Notions de base sur les séries statistiques Isabelle Cadoret Dans les sources statistiques il existe plusieurs types de séries: des séries en prix courants, en prix constants, en indice, en taux de croissance,... L’objectif ici est de rappeler le mode de calcul de ces statistiques. 1 Séries de volumes et de valeurs Une série exprimée en volume décrit des quantités: 1 kg de pomme de terre, 1 tonne de fuel,.... Il s’agit d’une série réelle dont l’évolution ne dépend que des quantités. Une série exprimée en prix constants, en prix 1990...représente également une série réelle car son évolution est indépendante des prix. Une série exprimée en valeur courante indique la valeur monétaire des quantités mesurées avec les prix courants, c’est-à-dire au prix en vigueur à la date d’observation. A une date donnée, la valeur monétaire d’un bien correspond au prix du bien multiplié par les quantités. Il s’agit d’une série nominale dont l’évolution dépend de l’évolution des prix et des quantités. Les séries exprimées en monnaie nationale courante, en dollars courants, en prix courants, sont des séries nominales. Le tableau 1 présente des séries fictives de quantités et de prix de bonbons et le calcul de la valeur des quantités exprimées en monnaie courante et constante. Tableau 1: Evolution des quantités et des prix de bonbons (séries fictives) 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Quantités en tonnes Prix / tonne en euro 1200 1100 900 1000 1300 1500 5.00 6.00 6.50 7.00 7.30 7.10 Valeur en prix courants 6000 6600 5850 7000 9490 10650 Valeur en prix 1990 6000 5500 4500 5000 6500 7500 Soient Qt et Pt les séries de quantités et de prix de bonbons l’année t. La colonne valeur en prix courants est calculée en multipliant les séries Qt et Pt . La colonne valeur en prix 1990 donne, pour chaque année, le produit des séries P1990 et Qt on obtient ainsi la valeur des quantités en prix constants 1990. Par exemple la valeur des quantités en prix courants en 1992 est égale à 900 × 6.5 = 5850, en prix 1990 cette valeur est égale à 900 × 5 = 4500. 1 Dans le tableau 1, la valeur des quantités est exprimée en euro et le tableau 2 présente le calcul de la valeur des quantités en dollars courants et en dollars constants. La série de taux de change (tc) permet d’effectuer ce calcul. Elle exprime la valeur de 1 dollar en euro, on suppose qu’en en 1990 un dollar s’échange contre 1.1 euro. Tableau 2: Calcul de la valeur des quantités en dollars courants et constants 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Taux de Change Prix en dollars Valeur en dollars 1.10 1.05 1.00 0.98 0.99 1.01 4.545 5.714 6.500 7.143 7.374 7.030 5455 6286 5850 7143 9586 10545 Valeur en dollars 1990 5455 5000 4091 4545 5909 6818 La colonne prix en dollars correspond au prix par tonne en euro divisé par le taux de change (Pt /tct ). On obtient ainsi la valeur d’une tonne de bonbons en dollars. La colonne valeur en dollars exprime la valeur des quantités de bonbons en dollars courants, on multiplie la série Qt par le prix en dollars de l′ année t. Enfin, la colonne valeur en dollars 1990 s’obtient en multipliant Qt par le prix en dollars de l′ année 1990. Par exemple, en 1993 un dollar est échangé contre 0.98 euro, le prix d’une tonne de bonbons est donc égale à 7/0.98 = 7.14 dollars. La valeurs en dollars courant des quantités de bonbons est donnée par 1000×7.143 = 7143 et la valeur en dollars constants 1990 par 1000×4.545 = 4545. 