L`électromagnétisme en application

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L'ELECTRO
ETISME
PIERRE SAVARD
FADHEL
M.
Éditions de l'École Polytechnique de Montréal
GHANNOUCHI
L'électromagnétisme en application
Pierre Savard, Fadhel M. Ghannouchi
Équipe de production
Gestion éditoriale et production : Presses internationales Polytechnique
Page couverture : Chantal Fauteux
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notre site Web à l’adresse suivante : www.pressespoly.ca
Courriel des Presses internationales Polytechnique : [email protected]
Tous droits réservés
© Presses internationales Polytechnique, 1995
On ne peut reproduire ni diffuser aucune partie du présent ouvrage,
sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit, sans avoir
obtenu au préalable l᾽autorisation écrite de l᾽éditeur.
er
Dépôt légal : 1 trimestre 1995
Bibliothèque et Archives nationales du Québec
Bibliothèque et Archives Canada
ISBN 978-2-553-00500-8 (version imprimée)
ISBN 978-2-553-01655-4 (version pdf)
Imprimé au Canada
À Lise et Sonia
Les auteurs
Pierre Savard, ing., Ph.D.
Plerre Savard a obtenu en 1974 un baccalauréat es sciences appliquées en génie électrique de
l'École Polytechnique de Montréal; en 1978, il a obtenu un doctorat es sciences appliquées en
génie biomédiçal de l'École Polytechnique de Montréal. Après un stage post-doctoral de deux
ans au Massachusetts Institute of Technology (Cambridge), il s'est joint, en 1980, au corps
professoral de l'Institut de gériie biomédical de l'École Polytechnique de Montréal où il est
pré~entement professeur titulaire. Ses intérêts de recherche portent sur les aspects biophysiques
et le traitement des signaux en électrocardiographie ainsi que sur l'utilisation de l'énergie
électromagnétique dans le traitement des arythmies cardiaques.
Fadhel M. Ghannouchi, ing., Ph.D.
Fadhel M. Ghannouchi a obtenu, en 1980, un diplôme universitaire d'études supérieures en
physique et en chimie de l'Université de Tunis; en 1983, un baccalauréat en génie physique; en
1984, une maîtrise en génie électrique; en 1987, un doctorat en génie électrique de l'École
Polytechnique de Montréal. II est présentement professeur agrégé au Département de génie
électrique et de génie informatique de l'École Polytechnique de Montréal où il enseigne
l'électromagnétisme et les communications par micro-ondes depuis 1984. Ses intérêts de
recherche portent sur : l'instrumentation et les techniques de mesures par micro-ondes et, en
particulier, la technique <<Six-port>>; la caractérisation, l'analyse et la modélisation des dispositifs
à micro-ondes; la conception des circuits passifs et actifs et des sous-systèmes de micro-ondes
en technologies hybride et monolithique pour les communications mobiles et spatiales.
Avant-propos
Ce livre s'adresse aux étudiants et aux étudiantes en génie électrique. Dans l'exercice de leur future
profession, deux atouts importants leur permettront de résoudre les problèmes d'électromagnétisme
qu'ils rencontreront : une solide connaissance de base des principes de la physique et des
mathématiques qui constituent les fondements de l'électromagnétisme; une expérience variée de
l'application de ces principes à des problèmes pratiques en génie. Plusieurs manuels traitent en
profondeur des principes de l'électromagnétisme. Cependant, les problèmes qu'ils présentent sont
souvent de nature purement théorique.
L'objectif principal de cet ouvrage est de permettre à l'étudiant de maîtriser les notions de base de
l'électromagnétisme en les appliquant à des problèmes pratiques. Le processus de résolution de
problèmes exige de plus que l'étudiant fasse la synthèse de ses connaissances théoriques pour trouver
les solutions.
Chaque chapitre est structuré selon le modèle suivant : introduction, rappel théorique, problèmes
résolus, problèmes non résolus. Le rappel théorique présente de façon succincte les principes et les
équations importantes. Les problèmes résolus couvrent systématiquement tous les aspects importants
de la matière. Les solutions présentent en détailla justification de l'approche retenue, les conditions
nécessaires à l'application correcte des équations (par ex. : les conditions de symétrie pour les lois
de Gauss et d'Ampère) ainsi que les répercussions possibles de leur application en ingénierie. Des
problèmes non résolus offrent des exercices complémentaires à la fin de chaque chapitre.
