Rappels d`optique physique : interférences et diffraction

Optique instrumentale
Rappels d'optique physique : interférences et diffraction
F. Reynaud et P. Bouchareine*
IRCOM, Université de Limoges, 123 rue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex, France
* Institut d'Optique, BP 147, 91403 Orsay cedex, France
Résumé : on étudie, dans le cadre de l'approximation de la représentation scalaire de la lumière, les
phénomènes d'interférence à deux ondes, en rappelant les valeurs des paramètres principaux qui
régissent ces phénomènes : interfrange, facteur de visibilité, influences des dimensions de la source,
de son domaine spectral. Les interférences à ondes multiples sont vues dans les exemples du réseau
et de l'interféromètre de Fabry et Perot. La diffraction par une pupille et sa représentation
mathématique, le rôle de la transformation de Fourier en optique cohérente sont présentés dans la
dernière partie.
1. INTRODUCTION
Les ondes lumineuses sont des ondes électromagnétiques qui oscillent à des fréquences
extrêmement élevées. Dans le domaine visible, ces fréquences sont de l'ordre de 500 THz (5
1014 Hz) conduisant, malgré leur très grande vitesse de propagation, à des longueurs d'onde
inférieures au micromètre.
L'œil comme les détecteurs photoélectriques ne peuvent suivre les variations temporelles
du champ électromagnétique. La réponse de ces détecteurs, qui représente un signal lumineux,
est la valeur moyenne dans le temps du carré de l'amplitude du champ électromagnétique.
Dans ce contexte, la superposition en un même point de l'espace de deux ou plusieurs
ondes monochromatiques de même fréquence et qui gardent une relation de phase constante
sur une constante de temps du détecteur (ondes cohérentes) donne lieu à des phénomènes
d'addition des amplitudes qui ne conduisent pas à des additions de flux, d'éclairements ou
d'intensités.
Par exemple deux amplitudes égales qui s'ajoutent donnent une amplitude double, et un
flux quadruple. Si les deux amplitudes se retranchent parce qu'elles sont en opposition de
phase la résultante est nulle, comme le flux. Lorsqu'une amplitude 1 (unité arbitraire) tombe
sur un détecteur en même temps qu'une amplitude 10, les deux flux sont dans le rapport 1 à
100. S'il y a cohérence entre les deux faisceaux, une interférence constructive conduit à une
intensité (10 + l)2 = 121, et une interférence destructive donnera (10- l)2 = 81. La différence
est 40 fois plus forte que le seul flux de l'amplitude 1. Les interférences donnent ici le
principe d'une amplification très efficace des flux faibles par détection hétérodyne.
Dans la première partie nous étudierons les interférences à deux ondes à partir du
dispositif historique des fentes d'Young. Dans la deuxième partie nous étudierons les
interférences à ondes multiples avec le réseau et l'interféromètre de Fabry et Perot. Dans la
troisième partie, nous étudierons la diffraction qui peut être présentée comme un phénomène
Article disponible sur le site EDP Sciences et disponible sur le site http://sfo.edpsciences.org
ou http://dx.doi.org/10.1051/sfo/1997013

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d'interférence entre une infinité continue d'ondes d'amplitude infiniment petite. Les
interférences se décrivent par des sommes algébriques ou vectorielles. La diffraction se décrit
par des intégrales.
2. INTERFÉRENCES À DEUX ONDES
2.1 Expériences des fentes d'Young
2.1.1 Dispositif expérimental
Energie
t
Ecran |
Figure 2.1— Dispositif expérimental des franges d'Young.
Une source ponctuelle S monochromatique (comme le problème est unidimensionnel il
s'agit d'une fente fine perpendiculaire au plan de la figure 2.1 ) éclaire un écran percé de deux
autres fentes fines 0\ et O2. La lumière est diffractée par ces deux fentes de telle sorte que des
rayons issus de ces deux fentes éclairent les mêmes zones du plan d'observation sur un écran.
Dans la zone commune aux deux éclairements, on observe une modulation spatiale de la
distribution d'énergie lumineuse sous forme de franges rectilignes équidistantes.
Si les fentes Oi et O2 sont très fines, on peut admettre un eclairement faible mais
uniforme sur l'écran. Cest sur cette forme simplifiée que nous effectuerons les calculs.