2 2.1 Séries d’Indices Les indices élémentaires Un indice élémentaire reflète l’évolution d’une série. Il mesure le coefficient de variation de la série par rapport à une année de base. Il est calculé en rapportant la série à l’année de base choisie. Soit xt la valeur de la série x à la date t, son indice en base 1990 (Ixt,90 ) est donné par: Ixt,90 = xt x90 × 100 La valeur de cet indice est égal à 100 l’année de base: Ix90,90 = 100. Le tableau 3 présente le calcul des indices de volume et de valeur des quantités de bonbons. 2 Tableau 3: Calcul des indices de volume et de valeur - base 100 en 1990 Indice de volume 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Indice de valeur en euro 100 110 98 117 158 178 100 92 75 83 108 125 Indice de valeur en dollars 100 115 107 131 176 193 L’indice de volume peut-être calculé à partir de la série de quantité exprimée en tonnes ou en en prix constants (euro ou dollars) , par exemple l’indice de volume en 1992 en base 1990 des quantités de bonbons est égal à 900 4500 4091 = = = 75 1200 6000 5455 Un indice de volume exprime l’évolution des quantités, en revanche un indice de valeur tient compte des évolutions des prix et des quantités. Par conséquent, les indices de valeurs calculés avec des séries en euro et en dollars courants sont différents. En 1993, en base 1990, l’indice de valeur en euro est donné par le rapport 7000/6000 = 117, en dollars il est égal à 7143/5455 = 131. De manière générale, l’indice de volume base 1990 s’obtient en calculant le rapport Qt /Q1990 et l’indice en prix 1990 (euro ou dollars) est identique car il se calcule de la manière suivante: P1990 Qt × Qt tc1990 = P1990 Q1990 Q1990 × tc1990 L’indice de valeur en dollars est donné par: Pt tct P1990 Q1990 × tc1990 Qt × et l’indice de valeur en euro est mesuré par: Qt × Pt Q1990 × P1900 Dans les séries statistiques longues, on observe parfois des changements de base des indices de volume et de valeur. Il faut dans ce cas raccorder les deux séries d’indices. Le tableau 4 présente un exemple de raccordement d’un indice, exprimé initialement en base 1990, en base 1992. 3 Tableau 4: Raccordement d’une série d’indice Indice de valeur en dollars base 1990 100 115 107 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Indice de valeur en dollars base 1992 100 122 164 180 Reconstitution de la série en base 1992 93 107 100 122 164 180 Dans cet exemple on dispose, d’une part, de l’indice de valeur des quantités de bonbons en base 1990 sur la période 1990 1992 et, d’autre part, de l’indice de valeur des quantités de bonbons en base 1992 sur la période 1992 1995. Le problème consiste alors à reconstituer l’indice en base 1992 pour les années 1990 et 1991. Pour l’année 1990, Ix90,90 = 1001 et Ix90,92 est donné par: x90 x90 1 × 100 . × 100 = Ix90,92 = x92 x92 x90 x90 =100 = Ix90,90 × 100 = 93 Ix92,90 107 De la même manière, pour l’année 1991, on obtient Ix91,92 = 115/107 × 100 = 107. 2.2 Les indices synthétiques: indices de Laspeyres, de Paasches et de Fisher Considérons N biens, i = 1...N, on note Pit le prix du bien i à la date t et Qit les quantités de bien i à la date t. Les indices synthétiques donnent l’évolution des prix et des volumes de l’ensemble des N biens. L’ indice des prix de Laspeyres est un indice synthétique qui décrit l’évolution du prix moyen d’un ensemble de biens entre deux dates. Soit Lp l’indice de prix de Laspeyres: Lp = N i=1 Ipi,t,t−1 valeuren t−1 Pit × 100 × (Pit−1 × Qit−1 ) Pit−1 N (Pit−1 × Qit−1 ) i=1 1 la valeur de l’indice de la série x en 1990 en base 1990 4 avec Ipi,t,t−1 l’indice de prix élémentaire du bien i à la date t en base t − 1. L’indice de Laspeyre des prix est une moyenne arithmétique des indices de prix élémentaires Ipi,t,t−1 , pondérée par la valeur du bien au cours de l’année de base. L’expression précédente peut se simplifier, on obtient: Lp = N i=1 N i=1 (Pit × Qit−1 ) (Pit−1 × Qit−1 ) × 100 L’indice de volume de Laspeyres retrace l’évolution des quantités, les prix étant constants. Lq = N i=1 N i=1 (Pit−1 × Qit ) (Pit−1 × Qit−1 ) × 100 Le tableau 5 fourni un exemple de calcul des indices de prix et volume de Laspeyres. On considère un panier composé de 5 biens dont les prix et les quantités sont connues aux dates t et t − 1. Tableau 5: Calcul de l’indice de prix et de volume de Laspeyres Pt-1 5 2 1 4 6 Bien 1 Bien 2 Bien 3 Bien 4 Bien 5 Total Lp 118.94 Lq 100.38 Qt-1 50 100 70 40 20 Pt 6.00 2.50 1.25 4.75 6.20 Qt 55.00 101.00 72.00 35.00 19.00 PtQt-1 Pt-1Qt-1 300.00 250.00 250.00 200.00 87.50 70.00 190.00 160.00 124.00 120.00 951.50 800.00 Pt-1Qt 275.00 202.00 72.00 140.00 114.00 803.00 La valeur de l’indice de prix de Laspeyres du panier composé des 5 biens est égale à: (951.5/800) × 100 = 118.94. L’indice de volume est donné par le rapport (803/800) × 100 = 100.38. Les indices de Laspeyres sont calculés en prenant comme référence la période t − 1. Les indices de prix et de volume de Paasches décrivent l’évolution respectivement du prix et des quantités d’un panier de bien. La différence avec les indices 5 de Laspeyre porte sur l’année de référence, car dans le calcul des indices de Paasches l’année de base est t. L’indice de prix de Paasche est donné par: Pp = N i=1 N i=1 (Pit × Qit ) (Pit−1 × Qit ) × 100 et l’indice de volume de Paasche s’écrit: Pq = N i=1 N i=1 (Pit × Qit ) (Pit × Qit−1 ) × 100 Le tableau 6 donne le calcul des indices de Paasche pour le panier de 5 biens précédent (tableau 5). Tableau 6: Calcul de l’indice de prix et de volume de Paasche Pt-1 5 2 1 4 6 Bien 1 Bien 2 Bien 3 Bien 4 Bien 5 Total Pp 119.12 Pq 100.53 Qt-1 50 100 70 40 20 Pt 6.00 2.50 1.25 4.75 6.20 Qt 55.00 101.00 72.00 35.00 19.00 PtQt-1 300.00 250.00 87.50 190.00 124.00 951.50 PtQt 330.00 252.50 90.00 166.25 117.80 956.55 Pt-1Qt 275.00 202.00 72.00 140.00 114.00 803.00 L’indice de prix de Paasche est donné par Pp = (956.55/803) × 100 = 119.12 et l’indice de volume est égal à Pq = (956.55/951.50) × 100 = 100.53. Les indices de Laspeyres et Paasche peuvent conduire à des résultats assez différents et Fisher propose de calculer une moyenne géométrique simple2 des 2 La moyenne géométrique simple G d’une série de valeurs x , i = 1...N est définie par la i relation: √ G = N x1 × x2 × ... × xN 6 deux indices. Les indices de Fisher de prix (Fp ) et de volume (Fq ) se calculent de la manière suivante: Fp = Lp × Pp , Fq = Lq × Pq Les exemples 3.1 et 3.2 permettent de calculer les indices de Fisher de quantité et de prix des 5 biens considérés: √ Fp = 118.94 × 119.12 = 119.03 Fq = √ 100.38 × 100.53 = 100.45 L’indice de valeur des prix multiplié par les quantités est donné par le rapport suivant: IV aleur = N i=1 N i=1 et on constate que: IV aleur (Pit × Qit ) (Pit−1 × Qit−1 ) × 100 = (Lp × Pq )/100 = (Lq × Pp )/100 = (Fp × Fq )/100 Par exemple, l’indice de valeur du panier de 5 biens (tableaux 5 et 6) est égal à: (956.55/800.00) × 100 = 119.57 et on vérifie que: ( 118.94 × 100.53 )/100 = 119.57 Lp Pq ( 100.38 × 119.12 )/100 = 119.57 Lq Pp ( 119.03 × 100.45 )/100 = 119.57 Fp Fq 7 2.3 Les indices de Divisia Diewert a montré l’importance du choix d’un indice d’agrégation. En particulier il a montré que ce choix dépend de la forme de la vrai fonction d’utilité ou de production. Les indices d’agrégation de Laspeyres ou Paasches ne sont pas des indices exacts car ils ne sont pas dérivés d’une vraie fonction de production ou d’utilité. Supposons que l’on souhaite disposer d’un indice correspondant à l’agrégat de la quantité d’énergie (QE ) produite à partir de différentes énergies: gaz, pétrole, électricité, charbon,..