Gammes, modes, tempéraments : annexes

TABLE DES ANNEXES
EXEMPLE DE DÉCOMPOSITION
SPECTRE DE TROIS INSTRUMENTS À VENT SUR LA NOTE FA3
BATTEMENTS ENTRE DEUX SONS FONDAMENTAUX
EXEMPLES DE BATTEMENTS ENTRE HARMONIQUES DE DEUX SONS
COÏNCIDENCES DES HARMONIQUES D'UN SON AVEC LES HARMONIQUES
DE SONS À L'OCTAVE, LA QUINTE, LA QUARTE, LA TIERCE MAJEURE
OU LA TIERCE MINEURE
HYMNE "UT QUEANT LAXIS"
EXEMPLES DE TRANSPOSITIONS DANS LE SYSTÈME PYTHAGORICIEN
EXEMPLES DE TRANSPOSITIONS DANS LE SYSTÈME ZARLINIEN
ACCIDENTS À LA CLÉ DANS LES TONALITÉS MAJEURES ET MINEURES
LONGUEURS DE CORDES ET FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE ½
POSITIONS DES FRETTES DU MANCHE DE LA GUITARE
INTERVALLES ENTRE NOTES DES ÉCHELLES DE PYTHAGORE, DE ZARLINO
ET DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
CLASSIFICATION DES INTERVALLES ENTRE NOTES
DE L'ÉCHELLE DE PYTHAGORE,
DE L'ÉCHELLE DE ZARLINO
ET DE L'ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
TABLEAU DES PRINCIPAUX INTERVALLES
COMPARAISON GRAPHIQUE DES GAMMES DIATONIQUES DE MODE MAJEUR
DANS LES SYSTÈMES PYTHAGORICIEN, ZARLINIEN ET ÉGALEMENT TEMPÉRÉ
FRÉQUENCES DES NOTES DE LA 3ième OCTAVE DANS DIFFÉRENTES ÉCHELLES
INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES
EXEMPLE DE DÉCOMPOSITION
y = 2sin x +
3
1
sin 2x + sin3x + sin 4x
2
2
y = 2sinx
y=
3
sin 2 x
2
y = sin3x
y=
1
sin 4 x
2
SPECTRE DE TROIS INSTRUMENTS À VENT SUR LA NOTE FA3
Flûte
1
3
5
7
1
3
5
7
9
11
13
1
3
5
7
9
11
13
Hautbois
Clarinette
15
17
BATTEMENTS ENTRE DEUX SONS FONDAMENTAUX
Considérons deux sons de fréquences respectives N1 et N2 (N1 > N2).
Leurs sons fondamentaux (premiers harmoniques) sont donc caractérisés par des fonctions
sinusoïdales f1 et f2 ayant elles-mêmes pour fréquences N1 et N2 .
Posons g = f1 + f2 .
• Envisageons d'abord le cas où f1 et f2 sont en phase et de même amplitude a.
On peut choisir l'origine du temps t pour que la phase commune soit nulle pour t = 0 .
On aura donc :
f1(t)=a×sin(2πN1 t) et f2(t)= a×sin(2πN2 t) .
 N + N2 
 N − N2 
t  × sin  2π 1
t .
Transformons f1(t) + f2(t) en produit : g(t) = 2acos 2π 1
2
2




C'est de la forme g(t) = A×sin(2πN3 t) .
N − N2
N + N2
Le premier facteur A est de fréquence 1
, et le second de fréquence N 3 = 1
.
2
2
Tout se passe comme si on avait affaire à un phénomène sinusoïdal de fréquence N3 mais dont
l'amplitude varierait lentement en fonction du temps.
Cependant, l'oreille n'étant sensible qu'à la valeur absolue de l'élongation, elle perçoit un son de
fréquence "moyenne" N3 dont l'intensité varie avec une fréquence égale à N1 – N2 et non pas à la
moitié de cette différence.
On dit qu'il se produit N1 – N2 battements par seconde ; ils sont d'autant plus rapprochés que les
fréquences N1 et N2 sont éloignées.
Au-delà d'une dizaine de battements par seconde, l'oreille n'est plus sensible à ces variations trop
rapides et les deux sons sont perçus séparément .
Si N1 – N2 atteint une fréquence audible (une vingtaine ou une trentaine d'hertz), il apparaît un
troisième son ayant cette fréquence, appelé son différentiel qui peut, d'ailleurs, être un peu
désagréable (c'est quelquefois ce qui se produit lorsque deux flûtes ou deux sopranos émettent
des sons aigus dont les fréquences sont séparées d'une tierce par exemple).
