Utilisation d`oreilles pour l`approximation du TSP métrique

Utilisation d’oreilles pour l’approximation
du TSP m´etrique
KHEFFACHE Rezika, HIFI M’hand, Giannakos Aristotlis, OUAFI Rachid
R´esum´e
Dans cet article, nous proposons un algorithme d’approximation
pour r´esoudre le probl`eme du TSP. Ce probl`eme d’optimisation NP-
difficile le plus ´etudi´e en approximation. L’algorithme propos´e est utilis´e
dans le cas o`u le graphe est m´etrique et optimalement connect´e. Il est
bas´e sur la d´ecomposition du graphe en oreilles et donne une approxi-
mation polynomiale de rapport 7
6.
Mots Cl´es : Algorithme d’approximation, TSP m´etrique, optimale-
ment connect´e, 2-sommet connexe, 2-arˆete connexe, bonne d´ecomposition
en oreilles.
1 Introduction
Le probl`eme du voyageur de commerce est l’un des probl`emes NP-difficile
[2] les plus ´etudi´es en optimisation combinatoire et en particulier en approxi-
mation. Depuis 36 ans, le meilleur algorithme d’approximation connu pour le
TSP m´etrique est celui de Christofides [4]. Cet algorithme calcule une solution
de longueur au plus 3
2. Il est conjectur´e qu’une solution de longueur au plus
4
3existe toujours. R´ecemment, une approximation de rapport 7 5a ´et´e trouv´ee
pour le TSP m´etrique dans le cas o`u le graphe est 2-sommet connexe par
Seb˝oet J. Vygen[1] en se basant sur la d´ecomposition en oreilles d’un graphe.
Dans cet article, nous utilisons cette d´ecomposition pour le graphe m´etrique et
optimalement connect´e et nous d´emontrons l’existence d’un algorithme d’ap-
proximation polynomiale de rapport 7
6.

2
2 Pr´eliminaires
Soit G=(V,E) un graphe non orient´e sans boucles. On note par V(G)
le nombre de sommets de G et E(G) le nombre d’arˆete de G. Pour X⊆V(G) ,
on ´ecrit δ(X) l’ensemble d’arˆetes ayant exactement une seule extr´emit´e dans X.
D´efinition 1. : On d´efinit LP, la relaxation du probl`eme 2ECSS comme suit :
LP (G) = min nx(E(G)) : x∈RE(G)
≥0, x(δ(W)) ≥2pour tout ∅ 6=W(G)o.
Proposition 1. [1] Pour tout graphe connexe G, on a Opt(G)≥LP (G).
D´efinition 2. Dans un graphe non orient´e G, une oreille est un chemin P o`u
les deux extr´emit´es du chemin peuvent co¨ıncider.
Une d´ecomposition en oreilles d’un graphe G est une partition de l’ensemble
de ses arˆetes en s´equence d’oreilles Pitelle que : G=P0+P1+... +Pko`u P0
est un chemin trivial contenant un seul sommet et chaque Pi(i= 1,2, ..k)est
un chemin ayant ses extr´emit´es dans Vi−1=V(P0)∪V(P1)∪... ∪V(Pi−1)et
les sommets internes de Pi/∈Vi−1
Par convension P0est pair.
Propri´et´es :
– une oreille est dite ferm´ee si ses extr´emit´es co¨ıncident, sinon elle est dite
ferm´ee.
– Une oreille est dite paire si elle contient un nombre paire d’arˆetes et elle
est impair si le nombre est impair.
– Si dans une d´ecomposition en oreilles, toutes les oreilles sont paires,
on dit que c’est une d´ecomposition en oreilles paire, de mˆeme pour la
d´ecomposition impaire, ouverte et ferm´ee.
– Une oreille est dite courte si le nombre d’arˆetes qu’elle contient est soit
2 ou 3.
– Une oreille contenant une seule arˆete est dite triviale.
– Si les extr´emit´es d’une oreille co¨ıncident, elle est dite oreille ferm´ee, sinon
oreille ouverte.
– Une oreille pendante est une oreille non triviale et aucune autre oreille
non triviale ne lui est adjacente.

3
D´efinition 3. Un graphe G est dit facteur critique si on peut le d´ecomposer
en oreilles impaires.
On d´efinit ϕ(G)par le nombre minimum d’oreilles paires sur toutes les d´ecompositions
possibles du graphe G.
Th´eor`eme 1. (cf.,L.Lov´asz [5])
ϕ(G) = 0 si et seulement si G est un facteur critique.
D´efinition 4. Une d´ecomposition en oreilles est dite bonne (nice-decomposition)
si et si seulement :
1. Le nombre d’oreilles paires est ϕ(G).
2. Toutes les petites oreilles sont pendantes.
3. Les sommets internes des diff´erentes petites oreilles sont non adjacentes
dans G.
3 Algorithme d’approximation
Soit G un graphe m´etrique, non orient´e, sans boucle et 2- arˆetes connexe.
– Chercher une bonne d´ecomposition en oreilles( nice ear- decomposition)
– Supprimer les oreilles triviales.
– Corriger la parit´e des sommets
– Chercher un chemin Eulerien dans le graphe obtenu.
– Appliquer le Shortcutting pour avoir le chemin Hamiltonien.

4
4 Exemple
P3
P4
P6P5
P2
P1
P0
Une bonne d´ecomposition en oreilles
Fig. 1 –
P5
P2
P1
P0
Suppression des oreilles triviales
Fig. 2 –

5
P5
P2
P1
P0
Correction de la parit´e pour avoir un chemin Eulerien
Fig. 3 –
P0
Application du shortcutting pour avoir un chemin Hamiltonien
Fig. 4 –