapport
aux analyses purement numériques d’avoir une meilleure appréhension des phénomènes physiques
mis en jeu.
Enfin, nous pensons que la résonance d’ordre zéro est un phénomène qui mérite que l’on s’y
attarde. Cette résonance est très différente des résonances de Bragg et se produit pour des dimensions indépendantes de la longueur d’onde. Elle peut conduire à une miniaturisation des dispositifs
hyperfréquences. Pour mieux appréhender ce phénomène, il serait intéressant de l’étudier à l’aide
de modélisation numérique dans le domaine temporel.
Annexe
Annexe A
Décomposition des champs sur les modes
propres
Nous considérons un milieu homogène, isotrope et libre de sources. La fonction d’onde vectorielle
est par définition une solution de l’équation d’onde homogène :
~ ×∇
~ × F~ − γ 2 F~ = ~0
∇
(A.1)
~ i et N
~ i . Elles
Les solutions F~i de l’équation (A.1) sont de deux types et sont notées [91, 86] M
sont construites en prenant pour fonctions génératrices les fonctions d’ondes scalaires ψ, solution
de l’équation d’onde scalaire :
∇ψ − γ 2 ψ = 0.
(A.2)
~ i et N
~ i s’ecrivent de la manière suivante :
M
~i = ∇
~ × ψi C
~ , et
M
~i = j ∇
~ ×∇
~ × ψi C
~ ,
N
γ
(A.3)
(A.4)
~ défini comme un vecteur unitaire constant.
avec C
~ i et N
~ i sont finis, continues, univoques et ils forment
Dans un domaine borné, les fonctions M
~ étant un vecteur constant, M
~ i et N
~ i vérifient les conditions suivantes :
un ensemble discret [91]. C
~ ×N
~i
~i = j∇
M
γ
~i = j ∇
~ ×M
~i
et N
γ
(A.5)
~ et N
~ sont appropriés pour la représentation du champ électrique et magnétique
Les vecteurs M
car ces derniers peuvent chacun s’exprimer en fonction du rotationnel de l’autre (à un facteur près).
Les champs peuvent s’écrire sous la forme suivante [91] :
~ =
E
X
i
~ i + bi N
~i ,
ai M
X
~ = −γ
~ i + bi N
~i ,
H
ai M
ωµ
i
223
(A.6)
(A.7)
224
décomposition des champs sur les modes propres
Ces deux équations représentent la décomposition modale des champs.
Cas des guides d’ondes métalliques :
Pour les guides d’ondes métalliques uniformes, dans le
plan transverse (à la direction de propagation), une base de modes orthogonaux transverse électrique
~ et N
~ représentent alors les variations des
(te) et transverse magnétique (tm) peut être défini ; M
champs dans ce plan. Chaque mode i est associé à une constante de propagation et possède des
caractéristiques de propagation qui lui sont propres : atténuation, déphasage linéique et vitesse de
propagation.
Cas d’un milieu ouvert :
Tout comme pour les guides d’ondes métalliques, l’équation d’onde
admet en espace libre, des solutions connues analytiquement pour des surfaces transverses à la
direction de propagation. Ces surfaces peuvent être choisies de façon à ce que les solutions forment
un ensemble discret [86]. Les champs électriques et magnétiques s’écrivent alors également sous la
forme d’une décomposition modale donnée par les équations (A.6) et (A.7).
De façon analogue à des guides d’ondes, le concept de modes orthogonaux peut être utilisé. Ces
modes sont orthogonaux au sens du produit scalaire défini par :
D
E Z Z
~
~
A, B =
ST
~·B
~ ∗ dS,
A
(A.8)
où ST est la section de la surface transverse.
Pour les structures bi-périodiques, l’équation d’onde associée aux conditions aux limites bipériodiques admet un ensemble discret de fonctions propres, et les champs électrique et magnétique
se décomposent sur des modes appelés modes de Floquet. La structure peut être caractérisée par
ses modes propres et le champ au sein de la structure par leur coefficient de décomposition sur ces
modes. À chaque mode est associé une constante de propagation et une fréquence de coupure.