Remarque : Le nombre de battements par seconde est rigoureusement égal à N1 – N2 , ce qui ne
signifie pas que g ait une fréquence M égale à cette différence.
Si N1 et N2 sont entiers, M est égale à leur p.g.c.d.
Cet entier M est donc toujours un diviseur de N1 – N2 ; s'il est égal à cette différence, la fréquence
de g est bien, dans ce cas, égale au nombre de battements par seconde.
Si par exemple, N1 = 44 et N2 = 40, il y aura 4 battements par seconde et la fréquence de g sera
elle aussi égale à 4, car c'est la valeur du p.g.c.d. de 44 et 40.
Si N1 = 45 et N2 = 41, il y aura encore 4 battements par seconde, mais comme 45 et 41 sont
premiers entre eux, la fréquence de g sera cette fois égale à 1.
Comparer les courbes représentatives de g sur l'intervalle [0 ; 1] dans les deux cas:
.2
N1 = 44 , N2 = 40 : 4 battements par seconde – la fréquence de g est égale à 4
.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.8
0.9
.1
.2
N1 = 45 , N2 = 41 : 4 battements par seconde – la fréquence de g est égale à 1
.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
.1
• Les résultats ne sont pas modifiés en cas de décalage de phases entre les deux sons.
En effet : si f1(t) = a×sin[2πN1(t+φ1)] et f2(t) = a×sin[2πN2(t+φ2)], le calcul de f1(t) + f2(t) permet
d'aboutir aux mêmes conclusions que précédemment, car les deux termes supplémentaires
πN1φ1 + πN2φ2 et πN1φ1 − πN2φ2 n'altèrent pas les fréquences.
• Que se passe-t-il si f1 et f2 ne sont pas de même amplitude ?
Supposons que f1(t) = a×sin(2πN1 t) et f2(t) = b×sin(2πN2 t) .
En écrivant b = b – a + a , on se ramène au premier cas, à un terme correctif près.
Plus précisément, avec les notations de ce premier cas :
g(t) = A×sin(2πN3 t) + (b–a)×sin(2πN2t).
Lorsque N2 est très supérieur à N1 – N2 , les oscillations de f2, rapides par rapport au rythme des
battements, bien que modifiant la fonction t → A×sin(2πN3 t), ne réussissent pas à supprimer
l'alternance augmentation-diminution de l'amplitude que l'oreille ressent sous forme de N1 – N2
battements par seconde.
Les 3 schémas de la page suivante illustrent ce phénomène :
.2
t → A× sin(2πN3 t)
.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
.1
t → (b–a)×sin(2πN2t)
0.1
0.2
.2
t → A× sin(2πN3 t) + (b–a)×sin(2πN2t)
.1
0.1
.1
0.2
0.3
0.4
EXEMPLES DE BATTEMENTS
ENTRE HARMONIQUES DE DEUX SONS
Soient deux sons de fréquences respectives N1 et N2.
• Si N1 = 400 et N2 = 600 (premier tableau ci-dessous), N2 / N1 = 3/2 , l'intervalle entre les deux
sons est une quinte naturelle exacte ; il n'y a pas de battement entre les harmoniques du premier
son et les harmoniques du second (soit les valeurs coïncident, soit elles sont trop éloignées).
• Mais, si le rapport N2 / N1 s'écarte légèrement de la valeur 3/2 (2ième et 3ième tableaux), des
battements apparaissent entre l'harmonique 3 du premier son et l'harmonique 2 du second
(nombres en bleu), ou entre les harmoniques 6 de l'un et 4 de l'autre (nombres en vert), ou encore,
entre les harmoniques 9 et 6 (nombres en violet).
harm. 1
harm. 2
harm. 3
harm. 4
harm. 5
harm. 6
harm. 7
harm. 8
harm. 9
N1 = 400
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
N2 = 600
600
1200
1800
2400
3000
3600
4200
4800
5400
harm. 1
harm. 2
harm. 3
harm. 4
harm. 5
harm. 6
harm. 7
harm. 8
harm. 9
N1 = 400
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
N2 = 602
602
1204
1806
2408
3010
3612
4214
4816
5418
harm. 1
harm. 2
harm. 3
harm. 4
harm. 5
harm. 6
harm. 7
harm. 8
harm. 9
N1 = 399
399
798
1197
1596
1995
2394
2793
3192
3591
N2 = 600
600
1200
1800
2400
3000
3600
4200
4800
5400
COÏNCIDENCES DES HARMONIQUES D'UN SON AVEC LES HARMONIQUES DE SONS
À L'OCTAVE, LA QUINTE, LA QUARTE, LA TIERCE MAJEURE OU LA TIERCE MINEURE
Dans le schéma ci-dessous, l'échelle graphique horizontale est logarithmique.
