Ondes de gravité de surface ou vagues – Instabilité

Ondes de gravité de surface ou vagues – Instabilité de
Rayleigh-Taylor
Introduction
En mécanique des fluides, on désigne par onde de gravité une onde se déplaçant sur la
surface libre d'un liquide soumis à la gravité. Les vagues en milieu ouvert ou le
ballottement1 en milieu fermé constituent des exemples communs d'ondes de gravité.
Ondes concentriques (vagues) sur un plan d'eau.
En météorologie, on désigne par onde de gravité les variations de pression atmosphérique
créées par la chute d'une masse d'air dense (par exemple en raison du relief du terrain).
Ces ondes sont l'équivalent des vagues dans un milieu en trois dimensions. Elles peuvent
mener à la création de bandes nuageuses parallèles, correspondant aux minima et maxima
de pression (crêtes de l'onde), par exemple dans les cirrus vertebratus2.
Patron nuageux formé par les ondes de gravité en aval de l'Île Amsterdam,
une île volcanique de l'Océan Indien.
1
Le ballottement d'un liquide désigne les petits mouvements d'un liquide dans un réservoir, soumis à la
gravité, et en présence d'une surface libre.
2
Les cirrus vertebratus sont des nuages disposés en bandes alternées et parallèles, rappelant des vertèbres
ou des arrêtes de poisson. Une telle organisation spatiale suggère que le système nuageux a été généré par
la présence d'ondes de gravité.
1
Il ne faut pas confondre (mais selon les auteurs les deux terminologies sont employées)
« onde de gravité » et « onde gravitationnelle » cette dernière expression faisant plutôt
référence à la propagation d’une perturbation de courbure de l’espace temps en relativité
générale.
Dans le cas des ondes de gravité, essentiellement, un fluide léger tombe sur un fluide plus
lourd. Dans le cas contraire (fluide lourd tombant sur un fluide léger) la situation est
instable, ne possède pas de solution de type onde, et donne lieu à l’instabilité dite de
Rayleigh-Taylor.
Prenez deux fluides, un lourd et un léger, superposés dans un champ de gravitation (voir
figure).
Conditions initiales de l’instabilité de Rayleigh-Taylor
Ce système est instable. En effet, échangeons par la pensée un volume de fluide léger,
situé près de l'interface entre les deux fluides, avec un même volume de fluide lourd de
l'autre côté de cette interface. L'énergie potentielle de gravitation du système a diminué
tout comme son énergie totale. C'est la tendance naturelle de ce système à minimiser son
énergie potentielle de gravitation qui crée l'instabilité. Bien sûr, cette perte d'énergie est
compensée par l'augmentation d'une autre forme d'énergie : l'énergie cinétique. En bref,
le fluide lourd va passer sous le léger (et le léger sur le lourd, par symétrie), et ce
mouvement s'accompagne forcément d'une création d'énergie cinétique. Dans le cas des
vagues, si le fluide léger supérieur s’engouffre dans le fluide lourd inférieur, la poussée
d’Archimède tend à ramener le fluide léger à sa position initiale : il y a donc au contraire
stabilité et propagation d’ondes à l’interface. La figure suivante montre le résultat d'une
simulation numérique bidimensionnelle de l’évolution de l’instabilité de Rayleigh-Taylor,
avec une interface initiale légèrement et aléatoirement perturbée.
2
Le fluide lourd tombe, le fluide léger monte. Les deux fluides se croisent avec une
géométrie souvent qualifiée de champignons ou de doigts de Rayleigh-Taylor par les
chercheurs. Une simulation tridimensionnelle comme sur la figure ci-dessous, est bien
évidemment plus réaliste que la simulation bidimensionnelle et montre des champignons
un peu différents sans pour autant changer radicalement l'aspect global de la géométrie de
