MPS - Vision du Monde n°1

Sciences & Vision du Monde –
Mathématiques
Séance n°1 sur 6
Le ruban de Möbius
August Ferdinand Möbius
Mathématicien allemand (1790-1868)
Fils unique de Johann Heinrich Möbius, professeur de
danse à Schulpforta, le jeune August Ferdinand naît
dans le village. Trois ans plus tard son père meurt, il
est alors élevé par sa mère, qui s'occupe directement
de son éducation jusqu'à ce qu'il ait atteint l'âge de 13
ans, avant d'entrer lui même à Schulpforta.
Puis dès 1809, il étudie les mathématiques et
l'astronomie successivement dans les universités de
Leipzig, Göttingen (il y eut Carl Friedrich Gauss
comme professeur) et Halle.
Il est principalement connu pour sa découverte du
ruban de Möbius, une surface non orientable à deux
dimensions avec seulement un bord quand elle est
plongée dans un espace euclidien à trois dimensions.
Elle fut découverte indépendamment par Johann
Benedict Listing à peu près à la même époque.
Étape n°1
Fabrication et observation succincte d'un ruban de
Möbius à 1 demi-tour.
1. La surface obtenue comporte combien de
face ?
2. Quelle est son aire ?
3. Combien de bord ?
4. Quel est son périmètre ?
Étape n°2
Découpage d'un ruban de Möbius au milieu de sa
largeur.
5. Qu'obtient-on ?
Étape n°3
Découpage d'un ruban de Möbius au tiers de sa
largeur.
6. Qu'obtient-on ?
Étape n°4
Énigme des trois maisons à relier à l'eau, le gaz et
l'électricité :
« Un lotissement de trois maisons doit être
équipé d'eau, de gaz et d'électricité. La
réglementation interdit de croiser les
canalisations pour des raisons de sécurité.
Comment faut-il faire ? »
Solution non acceptable car deux canalisations se
croisent...

Solution :
Ruban de Möbius
Sur un ruban de Möbius, une solution existe.
L'impossibilité de résoudre l'énigme est une conséquence du théorème de Jordan. Une géométrie pour laquelle
une solution existe doit donc admettre des courbes de Jordan qui ne divisent pas l'espace en deux composantes
connexes par arcs. Comme le montre le paragraphe intitulé Topologie géométrique, la recherche d'une solution
sur une sphère est vaine, une méthode rapide pour s'en convaincre est de remarquer que le théorème de Jordan
est valide sur cette géométrie.
En revanche, le théorème ne s'applique pas si l'espace n'est pas orientable. Dans un
espace non orientable, le côté droit de certaines courbes finit par devenir le côté
gauche. Autrement dit, le concept de droite et de gauche n'a pas de sens sur un tel
espace. Tel est le cas sur un ruban de Möbius. La ligne à égale distance des deux
bords possède cette propriété. Placer les trois maisons et les trois fournisseurs sur
une telle ligne, à l'image de la figure de gauche, est judicieux. Les six premières
canalisations n'ont alors pas coupé la géométrie en deux composantes connexes par
arcs.
Pour comprendre ce qu'il advient une fois ces six premières canalisations posées,
le plus simple est de construire un ruban de Möbius, de dessiner les différents
nœuds et de couper effectivement le ruban. On obtient la figure en haut à droite
(on n'a pas représenté la double torsion induite par le découpage dans la mesure
où celle-ci ne change pas la résolution de l'énigme). Le ruban devient un unique
nouveau ruban, deux fois plus long et deux fois moins large. Une des frontières
du ruban contient maintenant deux séries des six nœuds à la suite l'une de l'autre.
Pour une raison de simplicité, il est plus simple de déformer le cylindre obtenu.
On resserre la frontière ne contenant pas les nœuds jusqu'à ce que cette frontière
soit réduite à un point, on ajoute alors ce point (on a vu précédemment que cela
ne change rien à la résolution de l'énigme) pour obtenir un cône. Aplatir ce cône,
ce qui ne change encore rien à l'existence ou l'absence de solution, donne la
figure en bas à droite. Il devient aisé de trouver comment placer les trois
dernières canalisations. La solution en bas à droite est celle qui est illustrée à
gauche, une fois réalisées les transformations inverses.