Au niveau inférieur, sur la ligne rouge, sont placées les fréquences des harmoniques d'un son de fréquence N.
Au-dessus, ce sont celles des harmoniques des sons à l'octave, à la quinte naturelle, à la quarte naturelle, à la tierce majeure naturelle et la tierce mineure naturelle.
Les coïncidences avec les harmoniques du son de fréquence N sont indiquées en rouge.
12N/5
6N/5
18N/5
24N/5
6N
36N/5
42N/5 48N/5 54N/5 12N
6/5
5N/4
15N/4
5N/2
5N
25N/4
15N/2
35N/4
10N
45N/4
5/4
8N/3
4N/3
4N
16N/3
20N/3
8N
28N/3 32N/3
12N
9N
21N/2
12N
10N
12N
4/3
3N
3N/2
9N/2
6N
15N/2
3/2
2N
4N
8N
6N
2/1
N
2N
3N
4N
5N
6N
7N
8N
9N 10N 11N 12N
HYMNE "UT QUEANT LAXIS"
NOTATION DU PLAIN-CHANT
NOTATION MODERNE
EXEMPLES DE TRANSPOSITIONS DANS LE SYSTÈME
PYTHAGORICIEN
Lorsque la première note de la gamme est sol, la suite d'intervalles T T t T T T t n'est obtenue que grâce à l'introduction de Fa #
do
ré
mi
fa
sol
la
si
Do
Ré
Mi Fa
sol
la
si
Do
Ré
Mi
Sol
La
Si
DO
Fa # Sol
Lorsque la première note de la gamme est fa, la suite d'intervalles T T t T T T t n'est obtenue que grâce à l'introduction de si b
do
ré
mi
fa
sol
la
fa
sol
la
si
sib
Do
Do
Ré
Ré
Mi Fa
Mi Fa
Sol
La
Si
DO
EXEMPLES DE TRANSPOSITION DANS LE SYSTÈME ZARLINIEN
En prenant par exemple sol pour première note de la gamme, il apparaît nécessaire d'introduire un premier type de demi-ton
chromatique pour augmenter le Fa de la valeur (9/8)/(16/15) = 135/128 (23,124 savarts)
Il faut aussi augmenter le la de la valeur (9/8)/(16/15) = 81/80 , c'est le comma syntonique (5,395 savarts).
do
ré
mi
fa
sol
la
si
Do
Ré
Mi
sol
la +
si
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
Fa ++
La
Si
DO
Sol
Si on prend pour première note le la, un deuxième type de demi-ton chromatique se révèle nécessaire pour augmenter le Do, le Fa et le
Sol ; il a pour valeur (10/9)/(16/15) = 25/24 (17,729 savarts)
Il faut diminuer le Ré d'un comma syntonique.
do
ré
mi
fa
sol
la
si
la
si
Do
Do *
Ré
Mi
Ré-
Mi
Fa
Sol
Fa *
Sol *
La
La
Si
DO
ACCIDENTS À LA CLÉ
DANS LES TONALITÉS MAJEURES ET MINEURES
Tonalités
majeures
Tonalités
mineures
Do b
Sol b
Ré b
La b
Mi b
Si b
Fa
bb
b
la b
mi b
si b
fa
do
sol
ré
bbbb
bbb
bbb
bbb
bbb
bb
bb
bb
bb
b
Do
la
Sol
Ré
La
Mi
Si
#
##
##
#
##
##
###
##
mi
si
fa #
do #
sol #
Fa #
Do #
ré #
la #
###
###
####
###
LONGUEURS DE CORDE
ET FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE 1/2
POSITIONS DES FRETTES DU MANCHE DE LA GUITARE
y
1
1
o
sol
sol#
la#
la
DO
si
RÉ
DO#
MI
RÉ#
FA#
FA
x
SOL
La fonction exponentielle de base 1/2 permet d'illustrer les 13 longueurs vibrantes d'une corde de
guitare (celle de sol, par exemple) depuis la corde "à vide" jusqu'à la corde moitié.