Les problèmes présentés couvrent plusieurs champs du génie électrique : circuits électroniques, électrotechnique, automatisation et communications. Les composantes passives des circuits électriques
(par ex. : résistances, condensateurs, bobines, etc.) font l'objet de plusieurs problèmes afin que
l'étudiant puisse les reconnaître dans des contextes physiques variés. Les composantes actives ou non
linéaires (par ex. : transistors à effet de champ, jonctions P-N, etc.) sont abordées dans les
problèmes d'électronique. Des problèmes illustrant le claquage, la génération et la transformation
de courant, ainsi que l'effet moteur et les circuits magnétiques permettent d'appliquer les principes
de l'électromagnétisme à l'électrotechnique tandis que des problèmes décrivant des capteurs
électromagnétiques illustrent le domaine de l'automatisation. La propagation, le rayonnement et le
couplage d'ondes électromagnétiques font l'objet de problèmes dans le champ des communications.
Nous remercions tous ceux et celles qui nous ont aidé à éditer ce livre : M11e Annie Brodeur pour
le travail de traitement de texte et de révision d'une version préliminaire de cet ouvrage;
MM. Manfred Nachman et Patrick Morel pour leur judicieux commentaires scientifiques et
pédagogiques; les étudiants qui nous ont aidé à améliorer notre texte; le Service pédagogique de
l'École Polytechnique pour l'aide financière accordée à une version préliminaire de ce document;
l'équipe des Éditions de Polytechnique qui a participé à la réalisation de ce livre : M. Lucien
Foisy, Mme Louise Régnier, Mme Martine Aubry, Mme Nicole Labrecque et Mme Chantal Fauteux
de la section graphisme.
Pierre Savard et Fadhel M. Ghannouchi
Montréal, décembre 1994
Table des matières
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CHAPITRE 1
Champs électrostatiques
Rappel théorique
- Loi de Coulomb, champ électrique, principe de superposition, milieu
diélectrique, loi de Gauss
- Divergence, première équation de Maxwell, théorème de la divergence, différence
de potentiel, champ conservatif,
- Gradient, potentiel et charge, énergie électrique, courant, continuité du courant,
conductivité, résistance, capacité,
- Conditions électrostatiques, conditions aux frontières (diélectrique-diélectrique)
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Électret
Faisceau d'électrons
Double plan de charges
Condensateur plan
Blindage électrostatique .
Capacité distribuée
Condensateur réel
Conductivité du sol
Condensateur plan
Bride électrostatique
Condensateur plan partiellement rempli
Microphone électrostatique
Charges au sol
Électret polarisé
Sphères non concentriques
Électricité atmosphérique
Résistance de fuite d'un câble coaxial
Éclateur
Électret homocharge
Résistance de fuite de câbles souterrains
Peinture électrostatique
Tube diode
Satellite passif
Force sur câble coaxial
Capacité d'un câble isolé
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Table des matières
VII
1.26 Réflecteur pour antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.27 Diélectrique non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.28 Forces dans un électret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
CHAPITRE2
Technique graphique
Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
- Lignes équipotentielles, lignes de flux, surfaces métalliques, lignes de courant,
densité de flux, densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
- Capacité, résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1
2.2
2.3
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2.6
2.7
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2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
Ligne de transmission rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Câble coaxial cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Effet de bords . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. ... 37
Circuit imprimé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Choc électrique . . . . . . ;~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Transistor à effet de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Condensateur en coin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Fusible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Coupleur par effet de bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Mesure de conductivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Potentiomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Fils téléphoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Résistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CHAPITRE 3
Problèmes de conditions aux frontières
Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
- Équation de Poisson, équation de Laplace, conditions de Dirichlet, conditions de
Neumann, conditions mixtes, théorème d'unicité, continuité du potentiel . . . . . . . . 46
- Principe de superposition, solutions unidimensionnelles, solutions bidimensionnelles
cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
- Solutions bidimensionnelles sphériques et cylindriques, série de Fourier . . . . . . . . 48
- Équations pour la méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 49
3.1
3.2
3.3
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Condensateur à double diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Précipitateur électrostatique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .......
