Gammes, modes, tempéraments : annexes

TABLE DES ANNEXES
EXEMPLE DE DÉCOMPOSITION
SPECTRE DE TROIS INSTRUMENTS À VENT SUR LA NOTE FA3
BATTEMENTS ENTRE DEUX SONS FONDAMENTAUX
EXEMPLES DE BATTEMENTS ENTRE HARMONIQUES DE DEUX SONS
COÏNCIDENCES DES HARMONIQUES D'UN SON AVEC LES HARMONIQUES
DE SONS À L'OCTAVE, LA QUINTE, LA QUARTE, LA TIERCE MAJEURE
OU LA TIERCE MINEURE
HYMNE "UT QUEANT LAXIS"
EXEMPLES DE TRANSPOSITIONS DANS LE SYSTÈME PYTHAGORICIEN
EXEMPLES DE TRANSPOSITIONS DANS LE SYSTÈME ZARLINIEN
ACCIDENTS À LA CLÉ DANS LES TONALITÉS MAJEURES ET MINEURES
LONGUEURS DE CORDES ET FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE ½
POSITIONS DES FRETTES DU MANCHE DE LA GUITARE
INTERVALLES ENTRE NOTES DES ÉCHELLES DE PYTHAGORE, DE ZARLINO
ET DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
CLASSIFICATION DES INTERVALLES ENTRE NOTES
DE L'ÉCHELLE DE PYTHAGORE,
DE L'ÉCHELLE DE ZARLINO
ET DE L'ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
TABLEAU DES PRINCIPAUX INTERVALLES
COMPARAISON GRAPHIQUE DES GAMMES DIATONIQUES DE MODE MAJEUR
DANS LES SYSTÈMES PYTHAGORICIEN, ZARLINIEN ET ÉGALEMENT TEMPÉRÉ
FRÉQUENCES DES NOTES DE LA 3ième OCTAVE DANS DIFFÉRENTES ÉCHELLES
INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES

EXEMPLE DE DÉCOMPOSITION
y = x4sin
2
1
x3sinx2sin
2
3
xsin2 +++
y = 2sinx
y = x2sin
2
3
y = sin3x
y = x4sin
2
1

SPECTRE DE TROIS INSTRUMENTS À VENT SUR LA NOTE FA3
Flûte
1 3 5 7
Hautbois
1 3 5 7 9 11 13 15 17
Clarinette
1 3 5 7 9 11 13

BATTEMENTS ENTRE DEUX SONS FONDAMENTAUX
Considérons deux sons de fréquences respectives N1 et N2 (N1 > N2).
Leurs sons fondamentaux (premiers harmoniques) sont donc caractérisés par des fonctions
sinusoïdales f1 et f2 ayant elles-mêmes pour fréquences N1 et N2 .
Posons g = f1 + f2 .
• Envisageons d'abord le cas où f1 et f2 sont en phase et de même amplitude a.
On peut choisir l'origine du temps t pour que la phase commune soit nulle pour t = 0 .
On aura donc :
f1(t)=a×sin(2πN1 t) et f2(t)= a×sin(2πN2 t) .
Transformons f1(t) + f2(t) en produit : 
+
×
−
=t
2
NN
2πsint
2
NN
2π2acosg(t) 21
21 .
C'est de la forme g(t) = A×sin(2πN3 t) .
Le premier facteur A est de fréquence 2
NN 21 −, et le second de fréquence 2 NN
N21
3+
=.
Tout se passe comme si on avait affaire à un phénomène sinusoïdal de fréquence N3 mais dont
l'amplitude varierait lentement en fonction du temps.
Cependant, l'oreille n'étant sensible qu'à la valeur absolue de l'élongation, elle perçoit un son de
fréquence "moyenne" N3 dont l'intensité varie avec une fréquence égale à N1 – N2 et non pas à la
moitié de cette différence.
On dit qu'il se produit N1 – N2 battements par seconde ; ils sont d'autant plus rapprochés que les
fréquences N1 et N2 sont éloignées.
Au-delà d'une dizaine de battements par seconde, l'oreille n'est plus sensible à ces variations trop
rapides et les deux sons sont perçus séparément .
Si N1 – N2 atteint une fréquence audible (une vingtaine ou une trentaine d'hertz), il apparaît un
troisième son ayant cette fréquence, appelé son différentiel qui peut, d'ailleurs, être un peu
désagréable (c'est quelquefois ce qui se produit lorsque deux flûtes ou deux sopranos émettent
des sons aigus dont les fréquences sont séparées d'une tierce par exemple).
Remarque : Le nombre de battements par seconde est rigoureusement égal à N1 – N2 , ce qui ne
signifie pas que g ait une fréquence M égale à cette différence.
Si N1 et N2 sont entiers, M est égale à leur p.g.c.d.
Cet entier M est donc toujours un diviseur de N1 – N2 ; s'il est égal à cette différence, la fréquence
de g est bien, dans ce cas, égale au nombre de battements par seconde.
Si par exemple, N1 = 44 et N2 = 40, il y aura 4 battements par seconde et la fréquence de g sera
elle aussi égale à 4, car c'est la valeur du p.g.c.d. de 44 et 40.
Si N1 = 45 et N2 = 41, il y aura encore 4 battements par seconde, mais comme 45 et 41 sont
premiers entre eux, la fréquence de g sera cette fois égale à 1.
Comparer les courbes représentatives de g sur l'intervalle [0 ; 1] dans les deux cas: