Algorithmes d`approximation

Algorithmes d’approximation
Module IAD/M2/RP/RO
Philippe Chrétienne

Plan du chapitre
• Problème de recherche
• Algorithme d’approximation
• Garanties
• Exemples (bin-packing, TSP)
• Approximation et complexité

Problème de recherche
Un problème Π est dit «!de recherche!» si:
à tout énoncé I de Π est associé un ensemble S*(I)
(éventuellement vide) de solutions.
Un algorithme qui résout Π doit , pour tout énoncé I :
- écrire une solution de S*(I) si S*(I) n’est pas vide,
- sinon écrire «pas de solution».
Un problème d’optimisation (minimisation ou maximisation)
est un problème de recherche pour lequel S*(I) est défini à partir:
- d’un ensemble de solutions candidates S(I),
- d’une fonction objectif fI: S(I) → ℵ.
S*(I) = {s ∈ S(I)fI(s) est optimal}

Cas d'une minimisation.
Si Inf{fI(s)|s ∈ S(I)} existe, il est noté fI*.
Si fI* est atteint, alors S*(I) = {s ∈ S(I)| fI(s)= fI*}.
S*(I) est l'ensemble des solutions optimales de l'énoncé I ;
fI* est la valeur d'une solution optimale de l'énoncé I , ou
encore la valeur optimale d'une solution de S(I).
Pour une maximisation, on remplace Inf par Sup.
Le plus souvent S(I) est fini mais de taille exponentielle
en la longueur de I. Dans ce cas :
- Inf{fI(s)|s ∈ S(I)} existe ;
- S*(I) est non vide.

Exemples de problèmes d’optimisation :
TSP (voyageur de commerce)
I défini à partir d’une matrice D des distances entre n villes.
Une solution candidate est un tour.
Une solution est un tour de longueur totale minimale.
SAC à DOS
I défini à partir - d’un ensemble d’articles A,
- d’une fonction poids p: A → ℵ,
- d’une fonction valeur v : A → ℵ,
- d’un poids maximum P.
Une solution candidate est un sous-ensemble d’articles de poids ≤ P
Une solution est une solution candidate de valeur maximale.