l'instabilité.
Instabilité de Rayleigh-Taylor : simulation 3D (Los Alamos National Institute)
On observe aussi des instabilités de Rayleigh-Taylor (on parle alors de « doigts de sel »)
lorsqu’un fleuve se jette dans la mer : la mer est le fluide dense salé qui est accéléré par le
fluide moins dense non salé du fleuve. Le fluide salé de la mer pénètre l’eau douce du
fleuve avec une géométrie typique de l’instabilité de Rayleigh-Taylor.
En astrophysique, l’instabilité de Rayleigh-Taylor s’observe aussi très souvent.
3
Nébuleuse planétaire Hélix (clichés de O’Dell, Hubble Space Telescope) : un vent
stellaire central rapide et peu dense entre en collision avec un vent stellaire plus dense et
moins rapide; il y a génération de doigts de Rayleigh-Taylor à l’interface.
Ci-dessous, on peut voir une simulation hydrodynamique que j’ai réalisée en 1999 dans le
cadre de mon doctorat. On y calcule l’évolution d’un globule de un rayon solaire, en
équilibre de pression dans un vent stellaire allant à 1000 km s -1 . Le but était d’étudier la
survie d'une inhomogénéité sphérique composée d'hydrogène et de rayon 1 rayon solaire,
située à proximité d’une étoile à vent stellaire rapide. La densité du globule est 50 fois
plus grande que celle du vent ambiant. Afin d'assurer une relative survie du globule, il
convient de limiter son expansion due à la pression. Sa température a donc été choisie 50
fois plus petite que celle du vent ambiant (50000 K), soit 1000 K. Ainsi la pression du
globule est égale à celle du vent local. Pour satisfaire la condition d'anti corrélation de la
densité avec la vitesse des surdensités des vents stellaires compressibles (cf. complément
de cours sur la compressibilité, sous section Contrastes de densité et nombre de Mach), le
globule a été choisi plus lent que le vent ambiant avec une vitesse de dérive relative
s'élevant à 100 km/s, le vent ayant de son côté une vitesse terminale de 1000 km/s et un
taux de perte de masse de 10-6 masses solaires par an. Les calculs ont été menés en
coordonnées cylindriques (z, r, ϕ), en supposant une symétrie de rotation relativement à
l'axe du cylindre z , rendant les simulations bidimensionnelles dans le plan (z, r). Les
calculs prennent en compte le refroidissement collisionnel du gaz. La grille de calcul est
constituée de 400 x 100 zones équidistantes en z et r, respectivement, sur les intervalles
spatiaux 8 R* ≤ z ≤ 16 R*, et 0 ≤ r ≤ 2 R*, avec R* = 1 rayon solaire, le centre du globule
se trouvant initialement à 10 rayons solaires de la surface de l'étoile. La figure montre les
résultats d'une telle simulation purement hydrodynamique : un globule sphérique, froid et
lent, dont le rayon vaut 1 rayon solaire et dont la densité est 50 fois plus importante que
celle du vent est significativement affecté par l'instabilité de Rayleigh-Taylor au bout de
~40 heures, et achève sa division au bout de ~50 heures, la vitesse de dérive devenant, de
son côté, nulle.
4
log(rho) g/cm^3
-12.80
0h
-11.15
Masse du globule : 5,7x10 -12 masses solaires
vent
1000 km/s
900 km/s
7h
14h
21h
28h
35h
2R*
r
0
42h
8R*
z
5
16R*
Description mathématique du problème
On considère un espace rempli de deux fluides incompressibles superposés et inviscides,
placés dans un champ de gravité uniforme g = − gzˆ .
Que les fluides soient incompressibles signifie que leur densité ne varie pas en suivant le
mouvement, c’est-à-dire que,
Dρ
=0
Dt
(1)
Cette hypothèse est très justifiée dans le cas des liquides mais aussi dans le cas des gaz
pourvu que la vitesse du son soit en chaque point beaucoup plus grande que la vitesse de
l’écoulement. Mathématiquement, cela revient finalement à imaginer que la vitesse du
