PROPAGATION_DANS_UN_GUIDE_D`ONDE

PROPAGATION
D’ONDES ELECTROMAGNETIQUES
DANS UN GUIDE D’ONDE
A SECTION RECTANGULAIRE
B. AMANA et J.-L. LEMAIRE

Licence de Physique - Univ. de Cergy-Pontoise. Propagation d’ Ondes EM dans un guide à section rectangulaire.
PARTIE THEORIQUE : ONDES TRANSVERSALE ELECTRIQUE
(TE) ET TRANSVERSALE MAGNETIQUE (TM) DANS UN GUIDE
D’ONDE A SECTION RECTANGULAIRE.
Les ondes TE et TM dans un guide d’onde sont des ondes électromagnétiques
pour lesquelles le champ électrique ou le champ magnétique, respectivement,
sont normaux à la direction de propagation Oz définie par l’axe du guide.
Nous allons étudier la propagation de ces ondes dans des guides métalliques
sans pertes, à section rectangulaire, remplis d’un milieu diélectrique, non
magnétique, linéaire, homogène, isotrope, de permittivité relative ε
r
(voir figure
suivante). Dans ces conditions les champs
H
et
B
ne se distinguent que par le
facteur de conversion universel µ
0
= 4πx10
-7
.
I- Expressions des composantes du champ électromagnétique dans un
guide d’onde.
I-1 Equations de Maxwell dans le guide en régime sinusoïdal.
En régime sinusoïdal les équations liant
E
et
B
s’écrivent :
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(1) 0B
c
Bet 0E
c
E
: vientil ,div gradrotrot le vectorielidentitél'utilisant En
.étrangères charges de absencel'en 0Ediv Ddivet 0Bdiv
:écrivents' équations autresdeux Les
.1c puisque
E
c
iEiBrotsoit
t
D
Brotet Bi
t
B
Erot
2
2
2
2
0
2
00
2
000
=ε
ω
+∆=ε
ω
+∆
∆−=
=εε==
=µε
ε
ω
−=ωµεε−=
∂
∂
µ=ω=
∂
∂
−=
rr
r
r
r
I-2 Expressions des composantes transversales des champs.
Explicitons les équations de Maxwell dans la base cartésienne de (O, x, y, z)
qui admet Oz comme direction de propagation et cherchons des solutions de la
forme :
:selon explicites' elle ,E
c
iBrot seconde la àQuant
(4). Bi
y
E
x
E
(3) Bi
x
E
Eik
(2) BiEik
y
E
:donne : BiErot ectorielleéquation v première La
guide. le dans complexe onded' nombre leétant ikkk
ee )y,x(B)z,y,x(Bet
ee )y,x(E)z,y,x(E
2
z,m
xm,
ym,
y,m
zm,
x,mg
x,my,mg
zm,
''g 'gg
ti
z
g
ik
m
ti
z
g
ik
m
r
ε
ω
−=
ω=
∂
∂
−
∂
∂
ω=
∂
∂
−
ω=−
∂
∂ω=
+=
=
=
ω−
ω−
(7). E
c
i
y
E
x
E
(6) E
c
i
x
B
Bik
(5) E
c
iBik
y
B
z,m
2r
xm,
ym,
y,m
2r
zm,
x,mg
x,m
2r
y,mg
zm,
ωε
−=
∂
∂
−
∂
∂
ωε
−=
∂
∂
−
ωε
−=−
∂
∂
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En combinant ces équations on aboutit à :
(11) )
x
B
y
E
k(
i
E
(10) )
y
B
x
E
k(
i
E
(9) )
x
E
y
B
k(
i
B
(8) )
y
E
x
B
k(
i
B
z,mz,m
g
kc/
y,m
z,mz,m
g
kc/
x,m
z,mz,m
g
kc/
y,m
z,mz,m
g
kc/
x,m
2
g
2
r
2
2
g
2
r
2
2
g
2
r
2
2
g
2
r
2
∂
∂
ωε+
∂
∂
=
∂
∂
ωε−
∂
∂
=
∂
∂
ωε+
∂
∂
−
=
∂
∂
ωε−
∂
∂
=
−εω
−εω
−εω
−εω
Posons k
m
=
2/1
r
c
ε
ω
: nombre d’onde dans le milieu illimité. On voit que la
propagation des ondes TEM (composantes longitudinales nulles)
correspondrait au cas singulier où k
g=
k
m
ce qui annulerait le dénominateur des
expressions de champs et donc les numérateurs. Cependant les conditions aux
limites sur le conducteur parfait à section rectangulaire imposent que les
composantes tangentielles de
B
et
E
soient nulles.
Il en résulte qu’une onde TEM ne peut pas se propager dans un guide
métallique à section rectangulaire.
I-3. Equations différentielles des composantes longitudinales.
En injectant les expressions précédentes des composantes transversales du champ
électromagnétique dans les équations
0
B
div
et
0
E
div
=
=
, on obtient les
équations auxquelles satisfont les amplitudes des composantes longitudinales des
champs.
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(13) 0B)
2
g
k
2
m
k(
y
B
x
B
:on trouve même De
(12) 0E)
2
g
k
2
m
k(
y
E
x
E
:oùd'
0Eik)
y
E
k(
2
g
k
2
m
k
i
)
x
E
k(
2
g
k
2
m
k
i
0
z
E
y
E
x
E
Ediv
z,m
2
z,m
2
2
z,m
2
z,m
2
z,m
2
2
z,m
2
z,mg
2
z,m
2
g
2
z,m
2
g
z,m
y,m
x,m
=−+
∂
∂
+
∂
∂
=−+
∂
∂
+
∂
∂
=+
∂
∂
−
+
∂
∂
−
⇒
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Il suffit alors de résoudre ces équations en tenant compte des équations aux
limites.
I-4. Fréquence de coupure des ondes TE et TM.
Deux cas peuvent se présenter : k
g
réel ou k
g
imaginaire.
I-4.1. k
g
réel
k
g
=k’
g
et k"
g
=0 :
ti
z
g
ik
m
ee )y,x(t)z,y,(x,
ω−
ψ=ψ
La fonction
t)
z,
y,
(x,
ψ
représente une onde monochromatique qui n’est pas
plane et dont la vitesse de phase v
ϕ
=ω/ k
g
.
D’après les équations différentielles auxquelles satisfont E
m,z
et B
m,z
, la
condition pour qu’il y ait propagation de l’onde selon la direction Oz est alors :
c
2/1
r
2/1
0
c
cc
2
gcm
2
g
2
m
2
c
k
)( c )( k
avec
:aussiécrit s'condition Cette .0k puisque kksoit 0kkk
ε
=
εµ
≡ωω>ω
>>>−=
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