Notions de base sur les séries statistiques Isabelle Cadoret

Notions de base sur les s´eries statistiques
Isabelle Cadoret
Dans les sources statistiques il existe plusieurs types de s´eries: des s´eries en
prix courants, en prix constants, en indice, en taux de croissance,... L’objectif
ici est de rappeler le mode de calcul de ces statistiques.
1 S´eries de volumes et de valeurs
Une s´erie exprim´ee en volume d´ecrit des quantit´es: 1 kg de pomme de terre,
1 tonne de fuel,.... Il s’agit d’une s´erie r´eelle dont l’´evolution ne d´epend que
des quantit´es. Une s´erie exprim´ee en prix constants, en prix 1990...repr´esente
´egalement une s´erie r´eelle car son ´evolution est ind´ependante des prix.
Une s´erie exprim´ee en valeur courante indique la valeur mon´etaire des quan-
tit´es mesur´ees avec les prix courants, c’est-`a-dire au prix en vigueur `a la date
d’observation. A une date donn´ee, la valeur mon´etaire d’un bien correspond
au prix du bien multipli´e par les quantit´es. Il s’agit d’une s´erie nominale dont
l’´evolution d´epend de l’´evolution des prix et des quantit´es. Les s´eries exprim´ees
en monnaie nationale courante, en dollars courants, en prix courants, sont des
s´eries nominales.
Le tableau 1 pr´esente des s´eries fictives de quantit´es et de prix de bonbons et
le calcul de la valeur des quantit´es exprim´ees en monnaie courante et constante.
Tableau 1: Evolution des quantit´es et des prix de bonbons (s´eries fictives)
Quantités Prix / tonne Valeur Valeur
en tonnes en euro en prix en prix 1990
courants
1990 1200 5.00 6000 6000
1991 1100 6.00 6600 5500
1992 900 6.50 5850 4500
1993 1000 7.00 7000 5000
1994 1300 7.30 9490 6500
1995 1500 7.10 10650 7500
Soient Q
t
et P
t
les s´eries de quantit´es et de prix de bonbons l’ann´ee t.
La colonne valeur en prix courants est calcul´ee en multipliant les s´eries Q
t
et
P
t
.La colonne valeur en prix 1990 donne, pour chaque ann´ee, le produit des
s´eries P
1990
et Q
t
on obtient ainsi la valeur des quantit´es en prix constants
1990.Par exemple la valeur des quantit´es en prix courants en 1992 est ´egale `a
900 ×6.5 = 5850,en prix 1990 cette valeur est ´egale `a 900 ×5 = 4500.
1

Dans le tableau 1, la valeur des quantit´es est exprim´ee en euro et le tableau
2 pr´esente le calcul de la valeur des quantit´es en dollars courants et en dollars
constants. La s´erie de taux de change (tc) permet d’effectuer ce calcul. Elle
exprime la valeur de 1 dollar en euro, on suppose qu’en en 1990 un dollar
s’´echange contre 1.1 euro.
Tableau 2: Calcul de la valeur des quantit´es en dollars courants et constants
Taux de Prix Valeur Valeur
Change en dollars en dollars en dollars
1990
1990 1.10 4.545 5455 5455
1991 1.05 5.714 6286 5000
1992 1.00 6.500 5850 4091
1993 0.98 7.143 7143 4545
1994 0.99 7.374 9586 5909
1995 1.01 7.030 10545 6818
La colonne prix en dollars correspond au prix par tonne en euro divis´e par le
taux de change (P
t
/tc
t
). On obtient ainsi la valeur d’une tonne de bonbons en
dollars. La colonne valeur en dollars exprime la valeur des quantit´es de bonbons
en dollars courants, on multiplie la s´erie Q
t
par le prix en dollars de l
′
ann´ee
t. Enfin, la colonne valeur en dollars 1990 s’obtient en multipliant Q
t
par le
prix en dollars de l
′
ann´ee 1990.Par exemple, en 1993 un dollar est ´echang´e
contre 0.98 euro, le prix d’une tonne de bonbons est donc ´egale `a 7/0.98 = 7.14
dollars. La valeurs en dollars courant des quantit´es de bonbons est donn´ee par
1000×7.143 = 7143 et la valeur en dollars constants 1990 par 1000×4.545 =
4545.
2 S´eries d’Indices
2.1 Les indices ´el´ementaires
Un indice ´el´ementaire refl`ete l’´evolution d’une s´erie. Il mesure le coefficient de
variation de la s´erie par rapport `a une ann´ee de base. Il est calcul´e en rapportant
la s´erie `a l’ann´ee de base choisie. Soit x
t
la valeur de la s´erie x`a la date t, son
indice en base 1990 (Ix
t,90
) est donn´e par:
Ix
t,90
=x
t
x
90
×100
La valeur de cet indice est ´egal `a 100 l’ann´ee de base: Ix
90,90
= 100.
Le tableau 3 pr´esente le calcul des indices de volume et de valeur des quan-
tit´es de bonbons.
2