Condensateur variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Générateur Van der Graaf .
. . . . . . . . . . . . . .
. ...........
Antenne pour hyperthermie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
53
55
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VIII
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3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3. 24
3. 25
3.26
Table des matières
Milieu avec section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Barreau conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Particule métallique dans l'huile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bulle d'air dans l'huile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Barreau métallique dans un diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Orifice cylindrique dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Fil métallique isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Électrodes isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Élévateur à grain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Jonction P-N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Barreau conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Capacité d'une microélectrode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Optimisation d'un câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Plaques conductrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Traverse pour transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Bulle d'air dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Condensateur en coin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Potentiomètre audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Élévateur à grain modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Électret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Monteur de ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
CHAPITRE 4
Champs magnétostatiques
Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
- Loi de Biot-Savart, règle de la main droite, densité du flux magnétique, milieu
magnétique, loi d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
- Rotationnel, théorème de Stokes, champ solénoïdal, seconde équation de Maxwell,
potentiel vecteur magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
- Potentiel scalaire magnétique, équation de Laplace pour Vm, équation de Poisson pour A,
force magnétique sur une charge en _mouvement, force magnétique sur un circuit,
couple magnétique sur un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
- Conditions aux frontières, réluctance, énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
- Inductance, inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Toroïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Ligne de transmission à conducteurs plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Ligne bifilaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Inductance interne d'un fil conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Table des matières
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
Haut-parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Canon magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toroïde à deux milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Électroaimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Noyau de transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entrefer .. ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densité de courant non uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Densité coaxiale à deux milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ~ . . . . . . .
Potentiel magnétique vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orientation d'un satellite de communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. . . .
Relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Galvanomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conducteur à cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformateur pour soudure à l'arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformateur de bloc d'alimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toroïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
102
103
104
105
106
108
109
109
109
110
110
110
111
112
112
113
113
CHAPITRE 5
Cnamps électromagnétiques dynamiques
Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Troisième équation de Maxwell, courant de déplacement, quatrième équation de
Maxwell et théorème d'Ampère généralisé, milieu linéaire, homogène et
isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Équations de Maxwell, approximation quasi statique, potentiels retardés . . . . . . .
- Condition de Lorentz, champ électrique dynamique, équations de Laplace et de
Poisson dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5. 3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8 ~
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
Antenne de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capteur de déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformateur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boucle de courant dans un champ magnétique . . . -. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Débitmètre magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courants dans un câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inductance parasite d'un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Capacité parasite d'une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résistance parasite d'une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Noyau de bobine fractionné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frein magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Amortisseur pour balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
115
116
117
118
118
120
121
123
124
125
126
128
130
132
133
135
135
X
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
Table des matières
Carte d'accès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pince ampèremétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détecteur de courant de fuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courant de surface équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autotransformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chauffage inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courants induits sous une ligne de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dégel de tuyaux par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesure de conductivité par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courants de déplacement dans un solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Filtre micro-ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
136
137
137
138
138
139
139
140
140
141
CHAPITRE 6
Propagation des ondes électromagnétiques
Rappel théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Équation d'onde, onde plane uniforme en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . .
- Vecteur de Poynting et transport d'énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- Polarisation des ondes électromagnétiques (linéaire, elliptique et circulaire) . . . . .
