Chapitre I : Le transformateur 1. Introduction

Spéciale PSI - Cours "Conversion de puissance" 1
Conversion électromagnétique statique
Chapitre I : Le transformateur
Objectifs :
•déterminer les principales caractéristiques d’un transformateur et comprendre son principe de fonctionnement ;
•présenter un modèle simple : le transformateur parfait.
1. Introduction
Les chapitres précédents abordaient le problème de traitement du signal sans aucune référence aux puissances mises en jeu
alors que les techniques à utiliser ne sont pas les mêmes si ces puissances sont de l’ordre du milliwatt ou du kilowatt.
De plus, les procédés de production, de transport et d’utilisation de l’énergie électrique font appel à de nombreuses conversions
de puissance.
•Production : dans les centrales, l’énergie thermique est convertie en énergie mécanique (mise en mouvement des
turbines) puis en énergie électrique grâce à un alternateur qui réalise une conversion électromécanique.(cas
particulier des centrales hydroélectriques).
•Transport : pour diminuer les pertes par e*et Joule dans les lignes électriques on transporte l’énergie électrique sous
haute tension. Pour limiter les risques, l’utilisateur reçoit cette énergie sous une tension bien plus faible. Ces di*érentes
conversions statiques de la puissance sont obtenus grâce à des transformateurs.
•Utilisation : selon les modes d’utilisation, il pourra être nécessaire d’e*ectuer une conversion électronique de
puissance.
Au cours de ces conversions la puissance reçue en entrée Peest égale à la somme de la puissance Pscédée en
sortie et de la puissance PPperdue (sous forme de chaleur, rayonnement, vibrations mécaniques). On dé0nit alors le
rendement du convertisseur comme le rapport de la puissance utile délivrée à la charge à la puissance absorbée à la source :
Pe=Ps+PPet =Ps
Pe
Exercice n01 : Nécessité des hautes tensions
Quels diamètres de 0l choisir pour fournir à une usine, distant de 50 km, une puissance de 10 MW avec moins de 10% de pertes
sous une tension de 220 V ou de 200.103V?
La résistivité du cuivre est =2,0.108.m.
Exercice n02 : Limite d’utilisation d’un montage potentiométrique dans la conversion de puissance
E=24V,R=80,on pose r1+r2=Ret R=1k.
1) On réalise le montage ci-dessus. Déterminer la fem Eet la résistance interne ridu dipôle AA.Exprimeret rien fonction
de r1et r2.
2) En déduire la puissance P2dissipée dans la résistance de charge Ren fonction de E,,Ret R.
3) Calculer la puissance P1fournie par la source de tension Een fonction de E,,Ret R.
4) En déduire le rendement en puissance du circuit en fonction de ,Ret R.
Application numérique : calculer pour =3/4. Que pensez-vous de la valeur obtenue ?

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 2
2. Rappels
•Les phénomènes expérimentaux liés aux milieux magnétiques sont très bien interprétés à l’échelle macroscopique par
l’hypothèse que tout élément de volume d’un matériau aimanté possède un moment dipolaire magnétique. Le phénomène
d’aimantation est alors entièrement caractérisé par la densité volumique de moment dipolaire, champ vectoriel que
nous désignerons par  M; Mest appelé ”vecteur aimantation” ou simplement ”aimantation” du milieu. Unité: M
s’exprime en Ampère par mètre (symbole Am
1) dans le système d’unités internationale.
•Par dé0nition on appelle ”vecteur H” ou vecteur ”excitation magnétique” le vecteur donné en tout point par la
relation
H=B
µo
M
Le vecteur  Ha la même dimension que le vecteur  M, il s’exprime donc en Ampère par mètre (symbole Am
1)enSI.
•Le théorème d’Ampère s’écrira alors dans un milieu magnétique
C
H.d =S
j.d S+S
D
t.d
S
soit dans l’ARQS C
H.d
l=Ilibre, enlac´e
•Loi de Faraday généralisée : Pour une maille fermée, mobile dans un champ magnétique variable  B, la f.e.m.
d’induction est donnée par la loi de Faraday :
e=d
dt
où d
dt représente la dérivée totale du Aux (t), tenant compte du déplacement du circuit et de la variation de 
B.(eest
la somme de eL=Cve
B.d et de eN=C
A
t.d
).
•Si le circuit à une inductance propre Let est parcouru par un courant d’intensité ialors =L.i et e=Ldi
dt
•Si deux circuits sont en inductance mutuelle et en supposant qu’il n’y a pas d’autre source de champ
magnétique,lesAux totaux à travers chacune des deux bobines s’écrivent :
1=11+21=L1i1+Mi2
2=22+12=L2i2+Mi1
D’où les f.e.m. induites :
e1=d1
dt =L1di1 dt Mdi2 dt
e2=d2
dt =L2di2 dt Mdi1 dt
R
1L1
M
R
2
L2
i1i2
A
D
C
B
R
1
e1
R
2
e2
i1i2
A
D
C
B
On en déduit les di*érences de potentiel aux bornes de chacun des deux circuits :
uAB =v1=R1i1e1=R1i1+L1
di1
dt +Mdi2 dt
uCD =v2=R2i2e2=R2i2+L2
di2
dt +Mdi1 dt
Les équations électriques de chacune des deux branches sont couplées par inductance mutuelle.
En régime sinusoïdal permanent à la pulsation !ces équations deviennent :
v1=R1i1+j!L1i1+j!Mi2
v2=R2i2+j!L2i2+j!Mi1

