Utilisation d`oreilles pour l`approximation du TSP métrique

Utilisation d’oreilles pour l’approximation
du TSP métrique
KHEFFACHE Rezika, HIFI M’hand, Giannakos Aristotlis, OUAFI Rachid
Résumé
Dans cet article, nous proposons un algorithme d’approximation
pour résoudre le problème du TSP. Ce problème d’optimisation NPdifficile le plus étudié en approximation. L’algorithme proposé est utilisé
dans le cas où le graphe est métrique et optimalement connecté. Il est
basé sur la décomposition du graphe en oreilles et donne une approximation polynomiale de rapport 67 .
Mots Clés : Algorithme d’approximation, TSP métrique, optimalement connecté, 2-sommet connexe, 2-arête connexe, bonne décomposition
en oreilles.
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Introduction
Le problème du voyageur de commerce est l’un des problèmes NP-difficile
[2] les plus étudiés en optimisation combinatoire et en particulier en approximation. Depuis 36 ans, le meilleur algorithme d’approximation connu pour le
TSP métrique est celui de Christofides [4]. Cet algorithme calcule une solution
de longueur au plus 32 . Il est conjecturé qu’une solution de longueur au plus
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existe toujours. Récemment, une approximation de rapport 57 a été trouvée
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pour le TSP métrique dans le cas où le graphe est 2-sommet connexe par
Sebő et J. Vygen[1] en se basant sur la décomposition en oreilles d’un graphe.
Dans cet article, nous utilisons cette décomposition pour le graphe métrique et
optimalement connecté et nous démontrons l’existence d’un algorithme d’approximation polynomiale de rapport 76 .
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Préliminaires
Soit G=(V,E) un graphe non orienté sans boucles. On note par V(G)
le nombre de sommets de G et E(G) le nombre d’arête de G. Pour X ⊆ V (G) ,
on écrit δ(X) l’ensemble d’arêtes ayant exactement une seule extrémité dans X.
Définition 1. n: On définit LP, la relaxation du problème 2ECSS commeosuit :
E(G)
LP (G) = min x(E(G)) : x ∈ R≥0 , x(δ(W )) ≥ 2 pour tout ∅ =
6 W (G) .
Proposition 1. [1] Pour tout graphe connexe G, on a Opt(G) ≥ LP (G).
Définition 2. Dans un graphe non orienté G, une oreille est un chemin P où
les deux extrémités du chemin peuvent coı̈ncider.
Une décomposition en oreilles d’un graphe G est une partition de l’ensemble
de ses arêtes en séquence d’oreilles Pi telle que : G = P0 + P1 + ... + Pk où P0
est un chemin trivial contenant un seul sommet et chaque Pi (i = 1, 2, ..k) est
un chemin ayant ses extrémités dans Vi−1 = V (P0 ) ∪ V (P1 ) ∪ ... ∪ V (Pi−1 ) et
les sommets internes de Pi ∈
/ Vi−1
Par convension P0 est pair.
Propriétés :
– une oreille est dite fermée si ses extrémités coı̈ncident, sinon elle est dite
fermée.
– Une oreille est dite paire si elle contient un nombre paire d’arêtes et elle
est impair si le nombre est impair.
– Si dans une décomposition en oreilles, toutes les oreilles sont paires,
on dit que c’est une décomposition en oreilles paire, de même pour la
décomposition impaire, ouverte et fermée.
– Une oreille est dite courte si le nombre d’arêtes qu’elle contient est soit
2 ou 3.
– Une oreille contenant une seule arête est dite triviale.
– Si les extrémités d’une oreille coı̈ncident, elle est dite oreille fermée, sinon
oreille ouverte.
– Une oreille pendante est une oreille non triviale et aucune autre oreille
non triviale ne lui est adjacente.
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Définition 3. Un graphe G est dit facteur critique si on peut le décomposer
en oreilles impaires.
On définit ϕ(G) par le nombre minimum d’oreilles paires sur toutes les décompositions
possibles du graphe G.
Théorème 1. (cf.,L.Lovász [5])
ϕ(G) = 0 si et seulement si G est un facteur critique.
Définition 4. Une décomposition en oreilles est dite bonne (nice-decomposition)
si et si seulement :
1. Le nombre d’oreilles paires est ϕ(G).
2. Toutes les petites oreilles sont pendantes.
3. Les sommets internes des différentes petites oreilles sont non adjacentes
dans G.