143
143
144
145
Onde plane à polarisation circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boucle réceptrice . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Réseau de boucles . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Cavité résonante . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Antenne doublet . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vecteur de Poynting dans un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Guide d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde plane avec direction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boucles d'émission et de réception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiogoniomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
147
148
150
151
155
155
156
156
157
157
157
158
159
6.1
6. 2
6.3
6.4
6.5
6.6
6. 7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
Annexe A
Annexe B
Annexe C
Annexe D
AnnexeE
Conventions et systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules d'analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Constantes importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes non résolus : réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
165
167
168
169
liste des symboles
Symbole Description
A
B
c
D
dl
dl
ds
ds
dv
E
F
f
fem
H
1
J
[J(t)]
K
L
M
rn
M
ô
p
p
p
<P>
(p
<CP>
Q
R
Î'
~
T
v
potentiel vecteur magnétique
densité de flux magnétique
capacité
densité de flux électrique
élément de longueur scalaire
élément de longueur vecteur
élément de surface scalaire
élément de surface vecteur
élément de volume scalaire
champ électrique
force
fréquence
force électromotrice
champ magnétique
courant électrique
densité de courant
densité de courant retardée
densité de courant de surface
inductance
aimantation
moment magnétique
inductance mutuelle
vecteur unitaire normal à une surface
polarisation électrique
moment de dipôle électrique
puissance instantanée
puissance moyenne
vecteur de Poynting instantané
(densité de puissance instantanée)
vecteur de Poynting moyen
charge électrique
résistance
vecteur unitaire de direction r (sphér.)
réluctance
période
potentiel électrique ·
Unités SI
weber par mètre (Wb/rn)
tesla (T)
farad (F)
coulomb par mètre carré (C/m 2)
mètre (rn)
mètre (rn)
mètre au carré (m2)
mètre au carré (m2)
mètre au cube (m 3)
volt par mètre (V/rn)
newton (N)
hertz (Hz)
volt (V)
ampère par mètre (A/rn)
ampère (A)
ampère par mètre carré (A/m2)
ampère par mètre carré (A/m2)
ampère par mètre (A/rn)
henry (H)
ampère par mètre (A/rn)
ampère-mètre carré (A· m2)
henry (H)
coulomb par mètre carré (C/m2)
coulomb-mètre (C ·rn)
watt (W)
watt (W)
watt par mètre carré (W/m2)
watt par mètre carré (W1m2)
coulomb (C)
ohm (0)
henry à la puissance moins l(H" 1)
seconde (s)
volt (V)
XII
Liste des symboles
Symbole Description
Unités SI
vab
volt (V)
vm
v
w
w.
w.
wm
wm
~
A
y
z
~
E
Er
Eo
1J
TJo
ô
)\
Jl
Jlr
llo
p
Pv
Ps
Pt
[p.(t)]
a
T
;p
x.
Xm
1/;.
1/Jm
w
différence de potentiel électrique
entre les points a et b
potentiel magnétique scalaire
(force magnétomotrice)
vitesse
travail
énergie électrique
densité d'énergie électrique
énergie magnétique
densité d'énergie magnétique
vecteur unitaire de direction x (carté.)
vecteur unitaire de direction y (carté.)
vecteur unitaire de direction z (carté.)
constante de phase
permittivité
permittivité relative
permittivité du vide
impédance caractéristique
impédance caractéristique du vide
vecteur unitaire de direction () (sphér.)
longueur d'onde
perméabilité
perméabilité relative
perméabilité du vide
vecteur unitaire de direction p (cylin.)
densité de charge volumique
densité de charge surfacique
densité de charge linéique
densité de charge retardée
conductivité
couple
vecteur unitaire de direction cp(cyl/sph)
susceptibilité électrique
susceptibilité magnétique
flux électrique (flux de déplacement)
flux magnétique
fréquence angulaire
ampère-touL( A· t)
mètre par seconde (m/s)
joule (J)
joule (J)
joule par mètre cube (J/m3)
joule (J)
joule par mètre cube (J/m3 )
radian par mètre (rad/rn)
farad par mètre (F/m)
sans unité
farad par mètre (F/m)
ohm (0)
ohm (0)
mètre (rn)
henry par mètre (H/m)
sans unité
henry par mètre (H/m)
coulomb par mètre cube (C/m3)
coulomb par mètre carré (C/m2)
coulomb par mètre (C/m)
coulomb par mètre cube (C/m3)
siemens par mètre (S/m)
newton-mètre (N ·rn)
sans unité
sans unité
coulomb (C)
weber (Wb)
radian par seconde (rad/s)
CHAPITRE
1
Champs
électrostatiques
Le premier chapitre présente essentiellement trois techniques différentes qui permettent de
calculer 1'intensité du champ électrique à partir d'une distribution connue de charges
électriques : la loi de Coulomb (équat. 1.1), la loi de Gauss (équat. 1.5) et le gradient du
potentiel électrique (équat. 1.11 et 1.12). La loi de Coulomb présente l'avantage d'être très
générale et de pouvoir être appliquée à n'importe quel problème, son principal inconvénient
est la complexité des intégrales vectorielles qui doivent être sol~tionnées. La technique basée
sur la loi de Gauss utilise des intégrales de surface très simples, mais elle ne peut être
appliquée qu'à des problèmes présentant une certaine symétrie. Finalement, la technique qui
consiste à calculer d'abord la distribution du potentiel électrique puis le gradient de cette.
