MPSI Mathématiques et informatique 1 Construction 2

12/2009
MPSI
2008-2009
Mathématiques et informatique
Récursivité et géométrie
courbe de von Koch
La courbe de von Koch est un arc continu, non dérivable.
Le «flocon» est une courbe de von Koch fermée, de longueur infinie qui
délimite une surface plane d’aire finie.
La définition de la courbe de von Koch est récursive.
Arc de von Koch Soient deux points A et B et S0= (A, B). Supposons
donnée pour un entier k, une suite finie Sk= (Ak,j)0≤j≤4kde points
du plan. Nous définissons la suite Sk+1= (Ak+1,j)0≤j≤4(k+1)par :
Ak+1,4j=Ak,jet Ak+1,4j+1=2Ak+1,4j+Ak+1,4j+4
3, Ak+1,4j+3=Ak+1,4j+2Ak+1,4j+4 3
et Ak+1,4j+2est tel que le triangle (Ak+1,4j+1Ak+1,4j+2Ak+1,4j+3)soit
équilatéral direct.
1 Construction
Transformation du segment [A, B]en quatre segments A, 2A+B
3,2A+B 3, C,
C, A+2B
3et A+2B 3, Bsur lesquels la procédure est appliquée récursive-
ment.
A B
C
(2A+B)/3 (A+2B)/3
Le flocon est obtenu en appliquant la procédure sur chaque coté d’un
triangle équilatéral.
2 Algorithme
1. Écrire un algorithme récursif qui prend en entrée deux points A, B et
un entier positif npuis qui renvoie la suite Sn.
2. Écrire cet algorithme en langage Maple.
1

A B
C
FIGURE 1 – Flocon (n=1)
A B
C
FIGURE 2 – Flocon (n=2)
3. Écrire un programme qui prend A,B et nen entrée et représente gra-
phiquement la liste Ln= [Sn].
3 Périmètre, aire
Soit Fnle polygone construit à l’étape n. Calculer le périmètre de Fnet
l’aire de la surface délimitée par Fn.
Notations : pnest le périmètre et anl’aire.
Indication : établir des formules de récurrence.
2

A B
C
FIGURE 3 – Flocon (n=4)
A B
C
FIGURE 4 – Flocon (angle négatif, n=4)
A B
C
FIGURE 5 – Flocon (angle différent)
3