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Algorithme d’approximation
Soit G un graphe métrique, non orienté, sans boucle et 2- arêtes connexe.
– Chercher une bonne décomposition en oreilles( nice ear- decomposition)
– Supprimer les oreilles triviales.
– Corriger la parité des sommets
– Chercher un chemin Eulerien dans le graphe obtenu.
– Appliquer le Shortcutting pour avoir le chemin Hamiltonien.
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Exemple
P2
P3
P1
P0
P6
P5
P4
Une bonne décomposition en oreilles
Fig. 1 –
P2
P1
P0
P5
Suppression des oreilles triviales
Fig. 2 –
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P2
P1
P0
P5
Correction de la parité pour avoir un chemin Eulerien
Fig. 3 –
P0
Application du shortcutting pour avoir un chemin Hamiltonien
Fig. 4 –
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Résultat
L’algorithme présente une approximation polynomiale de O(|V (G)||E(G)|)
et donne la solution avec une approximation de rapport 67 .
5.1
Preuve
(a)-Montrons que la complexité de l’algorithme est de O(|V (G)||E(G)|) :
Dans l’algorithme on cherche une bonne décomposition en oreilles, puis un
chemin Eulerien et un chemin Hamiltonien.
Lemme 1. (cf.,A. Sebő et J. Vygen [1]) Pour chaque graphe G 2 sommetconnexe, il existe une bonne décomposition en oreilles et chaque décomposition
en oreilles est de complexité O(|V (G)||E(G)|).
Puis la complexité de la recherche d’un chemin Eulerien et Hamiltonien est
de O(n).
D’où la complexité de l’algorithme est de O(|V (G)||E(G)|).
(b)- Montrons maintenant que le rapport d’approximation est de 67 .
Dans l’algorithme, on cherche une bonne décomposition en oreilles tel que
le nombre d’oreilles est K = |E(G)| − |V (G)| + 1 et on supprime les oreilles
triviales donc d’après le lemme et le théorème suivants :
Lemme 2. (cf.,A. Sebő et J. Vygen [1]) : G un graphe 2-sommet-connexe,
une décomposition en oreilles non triviales alors un tour de cardinalité au plus :
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(|V (G)| − 1) + 23 π peut être trouvé en temps égal à O(|V (G)|3 ) où π désigne
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le nombre d’oreilles pendantes.
Théorème 2. (cf.,Cheriyan et al[3]) :Dans un graphe 2-arête-connexe, on a :
Lϕ (G) = |V (G)| + ϕ(G) − 1 ≤ LP (G)
Comme l’algorithme décompose le graphe en bonne décomposition en oreilles
donc ϕ(G) = 0 et on a :
Le graphe est 2-arête connexe donc il existe un tour de cardinalité au plus :
(|V (G)| − 1) ≤ LP (G)...(1)
d’un autre coté, le graphe est 2-sommet connexe donc il existe un tour de
cardinalité au plus :
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(|V (G)| − 1) + π...(2)
3
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D’où la solution trouvée par l’algorithme est de cardinalité au plus :
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(|V
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(G)| − 1) + 13 π ≤ 76 (|V (G)| − 1) ≤ 67 LP (G) ≤ 76 Opt(G)
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Références
[1] A. Sebő et J. Vygen. Shorter tours by Nicer Ears : 75 -approximation
for graphic TSP, 32 for the path version and 43 for two-edge-connected
subgraphs, arXiv :1201.1870v3 [cs.DM] 30 Mar, 2012.
[2] Cook.W.J.In Pursuit of the Traveling Salesman, Mathematics at the
Limits of Computation. Princeton University Press 2012.
[3] Cheriyan, A. Sebő and Z. Szigeti. Improving on the 1.5-approximation of
a smallest 2-edge connected spanning subgraph SIAM, Journal on discret
mathematics 14, 170-180, 2001.
[4] N. Christofides. ’Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling
salesman problem’. Report 388. Graduate School of industrial Administration. Carnegie-Mellon University, Pittsburgh 1976.
[5] L. Lovász. A note on factor critical graphs, Studia Sci. Math. Hungar 7,
279-280, 1972.