MPSI Mathématiques et informatique 1 Construction 2

12/2009
MPSI
2008-2009
Mathématiques et informatique
Récursivité et géométrie
courbe de von Koch
La courbe de von Koch est un arc continu, non dérivable.
Le «flocon» est une courbe de von Koch fermée, de longueur infinie qui
délimite une surface plane d’aire finie.
La définition de la courbe de von Koch est récursive.
Arc de von Koch Soient deux points A et B et S0 = (A, B). Supposons
donnée pour un entier k, une suite finie Sk = (Ak,j )0≤ j≤4k de points
du plan. Nous définissons la suite Sk+1 = (Ak+1,j )0≤ j≤4(k+1) par :
+A
2A
A
+2A
Ak+1,4j = Ak,j et Ak+1,4j+1 = k+1,4j 3 k+1,4j+4 , Ak+1,4j+3 = k+1,4j 3 k+1,4j+4
et Ak+1,4j+2 est tel que le triangle (Ak+1,4j+1 Ak+1,4j+2 Ak+1,4j+3 ) soit
équilatéral direct.
1
Construction
Transformation du segment [A, B] en quatre segments A, 2A3+B , 2A3+B , C ,
C, A+32B et A+32B , B sur lesquels la procédure est appliquée récursivement.
C
A
B
(2A+B)/3
(A+2B)/3
Le flocon est obtenu en appliquant la procédure sur chaque coté d’un
triangle équilatéral.
2
Algorithme
1. Écrire un algorithme récursif qui prend en entrée deux points A, B et
un entier positif n puis qui renvoie la suite Sn .
2. Écrire cet algorithme en langage Maple.
1
A
B
C
F IGURE 1 – Flocon (n = 1)
A
B
C
F IGURE 2 – Flocon (n = 2)
3. Écrire un programme qui prend A, B et n en entrée et représente graphiquement la liste Ln = [Sn ].
3
Périmètre, aire
Soit Fn le polygone construit à l’étape n. Calculer le périmètre de Fn et
l’aire de la surface délimitée par Fn .
Notations : pn est le périmètre et an l’aire.
Indication : établir des formules de récurrence.
2
A
B
C
F IGURE 3 – Flocon (n = 4)
C
A
B
F IGURE 4 – Flocon (angle négatif, n = 4)
A
B
C
F IGURE 5 – Flocon (angle différent)
3