son soit infinie. Dans ces conditions, puisque,
c2 =
Dp
Dρ
(2)
adiab
d’infimes variations de la densité en suivant le mouvement sont reliées à de très
importantes variations de pression. Dans une telle situation, remarquons que connaître le
champ de température devient superflu : la pression est en effet essentiellement
déterminée par les petites variations de densité relativement à une certaine densité de
référence. Ainsi l’équation de conservation de l’énergie est inutile, à moins que l’on
veuille explicitement calculer le champ de température !
Le fluide le plus lourd, de densité ρ 02 remplit au repos la zone z < 0 . Le fluide le plus
léger, de densité ρ 01 , remplit au repos la zone z > 0 . Dans ce document, on se propose
d’étudier les petites oscillations de l’interface entre les deux fluides. Ces petites
oscillations constituent ce que l’on appelle communément les vagues que l’on peut
couramment observer sur un plan d’eau.
Pour étudier ce problème, on considèrera d’abord que l’espace est rempli d’un fluide
unique qui, au repos, est distribué avec une certaine densité variable avec l’altitude mais
continue et dérivable, ρ 0 ( z ) . On en déduira les propriétés fondamentales du champ de
pression. Par la suite, on superposera deux fluides l’un sur l’autre afin d’étudier les
vagues proprement dites.
6
Étude d’un fluide unique
Stratification en pression
L’espace est rempli d’un fluide unique qui, au repos, est distribué avec une certaine
densité variable avec l’altitude mais continue et dérivable, ρ 0 ( z ) . Le champ de pression
est p0 . A l’équilibre l’équation d’Euler donne l’équation d’équilibre hydrostatique :
−∇p0 + ρ 0 g = 0
(3)
∂p0
=0
∂x
∂p
− 0 =0
∂y
∂p
− 0 = ρ0 g
∂z
(4)
Puisque g = − gzˆ , (3) équivaut à :
−
Nous venons donc de montrer que le champ de pression p0 ne dépend que de z avec une
stratification imposée par la relation suivante :
dp0
= − ρ0 g
dz
(5)
La densité ne peut donc dépendre que de z également.
Analyse de l’hypothèse d’incompressibilité autour de l’équilibre
On a,
Dρ
∂ρ
=0→
+ ( v ⋅∇ ) ρ = 0
Dt
∂t
(6)
A l’équilibre nous avons :
ρ ( r, t ) = ρ0 ( z )
p ( r, t ) = p0 ( z )
(7)
v ( r, t ) = 0
Si on perturbe l’équilibre, nous avons (les variables avec l’indice 1 étant de petites
perturbations relativement aux valeurs à l’équilibre; seule la vitesse est égale à sa valeur
perturbée):
7
ρ ( r, t ) = ρ 0 ( z ) + ρ1 ( r, t )
p ( r, t ) = p0 ( z ) + p1 ( r, t )
(8)
v ( r, t ) = 0 + v1 ( r, t )
Remarquons que rien n’impose aux perturbations de ne dépendre que de z ! Injectons les
relations (8) dans (6) :
∂ρ
+ ( v ⋅ ∇) ρ = 0
∂t
∂
( ρ0 + ρ1 ) + ( v ⋅∇ )( ρ0 + ρ1 ) = 0
∂t
∂ρ 0 ∂ρ1
+
+ ( v ⋅∇ ) ρ 0 + ( v ⋅∇ ) ρ1 = 0
∂t
∂t
(9)
∂ρ 0
= 0 par définition, et si l’on ne conserve dans (9) que les
∂t
termes d’ordre 1, il reste :
Mais à l’équilibre on a
∂ρ1
+ ( v ⋅∇ ) ρ0 = 0
∂t
(10)
Analyse de l’équation de continuité autour de l’équilibre
Nous avons :
∂ρ
+ ∇ ⋅( ρv) = 0
∂t
∂
( ρ0 + ρ1 ) + ∇ ⋅ ( ( ρ0 + ρ1 ) v ) = 0
∂t
(11)
Pour les mêmes raisons que dans la sous section précédente, à l’ordre 1 on a donc :
∂ρ1
+ ∇ ⋅ ( ρ0 v ) = 0
∂t
(12)
∇ ⋅ ( fA) = f (∇ ⋅ A) + A ⋅ (∇f )
(13)
∂ρ1
+ ρ 0 ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ 0 = 0
∂t
(14)
D’autre part,
Donc (12) devient :
8
Mais d’après (10) on peut réécrire (14) :
∂ρ1
+ ρ 0 ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ρ 0 = 0
∂t
∂ρ1
∂ρ
+ ρ 0∇ ⋅ v − 1 = 0
∂t
∂t
ρ 0∇ ⋅ v = 0
∇⋅v = 0
(15)
(16)
Ainsi, la divergence de la perturbation en vitesse est obligatoirement nulle.
Analyse de l’équation de conservation de la quantité de mouvement
autour de l’équilibre
L’équation d’Euler est ici (pour un fluide inviscide):
 ∂v