Les longueurs successives sont les termes d'une suite géométrique de raison
1
2
12
Par rabattement sur l'axe des ordonnées, on obtient l'échelle des frettes du manche de la guitare
représentée ci-dessous:
y
o
x
INTERVALLES ENTRE NOTES DES ÉCHELLES
DE PYTHAGORE, DE ZARLINO ET DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
• Les tableaux ci-dessous présentent tous les intervalles possibles inférieurs ou égaux à une
octave :
entre deux notes de l'échelle pythagoricienne
entre deux notes de l'échelle zarlinienne
entre deux notes de l'échelle diatonique du tempérament égal.
• Les notes en majuscules sont une octave au-dessus de celles écrites en minuscules.
(Exemple : dans l'échelle de Pythagore, l'intervalle entre un ré et un fa d'une même octave est égal à
l'intervalle entre le fa d'une octave et le RÉ d'une octave au-dessus est égal à
27
16
32
27
)
ÉCHELLE DE PYTHAGORE
do
ré
mi
fa
sol
la
si
do
ré
mi
fa
sol
la
si
DO
RÉ
MI
FA
SOL
LA
1
9
8
81
64
4
3
3
2
27
16
243
128
2
1
9
8
32
27
4
3
3
2
27
16
16
9
2
1
256
243
32
27
4
3
3
2
128
81
16
9
2
1
9
8
81
64
729
512
3
2
27
16
243
128
2
1
9
8
81
64
4
3
3
2
27
16
16
9
2
1
9
8
32
27
4
3
3
2
128
81
16
9
2
1
256
243
32
27
4
3
1024
729
128
81
16
9
SI
2
ÉCHELLE DE ZARLINO
do
do
ré
mi
fa
sol
la
si
DO
1
9
8
5
4
4
3
3
2
5
3
15
8
2
1
10
9
32
27
4
3
40
27
5
3
16
9
2
1
16
15
6
5
4
3
3
2
8
5
9
5
2
1
9
8
5
4
45
32
3
2
27
16
15
8
2
1
10
9
5
4
4
3
3
2
5
3
16
9
2
1
9
8
6
5
27
20
3
2
8
5
9
5
2
1
16
15
6
5
4
3
64
45
8
5
16
9
2
MI
FA
SOL
LA
SI
ré
mi
fa
sol
la
si
ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
do
ré
mi
fa
sol
la
si
RÉ
(r désigne
12
RÉ
MI
2
FA
SOL
LA
SI
)
do
ré
mi
fa
sol
la
si
DO
r0
r2
r4
r5
r7
r9
r11
r12
r0
r2
r3
r5
r7
r9
r10
r12
r0
r1
r3
r5
r7
r8
r10
r12
r0
r2
r4
r6
r7
r9
r11
r12
r0
r2
r4
r5
r7
r9
r10
r12
r0
r2
r3
r5
r7
r8
r10
r12
r0
r1
r3
r5
r6
r8
r10
r12
CLASSIFICATION DES INTERVALLES ENTRE NOTES
DE L'ÉCHELLE DE PYTHAGORE, DE L'ÉCHELLE DE ZARLINO
ET DE L'ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
• Tous les intervalles possibles inférieurs ou égaux à une octave, entre deux notes de l'échelle
pythagoricienne, ou entre deux notes de l'échelle zarlinienne, ou entre deux notes de l'échelle
diatonique du tempérament égal, sont présentés ici par valeurs croissantes, de haut en bas dans la
moitié gauche de chaque tableau et de bas en haut dans la moitié droite.
Ainsi, les intervalles d'une même ligne sont le "renversement" l'un de l'autre.
• Quand les deux notes d'un intervalle sont écrites en minuscules, elles appartiennent à une même
octave. Quand la deuxième note est écrite en majuscule, elle appartient à l'octave au-dessus de
celui de la première note.
ÉCHELLE PYTHAGORICIENNE
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
unisson
do-do
ré-ré, etc.
1
0
octave
do-DO
ré-RÉ, etc.