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 3
3. Le transformateur
3.1. Description du dispositif
•Un transformateur est constitué d’un circuit magnétique fermé sur lequel sont bobinés deux enroulements élec-
triquement indépendants (galvaniquement isolé) : le primaire (relié à la source) et le secondaire (relié à la charge)
(dans le cas particulier de l’autotransformateur, il n’y a qu’un seul bobinage : le secondaire est une partie du primaire).
Le circuit magnétique est constitué d’un matériau ferromagnétique (cf. travaux pratiques), en général de minces tôles
de fer au silicium d’épaisseur comprise environ entre 0,05 mm et 0,5mm isolées les unes des autres par du vernis ou
par une oxydation super0cielle, et fortement comprimées par un système de serrage.
Chacun des circuits électriques est constitué de 0l de cuivre ou d’aluminium émaillé ou enrubanné de coton, papier ou
toile pour l’isolation électrique. Ces circuits sont noyés dans de la résine ou imprégnés de vernis et comprimés pour
résister aux e*orts électromagnétiques.
Dans les transformateurs de forte puissance, le circuit électrique est isolé du circuit ferromagnétique et de l’enveloppe
extérieure par un diélectrique (de l’huile ou du pyralène, avant son interdiction). Ce Auide permet aussi d’évacuer vers
l’extérieur la chaleur dissipée dans le transformateur.
•Importance du circuit ferromagnétique :
Grâce aux propriétés ferromagnétiques du matériau qui le constitue, le circuit magnétique canalise les lignes de champ
magnétique : le champ magnétique peut être considéré comme quasiment nul en dehors du matériau, appelé ici noyau.
Le couplage entre les enroulements est alors pratiquement total, car quasiment toutes les lignes de champ magnétique
traversent les deux enroulements. De plus, le circuit ferromagnétique rend l’intensité dans le circuit primaire très faible
en l’absence de courant dans le secondaire.
L’utilisation de tôles feuilletées dans le sens du champ magnétique permet de diminuer les pertes par courants de
Foucault.
3.2. Convention d’orientation
On oriente de façon arbitraire le circuit magnétique.
L’orientation des enroulements primaire et secondaire est telle que leur normale (obtenue avec les règles habituelles) est dans
le sens choisi pour l’orientation du circuit magnétique. On repère alors par deux points une paire de bornes homologues
du transformateur : cette paire est composée de la borne du primaire et de celle du secondaire par où rentre un courant
positif avec la convention d’orientation précédente.
3.3. Hypothèses simpli,catrices
L’étude d’un transformateur réel est complexe mais nous pourrons adopter des hypothèses simpli0catrices :
•sur le matériau constituant le noyau :
— le noyau est torrique
—les champs magnétiques mis en jeu sont faibles devant le champ de saturation et le cycle d’hystérésis est suEsam-
ment étroit pour être assimilé à un segment de droite. On peut alors faire l’approximation d’un milieu linéaire,
homogène et isotrope (milieu L.H.I.) pour lequel
B=µ0µr
H