+ ( v ⋅∇ ) v  = −∇p + ρ g
 ∂t

ρ
(17)
Autour de l’équilibre (17) s’écrit :
( ρ0 + ρ1 ) 
∂v

+ ( v ⋅ ∇ ) v  = −∇ ( p0 + p1 ) + ( ρ 0 + ρ1 ) g
 ∂t

(18)
Après élimination des termes du second ordre, il reste :
ρ0
∂v
= −∇p0 − ∇p1 + ρ0 g + ρ1g
∂t
(19)
Mais d’après l’équilibre hydrostatique (3) :
ρ0
∂v
= −∇p0 − ∇p1 + ρ0 g + ρ1g
∂t
(20)
∂v
= −∇p1 + ρ1g
∂t
(21)
ρ0
Décomposition des perturbations solutions en modes normaux
Nous avons montré que les perturbations en densité, en pression et en vitesse satisfont
aux trois équations :
∇⋅v = 0
9
(22)
∂v
= −∇p1 + ρ1g
∂t
(23)
∂ρ1
+ ∇ ⋅ ( ρ0 v ) = 0
∂t
(24)
ρ0
On va chercher des perturbations solutions en termes de modes normaux (c’est-à-dire en
faisant des décompositions de Fourier) de la forme suivante (on cherche des ondes se
propageant dans la direction du plan xy et dont les caractéristiques ne dépendent que de
la profondeur z ):
ρ1 ( r, t ) = D ( r ) e − iωt avec D ( r ) = ρˆ ( z ) eik ⋅r
v ( r, t ) = w ( r ) e − iωt avec w ( r ) = vˆ ( z ) eik ⋅r
(25)
p1 ( r, t ) = p ( r ) e − iωt avec p ( r ) = pˆ ( z ) eik ⋅r
sachant que k = ( k x , k y ) , r = ( x, y ) et k ⋅ r = k x x + k y y .
Conditions satisfaites par les termes spatiaux des modes normaux
Puisque v ( r, t ) = w ( r ) e − iωt , (22) entraîne immédiatement:
∇⋅w = 0
(26)
Puisque v ( r, t ) = w ( r ) e − iωt et ρ1 ( r, t ) = D ( r ) e − iωt , (24) entraîne :
∂ρ1
+ ∇ ⋅ ( ρ0 v ) = 0
∂t
∂
D ( r ) e − iωt ) + ∇ ⋅ ( ρ 0 w ( r ) e − iωt ) = 0
(
∂t
−iω De− iωt + e− iωt ∇ ⋅ ( ρ 0 w ) = 0
(27)
Finalement,
−iω D + ∇ ⋅ ( ρ0 w ) = 0
De la même manière, (23) donne sachant qu’en outre p1 ( r, t ) = p ( r ) e− iωt :
10
(28)
∂v
= −∇p1 + ρ1g
∂t
∂
ρ 0 ( w ( r ) e − iωt ) = −∇ ( p ( r ) e − iωt ) + ( D ( r ) e −iωt ) g
∂t
−iωρ 0 w ( r ) e− iωt = −e − iωt ∇ ( p ( r ) ) + D ( r ) e− iωt g
(29)
−iωρ 0 w ( r ) = −∇ ( p ( r ) ) + D ( r ) g
(30)
ρ0
Finalement,
Analyse de Fourier des termes spatiaux des modes normaux