2
301,030
2de min. pyth.
ou limma
ou ½ ton pyth.
mi-fa
si-DO
256
243
22,634
7ième maj. pyth.
fa-MI
do-si
243
128
278,396
2de maj. pyth.
ou
ton majeur
do-ré, ré-mi
fa-sol, sol-la
la-si
9
8
51,153
ré-DO, mi-RÉ
min. pyth. sol-FA, la-SOL
si-LA
16
9
249,877
tierce min. pyth.
ré-fa, mi-sol
la-DO
si-RÉ
32
27
sixte maj. pyth.
fa-RÉ, sol-MI
do-la
ré-si
27
16
227,244
tierce maj. pyth.
do-mi
fa-la
sol-si
81
64
sixte min. pyth.
mi-DO
la-FA
si-SOL
128
81
198,725
quarte naturelle
do-fa, ré-sol
mi-la, sol-DO
la-RÉ, si-MI
4
3
124,939
quinte naturelle
fa-DO, sol-RÉ
la-MI, do-sol
ré-la, mi-si
3
2
176,091
renverst du
triton pyth.
si-FA
1024
729
147,572
triton pyth.
fa-si
729
512
153,458
73,786
102,305
7
ième
ÉCHELLE ZARLINIENNE
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
Unisson
do-do,
ré-ré, etc.
1
0
Octave
do-DO,
ré-RÉ, etc.
2
301,030
mi-fa
si-DO
16
15
28,029
7ième maj. zarl.
fa-MI
do-si
15
8
273,001
ré-mi
sol-la
10
9
45,757
7ième min. zarl.
mi-RÉ
la-SOL
9
5
255,273
do-ré
fa-sol
la-si
9
8
51,153
7ième min. pyth.
ré-DO
sol-FA
si-LA
16
9
249,877
32
27
73,786
sixte maj. pyth.
fa-RÉ
27
16
227,244
79,181
sixte maj. zarl.
sol-MI
do-la
ré-si
5
3
221,849
96,910
sixte min. zarl.
mi-DO
la-FA
si-SOL
8
5
204,120
fa-DO, sol-RÉ
la-MI, do-sol
mi-si
3
2
176,091
ré-la
40
27
170,696
si-FA
64
45
152,967
2de min. zarl.
ou
½ ton diat.
2de maj. zarl.
ou
ton mineur
2de maj.pyth.
ou
ton majeur
tierce min. pyth.
ré-fa
tierce min. zarl.
mi-sol
la-Do
si-RÉ
6
5
tierce maj. zarl.
do-mi
fa-la
sol-si
5
4
quarte naturelle
do-fa, ré-sol
mi-la, sol-DO
si-MI
4
3
124,939
quinte naturelle
quarte forte
la-RÉ
27
20
130,334
quinte faible
triton zarlinien
fa-si
45
32
148,063
renverst du
triton zarlinien
ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL ( r = 12 2 )
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
Noms
Intervalles
concernés
Valeurs
Mesures
en savarts
Unisson
do-do,
ré-ré, etc.
1
0
Octave
do-DO,
ré-RÉ, etc.
2
301,030
(2de mineure)
mi-fa
si-DO
r
25,086
7ième majeure.
fa-MI
do-si
r11
275,944
Ton
do-ré, ré-mi
(2demajeure)
fa-sol, sol-la
r10
250,8585
r9
225,772
r8
200,687
Demi-ton
Tierce mineure
ré-DO, mi-RÉ
r
2
50,1725
7
ième
mineure
la-si
ré-fa, mi-sol
la-DO
si-RÉ
sol-FA, la-SOL
si-LA
r3
75,257
Sixte mineure
do-mi
fa-RÉ, sol-MI
do-la
ré-si
mi-DO
r
4
Tierce majeure
fa-la
100,343
Sixte majeure
la-FA
sol-si
si-SOL
Quarte
do-fa, ré-sol
mi-la, sol-DO
la-RÉ, si-MI
Quinte
fa-DO, sol-RÉ
la-MI, do-sol
ré-la, mi-si
r5
125,429
r7
175,601
Triton
fa-si
r6
150,515
si-FA
r6
150,515
Renverst du
triton
TABLEAU DES PRINCIPAUX INTERVALLES CONCERNANT
LES ÉCHELLES DE PYTHAGORE ET DE ZARLINO
ET L'ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL
Ce tableau rassemble :
1°) les intervalles des trois tableaux du document CLASSIFICATION DES INTERVALLES ENTRE NOTES DE L'ÉCHELLE DE PYTHAGORE, DE L'ÉCHELLE DE ZARLINO ET DE
L'ÉCHELLE DIATONIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL ( les noms des intervalles de cette échelle sont écrits en italique).
Les définitions données correspondent à la construction des différentes échelles ; ainsi, par exemple, la "tierce majeure zarlinienne" est-elle prise égale à 5/4 par
définition, alors que la "tierce mineure zarlinienne" résulte de ce choix : c'est le nom donné à l'intervalle qui apparaît entre mi et sol, c'est-à-dire le produit d'un ton
majeur et d'un demi-ton diatonique, soit encore le rapport entre la quinte naturelle et la tierce majeure.