Utilité de ces notions : Ces notions sur la décomposition modale des champs dans un milieu
ouvert et un milieu bipériodique sont utiles à la compréhension de la manière dont l’espace libre
est modélisé dans le logiciel HFSS [89]. En effet, les surfaces transverses considérées pour la décomposition modale sont les accès physiques du système. L’onde excitatrice est simulée par l’excitation
d’un des modes sur un de ces accès. Pour une structure à plusieurs accès, il convient de charger les
autres accès par des charges adaptées.
Version provisoire
Annexe B
Système mécanique constitué d’un
réseau de résonateurs
Kelvin et Vincent [95] démontrent que la résonance d’un milieu périodique peut se produire
indépendamment de la séparation des particules le constituant, en d’autres termes de la périodicité.
Dans ce cas, il considère des particule possédant une résonante propre.
Un extrait de ces travaux est présenté dans la figure B.1.
(a)
(b)
Fig. B.1 – Extrait du livre de Brillouin [95] sur les travaux de Vincent. (a) Système périodique de
Masses (b) Indice de réfraction en fonction de la fréquence pour le système de masses montrée (a).
La courbe en traits pleins représente l’indice de réfraction d’un système faiblement amorti et celle
en trait pointillés celui d’un système fortement amorti.
Le modèle mécanique [figure B.1(a)] illustre le cas d’un système mécanique constitué de masses
M suspendues par des cordes et reliés entre elles par des ressorts auxquelles sont suspendues des
masses m (plus petites). Une impulsion est appliquée sur une masse m pour différentes vitesses
initiales.
Le mouvement d’une masse est alors observé pour différentes fréquences. La courbe de l’indice de
réfraction en fonction de la fréquence est montrée figure B.1(b). La courbe en trait plein représente
un coefficient d’amortissement faible et celle en traits pointillés un amortissement élevé. Remarquons que l’indice de réfraction atteint une valeur maximale à la fréquence ν1 quand le coefficient
d’amortissement est faible (courbe en trait plein).
Ce modèle mécanique représente l’oscillation d’un système périodique dont les constituants
possède une fréquence de résonance propre. Les résultats que nous devons retenir de cette étude
225
226
système mécanique constitué d’un réseau de résonateurs
(expérimentale) est que dans le cas d’un système faiblement amorti, l’indice de réfraction atteint
une valeur maximal et il est discontinu.
Il s’agit maintenant de faire l’analogie avec les ondes électromagnétiques. Or, généralement la
fonction diélectrique des milieux est définie par des modèles issus de la mécanique classique : tel
que le modèle du gaz d’électrons libres de Drude et celui de l’électron élastiquement lié à son noyau
(modèle de Lorentz).
Version provisoire
Annexe C
Publications et communications
C.1
Publications et communications internationales
– « Effective parameters of resonant negative refractive index metamaterials : Validity and interpretation », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, K. Mahdjoubi, A-C. Tarot, Journal of Applied
Physics, Vol. 98, pages 063505-1-4, Sep 2005.
– « Anomalous frequency range of effective parameters of resonant negative refractive index
metamaterials », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, K. Mahdjoubi, A-C. Tarot, Intl. Symp.
on antenna technology and applied electromagnetics (ANTEM) , juin 2005, Saint-Malo. (orale)
– « Inversion of Fresnel equations for the determination of effective parameters of periodic and
resonant and non-resonant metamaterials », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, K. Mahdjoubi,
A-C. Tarot, Intl. Symp. on antenna technology and applied electromagnetics (ANTEM) , juin
2005, Saint-Malo. (orale)
– « Homogenisation of negative refractive index metamaterials : comparison of effective parameters of broadside coupled and edge coupled split ring resonators », Divitha Seetharamdoo,
R. Sauleau, A-C. Tarot, K. Mahdjoubi, IEEE Antennas and Propagation Society (APS) International Symposium, vol. 4, pp. 3761-3764, 20-25 june 2004, Monterey (California), États
unis. (orale)
– « Homogenisation of negative refractive index metamaterials : influence of physical parameters
on the effective permittivity and permeability », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, A-C.
Tarot, K. Mahdjoubi, European Space Agency (ESA) technology workshop, pp. 619-626, 9 11 March 2004, Santiago de Compostela, Espagne. (poster)
227
228
publications et communications
C.2
Communications nationales
– « Problématique de l’homogénéisation des matériaux artificiels et résonants présentant un
indice de réfraction négatif », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, K. Mahdjoubi, A-C. Tarot,
MAJESTICS, 16-18 Nov. 2005, Rennes (poster)
– « Limites de validité des paramètres effectifs des métamatériaux résonants indice de réfraction
négatif : Mise en évidence d’une bande de fréquence anormale », Divitha Seetharamdoo, R.