Dans la sous section précédente nous avons montré que les termes spatiaux des modes
normaux des perturbations satisfont aux trois équations :
∇⋅w = 0
(31)
−iω D + ∇ ⋅ ( ρ0 w ) = 0
(32)
−iωρ 0 w ( r ) = −∇ ( p ( r ) ) + D ( r ) g
(33)
Mais nous avons aussi posé :
D ( r ) = ρˆ ( z ) eik ⋅r
w ( r ) = vˆ ( z ) eik ⋅r
p ( r ) = pˆ ( z ) e
(34)
ik ⋅r
Il est donc possible d’interpréter (31), (32) et (33) en termes de composantes de Fourier.
On a :
∂wx ∂wy ∂wz ∂
∂
∂
+
+
= ( vˆx ( z ) eik ⋅r ) + ( vˆ y ( z ) eik ⋅r ) + ( vˆz ( z ) eik ⋅r ) = 0
∂x
∂y
∂z ∂x
∂y
∂z
∂
∂
dvˆ
∂
∇ ⋅ w = vˆx ( z ) ( eik ⋅r ) + vˆy ( z ) ( eik ⋅r ) + z eik ⋅r + vˆz ( z ) ( eik ⋅r ) = 0
∂x
∂y
dz
∂z
∇⋅w =
∇ ⋅ w = vˆx ( z )
∂ i( kx x + k y y )
∂ i( k x x + k y y ) dvˆz i( k x x + k y y )
∂ i( k x x + k y y )
=0
e
+ vˆ y ( z )
e
+
e
+ vˆz ( z )
e
∂x
∂y
dz
∂z
(35)
(
)
)
(
Donc,
11
(
)
∇ ⋅ w = vˆx ( z ) ik x eik ⋅r + vˆ y ( z ) ik y eik ⋅r +
dvˆz ik ⋅r
e =0
dz
(36)
Enfin :
vˆx ( z ) ik x + vˆ y ( z ) ik y +
ik ⋅ vˆ +
dvˆz
=0
dz
dvˆz
=0
dz
(37)
(38)
D’autre part :
−iω D + ∇ ⋅ ( ρ 0 w ) = 0
−iωρˆ ( z ) eik ⋅r + ∇ ⋅ ( ρ 0 vˆ ( z ) eik ⋅r ) = 0
−iωρˆ ( z ) eik ⋅r +
(39)
∂
∂
∂
ρ0 vˆx ( z ) eik ⋅r ) + ( ρ 0vˆ y ( z ) eik ⋅r ) + ( ρ 0vˆz ( z ) eik ⋅r ) = 0
(
∂x
∂y
∂z
La densité à l’équilibre ρ 0 et les composantes de v̂ ne dépendent que de z et k ⋅ r ne
dépend que de x et y :
∂ ik ⋅r
∂
∂
e ) + ρ 0 vˆ y ( z ) ( eik ⋅r ) + eik ⋅r ( ρ 0 vˆz ( z ) ) = 0
(
∂x
∂y
∂z
d
−iωρˆ ( z ) eik ⋅r + ρ0 vˆx ( z ) ik x eik ⋅r + ρ 0 vˆy ( z ) ik y eik ⋅r + eik ⋅r ( ρ 0 vˆz ( z ) ) = 0
dz
−iωρˆ ( z ) eik ⋅r + ρ0 vˆx ( z )
−iωρˆ ( z ) + ik x ρ0 vˆx ( z ) + ik y ρ 0 vˆ y ( z ) +
−iωρˆ ( z ) + i ρ 0k ⋅ vˆ +
d
( ρ0vˆz ( z ) ) = 0
dz
d
( ρ0vˆz ( z ) ) = 0
dz
(40)
(41)
(42)
Enfin :
−iωρ 0 w ( r ) = −∇ ( p ( r ) ) + D ( r ) g
−iωρ 0 vˆ ( z ) eik ⋅r = −∇ ( pˆ ( z ) eik ⋅r ) − ρˆ ( z ) eik ⋅r gzˆ
12
(43)
−iωρ 0 vˆ ( z ) eik ⋅r
 ∂
ik ⋅r 
 ( pˆ ( z ) e ) 
 ∂x