Tableau 3: Calcul des indices de volume et de valeur - base 100 en 1990
Indice de Indice de
Indice de
volume valeur en valeur en
euro dollars
1990 100 100 100
1991 92 110 115
1992 75 98 107
1993 83 117 131
1994 108 158 176
1995 125 178 193
L’indice de volume peut-ˆetre calcul´e `a partir de la s´erie de quantit´e exprim´ee
en tonnes ou en en prix constants (euro ou dollars) , par exemple l’indice de
volume en 1992 en base 1990 des quantit´es de bonbons est ´egal `a
900
1200 =4500 6000 =4091 5455 = 75
Un indice de volume exprime l’´evolution des quantit´es, en revanche un indice
de valeur tient compte des ´evolutions des prix et des quantit´es. Par cons´equent,
les indices de valeurs calcul´es avec des s´eries en euro et en dollars courants sont
diff´erents. En 1993, en base 1990, l’indice de valeur en euro est donn´e par le
rapport 7000/6000 = 117,en dollars il est ´egal `a 7143/5455 = 131.
De mani`ere g´en´erale, l’indice de volume base 1990 s’obtient en calculant le
rapport Q
t
/Q
1990
et l’indice en prix 1990 (euro ou dollars) est identique car il
se calcule de la mani`ere suivante:
Q
t
×P
1990
tc
1990
Q
1990
×P
1990
tc
1990
=Q
t
Q
1990
L’indice de valeur en dollars est donn´e par:
Q
t
×P
t
tc
t
Q
1990
×P
1990
tc
1990
et l’indice de valeur en euro est mesur´e par:
Q
t
×P
t
Q
1990
×P
1900
Dans les s´eries statistiques longues, on observe parfois des changements
de base des indices de volume et de valeur. Il faut dans ce cas raccorder les
deux s´eries d’indices. Le tableau 4 pr´esente un exemple de raccordement d’un
indice, exprim´e initialement en base 1990, en base 1992.
3

Tableau 4: Raccordement d’une s´erie d’indice
Indice Indice Reconstitution
de valeur de valeur de la série
en dollars en dollars en base 1992
base 1990 base 1992
1990 100 93
1991 115 107
1992 107 100 100
1993 122 122
1994 164 164
1995 180 180
Dans cet exemple on dispose, d’une part, de l’indice de valeur des quantit´es
de bonbons en base 1990 sur la p´eriode 1990 1992 et, d’autre part, de l’indice
de valeur des quantit´es de bonbons en base 1992 sur la p´eriode 1992 1995. Le
probl`eme consiste alors `a reconstituer l’indice en base 1992 pour les ann´ees 1990
et 1991.
Pour l’ann´ee 1990, Ix
90,90
= 100
1
et Ix
90,92
est donn´e par:
Ix
90,92
=x
90
x
92
×100 = x
90
x
90
×100.1
x
92
x
90
=
=100
Ix
90,90
×100
Ix
92,90
107
= 93
De la mˆeme mani`ere, pour l’ann´ee 1991, on obtient Ix
91,92
= 115/107 ×100 =
107.
2.2 Les indices synth´etiques: indices de Laspeyres, de
Paasches et de Fisher
Consid´erons Nbiens, i= 1...N, on note P
it
le prix du bien i`a la date tet Q
it
les quantit´es de bien i`a la date t. Les indices synth´etiques donnent l’´evolution
des prix et des volumes de l’ensemble des Nbiens.
L
’
indice des prix de Laspeyres est un indice synth´etique qui d´ecrit l’´evolution
du prix moyen d’un ensemble de biens entre deux dates. Soit L
p
l’indice de prix
de Laspeyres:
L
p
=
N
i=1
Ip
i,t,t−1
P
it
P
it−1
×100×
valeur en t−1
(P
it−1
×Q
it−1
)
N
i=1
(P
it−1
×Q
it−1
)
1
la valeur de l’indice de la s´erie xen 1990 en base 1990
4

avec Ip
i,t,t−1
l’indice de prix ´el´ementaire du bien i`a la date ten base t−1.
L’indice de Laspeyre des prix est une moyenne arithm´etique des indices de prix
´el´ementaires Ip
i,t,t−1
,pond´er´ee par la valeur du bien au cours de l’ann´ee de
base. L’expression pr´ec´edente peut se simplifier, on obtient:
L
p
=
N
i=1
(P
it
×Q
it−1
)
N
i=1
(P
it−1
×Q
it−1
)×100
L’indice de volume de Laspeyres retrace l’´evolution des quantit´es, les prix
´etant constants.
Lq =
N
i=1
(P
it−1
×Q
it
)
N
i=1
(P
it−1
×Q
it−1
)×100
Le tableau 5 fourni un exemple de calcul des indices de prix et volume de
Laspeyres. On consid`ere un panier compos´e de 5 biens dont les prix et les
quantit´es sont connues aux dates tet t−1.
Tableau 5: Calcul de l’indice de prix et de volume de Laspeyres
P
t-1
Q
t-1
P
t
Q
t
P
t
Q
t-1
P
t-1
Q
t-1
P
t-1
Q
t
Bien 1 5 50 6.00 55.00 300.00 250.00 275.00
Bien 2 2 100 2.50 101.00 250.00 200.00 202.00
Bien 3 1 70 1.25 72.00 87.50 70.00 72.00
Bien 4 4 40 4.75 35.00 190.00 160.00 140.00
Bien 5 6 20 6.20 19.00 124.00 120.00 114.00
Total 951.50 800.00 803.00
L
p
118.94
L
q
100.38
La valeur de l’indice de prix de Laspeyres du panier compos´e des 5 biens
est ´egale `a: (951.5/800) ×100 = 118.94.L’indice de volume est donn´e par le
rapport (803/800) ×100 = 100.38.Les indices de Laspeyres sont calcul´es en
prenant comme r´ef´erence la p´eriode t−1.
Les indices de prix et de volume de Paasches d´ecrivent l’´evolution respective-
ment du prix et des quantit´es d’un panier de bien. La diff´erence avec les indices
5