2°) des intervalles d'intérêt théorique comme le "comma syntonique" qui permet de comparer la tierce majeure de Pythagore et celle de Zarlino ou le "comma
pythagoricien" intervenant dans le cycle des quintes.
12
(qu int e)12
Remarque : Une écriture telle que 12 quintes – 7 octaves serait peut-être plus suggestive que
Noms
Définitions
Unisson
rapport de deux fréquences
égales
Schisma
comma pythag.
Comma syntonique
tierce maj. p.
tierce maj. z.
=
tierce min . z.
tierce min . p.
Comma pythagoricien ou
diatonique
(quinte naturelle )12
(octave)7
Diesis
½ ton diatonique
½ ton chr. 2ième espèce
, mais elle serait abusive.
Valeurs
Mesures
en savarts
( )
1
0
quinte naturelle
quinte du temp. égal
32805
= 1,0011
32768
0,490
ton maj.
½ t. chr. 1ière esp.
=
ton min.
½ t. chr. 2ième esp.
81
= 1,0125
80
5,395
531441
= 1,0136
524288
5,885
128
= 1,024
125
10,3
≈
=
qui représente
Remarques
= 12 2
comma synt.
( octave) 7
 3 
 
 2 
25
0
apotomé
ton maj. (ton maj.)
=
=
=
limma
(limma)²
octave
6
Demi-ton chromatique
de 2
ième
espèce (Zarlino)
Limma ou demi-ton pythag.
ou seconde mineure pythag.
Demi-ton chromatique
de 1
ière
espèce (Zarlino)
Demi-ton
ton mineur
½ ton diatonique
quarte naturelle
tierce majeure pythag.
=
ton majeur
½ ton diatonique
12
tierce majeure zarlinienne
=
=
tierce mineure zarlinienne
( octave) 3
(quinte nat.) 5
=
(quarte nat.) 5
(octave) 2
25
= 1,0416...
24
17,729
256
= 1,0535
243
22,634
135
= 1,0547
128
23,124
2 =1,0595
25,086
16
= 1,06...
15
28,029
2187
= 1,0679
2048
28,519
10
= 1,1...
9
45,757
2 = 1,1225
50,172
quinte naturelle
quarte naturelle
9
= 1,125
8
51,153
quarte nat.
( octave) 2
=
ton majeur
(quinte nat.) 3
32
= 1,1851...
27
73,786
2 =1,1892
75,257
6
= 1,2
5
79,181
5
= 1,25
4
96,910
tierce majeure zarlinienne
tierce mineure pythagoricienne
2
12
ou seconde mineure
ou seconde mineure zarl.
quarte naturelle
tierce majeure zarl.
Apotomé ou demi-ton
chromatique pythag.
ton majeur
limma
Ton mineur
tierce majeure zarl.
ton majeur
Demi-ton diatonique
ou seconde majeure zarl.
Ton
ou seconde majeure
Ton majeur
ou seconde majeure pythag.
=
=
ton mineur
½ ton chr. 2ième espèce
(quinte naturelle) 7
(octave)
=
4
=
tierce maj. pyth.
tierce min . pyth.
sixte majeure zarl.
quinte naturelle
( 2)
2
12
6
(quinte naturelle) 2
octave
Tierce mineure pythagoricienne
limma×ton majeur
Tierce mineure
( 2)
Tierce mineure zarlinienne
ton maj.× ½ ton diatonique
Tierce majeure zarlinienne
5
4
=
=
3
12
4
=
quinte nat.
tierce majeure zarl.
=
tierce maj. zarl.
½ ton chr. 2ième esp.
= ton majeur × ton mineur
( 2)
4
2 =1,2599
100,343
81
= 1,2656
64
102,305
4
= 1, 3...
3
124,939
( 2)
( 2 ) =1,3348
125,429
Quarte forte
ton majeur × octave
sixte majeure zarl.
27
= 1,35
20
130,334
Renverst triton pyth.
(ton majeur)² ×(limma)²
1024
= 1,4047
729
147,572
Triton zarlinien
(ton majeur)² × ton mineur
7ième majeure zarl.
quarte naturelle
45
= 1,40625
32
148,063
Triton
( 2)
est égal à son renversement
2 = 1,4142
150,515
Renverst triton zarl.
ton maj×ton min×(½ t diat.)²
quarte naturelle × octave
7ième majeure zarl.