distribution possède les avantages d'être aussi générale que la loi de Coulomb et d'utiliser des
intégrale~ scalaires plus simples que celles de la loi de Coulomb, mais elle comporte des
inconvénients, car les intégrales sont plus complexes que celles de la loi de Gauss et elle
nécessite le calcul additionnel du gradient de la distribution de potentiel.
La principale technique utilisée dans ce chapitre est basée sur la loi de Gauss. Cette approche
nous permettra de mettre l'accent sur les concepts de base de l'électrostatique plutôt que sur
les difficultés du calcul des intégrales ou du gradient. Nous verrons à travers les différents
problèmes présentés que le calcul du champ électrique est .souvent une étape préliminaire pour
le calcul du potentiel électrique, de la capacité, de la résistance, de l'énergie électrique et de
la force électrostatique. Dans ces problèmes, les différents matériaux diélectriques et
conducteurs sont linéaires et isotropes comme ceux utilisés dans la pratique courante; ils sont
également homogènes, ce qui nous permet d'analyser plus clairement les conditions aux
frontières entre deux matériaux différents. Ces conditions aux frontières constituent la base de
la théorie des .images décrite au problème 1.13 et qui permet de résoudre certains problèmes
qui présentent des surfaces conductrices.
Finalement, mentionnons qu'aux chapitres 2 et 3 nous étudierons une autre approche qui
consiste à calculer la distribution du potentiel à partir des conditions aux frontières sans
connaître la distribution des charges électriques.
2
Chapitre 1
Rappel théorique
Loi de coulomb. Dans le vide (permittivité e0 "' 8,85 x 10- 12 F/m), une charge ponctuelle
Q (C) située à l'origine produit une force F (N) sur la charge ponctuelle q située à r, telle que :
F"'
q Q r
(1.1)
Champ électrique. En un point donné, le champ électrique E (V/rn) est égal au rapport entre
la force électrique s'exerçant sur la charge témoin Llq et la valeur de Llq lorsque celle-ci tend
vers zéro, soit :
(1.2)
E "' lim
_!_
Llq
Llq-0
Principe de superposition. Dans un milieu diélectrique linéaire et isotrope de permittivité e,
le champ électrique E au point r est produit par la superposition de l'effet de chacune des
charges élémentaires dq qui ont pour position r', soit :
E "' _1_
4rre
J(r - r') dq
(1.3)
Ir - r'l 3
où la charge élémentaire dq peut être égale à : Pt dl, Ps ds ou Pv dv, selon que l'on ait une
densité de charge linéaire Pt (Cim), surfacique Ps (C/m 2), ou volumique Pv (Cim3).
Milieu diélectrique. Dans un milieu diélectrique, la densité de flux électrique D (C/m2) est
toujours égale à e0 E + P, où P est la polarisation électrique. Dans le cas plus restreint où le
milieu est linéaire, homogène, isotrope et caractérisé par une permittivité e, la densité de flux
électrique est définie par :
(1.4)
où e, est la permittivité relative et Xe est la susceptibilité électrique.
Loi de Gauss. Le flux électrique l/!e (C) sortant d'une surface fermée est égal à la charge
électrique Q contenue à l'intérieur de cette surface. Pour une densité de flux électrique D sur
une surface fermées entourant un volume V pouvant contenir une densité volumique de charge
Pv, on a:
(1.5)
lfr " ' J : D · d s " ' f p d v " ' Q
e
Js
v
V
Lorsque la disposition des charges est symétrique, il est parfois possible d'appliquer la loi de
Gauss pour trouver la densité de flux électrique D. La surface s doit être soigneusement
choisie de façon à ce que :
1) La densité de flux électrique soit parallèle ou perpendiculaire à chacun des éléments
ds qui forment cette surface s.
