Sciences & Vision du Monde – Mathématiques Séance n°1 sur 6 Le ruban de Möbius August Ferdinand Möbius Mathématicien allemand (1790-1868) Fils unique de Johann Heinrich Möbius, professeur de danse à Schulpforta, le jeune August Ferdinand naît dans le village. Trois ans plus tard son père meurt, il est alors élevé par sa mère, qui s'occupe directement de son éducation jusqu'à ce qu'il ait atteint l'âge de 13 ans, avant d'entrer lui même à Schulpforta. Puis dès 1809, il étudie les mathématiques et l'astronomie successivement dans les universités de Leipzig, Göttingen (il y eut Carl Friedrich Gauss comme professeur) et Halle. Il est principalement connu pour sa découverte du ruban de Möbius, une surface non orientable à deux dimensions avec seulement un bord quand elle est plongée dans un espace euclidien à trois dimensions. Elle fut découverte indépendamment par Johann Benedict Listing à peu près à la même époque. Étape n°1 Fabrication et observation succincte d'un ruban de Möbius à 1 demi-tour. 1. La surface obtenue comporte combien de face ? 2. Quelle est son aire ? 3. Combien de bord ? 4. Quel est son périmètre ? Étape n°2 Découpage d'un ruban de Möbius au milieu de sa largeur. 5. Qu'obtient-on ? Étape n°3 Découpage d'un ruban de Möbius au tiers de sa largeur. 6. Qu'obtient-on ? Étape n°4 Énigme des trois maisons à relier à l'eau, le gaz et l'électricité : « Un lotissement de trois maisons doit être équipé d'eau, de gaz et d'électricité. La réglementation interdit de croiser les canalisations pour des raisons de sécurité. Comment faut-il faire ? » Solution non acceptable car deux canalisations se croisent... Solution : Ruban de Möbius Sur un ruban de Möbius, une solution existe. L'impossibilité de résoudre l'énigme est une conséquence du théorème de Jordan. Une géométrie pour laquelle une solution existe doit donc admettre des courbes de Jordan qui ne divisent pas l'espace en deux composantes connexes par arcs. Comme le montre le paragraphe intitulé Topologie géométrique, la recherche d'une solution sur une sphère est vaine, une méthode rapide pour s'en convaincre est de remarquer que le théorème de Jordan est valide sur cette géométrie. En revanche, le théorème ne s'applique pas si l'espace n'est pas orientable. Dans un espace non orientable, le côté droit de certaines courbes finit par devenir le côté gauche. Autrement dit, le concept de droite et de gauche n'a pas de sens sur un tel espace. Tel est le cas sur un ruban de Möbius. La ligne à égale distance des deux bords possède cette propriété. Placer les trois maisons et les trois fournisseurs sur une telle ligne, à l'image de la figure de gauche, est judicieux. Les six premières canalisations n'ont alors pas coupé la géométrie en deux composantes connexes par arcs. Pour comprendre ce qu'il advient une fois ces six premières canalisations posées, le plus simple est de construire un ruban de Möbius, de dessiner les différents nœuds et de couper effectivement le ruban. On obtient la figure en haut à droite (on n'a pas représenté la double torsion induite par le découpage dans la mesure où celle-ci ne change pas la résolution de l'énigme). Le ruban devient un unique nouveau ruban, deux fois plus long et deux fois moins large. Une des frontières du ruban contient maintenant deux séries des six nœuds à la suite l'une de l'autre. Pour une raison de simplicité, il est plus simple de déformer le cylindre obtenu. On resserre la frontière ne contenant pas les nœuds jusqu'à ce que cette frontière soit réduite à un point, on ajoute alors ce point (on a vu précédemment que cela ne change rien à la résolution de l'énigme) pour obtenir un cône. Aplatir ce cône, ce qui ne change encore rien à l'existence ou l'absence de solution, donne la figure en bas à droite. Il devient aisé de trouver comment placer les trois dernières canalisations. La solution en bas à droite est celle qui est illustrée à gauche, une fois réalisées les transformations inverses.