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Cours de mécanique des
fluides incompressibles
FL71
2014-2015
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Chap 1: Introduction
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Qu’est ce qu’un fluide ?
Un fluide est une substance qui s'écoule (en d'autres termes, qui prend la
forme de son contenant) et qui ne résiste pas à la déformation (c'est-à-dire
qui glisse quand on le déplace). On utilise souvent les termes fluide et
liquide de manière interchangeable, mais, techniquement le terme fluide
peut aussi bien renvoyer à un liquide qu'à un gaz.
Un gaz remplit complètement son contenant, tandis qu'un liquide
comporte une « surface libre » dont la forme ne dépend pas de ce
contenant.
La distinction entre liquides et gaz peut influer sur la manière dont on
modélise le fluide, mais tous deux obéissent aux mêmes formules de base
pour les fluides et ont des propriétés comparables.
Chap 1: Introduction
3
Qu’est ce qu’un fluide ?
Dynamique en milieux liquide
Chap 1: Introduction
Dynamique en milieux gazeux
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Et la fumée ?
Elle semble se comporter comme un gaz, mais apparaît aussi dotée
d'une certaine surface, même si elle n'est pas aussi distincte que celle
d'un liquide. La réponse est que la fumée est en fait le mélange d'un gaz
et de particules minuscules en suspension, l'ensemble de ces particules
s'appelant un aérosol. Ces particules suivent le mouvement du gaz, sans
nécessairement influer sur lui. On peut généralement traiter la fumée
comme une sorte de gaz dont l'une des propriétés varie, par exemple la
densité ou la composition.
Chap 1: Introduction
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Compacité d’un fluide
Etat liquide
Etat gazeux
Chap 1: Introduction
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Notion de particule fluide
Une particule est un volume élémentaire contenant un grand nombre de
molécules ce qui permet de définir des grandeurs moyennes locales qui
vont évoluer de façon continue.
Description microscopique
Description macroscopique
dv
dv
Chap 1: Introduction
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Valeurs moyennées
Masse volumique
Soit dV un volume élementaire infinitésimal centré sur le point M0.
La masse élémentaire contenue dans dv est:
dm = ρ ( M 0 ) dv
Vitesse d’une particule M0
Soit une particule au point M0. Soit un volume élémentaire
infinitésimale dv contenant
des k molécules de masse mk et
animées d’une vitesse Vk . La vitesse de la particule M0 est:
1
V (M 0 ) =
m
v
∑k k k
m
∑ k
k
Quantité de mouvement d’une particule
dP ( M 0 ) = dmV ( M 0 ) = ρ ( M 0 )V ( M 0 )dv
Chap 1: Introduction
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Notion de Milieu continu
En mécanique des fluides, on considère les propriétés du fluide du point
de vue macroscopique, en utilisant les lois de la mécanique de Newton.
La composition moléculaire est
négligée.
Le milieu est considéré comme
continu.
La définition précédente exclut les milieux raréfiés. On définit le nombre
de Knudsen : Kn = l / L
Avec l le libre parcours moyen (distance moyenne entre 2 chocs) et L
une dimension caractéristique de l'écoulement.
Pour un milieu continu, on a Kn <<< 1
Exemple : Air sous conditions normales : P = 10 5 Pa, T = 273 K, l = 10 -7 m. Donc pour L = 1 m,
on a Kn = 10 -7.
Chap 1: Introduction
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Champ de pression
Le champ de pression a deux origines, la première est due au mouvement
de fluide et au transfert de quantité de mouvement (chocs) ce qui définit la
pression cinétique. La deuxième est d’ordre électrique pour des molécules
possédant un moment électrique, pour des molécules polarisables et il existe
également des forces d’origine quantique dues au mouvement des électrons,
ce qui définit la pression moléculaire.
L’ensemble de ces forces se traduit par une force exercée de l’extérieur sur
l’élément de surface dS :
2
M0
1
dS
dF (2 → 1) = − PdS = − PdSn ( P > 0)
P est un scalaire qui dépends de la position du point M0 .