(Qi , i = 1...N ) QE = f (Qi , i = 1...N ) Un indice exact de cet agrégat entre la période t et t−1 est donné par le rapport QEt /QEt−1 . De même, l’indice exact du prix de cet agrégat est donné par le rapport: PEt /PEt−1 avec PE la fonction de coût unitaire duale de la quantité d’énergie, fonction du prix des différentes énergies Pi , i = 1..N. PE = C(Pi , i = 1..N ) L’indice de quantité (prix) de Fisher est un indice exact pour une fonction de production (fonction de coût duale) linéaire, qui suppose les énergies infiniment substituables, mais aussi pour une fonction Léontieff qui n’admet aucune substitution entre les biens composants l’agrégat et de manière plus générale à une fonction quadratique homogène. Les indices d’agrégation exacts correspondant à une fonction d’utilité ou de production homogène Translog sont les indices de Divisia. Soit Sit la part de dépense en bien i: Pit × Qit Sit = N (Pit × Qit ) i=1 L’indice de quantité de Divisia (Dq ) est mesuré de la manière suivante: Dq = N i=1 Qit Qit−1 12 (Sit +Sit−1 ) à cet indice de quantité correspond l’indice de prix Divisia implicite (DpI ): IV aleur DpI = × 100 Dq L’indice de prix de Divisia (Dp ) est dérivé de la fonction de coût unitaire duale: Dp = N i=1 Pit Pit−1 8 12 (Sit +Sit−1 ) et l’indice de quantité implicite correspondant (DqI ) est : IV aleur × 100 DqI = Dp Il est nécessaire de calculer l’indice implicite de prix relatif à l’indice de quantité de Divisia et l’indice de quantité implicite relatif à l’indice de prix de Divisia car: (Dq × Dp ) /100 = IV aleur . Le détail du calcul des indices de divisia du panier de 5 biens est donné dans le tableau 7. Tableau 7: Calcul des indices de Divisia Bien 1 Bien 2 Bien 3 Bien 4 Bien 5 Total Dp Dq Pt-1 5 2 1 4 6 Qt-1 50 100 70 40 20 Pt 6.00 2.50 1.25 4.75 6.20 Qt 55.00 101.00 72.00 35.00 19.00 St 0.35 0.26 0.10 0.17 0.12 1.00 St-1 0.31 0.25 0.09 0.20 0.15 1.00 Qt/Qt-1 Pt/Pt-1 1.10 1.20 1.01 1.25 1.03 1.25 0.88 1.19 0.95 1.03 119.02 100.45 Les indices de Divisia implicites correspondants aux indices exacts de Divisia Dq et Dp sont égaux à : 119.57 DpI = × 100 = 119.02 100.45 DqI = 2.4 119.57 119.02 × 100 = 100.45 L’indice des prix à la consommation et le taux d’inflation Un indice synthétique très connu est l’Indice des Prix à la Consommation (IPC). Il est calculé pour un panier de biens de référence. Le tableau donne un exemple de calcul de l’IPC d’un panier composé de 5 litres de lait (Q1 ), 1 kg de pommes de terres (Q2 ) et 12 oeufs (Q3 ). Tableau 8 - Calcul de l’Indice des Prix à la Consommation (IPC) 9 lait 5 prix/L 2.00 2.50 2.25 2.75 3.00 2.70 1995 1996 1997 1998 1999 2000 pommes œufs coût du de terre panier 1 12 prix/kg prix/œuf 5.00 1.00 27.00 6.00 0.80 28.10 5.50 0.90 27.55 4.00 1.20 32.15 5.00 1.00 32.00 5.50 1.10 32.20 IPC base 1995 100.00 104.07 102.04 119.07 118.52 119.26 Taux d'inflation 4.07% -1.96% 16.70% -0.47% 0.63% Le coût du panier en francs en 1995 s’élève à : (2 × 5) + (5 × 1) + (1 × 12) = 27 = 3 i=1 (Pi,95 × Qi ) avec Pi,95 le prix unitaire du produit i en 1995 et Qi la quantité de produit i composant le panier. L’IPC est égal à 100 en 1995 car c’est l’année de référence choisie. Pour l’année 1996, le coût du panier est égal à: 28.1 = 3 i=1 (Pi,96 × Qi ) et l’IPC est égal à: 104.07 = 3 i=1 28, 1 × 100 = 3 27 i=1 (Pi,96 × qi ) (Pi,95 × qi ) × 100 ect... Le taux d’inflation mesure le taux de croissance du niveau général des prix, il est donné par: taux d’inflation = IP Ct − IP Ct−1 × 100 IP Ct−1 L’indice des prix à la production se calcule de manière identique. 