0
 ∂ ˆ

 
= −  ( p ( z ) eik ⋅r )  − ρˆ ( z ) eik ⋅r g  0 
∂y
1


 
 ∂ ˆ
ik ⋅r 
 ( p(z)e )
 ∂z

(44)
−iωρ 0 vˆ ( z ) eik ⋅r

∂ ik ⋅r 
 pˆ ( z ) ( e ) 
∂x


0
∂ ik ⋅r 
ˆ
 
= −  p ( z ) ( e )  − ρˆ ( z ) eik ⋅r g  0 
∂y
1


 
ˆ


ik ⋅r dp
e


dz


(45)


 pˆ ( z ) ik x eik ⋅r 
0

ik ⋅r 
ik ⋅r  
= −  pˆ ( z ) ik y e  − ρˆ ( z ) e g  0 
1

dpˆ 
 
 eik ⋅r

dz


(46)
−iωρ 0 vˆ ( z ) eik ⋅r
On a donc les trois équations :
iωρ 0 vˆx = ik x pˆ
iωρ 0 vˆ y = ik y pˆ
iωρ 0 vˆz =
(47)
dpˆ
+ ρˆ g
dz
Relation entre la décomposition de Fourier de la pression et le
gradient de vitesse verticale
D’après les deux premières relations de (47) on a :
k x ( iωρ 0 vˆx ) = ik x2 pˆ
k y ( iωρ 0 vˆy ) = ik y2 pˆ
(48)
ωρ0k ⋅ vˆ = k 2 pˆ
(49)
Donc,
avec la notation k 2 = k x2 + k y2 . Mais d’après (38) on a alors :
13
 ωρ 0k ⋅ vˆ = k 2 pˆ
dvˆz

ik ⋅ vˆ +
=0⇒
dvˆz
dz
= k 2 pˆ
iωρ 0
dz

(50)
Finalement :
pˆ = i
ωρ 0 dvˆz
k 2 dz
(51)
Équation différentielle que doit satisfaire la composante verticale de
la vitesse
D’après la troisième relation de (47) et (51) :
d  ωρ 0 dvˆz 
i
 + ρˆ g
dz  k 2 dz 
ω d  dvˆz 
iωρ 0 vˆz = i 2
 ρ0
 + ρˆ g
k dz 
dz 
iωρ 0 vˆz =
(52)
Mais d’après (42),
−iωρˆ ( z ) + i ρ 0k ⋅ vˆ +
d
( ρ0vˆz ( z ) ) = 0
dz
(53)
et à l’aide de (38) on peut réécrire (53) :
d

−iωρˆ ( z ) + i ρ0k ⋅ vˆ + ( ρ 0 vˆz ( z ) ) = 0

dvˆ

dz
ik ⋅ vˆ + z = 0 ⇒ 
dz
 −iωρˆ ( z ) − ρ dvˆz + d ( ρ vˆ ( z ) ) = 0
0
0 z

dz dz
(54)
Et la dernière relation de (54) est équivalente à :
−iωρˆ + vˆz
d ρ0
=0
dz
(55)
Donc, après injection de (55) dans la deuxième relation de (52) :
dvˆz 
 ρ0
 + ρˆ g
k dz 
dz 
ω d  dvˆz  gvˆz d ρ 0
iωρ 0 vˆz = i 2
 ρ0
+
k dz 
dz  iω dz
iωρ 0 vˆz = i
ω d 
2
14
(56)