L’unité est 1 Pa=1 N/m2 (1 bar=105Pa, 1 atm = 101 325 Pa)
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
La viscosité dynamique µ ([µ] = Pa.s = (N/m2).s= 1 PI (Poiseuille))
La viscosité d'un fluide caractérise la résistance qu'il oppose à la vitesse
de déformation (mouvement) engendrée par l'application d'une
contrainte (Force/surface). Pour cela on réalise l’Expérience de Couette
plan:
(Champ de vitesse)
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
Ce comportement linéaire entre la contrainte tangentielle et le
gradient de vitesse est caractéristique des comportement des
fluides newtoniens comme l’air et eau) .
µ(P,T)
P: Pression
Gaz :
T
Liquide :
T
ν=µ / ρ
T: Température
µ(P,T)
µ(P,T)
viscosité cinématique [ν] = m2s-1.
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
Il existe des fluides qui n’ont pas un comportement newtonien.
Vitesse de déformation
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
L'air et l'eau peuvent être représentés par un modèle
newtonien, tandis que les boues de forages sont un exemple de
plastique de Bingham. Dans ces deux cas la réponse à une
sollicitation du milieu est indépendante du temps. Pour d'autres
milieux, la réponse à une sollicitation fait intervenir le temps :
- les fluides thixotropes : La viscosité diminue avec le temps
d'application de la contrainte; le fluide ne retrouve sa viscosité
initiale qu'après une durée de repos plus ou moins grande.
- les fluides rhéopectiques : La viscosité augmente avec la durée
d'application de la contrainte.
- les fluides viscoélastiques : La structure moléculaire du fluide
est modifiée sur une échelle de temps caractéristique : selon le cas,
le fluide peut avoir un comportement visqueux ou élastique.
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
La compressibilité
Faculté d’un fluide à subir des variations significatives de masse
volumique lorsqu’on applique un échelon de pression ∆P ou une
variation de temperature ∆T.
On utilisera deux coefficients :
1  ∂ρ 
- coefficient de compressibilite isotherme:
KT = 

- coefficient de dilatation thermique
à pression constante.
∆ρ
ρ
Chap 1: Introduction
ρ  ∂P T
1 ∂ρ
β = −  
ρ  ∂T  P
= KT ∆P − β∆T
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
KT = 10-5 pour l'air et KT = 5 10-10 pour l'eau
Ainsi une variation (à température constante) de pression ∆p
entraînera une variation relative de masse volumique :
∆ρ
ρ
= KT ∆P
Si ∆p = 105 Pa, la variation relative sera de 1 pour l'air et 5 10-5
pour l'eau.
Pour cette raison, l'eau dans les conditions standard de
pression et de température sera qualifiée d'incompressible
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
Q
Diffusion thermique
T1
H
T0
Q T1 − T0
∝
A
H
La quantité q = Q / A est appelé densité de flux chaleur. C’est
une puissance thermique (Watts) echangée par unité de surface
et on pose :
Q
T −T
q = = −λ 1 0
A
H
Le nombre positif λ est appelé le coefficient de conductivité
thermique. Il s’exprime en W.m/K.
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
La loi de Fourier relie le vecteur densité de flux de chaleur q au
gradient de température par :
q = − λ ∇T
La puissance calorifique ∆ P échangée au travers d’une surface
∆S de normale n est :
n
∆P = −q.n ∆S
Chap 1: Introduction
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
Coefficients de diffusion
- Viscosite cinematique
- Diffusivite thermique
µ
ρ
λ
a=
ρC p
ν=
[ν ] = [a ] = m2/s = [vitesse × longueur]
- Nombre de Prandtl
Chap 1: Introduction
Pr =
ν
a
=
µC p
λ
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Propriétés macroscopiques d’un fluide
• Pour favoriser le transfert de chaleur en minimisant les pertes par
frottement, on utilisera plutôt un fluide à faible nombre de Prandtl.
• Pour réduire le transfert de chaleur, p.ex. en lubrification, on utilisera
des fluides à grand nombre de Prandtl, comme les huiles siliconées
Chap 1: Introduction
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