Champs électrostatiques
3
2) La densité de flux électrique D ait une amplitude constante sur la surface s, ou sur
chacune des parties de cette surface s.
Pour appliquer ces deux conditions, on doit tenir compte de l'effet de toutes les charges, même
celles qui ne sont pas contenues à l'intérieur de la surface s. La partie de gauche de
l'équation 1.5 se ramène alors à un simple calcul de surface, tandis que la partie de droite
correspond à évaluer la charge Q contenue dans s. Lorsque les charges sont symétriques autour
d'un point, d'une ligne ou d'un plan, on peut utiliser respectivement : une surface sphérique,
une surface cylindrique ou une surface ayant la forme d'une «boîte à pilules».
Divergence. La divergence d'un champ vectoriel quelconque A dont les composantes sont
continues, est définie par :
V·A
=
lim
Llv-o
f
ds
 ·
(1.6)
Llv
Première équation de Maxwell. En appliquant le théorème de la divergence (équat. 1.8) à
la loi de Gauss (équat. 1.5), on obtient la première équation de Maxwell sous forme
différentielle :
(1.7)
V· D = Pv
Théorème de la divergence. Pour un champ vectoriel quelconque A, le théorème de la
divergence s'applique à une surface fermées entourant un volume V, soit :
fs
A · ds
=
f v V · A dv
(1. 8)
Différence de potentiel. La différence de potentiel électrique (V) entre les points a et b
correspond au travail (J) accompli en transportant une charge ponctuelle Q de 1 Coulomb entre
ces deux points, de a à b, soit :
a
w
-JE ·dl
Q
(1.9)
b
où dl est l'élément différentiel du vecteur déplacement.
Champ conservatif. Le champ électrostatique E est conservatif, car le potentiel entre deux
points est indépendant du parcours d'intégration entre ces deux points (équat. 1.9). Donc, pour
n'importe quel parcours d'intégration fermé on a :
f E · dl
=
0
(1.10)
4
Chapitre 1
Gradient. Pour les champs électrostatiques, E peut être calculé à partir du potentiel électrique
lorsque ce dernier est décrit par une fonction continue V :
E = - 'V V
(1.11)
Potentiel et charge. À partir des équations 1. 3 et 1. 9, nous obtenons le potentiel V en un
point situé à une distance d d'une charge Q pour un milieu diélectrique de permittivité e (on
considère que le potentiel est nul à l'infini) :
v
=
__!}_
(1.12)
4ned
Énergie électrique. Dans un volume V, l'énergie électrique We (J) est :
W
e
=
lJ
2
v
E · D dv
=
lJ
2
v
e E 2 dv
(1.13)
Courant. Le courant 1 (A) est défini comme étant la quantité de charges qui traverse une
frontière par unité de temps (1 A = 1 C/s). Le vecteur densité de courant J (A/m2) est défini
comme étant le courant Lll qui traverse la surface Lls de normale n orientée selon la direction
du courant, lorsque Lls tend vers zéro, soit :
J
= lim
Ll/ n
Lls
L1s-o
(1.14)
Continuité du courant. Le courant quittant une surface fermée s est égal à la perte de
charges par unité de temps à l'intérieur de cette surface, soit :
apv
(1.15)
J·ds = -dv
'V·J
f
s
f
v
at
Conductivité. Dans un milieu conducteur linéaire et isotrope, la conductivité électrique
a (S/m) relie la densité de courant et le champ électrique de la façon suivante :
J = a E
(1.16)
Résistance. La résistance R (0) entre deux bornes d'un dispositif formé d'un matériau
conducteur dépend de la géométrie du dispositif et de la conductivité du matériau. Selon la loi
d'Ohm, la résistance est définie comme le rapport entre la tension entre les bornes et le
courant y circulant, soit :
R = -v
(1.17)
1
Capacité. Un condensateur est formé par deux conducteurs isolés. La capacité C (F) de ce
condensateur est égale au rapport entre la charge ± Q portée par chacune des plaques et la
différence de potentiel V entre celles-ci. Une autre définition implique l'énergie électrique We
contenue dans le condensateur, soit :
Champs électrostatiques
c
=
Q
v
__
2We
5
(1.18)
y2
Conditions électrostatiques. Pour un conducteur dans des conditions statiques, c'est-à-dire
sans déplacement de charges :
- La densité de charge est nulle à 1'intérieur du conducteur :
Pv = 0 (1.19)
- Le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur :
E.nt = 0 (1.20)
- Le potentiel Vest constant partout dans le conducteur :
V= ete (1.21)
(1.22)
- S'il y a des charges excédentaires, elles sont sur la surface.