3 Séries macro-économiques en Parité de Pouvoir d’Achat (PPA) L’utilisation du taux de change permet de comparer des séries internationales en unité monétaire commune. Exprimer le PIB français en dollars constants 1990 10 est utile si on veut comparer son évolution à celui du PIB américain exprimé en dollars constants 1990. La comparaison des séries internationales implique que ces séries soient rapportées à une même échelle. L’utilisation du taux de change présente cependant deux inconvénients majeurs. Le premier est que le taux de change varie au jour le jour et parfois, pour des raisons de spéculation monétaire, fluctue de manière importante. Le second est que le taux de change ne reflète pas simplement le prix relatif des biens et services produits dans un pays, ils sont affectés par le prix relatif des biens échangés et par des facteurs monétaires tel que le taux d’intérêt. L’utilisation des PPA est conceptuellement préférable. Une série internationale, telle que le PIB, convertie en une monnaie commune sur la base des PPA est évaluée avec un ensemble de prix commun. Les PPA constituent des outils statistiques utilisés pour comparer des séries internationales. Elles sont calculées par l’OCDE et eurotat. Les PPA sont des taux de conversion qui égalisent le pouvoir d’achat des différentes monnaies en éliminant les différences de niveaux de prix entre les pays. Dans leur forme la plus simple les PPA sont des prix relatifs. Par exemple si le prix d’un kg de bonbons en France est égal à 2 euro et à 1.5 $ aux Etats-Unis, alors la PPA pour les bonbons entre la France et les Etats-Unis est égale à 1.33 Francs (2/1.5) . Avec 1.33 euro et 1$ on achète la même quantité de bonbons en France et aux Etats-Unis (0.66kg). La PPA est calculée pour un produit mais aussi pour des groupes de produits. La PPA d’un groupe de biens est une moyenne géométrique des prix relatifs des différents biens composants le groupe. Pour calculer le PIB en PPA on procède en deux étapes. Dans la première étape on calcule la PPA pour différents groupes de biens et services. Dans la seconde étape, on procède à une agrégation de ces PPA jusqu’au niveau du PIB. On calcule une moyenne pondérée des PPA des différents groupes de produit. Les pondérations correspondent aux dépenses dans le groupe de produits. 4 4.1 Calculs sur les séries Les statistiques descriptives usuelles Il est souvent utile dans un premier temps d’avoir quelques indications globales sur une série. La moyenne arithmétique est égale à la somme des valeurs prises par la série divisée par le nombre de valeurs observées. Soit la série xi , i = 1, ..N, sa moyenne s’écrit: x= N xi i=1 N Une autre statistique souvent utilisée est l’écart-type de la série qui caractérise la dispersion de la série autour de sa moyenne, elle traduit les fluctuations de la 11 série: σx = N (x − x)2 i=1 i N La moyenne et l’écart-type sont mesurés dans la même unité que la série. Un exemple de calcul de ces deux statistiques est donné tableau 9. Tableau 9: Calcul de la moyenne et de l’écart-type des quantités de sapins de Noël vendus (série fictive) Années Quantités Moyenne Ecart-type x= 1150 + 1230 + 1100 + 1300 + 1400 + 1250 + 1325 + 1401 + 1375 + 1410 10 σx = 4.2 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 1150 1230 1100 1300 1400 1250 1325 1401 1375 1410 1294 110 (1150 − 1294)2 + (1230 − 1294)2 + .... + (1410 − 1294)2 10 Variations absolues et relatives La variation absolue d’une série mesure l’écart entre sa valeur finale et sa valeur initiale, par exemple entre la période t et t + 1 la variation absolue de la série x est donnée par: ∆x = xt+1 − xt La variation relative d’une série correspond à son taux de croissance entre deux périodes: xt+1 − xt xt+1 ∆x = = −1 xt xt xt 12