gk 2 ρ '  1 d  dvˆz 
ρ0
vˆz  k 2 + 2 0  =
ω ρ0  ρ0 dz  dz 

(57)
Solution dans le cas où l’échelle de gradient de densité est très
grande
Si l’échelle de gradient de densité L est très grande devant
gk 2
ω2
(ce qui est d’autant plus
vrai que la pulsation est importante) on peut poser,
gk 2 ρ0 '
k2
(58)
ρ0 ' 1 ω 2
∼ ρ0
L
g
(59)
ρ 0 ∼ cte
(60)
ω
2
ρ0
Alors (57) donne simplement :
k 2 vˆz =
d 2 vˆz
dz 2
(61)
ou encore,
d 2 vˆz
− k 2 vˆz = 0
2
dz
(62)
La solution générale de (62) est de la forme ( A, B sont des constantes):
vˆz ( z ) = Ae kz + Be − kz
(63)
Étude de deux fluides superposés
Le fluide le plus lourd, de densité ρ 02 remplit au repos la zone z < 0 . Le fluide le plus
léger, de densité ρ 01 < ρ 02 , remplit au repos la zone z > 0 .
La relation (57) est alors valable dans chacune des deux régions z < 0 et z > 0
considérées séparément. A l’interface ( z = 0 ) on doit de plus imposer la continuité de
vˆz ( z ) , ainsi la quantité vˆz (0) a un sens :
15
lim vˆz (a ) = lim vˆz (− a ) = vˆz (0)
a →0
a>0
a →0
a >0
(64)
Solution dans la région z > 0
On a,
vˆz ( z ) = Ae kz + Be − kz
(65)
lim vˆz ( z ) = 0
(66)
vˆz ( z ) = Be − kz
(67)
avec la condition naturelle,
z →+∞
Nécessairement on a A = 0 et :
Mais d’après (64) on sait que B = vˆz ( 0 ) . Finalement, dans la région z > 0 :
vˆz ( z ) = vˆz ( 0 ) e − kz
(68)
vˆz ( z ) = A ' e kz + B ' e − kz
(69)
lim vˆz ( z ) = 0
(70)
vˆz ( z ) = A ' e kz
(71)
Solution dans la région z < 0
On a,
avec la condition naturelle,
z →−∞
Nécessairement on a B ' = 0 et :
Mais d’après (64) on sait que A ' = vˆz ( 0 ) . Finalement, dans la région z < 0 :
vˆz ( z ) = vˆz ( 0 ) ekz
16
(72)
Connexion des deux solutions et relation de dispersion des vagues
Considérons un nombre réel a > 0 . On peut donc considérer (57) sur l’intervalle
z ∈ [ − a, a ] et écrire :
+a
a
 2 gk 2 ρ 0 ' 
1 d  dvˆ 
ˆ
∫− a vz  k + ω 2 ρ0  dz = −∫a ρ0 dz  ρ0 dzz  dz
(73)
La relation (73), correctement développée, va nous permettre de connecter les deux
fluides, soit les solutions (68) et (72). Rappelons la première formule de la moyenne : si,
sur un intervalle [ a, b] , f est continue et g est intégrable, bornée et garde un signe
constant sur [ a, b] , alors il existe un réel c ∈ [ a, b] (on l’appelle la moyenne de f sur
[ a, b] ) tel que :
b
b
a
a
∫ f ( x) g ( x)dx = f (c) ∫ g ( x)dx
Notons ρ la valeur moyenne de ρ 0 sur
[ − a, a ] .
(74)
Alors, la première formule de la
moyenne appliquée à (73) entraîne (si a est suffisamment petit, cette formule est
applicable dans le cas général) :
+a
a
 2 gk 2 ρ 0 ' 
1 d  dvˆ 
ˆ
+
=
v
k
dz
∫− a z  ω 2 ρ0  −∫a ρ0 dz  ρ0 dzz  dz
+a
+a
a
gk 2 ρ 0 '
1 d  dvˆ 
2
∫− a k vˆz dz + −∫a vˆz ω 2 ρ0 dz = −∫a ρ0 dz  ρ0 dzz  dz
+a
gk 2
a
ρ0 '
1 d  dvˆz 
ρ
k ∫ vˆz dz + 2 ∫ vˆz
dz = ∫
dz
ω − a ρ0
ρ dz  0 dz 
−a
−a 0
+a
gk 2 1
2
(75)
+a
+a
a
d  dvˆ 
k 2 ∫ vˆz dz + 2
vˆz ρ 0 ' dz = ∫  ρ0 z  dz
∫
ω ρ −a
ρ − a dz  dz 
−a
1
(76)
Imaginons maintenant que a → 0 tout en restant strictement positif :
+a
+a
a

 gk 2 1 
 1
d  dvˆ  
k 2  lim ∫ vˆz dz  + 2  lim ∫ vˆz ρ 0 ' dz  =  lim ∫  ρ 0 z  dz 
a →0
a →0
a →0
dz 
dz  
−a
−a
−a

