Synthèse : les éléments de géométrie

Ch 5 : synthèse – didactique – les éléments de géométrie
JA
Synthèse : les éléments de géométrie
Analyse de documents didactiques et pédagogiques
a) Sujet 1 : Nancy – Metz 1996
1. Décrire les procédures et les réponses correctes attendues aux exercices a) b) c).
2. Indiquer trois difficultés auxquelles sont confrontés les élèves de CE1 à qui les tâches a) b) c)
sont proposées.
3. Comparer les tâches a) et c) (nature de la tâche et savoirs en jeu)
4. Quels peuvent être les objectifs d’un enseignant proposant les activités de ce document à des
élèves de CE1 ?
5. Quelles sont les variables didactiques qui interviennent dans l’exercice d) ?
ANNEXE
Prends une équerre et ton double décimètre.
Cette figure est …..
cette figure est ….
J’ai appris : ………………
d) colorie en rouge les carrés, en bleu les losanges et en vert les rectangles
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Extrait du manuel de CE1 « J’apprends les maths
b) Sujet 2 : Nancy – Dijon 1999
L’exercice suivant est extrait de l’évaluation de athématiques à l’entrée en 6ème pour l’année 1998.
L’annexe 1 présente les réponses de 5 élèves : A, B, C, D, E
Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui
passe par D. les mesures réelles sont en centimètres.
Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouver la longueur du segment [EB]
Explique ta réponse.
1. Classer les productions de ces élèves en fonction de la stratégie sous-jacente utilisée pour
donner la réponse (même si celle-ci est fausse)
2. Pour chaque élève, décrire les erreurs éventuellement commises (ou signaler l’absence d’erreur)
ANNEXE 1.
Elève A
Elle est de 4,9 centimètres.
Explique ta réponse : J’ai mesuré avec ma règle le segment [EB] et je
trouve 4,9 centimètres
Trouve la longueur du segment [EB]
Elève B
6 cm.
Explique ta réponse : J’ai pris ma règle et j’ai mesuré le côté de 4
cm, cela faisait sur ma règle 2,8 cm j’ai reporté cette mesure
sur le segment A.E cela faisait la même longueur j’ai fait 10
moin 4 et j’ai trouvé 6
Trouve la longueur du segment [EB]
Elève C
6 cm
Explique ta réponse : car j’ai prit la largeur =2,8 = 4 cm et 10 – 4 = 6
cm
Trouve la longueur du segment [EB]
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Elève D
4,09cm.
Explique ta réponse : J’ai pris la règle et j’ai mesuré
Trouve la longueur du segment [EB]
Elève E
Trouve la longueur du segment [EB]
La longueur du segment EB et de
5,8 2,9
Pour trouver la longueur de segment EB il faut
faire 2,5+ 4 = 2,9(L +l)
Explique ta réponse :
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c) Sujet 3 : Corse 1998
Ecris un texte pour permettre à quelqu’un qui ne voit pas la figure ci-dessous de la tracer en
respectant les dimensions indiquées (évaluation à l’entrée en 6ème, septembre 1997)
1.a. donner votre réponse
b. quels sont à votre avis, les termes du vocabulaire géométrique que le maître souhaite voir
apparaître ?
2. Dans l’annexe 2 figurent les réponses produites par 5 élèves d’une classe de 6ème .
a. Donner des critères que vous utiliseriez pour évaluer les productions des élèves.
b. Qu’est-ce qui différencie la production de Patrice de celle des autres ?
c. pour chacune des productions de Pauline, Géraldine, Guillaume et Hakim, rédiger un
commentaire destiné à l’élève.
(il sera tenu compte de la clarté et de la lisibilité de vos commentaires)
ANNEXE 2
Patrice :
Prends un compas la moitié de 8 cm pour la hauteur
et la largeur puis prends ta règle au 4 cm de la
hauteur et largeur.
Trace vers le bas un trait de 4 cm puis vers la gauche
de 4 cm puis la hauteur 4 cm la largeur est de 4 cm
vers la droite.
Géraldine
Trace un carré de 4 cm de côté
Trace un cerclede 4 cm de rayon
Pauline
Tra constrit un carré de 4 cm de coté et tracer un
rond o qui d’un côté carré de 4cm de rayon.
Guillaume
Tracer un carré de 4 cm de côté ensuite
tracer un cercle qui a pour centre un angle
droit qui ce situe en haut à droite
Hakim
Tracer un carré de 4 cm de coté.
Faire un cercle qui part de B et qui passe par les points A et C.
