mecanique des fluides

1
PC-PC* 2012/2013
Lycée SCHWEITZER Mulhouse
Mécanique des fluides
Marc STRUBEL

2

3
Chapitre 1 : STATIQUE DES FLUIDES
Ce chapitre rassemble l'essentiel du cours de PCSI.
1. Définition des fluides :
Un fluide est un système pouvant se déformer sous l'effet de forces aussi petites soient-elles , pourvu
qu'elles soient appliquées assez longtemps.
En pratique, on considérera des liquides et des gaz.
Un fluide est formé à l'échelle microscopique de particules individuelles, cependant on traite le fluide
comme un milieu continu, constitué de "particules élémentaires de fluide" ( échelle mésoscopique ) si
la dimension typique L du système considéré ( échelle macroscopique ) est grande devant le libre
parcours moyen des molécules.
Les particules de fluide sont donc petites à l'échelle macroscopique, mais contiennent un nombre de
molécules pour pouvoir y définir des grandeurs moyennées.
2. Forces dans les fluides :
a) Les forces exercées sur les fluides peuvent être décomposées en deux types :
 les forces volumiques, qui s'appliquent à chaque élément dV du fluide ; on définit dans ce cas
une densité volumique de forces par :
dV=.fFd v
Exemple : poids volumique
gρf
=
Vpoids
, force électromagnétique volumique
)+(=
Vém BvEρf
.
 les forces superficielles, qui s'appliquent à chaque élément dS de la surface S entourant le
volume V du fluide ; on admet que dans le fluide au repos la force exercée sur une petite
surface dS du fluide étudié est :
S.dMP- Fd 
)(=
.
où d
S
est le vecteur surface orienté par la normale sortante, et où P(M) est appelée pression au point
M.
Unité : N.m-2 ou Pascal ( Pa ).
Autres unités : 1 bar = 105 Pa ; 1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg ; 1torr = 1 mmHg.
b) Résultante volumique des forces de pression :
   VS S dV.PSd.PFdF 
Les forces de pression sont donc, du seul point de vue de la résultante, équivalentes à des forces
volumiques de densité :
Pgradfvpression 

4
3. Loi fondamentale de l'équilibre.
Un fluide est en équilibre par rapport à un référentiel R si pour toute particule fluide :
v
R(M,t) = 0.
Soit une portion de fluide dV de masse dm = .dV enclose par une surface S et soumise dans un
réferentiel R :
 à des forces de pression admettant une densité
Pgradfvpression 
;
 à des forces volumiques admettant une densité
vautres
f
.
L'équilibre dans R s'écrit sous forme locale :
0 Pgradfvautres
Remarque : si R n'est pas galiléen, il faut tenir compte de forces d'inertie.
Cas particulier d'un fluide soumis aux seules forces de pesanteur :
gρ=fVautres
.
Définition : on appelle surfaces isobares les surfaces P = cste.
Propriété : les isobares sont perpendiculaires aux lignes de champ de
v
f
.
4. Champ de pression dans le champ de pesanteur pour un fluide incompressible :
Un fluide est incompressible si  ne dépend pas de P.
Si de plus le fluide est homogène, alors  = cte.
On a alors :
P(z) = P(0) - gz ( si l'axe des z est ascendant )
Théorème de Pascal : dans un liquide au repos, les variations de pression se transmettent
intégralement d'un point à un autre.
5. Champ de pression dans un gaz parfait : modèle de l'atmosphère isotherme :
L'équation d'état du GP s'écrit : P = RT / M.
On déduit de la loi fondamentale de l'hydrostatique :
P(z) = P(0).exp( - Mgz / RT ).
6. Théorème d'Archimède :
Enoncé : Un solide immergé dans un fluide à l'équilibre est soumis à une poussée verticale de bas en
haut, égale en norme au poids du liquide déplacé et s'exerçant au centre de masse du fluide déplacé.
Remarque 1 : la poussée d'Archimède n'est pas un nouveau type de force ! Elle traduit la résultante des
forces de pression.
Remarque 2 : la démonstration du théorème suppose que le solide peut être remplacé par du fluide
sans modifier l'équilibre. Pensez-y !

5
STATIQUE DES FLUIDES - EXERCICES
1. Barrage :
Un barrage de largeur L selon y retient une hauteur h d'eau (masse volumique )
sur sa face verticale .
La pression à la surface libre est P0.
Calculer la loi de pression P(z), la résultante des forces de pression exercée par l’eau
sur le barrage et le moment résultant en O, point situé au niveau du sol à la surface
du barrage.
2. Poussée d’Archimède :
Archimède trouva que la masse de la couronne du roi Hiéron était, dans l’air de 482,5 g et de 453,4 g
dans l’eau( masse apparente ). La couronne était-elle en or pur ? Masse volumique de l’or : 19,3 103
kg.m-3.
3. Hémisphères de Magdebourg :
Deux hémisphères métalliques de rayon R sont juxtaposés par l'intermédiaire d'un bourrelet de cuir.
On effectue le vide entre ces deux hémisphères ; l'un est alors relié à un support fixe.
Quelle force minimale F0 doit-on exercer sur l'autre partie pour séparer les hémisphères ? On
désignera par P0 la pression atmosphérique.
AN : P0 = 105 Pa ; R = 20 cm.
4. Mesure de la porosité ( Mines-Ponts 2005 ) :
Un échantillon de roche-réservoir de pétrole, de volume total
V
T
, est constitué d’un volume solide
VS
et d’un
volume de pores
VP
. On appelle porosité, et l’on note , le rapport
VP
V
T
.Pour mesurer la porosité d’un
échantillon, on peut procéder par mesures de poussées d’Archimède sur des corps immergés dans divers
liquides.
Mesure du volume total VT :
L’appareil représenté ci-contre mesure la poussée
d’Archimède exercée par le mercure, de masse
volumique µHg, sur l’échantillon immergé. Les deux
bras de la balance ont la même longueur. Cet
échantillon est disposé sur une nacelle, qui subit elle-
même la poussée d’Archimède. La mesure procède en
deux temps. Dans un premier temps, on équilibre la
balance avec la nacelle seule ; dans un second temps, on équilibre la balance avec la nacelle chargée
par l’échantillon. On suppose que le mercure ne pénètre pas dans les pores et l’on ne tient pas compte
de la variation du niveau du mercure entre les deux manipulations.
Expliciter la notion de poussée d’Archimède. Exprimer
V
T
en fonction de m1, m2, de la masse de
l’échantillon m, et deµHg.
c) Mesure de VS = VT-VP :
La balance est équilibrée, d’abord avec l’échantillon
suspendu dans l’air, ensuite avec l’échantillon
immergé dans un liquide solvant de masse volu-
mique µsol, qui envahit tous ses pores. Exprimer VS en
fonction de m3, m4 et de µsol . En déduire la porosité
de l’échantillon.
z
h
x
O
m4 m3
m
1
m
2