64
= 0,42...
45
152,967
Triton pythag.
(ton majeur)³
729
= 1,4238
512
153,458
Quinte faible
sixte majeure zarl.
ton majeur
40
= 1, 481...
27
170,696
( 2)
( 2 ) =1,4983
175,601
3
= 1,5
2
176,091
Tierce majeure
12
Tierce majeure pythagoricienne
(quinte naturelle) 4
( octave) 2
Quarte naturelle
4
3
Quarte
Quinte
Quinte naturelle
3
= (ton majeur)²
=
octave
quinte naturelle
5
12
6
12
12
quarte naturelle × octave
7ième majeure pythag.
=
=
=
=
7ième majeure pyth.
quarte naturelle
7
12
3
2
12
=
octave
quarte naturelle
5
7
Sixte mineure pythag.
Sixte mineure
octave
tierce majeure pythag.
= (ton majeur)3 × (limma)2
( 2)
8
12
128
= 1,5802
81
198,725
( 2 ) =1,5874
200,687
2
3
Sixte mineure zarl.
octave
tierce majeure zarl.
= (ton maj.)2 × ton min. × (½ ton diat.)2
8
= 1,6
5
204,120
Sixte majeure zarl.
quarte nat. × tierce majeure
= (ton maj.)2 × (ton min.)2 × ½ ton diat.
5
= 1, 6...
3
221,849
Sixte majeure
( 2)
( 2 ) =1,6818
225,772
9
12
3
4
Sixte majeure pythag.
(quinte naturelle)3
octave
= (ton majeur)4 × limma
27
= 1,6875
16
227,244
7ième mineure pythag.
( octave) 2
(quinte naturelle) 2
= (ton majeur)4 × (limma)2
16
= 1, 7...
9
249,877
7ième mineure
( 2)
( 2 ) =1,7818
250,858
7ième mineure zarl.
(quinte naturelle ) 2
tierce majeure zarl.
= (ton maj.)3 × ton min. × (½ ton diat.)2
9
= 1,8
5
255,273
7ième majeure zarl.
quinte × tierce majeure zarl.
= (ton maj.)3 × (ton min.)2 × ½ ton diat.
15
= 1,875
8
273,001
10
12
7ième majeure
( 2)
7ième majeure pythag.
(quinte naturelle )5
( octave) 2
Octave
2
( 2)
11
12
5
6
11
=1,8877
275,944
= (ton majeur)5 × limma
243
= 1,8984
128
278,396
( )
2
301,03
12
= 12 2
12
COMPARAISON GRAPHIQUE DES GAMMES DIATONIQUES DE MODE MAJEUR
DANS LES SYSTÈMES PYTHAGORICIEN(bleu), ZARLINIEN(rouge) ET ÉGALEMENT TEMPÉRÉ(vert)
[les distances entre les segments représentant les notes sont proportionnelles aux mesures des intervalles en savarts]
do
ré
mi
fa
sol
la
si
DO
FRÉQUENCES DES NOTES DE LA 3ième OCTAVE DANS DIFFÉRENTES ÉCHELLES
1°) En prenant pour fréquence de référence celle du la3 du tempérament égal (440 Hz)
PYTHAGORE
ZARLINO
TEMPÉRAMENT ÉGAL
do3
260,74
do3
264,00
do3
261,63
ré3
mi3
293,33
330,00
ré3
mi3
297,00
330,00
ré3
mi3
293,66
329,63
fa3
sol3
fa3
sol3
la3
352,00
396,00
440,00
fa3
sol3
la3
347,65
391,11
440,00
la3
349,23
392,00
440,00
si3
do4
495,00
521,48
si3
do4
495,00
528,00
si3
do4
493,88
523,25
MÉSOTONIQUE
VIOLE DE GAMBE
do3
ré3
263,12
294,27
do3
ré3
263,05
294,91
mi3
328,90
mi3
330,62
fa3
sol3
352,00
393,42
440,00
fa3
sol3
350,07
392,47
440,00
la3
si3
do4
491,77
la3
si3
526,24
do4
493,29
522,30
Les "frettes" des instruments comme les violes ou les luths étaient réglées de telle manière que d'une frette à la suivante, la partie
vibrante de la corde était réduite d'un 18ième.
En désignant par N la fréquence d'une corde à vide, les fréquences successives des notes données par cette corde jusqu'à la 12ième frette
sont égales à :
2
3
12
18
18
18
18
× N,   × N,   × N, etc. jusqu ' à   × N.