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Correction: les éléments de géométrie
a) Sujet 1 : Nancy – Metz 1996
1. Procédures et réponses correctes attendues.
a) mesure des côtés au double décimètre ; deux côtés mesurent exactement x cm, les deux autres
un peu plus : cette figure n’est pas un carré.
- vérification à l’aide de l’équerre du fait que les angles sont droits : cette figure est un rectangle
b) vérification à l’aide de l’équerre du fait que les angles ne sont pas droits : cette figure n’est pas
un carré.
- mesure des côtés au double décimètre : les quatre côtés ont la même longueur : cette figure est
un losange.
c) mesure des côtés au double décimètre et vérification à l’aide de l’équerre du fait que les angles
sont droits : cette figure est un carré.
2. Des difficultés peuvent apparaître, liées :
- à l’utilisation des instruments ou aux conclusions à tirer des infirmations données par ces
instruments
- à une méconnaissance de la définition du carré ou des nos des figures usuelles
- à la compréhension de la consigne et à la forme de la réponse attendue aux questions a) et b)
(rédaction d’une justification)
- au fait que les longueurs des côtés du rectangle sont peu différentes, et que les angles non droits
le sont presque.
- à la position non prototypique du carré
3. Au c) l’enfant peut se contenter d’une réponse basée sur une perception globale (habituelle) du
carré et on ne lui demande pas de rédiger de justification (la case « j’ai appris » sera cette
justification)
Au a) en revanche, il doit isoler l’élément qui empêche la figure d’être un carré
4. les objectifs de l’enseignant peuvent être, outre l’utilisation des instruments, de définir ou de
redéfinir les notions de rectangle, de losange et de carré, mais surtout de dépasser l’approche
intuitive, basée sur une perception globale, du carré ; on ne peut affirmer qu’un quadrilatère est
un carré qu’après avoir vérifié deux propriétés, l’une portant sur les angles, l’autre sur les côtés.
De plus, l’activité d) invitera à se méfier des apparences et à utiliser l’équerre et le double
décimètre.
5. les variables didactiques qui interviennent dans l’exercice d) sont :
- les mesures des angles non droits
- les longueurs des côtés des rectangles non carrés
- la position des carrés (prototypique ou non)
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b) Sujet 2 : Nancy – Dijon 1999
1. A : mesure du segment à la règle
B : mesure du segment inutilement
Repérage du rayon AE = AD
Soustractions de 2 longueurs pour trouver la longueur voulue
C : idem avec moins d’explications
D : mesure d’un segment
E : mesure du segment
Addition de 2 longueurs (L+l) en mélangeant segment mesuré et segment de longueur
donnée
2. A : non compréhension du rayon d’un cercle
Confusion mesure donnée, mesure lue, > non compréhension de la proportionnalité
Aucune perception des longueurs, c’est à dire que cela ne le gêne pas de trouver une valeur
de [EB] plus petite que 4 cm alors que le segment [EB] est plus grand que [BC]
B:
C:
D:
E:
bien
bien
erreur dans la lecture et l’écriture de la mesure
erreur de lecture de la mesure
Addition de L et l comme pour le demi-périmètre
Erreur dans l’addition d’un nombre décimal et d’un nombre entier
c) Sujet 3 : Corse
1.a. construis un carré de 4 cm de côté
Construis un cercle ayant pour centre un des sommets du carré et pour rayon 4 cm.
b. les termes attendus sont : carré, cercle, centre du cercle, rayon du cercle, sommet, côtés.
2. a. Voici plusieurs critères possibles d’évaluation :
- réalisation possible de la figure initiale
- reconnaissance du carré
- Reconnaissance du cercle
- spécification du centre du cercle
- spécification de la dimension du rayon du cercle
b) Patrice, contrairement aux autres élèves, n’a pas reconnu les éléments de base (carré et cercle)
qui constituent la figure. Il propose une construction pas à pas, de proche en proche (construction
dite locale). Par ailleurs, contrairement aux autres élèves, il indique les instruments géométriques
à utiliser.
c) Pour Géraldine et Pauline : « Tu as bien repéré le cercle et le carré. Les dimensions proposées
sont justes. Tu n’as pas précisé comment devaient se situer le carré et le cercle, l’un par rapport à
l’autre »
Pour Guillaume : « Tu as bien repéré le cercle et le carré. Les dimensions du carré sont justes et le
centre du cercle est précisé mais on parlera du sommet du carré plutôt que de l’angle droit. Tu as
oublié de préciser la longueur du raypn du cercle »
Pour Hakim : « tu as bien repéré le cercle et le carré. Les dimensions du carré sont justes. Mais tu
as oublié de préciser où étaient situés les points A, B et C. »