Structures arborescentes et développements moléculaires

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
STRUCTURES ARBORESCENTES ET DÉVELOPPEMENTS
MOLÉCULAIRES
THÈSE
PRÉSENTÉE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DU DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES
PAR
MARTIN DUCHARME
JUIN 2009

REMERCIEMENTS
J’aimerais remercier Pierre Leroux d’avoir accepté la tâche d’être mon directeur
pendant presque toutes mes études universitaires de cycles supérieurs. Je tiens à sou-
ligner l’aide supplémentaire que Gilbert Labelle, mon co-directeur, et Cédric Lamathe
ont dû m’apporter suite au départ précoce de Pierre Leroux. En ce qui a trait aux autres
membres du jury, des remerciements sont aussi à être accordés à Christophe Hohlwelg,
François Bergeron et Yves Chiricota. À titre appréciatif, je mentionne le soutien tech-
nique du LaCIM. Finalement, je tiens également à remercier mes parents pour leur aide
et leur support au cours de toutes mes études.

TABLE DES MATIÈRES
LISTE DES FIGURES vii
RÉSUMÉ x
INTRODUCTION 1
CHAPITRE I
NOTIONS DE BASE ET FORMULES D’ADDITION 4
1.1 Développement moléculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Formules d’addition des cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Définition et caractérisation d’espèces de cycles orientés . . . . . . 7
1.2.2 Formules d’addition de Ck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Les espèces Pn(X)et Pbic
2n(X, Y, Z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Groupes diédraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Définition de l’espèce Pn(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Définition de l’espèce Pbic
2n(X, Y, Z). . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Classes diédrales de mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.5 Énumération de classes diédrales de mots et formule d’addition de
Pn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.6 Propriétés d’action restreinte à un sous-groupe normal . . . . . . . 36
1.3.7 Classes ρ2-diédrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.8 Énumération des classes ρ2-diédrales . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.9 Formule d’addition de Pbic
2n(X, Y, Z). . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.4 Théorèmes de dissymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
CHAPITRE II
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES ARBRES PLANS 59
2.1 Développement moléculaire des arbres plans . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iv
2.2 Développement moléculaire des arbres plans pondérés par la distribution
des degrés de leurs sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
CHAPITRE III
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES 2-ARBRES k-GONAUX EXTER-
PLANAIRES 65
3.1 Définition d’espèces orientées et pointées et théorème de dissymétrie . . . 66
3.2 Classes diédrales de types de A-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux exterplanaires où kest
impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Énumération des classes diédrales sur Apour kimpair . . . . . . . 74
3.4 Développement moléculaire des 2-arbres k-gonaux exterplanaires où kest
pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.1 Énumération des classes diédrales sur Apour kpair . . . . . . . . 81
CHAPITRE IV
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES 2-ARBRES k-GONAUX EXTER-
PLANAIRES SANS SOMMETS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR À 3 88
4.1 Définitions et théorème de dissymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Développement moléculairedes 2-arbres k-gonaux exterplanaires sans som-
mets de degré supérieur à 3 où kest impair . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Énumération des classes diédrales admissibles sur Apour k≥5
impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Développement moléculairedes 2-arbres k-gonaux exterplanaires sans som-
mets de degré supérieur à 3 où kest pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Énumération des classes diédrales admissibles sur Apour k≥6pair107
CHAPITRE V
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES 2-ARBRES POLYGONAUX EX-
TERPLANAIRES 115
5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Développement moléculaire des 2-arbres polygonaux exterplanaires . . . . 118
5.2.1 Classes diédrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2 Énumération des classes diédrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
CONCLUSION 135

v
APPENDICE A
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES ARBRES PLANS 136
A.1 Premiers termes du développement moléculaire des arbres plans . . . . . . 136
A.2 Premiers termes du développement moléculaire des arbres plans pondérés
par la distribution des degrés de leurs sommets . . . . . . . . . . . . . . . 137
APPENDICE B
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES 2-ARBRES k-GONAUX EXTER-
PLANAIRES 139
B.1 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres triangulaires
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres quadrangu-
laires exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
B.3 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres pentagonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.4 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres hexagonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.5 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres heptagonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.6 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres octogonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.7 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres ennéagonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B.8 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres décagonaux
exterplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
APPENDICE C
DÉVELOPPEMENT MOLÉCULAIRE DES 2-ARBRES k-GONAUX EXTER-
PLANAIRES SANS SOMMETS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR À 3 149
C.1 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres pentagonaux
exterplanaires sans sommets de degré supérieur à 3 . . . . . . . . . . . . . 149
C.2 Premiers termes du développement moléculaire des 2-arbres hexagonaux
exterplanaires sans sommets de degré supérieur à 3 . . . . . . . . . . . . . 150