E 11 = 0 (1.23)
- Sur la- surface, la composante tangentielle de E est nulle :
- Sur la surface, la composante normale (intérieur vers l'extérieur)
de la densité de flux est égale à la densité de charge surfacique :
D!n = Ps (1.24)
Conditions aux frontières (diélectrique-diélectrique). Sur la frontière entre deux milieux
diélectriques l et 2 :
- Les composantes tangentielles des champs électriques dans
les deux milieux :sont égales :
- La différence entre les composantes normales (de 1 à 2) des
densités de flux électrique est égale à la densité de charge
surfacique :
D!n - D2n = Ps (1.26)
1.1 ÉLECTRET (Coulomb, coordonnées cylindriques)
Énoncé
Un électret produit un champ électrique permanent,
tout comme un aimant produit un champ magnétique permanent. Une des façons de fabriquer un
électret consiste à bombarder, sous vide, un morceau de plastique à l'aide d'un faisceau d'électrons.
Les électrons· restent piégés dans le plastique et
génèrent un champ électrique permanent. Dans
1'électret illustré à la figure 1.1, la Tégion où les
électrons sont restés piégés a la forme d'un disque
de rayon p = a, d'épaisseur négligeable et de
densité surfacique de charge uniforme Ps· Le bloc
de plastique a la même permittivité que celle du
vide.
a) Trouver le champ électrique E(z) le long de l'axe du disque.
b) Trouver la valeu~ de E(z) lorsque z tend vers zéro.
Figure 1.1
6
Chapitre 1
c) Déduire le champ électrique résultant d'un plan infini ayant une densité de charge
surfacique uniforme Ps·
Solution
a) On ne peut pas utiliser la loi de Gauss, car
aucune surface d'intégration ne satisfait aux
conditions mentionnées à l'équation 1.5.
Nous utiliserons donc la loi de Coulomb
(équat 1.3). À chaque élément de l'électret
hors de l'axe des z, en correspond un autre
diamétralement opposé qui annule la composante radiale du champ électrique apporté
par le premier élément de charge. Ainsi il ne
reste qu'une composante enz pour le champ
électrique global. Nous utilisons un système
de coordonnées cylindriques pour faciliter
les calculs.
r
= (0, 0, z)
ds = p df/J dp
a
Figure 1.2
;;0 (1 - Ja2 z+ z2)
pour
z
> 0,
Ez
pour
z
< 0,
Ez
pour
z
> 0,
limz~o Ez
pour
z
< 0,
1imz~O Ez
=
z
;;o(-1
Jaz z+ z2)
b)
Ps
2e0
-ps
2€Q
AnnexeE
6.12
Boucles d'émission et de réception
m
m w sin8 cosw(t - rfc)
a) H = - 0 cos8 sinw(t - rfc) r + 0
0
A
~l
2rlc
S p 0 m0 w2_
sinw(t
- dfc)
b) jem = _..::........;:___
_ _ __
2dlc
wm0 sin8 cos w(t - rfc)
c) E =
~
2lc 2 r
A
6.13
Radiogoniomètre
(4s' s'3 ) {3=5'
a)n=--0
A
b) H = (7,9i - 10,6y - 13,2z) cos(108t
8
c) fem 1 = 0,12S sin10
6.14
t
fem 2 = -0,167 sin10
Onde sphérique
a) H = {J sinfJ cos(3 x 10
8
t -
pr)
cÎ>
r
b)
p = 1207r{J sin2 8cos2 (3 x 108t- {Jr)
r2
3y) Afm
- 4x -
r
8
t
-jem
d) 4> = arctan - -1
fem2
119