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2.7.2 Influence des divers paramètres
L'interfrange est plus grand avec de la lumière rouge qu'avec de la lumière bleue : il est
proportionnel à la longueur d'onde. L'interfrange est proportionnel à la distance D entre
l'écran d'observation et le plan des fentes. L'interfrange est proportionnel à l'inverse de la
distance a entre les fentes diffractantes.
i = X D/a
Figure 2..2 — Les paramètres du dispositif des franges d'Young.
2.1.3 Différence de temps de propagation, différence de marche
SOi + OiM c ni ( SOi + OiM) 81
lertrajet:ti= vl = nT ll = c ~"c"
SO2 + 02M c n2 ( S02 + 02M ) 62
2ème trajet : 12 = v2 = — t? = = —
J X V2 "2 c c
Ô2 c*i ô"
At = t2 — tj = —-— 82 — ôi = Ô = différence de marche At = -
Dans le cas présent, n 1 = n2 = 1, SOi = SO2 (symétrie) 5= O2M - 0]M
2.2 Description mathématique des interférences
2.2.1 Superposition des champs
Une onde électromagnétique monochromatique est la propagation synchrone d'un champ
électrique et d'un champ magnétique qui varient sinusoïdalement avec le temps. La direction
des champs caractérise la polarisation de l'onde. On simplifie la représentation d'une telle

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onde par un vecteur unique, le vecteur de Fresnel, dont l'expérience peut montrer qu'il est
parallèle au champ électrique. Les solutions des équations de Maxwell déterminent les
directions des champs électriques et magnétiques par rapport à la direction et au sens de
propagation. Dans ces chapitres nous ne considérerons qu'un même état de polarisation pour
toutes les ondes concernées, ce qui permet de travailler avec une approximation scalaire de
l'onde électromagnétique, l'amplitude de l'onde égale au module du vecteur de Fresnel.
L'élongation en un point fixe à chaque instant est égal au produit de cette amplitude par une
fonction sinusoïdale du temps.
EM = EI + E2
2.2.2 Calcul de l'amplitude résultante pour une source monochromatique
On rappelle que la constante de temps x du détecteur est beaucoup plus longue que la période
de l'oscillation du champ électromagnétique.
Source : Es = ao cos (27cvf)
E] = aj cos (2TCV (t-ti))
E2 = a2 cos (2TCV (t -12»
EM = Ei + E2 on admet que a 1 = a2 = a
EM = a (cos (2TCV (t -11)) + cos (2JTV (t -12)))
= 2aCOS(27TV(t-!iy^)).COS 27TV
EM = 2a cos (27Wt + (p'). cos (27t - - ) X = — m'= -2TCV ILLII
2 c V 2
g
EM = 2acos (2jtvt 4- <p'). cos (it —)
2.3 Expression du signal détecté
Le signal est proportionnel à ce que l'on appelle souvent l'intensité (c'est en réalité un flux ou
un eclairement, c'est-à-dire un flux par unité de surface).
Le détecteur, que ce soit l'œil ou un détecteur photoélectrique, ne voit que la moyenne
temporelle du carré des champs, qui est proportionnelle à l'éclairement.
2.3.1 Remarque à propos d'une source unique
ES = ao cos (27tvt + (p')
I = s = < ES2 >t = ao2 < cos2 (27cvt + tp') >t

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2.3.2 Application aux interférences
EM = E] + E2 = 2a cos (27rvt + <p'). cos (no,X)
I = < EM
2 >t = 2a2 cos2(—) cos2 (x) =1/2(1+ cos (2x))
a2 2TCÔ
Posant I0= y I = 2 I0 ( 1 + cos ( ))
X
Note : on peut remplacer le calcul précédent par une construction géométrique, dite
représentation de Fresnel (ne pas confondre avec le vecteur de Fresnel qui représente le
caractère vectoriel des champs électromagnétiques). En effet, toute grandeur scalaire fonction
sinusoïdale du temps peut être vue comme la composante sur un axe fixe d'un vecteur dont le
module est l'amplitude de la modulation sinusoïdale et dont la phase à un instant donné est
donnée par l'angle <p entre ce vecteur et l'axe de référence. Plusieurs quantités synchrones
seront représentées par des vecteurs tournant à la même vitesse angulaire, et formeront une
figure géométrique fixe sur laquelle le calcul de la résultante peut être plus simple que le
calcul analytique.
Dans le même ordre d'idées, on peut aussi faire ces calculs géométriques à partir des
nombres complexes, chaque nombre permettant de représenter en module et en phase les
vecteurs de la représentation de Fresnel. Nous utiliserons par la suite ces différents
formalismes.
2.3.3 Détermination du champ d'interférences dans l'expérience des fentes d'Young
Le calcul se place dans le cadre des approximations précédentes. Il faut déterminer la
différence de marche
8= 82-81
I = I0(1 + cos (2TI —) = 2 I0 (1 + cos (2TC —-—)) i = XD/a est l'interfrange
XD XDI a
maxima 2TC x/i = 2k7t x = ki Wx = 4I0
minima x = (k + 1/2) i Inùn = 0
i/2 i 3i/2 2i 5 i/2 3i 7i/2 4i
Figure 2.3 — Interférences à deux
ondes.