 ω ρ
 ρ
17
(77)
k lim ( 2avˆz ( 0 ) ) +
2
a →0
gk 2 vˆz ( 0 )
ω2
ρ
( lim ρ ( a ) − lim ρ ( −a ) )
0
a →0
0
a →0
(78)
dvˆ
dvˆ
1

=  lim ρ 0 ( a ) z ( a ) − lim ρ0 ( − a ) z ( −a ) 
a
→
a
→
0
0
dz
dz
ρ

Mais :
dvˆz
= −kvˆz ( 0 ) e− kz
dz
dvˆ
z < 0 : vˆz ( z ) = vˆz ( 0 ) ekz ⇒ z = + kvˆz ( 0 ) e kz
dz
(79)
dvˆz
ρ 01 ( a ) kvˆz ( 0 ) e − ka
( a ) = − lim
a →0
a →0
dz
dvˆ
z < 0 : lim ρ 0 ( − a ) z ( − a ) = lim ρ 02 ( − a ) kvˆz ( 0 ) e− ka
a →0
a →0
dz
(80)
z > 0 : vˆz ( z ) = vˆz ( 0 ) e − kz ⇒
Et :
z > 0 : lim ρ 0 ( a )
Donc (78) donne,
gk 2 vˆz ( 0 )
ω
2
ρ
ω
ρ
z
0
a →0
gk 2 vˆz ( 0 )
2
( lim ρ ( a ) − lim ρ ( −a ) ) = ρ1  lim ρ ( a ) dvdzˆ ( a ) − lim ρ ( −a ) dvdzˆ ( −a ) 
a →0
0
a →0
a →0
( ρ ( 0 ) − ρ ( 0 ) ) = ρ1 ( − lim ρ ( a ) kvˆ ( 0 ) e
01
02
a →0
z
0
z
01
− ka
0
− lim ρ 02 ( −a ) kvˆz ( 0 ) e − ka
a →0
)
(81)
Donc,
gk 2 vˆz ( 0 )
ω
2
ρ
1
( ρ ( 0 ) − ρ ( 0 ) ) = ρ ( − ρ ( 0 ) kvˆ ( 0 ) − ρ ( 0 ) kvˆ ( 0 ) )
01
gk
ω2
02
z
01
02
( ρ ( 0) − ρ ( 0)) = −ρ ( 0) − ρ ( 0)
01
02
01
02
z
(82)
(83)
D’où la relation de dispersion des vagues :
ω 2 = gk
ρ 02 ( 0 ) − ρ 01 ( 0 )
ρ01 ( 0 ) + ρ02 ( 0 )
(84)
avec ρ 01 < ρ 02 . Plus la longueur d’onde des vagues est petite, plus la pulsation est grande.
18
La vitesse de phase des vagues est donc :
vϕ =
ω
k
g
k
=
ρ02 ( 0 ) − ρ01 ( 0 )
ρ01 ( 0 ) + ρ02 ( 0 )
(85)
Plus la longueur d’onde des vagues est grande, plus la vitesse de phase est importante.
Instabilité de Rayleigh-Taylor
D’après (84), on constate immédiatement que si un fluide lourd repose sur un fluide
léger, la situation est instable. En effet on a alors :
ω 2 = gk
ρ 02 ( 0 ) − ρ01 ( 0 )
<0
ρ 01 ( 0 ) + ρ 02 ( 0 )
(86)
puisque dans ce cas ρ 01 > ρ 02 . Alors les perturbations,
ρ1 ( r, t ) = D ( r ) e − iωt
v ( r, t ) = w ( r ) e− iωt
(87)
p1 ( r, t ) = p ( r ) e − iωt
ne peuvent que croître car ω = iΩ est un nombre imaginaire pur ( Ω est un réel positif) et
les termes en e− iωt divergent quand le temps s’écoule :
e− iωt = e− iiΩt = eΩt
(88)
La croissance des perturbations est, de plus, d’autant plus rapide que leur longueur
d’onde est petite. Ainsi, des champs de densité quasi uniformes (i.e. uniformes avec un
petit bruit blanc de densité) développent rapidement les instabilités de Rayleigh-Taylor.
19