Sauleau, K. Mahdjoubi, A-C. Tarot, Journées Nationales Microondes (JNM) , 11-13 mai 2005,
Nantes. (orale)
– « Conception de composites à perméabilité artificielle compactes : Modélisation et analyse »,
Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, K. Mahdjoubi, A-C. Tarot, Journées Nationales Microondes
(JNM) , 11-13 mai 2005, Nantes. (poster)
– « Influence of the variation of the constituents of negative refractive index metamaterials on
their effective permittivity and permeability », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, A-C. Tarot,
K. Mahdjoubi, Journée de Caractérisation Microondes et Matériaux (JCMM), 31 mars-02 avril
2004, La Rochelle. (orale)
C.3
Autres
– « Composites à perméabilité artificielle compactes : modélisation et analyse », Divitha Seetharamdoo, R Sauleau, A-C. Tarot, K. Mahdjoubi, Groupes thématiques 1 et 2 du GdR ondes
("Modélisation" et "Structure à bandes interdites photoniques ou soniques, microcavités, milieux complexes" ), 2-3 décembre 2004, IEMN, Villeneuve d’Asq. (poster)
– « Paramètres effectifs des métamatériux résonants à indice de réfraction négatif : validité
et interpretation », Divitha Seetharamdoo, R. Sauleau, A-C. Tarot, K. Mahdjoubi, Groupe
thématique 2 du GdR Ondes, 01 juillet 2004, Orsay. (orale)
– « Homogénéisation de métamatériaux à indice de réfraction négatif », Divitha Seetharamdoo,
R. Sauleau, A-C. Tarot, K. Mahdjoubi, Groupe thématique 2 du Gdr Ondes, 8 -10 décembre
2003, , Marseille. (poster)
Version provisoire
Résumé
Les métamatériaux à indice de réfraction négatif (MIRN) étudiés sont des composites artificielles
résonantes assimilables à un milieu continu présentant des caractéristiques de propagation inédites.
Ce mémoire est divisé en trois parties. La première partie traite de la problématique de l’homogénéisation des composites constitués d’inclusions métalliques résonantes et non-résonantes dans une
matrice diélectrique. Cette problématique n’est pas nouvelle en hyperfréquences mais l’originalité
de notre travail réside dans l’extension des techniques d’homogénéisation classiques aux MIRN ainsi
que dans l’étude de la validité de ces paramètres effectifs ainsi calculés. Des anomalies sont mises en
évidence autour de la résonance et grâce a de nombreuses analyses complémentaires, leurs origines
sont identifiées. Les limites pour lesquels les MIRN peuvent être considérés comme des milieux
continus sont ainsi établies. La forte corrélation qui existe entre le comportement des MIRN et les
composites magnétiques artificiels (constitués d’anneaux résonants) laisse entendre que l’ingénierie des passe par une maîtrise de la conception des milieux magnétique artificiels. C’est pourquoi
la deuxième partie du manuscrit est consacrée à l’étude des milieux magnétiques artificiels. Une
meilleure appréhension des phénomènes physiques à l’aide d’analyses quasi-statique et ondulatoire
nous ont permis d’établir des critères pour l’obtention d’une réponse magnétique prédominante.
Des règles de dimensionnement des anneaux résonants sont également dégagés à l’aide d’un modèle
analytique. Finalement, après une analyse des limitations de ces composites, nous proposons un milieu présentant de meilleures performances. La troisième partie traite des applications potentielles
aux antennes hyperfréquences à travers la proposition de l’exploitation d’une des caractéristiques
particulières des MIRN : la résonance d’ordre zéro. Cette résonance se produit indépendamment
des grandeurs géométriques du résonateur et permet d’établir le concept d’une antenne présentant
une résonance pour des dimensions indépendantes de la longueur d’onde de travail. Cette antenne
sera mise en œuvre en s’appuyant sur l’utilisation d’anneaux résonants couplés à une ligne microruban. Le passage du concept à la mise en œuvre sera démontré à l’aide résultats dégagés des deux
premières parties.
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