Analyse différentielle des écoulements de fluides

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Les cahiers du Génie Mécanique
Analyse différentielle
des écoulements de
fluides
DR. RASSIM BELAKROUM
Date de publication du support :
15/12/2013
Version : 1.00

Table des matières
Objectifs 3
Introduction 4
1 - Éléments de la cinématique des fluides 5
1.1 Déplacement et déformation d'un élément de fluide.....................................................................................5
1.2 Déplacement linéaire et déformation..........................................................................................................7
1.3 Mouvement de rotation et déformation angulaire.........................................................................................8
2 - Conservation de masse 11
2.1 Principe de conservation de masse...........................................................................................................11
2.2 Forme différentielle de l'équation de continuité..........................................................................................11
3 - Conservation de quantité de mouvement 13
3.1 Deuxième loi de Newton.........................................................................................................................13
3.2 Description des forces appliquées sur un élément de fluide..........................................................................13
3.3 Équations de mouvement........................................................................................................................15
4 - Écoulements de fluides non-visqueux 17
4.1 Équations d'Euler...................................................................................................................................17
5 - Écoulement de fluides visqueux 18
5.1 Relation entre contraintes et déformations................................................................................................18
5.2 Les équations de Navier-Stokes...............................................................................................................18
6 - Étude de quelques cas simples d'écoulements de fluide 20
6.1 Écoulement stationnaire, laminaire d'un fluide entre deux plaques parallèles fixes..........................................20
6.2 Écoulement de Couette...........................................................................................................................21
6.3 Écoulement stationnaire, laminaire dans une conduite à section circulaire.....................................................22
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Objectifs
Dans la première partie de ce chapitre, on s'est focalisé sur l'utilisation des volumes de contrôle
pour la solution d'une variété de problèmes de mécanique des fluides. Cette approche est très
pratique et utile, car elle ne nécessite généralement pas une connaissance précise des variations
de pression et de vitesse à l'intérieur du volume de contrôle. En règle générale, nous avons
constaté que seules les conditions à la surface (aux frontières) du volume de contrôle sont
nécessaires, et donc les problèmes pourraient être résolus sans une connaissance approfondie du
champ d'écoulement. Malheureusement, il y a beaucoup de situations qui se présentent dans les
quelles les détails de l'écoulement sont importantes et l'approche de volume de contôle ne
donnera pas l'information souhaitée. Par exemple, nous pouvons avoir besoin de savoir comment
la vitesse varie sur la section d'un tuyau, ou comment la pression et la contrainte de cisaillement
varie le long de la surface d'une aile d'avion. Dans ces circonstances, nous devons développer
des relations qui s'appliquent à un point, ou au moins dans une très petite région infinitésimale
dans un champ de d'écoulement donné.
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Introduction
Nous commençons notre introduction à analyse différentielle en examinant et en étendant certaines des idées associées à la
cinématique des fluides . Dans ce contexte le reste du chapitre sera consacré à la dérivation des équations différentielles de
base (qui sera basé sur le principe de la conservation de la masse et la deuxième loi du mouvement de Newton) et à
certaines applications.
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1 - Éléments de la cinématique des fluides 1
1.1 Déplacement et déformation d'un élément de fluide
En raison de la variation de vitesse dans le domaine d'écoulement, l'élément de fluide subit non seulement une
translation, mais aussi un changement de volume (déformation linéaire), une rotation, et un changement de forme
(déformation angulaire). Bien que ces mouvements et déformations se produisent simultanément, on peut envisager
chacun d'eux séparément, comme c'est illustré sur la Figure ci-dessous.
Déformation d'un élément
La déformation d'un élément fluide peut être divisée en deux types: l'expansion et la déformation de cisaillement.
L'expansion est défini comme étant un mouvement relatif des particules du fluide qui augmente (ou diminue) la
distance de séparation moyenne sans changement de forme ou de rotation. Comme illustré sur la figure 10.35A, cet
effet entraîne une variation de volume net d'un élément fluide. Si la variation de volume est positive, un élément de
fluide se dilate et sa masse volumique diminue. Si le changement de volume est négatif, la densité augmente.
L'expansion ne peut avoir lieu que si la densité du fluide change.
Changement de volume
Comme le montre la figure, la déformation de cisaillement est le déplacement relatif des particules les unes par
rapport aux autres. Dans la déformation de cisaillement pur, l'élément de fluide change de forme, mais son volume
ne change pas et il ne subit pas de rotation.
Cisaillement pur
Le mouvement de translation pure d'un fluide se produit lorsque ce dernier est placé dans un récipient fermé et la
totalité du conteneur est déplacé à une vitesse de translation constante U, comme représenté sur la figure. Le champ
de vitesse constante du fluide sera alors donnée par .Chaque élément de fluide se déplace simplement dans
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Translation Déformation
linéaire
Rotation Déformation
angulaire
Mouvement
général
Elément à t0
Elément à t0+δt0