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—l’hypothèse précédente peut être complétée : dans le cas des matériaux ferromagnétiques, la perméabilité relative
µrest souvent grande devant 1et on ferra parfois l’approximation µr+.
•sur le champ magnétique dans le noyau :
—les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore,
qui se comporte donc comme un tube de champ. Il n’y a pas de ”fuites” (c’est à dire pas de lignes de champ qui
se referment en dehors du noyau). II en résulte que le 0ux du champ  Bà travers toute section est constant et
que le couplage entre les deux enroulements est total.
—on considère la section du tore de diamètre très inférieur au rayon moyen R, de telle sorte qu’on puisse
supposer les champs uniformes sur toute une section.
•sur les enroulements :
Ils sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par e*et Joule.
Exercice n03 : Etude d’une bobine à noyau torique
Une bobine est constituée de n1spires pratiquement jointives de rayon a, enroulées en une seule couche sur un tore de rayon moyen
r0. L’enroulement est réalisé avec un 0l de cuivre de diamètre da. La bobine est parcourue par un courant I.
1) Quelle est la forme des lignes de champ magnétique ?
2) Exprimer le champ magnétique  BenunpointPsitué à l’intérieur du tore et repéré par les coordonnées ret $.
3) Calculer l’inductance propre Lde la bobine. On considérera pour cela que r0aet les calculs seront développés au second
ordre.
4) Calculer la valeur maximale que doit avoir le rapport a/r0pour que l’on puisse considérer que LL1=µ0n2
1a2
2r0,avecune
précision supérieure à 1% ?µ0est la perméabilité du vide.
Application numérique: d=0,4mm,a=6mm,r
0=30mm.
4.Mise en équation du transformateur parfait
4.1. Notations
Soit un transformateur pour lequel toutes les hypothèses simpli0catrices précédentes sont applicables (sauf µr+):

Conversion de puissance. Chapitre I : Le transformateur 5
•le noyau est torrique et constitué d’un milieu linéaire, homogène et isotrope : 
B=µ0µr
H
•les lignes de champ magnétique sont assimilées à des cercles de même axe de révolution que le tore (le Aux du champ  B
à travers toute section est constant et le couplage entre les deux enroulements est total) et les champs sont uniformes
sur toute une section.
•les enroulements sont parfaitement conducteurs et ne présentent pas de pertes par e*et Joule.
Soit n1(respectivement n2) le nombre de spires du primaire (respectivement du secondaire) et i1,i
2,v 1et v2les courants
et les tensions indiqués sur la 0gure 1 ci-dessus.
4.2. Expression des tensions
4.2.1. Première méthode
•les lignes de champ étant des cercles, le théorème d’Ampère appliqué au cercle orienté Cde rayon Rdonne :
C
H.d l=Ilibre, enlac´e
l’excitation magnétique  Hest donc :
H=1
2&R(n1i1+n2i2)u
•le milieu est linéaire, homogène et isotrope
B=µ0µr
H=µ0µr
2&R(n1i1+n2i2)u
•le Aux de  Bà travers toute section du tore s’écrit :
=  B.d S=BS =µ0µr
2&R(n1i1+n2i2)S
Ce Aux, souvent appelé 0ux commun (c’est la grandeur qui assure le couplage entre le primaire et le secondaire) est
le Aux pour une spire. C’est une grandeur continue (est lié à l’énergie emmagasinée dans le noyau).
•Dans chaque enroulement va apparaître un phénomène d’induction lorsque le Aux va varier. On modélise alors le
transformateur par le quadripôle de la 0gure 2 du paragraphe 4.1..
Il y a n1spires au primaire, le Aux à travers ce conducteur est donc 1=n1et la loi de Faraday donne (résistance
des bobinages négligeables) :
v1=e1=d1
dt =n1
d
dt =n1
d
dt µ0µrS 2&R(n1i1+n2i2)
v1=µ0µrS
2&Rn2
1
di1
dt +µ0µrS 2&Rn1n2
di2
dt
de même au secondaire on obtient :
v2=e2=d2
dt =n2
d
dt
=µ0µrS
2&Rn1n2
di1
dt +µ0µrS 2&Rn2
2
di2
dt
v1=e1=µ0µrS
2Rn2
1di1
dt +µ0µrS 2Rn1n2di2 dt
v2=e2=µ0µrS
2Rn1n2di1 dt +µ0µrS 2Rn2
2di2
dt
4.2.2. Deuxième méthode
On pouvait retrouver directement ces résultats grâce aux rappels du paragraphe 2 :
nous pouvons donner le schéma électrique équivalent du transformateur (avec les hypothèses précédentes) :