17
 17 
 17 
 17 
Ce dernier résultat n'est pas égal à 2×N mais à 1,9856×N.
N,
2°) En prenant pour fréquence de référence celle du do3 du tempérament égal (261,6256.. Hz)
PYTHAGORE
ZARLINO
TEMPÉRAMENT ÉGAL
do3
261,63
do3
261,63
do3
261,63
ré3
294,33
ré3
294,33
ré3
293,66
mi3
fa3
331,12
348,83
mi3
fa3
327,03
348,83
mi3
fa3
329,63
349,23
sol3
la3
392,44
441,49
sol3
la3
392,44
436,04
sol3
la3
392,00
440,00
si3
do4
496,68
523,25
si3
do4
490,55
523,25
si3
do4
493,88
523,25
MÉSOTONIQUE
VIOLE DE GAMBE
do3
261,63
do3
261,63
ré3
mi3
292,57
327,18
ré3
mi3
293,31
328,83
fa3
349,88
fa3
348,18
sol3
la3
391,27
437,55
sol3
la3
390,34
437,62
si3
do4
489,30
523,25
si3
do4
490,61
519,47
INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES
• Théodore GÉROLD - "La musique au Moyen Âge" - Librairie ancienne H.Champion - 1932
• Jacques CHAILLEY - "Histoire musicale du Moyen Âge" - P.U.F. - 1950
• Inventaire des techniques rédactionnelles - Revue Polyphonie - Richard-Masse - 1954
(articles relatifs aux modes, par Gaston Litaize, Maurice Touzé, Edmond Costère)
• Encyclopédie de la musique - Fasquelle - 1958
(nombreux articles dans les trois tomes)
• Alain DANIÉLOU - Traité de musicologie comparée - Hermann - 1959
(apologie des modes orientaux)
• Encyclopédie de la Pléiade - Histoire de la musique - P.U.F. - 1960
(en particulier dans le tome 1, "L'acoustique et la musique" par Jacques Brillouin
et "La musique dans le monde chrétien" par Solange Corbin)
• Roland de CANDÉ - Dictionnaire de musique - Le Seuil - 1961
• Numéro spécial consacré à Jean-Philippe Rameau - Revue musicale - n°260 - 1964
• Joseph-Maurice BOUROT et Jean-Albert VILLARD - "Le tempérament mésotonique et la
partition de Dom Bédos de Celles" - Revue du son - n°149 - Septembre 1965
• Jean-Jacques MATRAS - "Le son" - Coll. Que sais-je? - n°293 - P.U.F. - 1967
• Pierre BARBAUD - "La musique, discipline scientifique" - Dunod - 1968 (très partisan)
• Jean-Albert VILLARD - "L'œuvre de François-Henri Clicquot" - Imprimerie Barnéoud - 1973
• Science de la musique - Technique, formes, instruments - Bordas - 1976
(nombreux articles dans les deux tomes)
• Bernard PARZYSZ - Musique et Mathématique - Publication de l'A.P.M.E.P. - 1983
(plus mathématique que musical)
• John PIERCE - "Le son musical" - Collection 'Pour la Science' - Belin - 1984
• Roland de CANDÉ - "Jean-Sébastien Bach" - Seuil - 1984
(en particulier : paragraphe "Théorie musicale et lutherie" p.277 - 281)
• Dictionnaire encyclopédique de la musique - Collections 'Bouquins' - Robert Laffont - 1988
(nombreux articles dans les deux tomes)
• Gérard LE VOT - "Vocabulaire de la musique médiévale" - Minerve - 1993
• Guide de la musique du Moyen Âge - sous la direction de Françoise FERRAND Collection 'Les indispensables de la Musique' - Fayard - 1999
• Pierre-Yves ASSELIN - "Musique et tempérament" - Éditions Jobert - 2000
(concerne principalement l'accordage des instruments à clavier)
• Guide de la théorie de la musique - Guide des théoriciens(très documenté) Collection 'Les indispensables de la Musique' - Fayard - 2001
• C.C. AGBANGLA et Marc CARRÈRE - "Recueil universel de gammes" - CarAg - 2001
(compilation de milliers de gammes plus ou moins exotiques !)
• Georges MOURIER - Les ondes en physique : de Pythagore à nos jours - Ellipses - 2002
• Numéro hors série n°11 : "Maths et Musique" - Revue Tangente - 2002
___________________________