Algorithmes – Notes de cours

Algorithmes – Notes de cours
F. Popineau
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13/06/2013
INFORMATION
FILET TECHNIQUE DE CONSTRUCTION
DÉCOUPE
OPTION STRUCTURE GRAPHIQUE BASSE
OPTION STRUCTURE GRAPHIQUE HAUTE
TEINTE À DÉFINIR
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Table des maères
Table des matières ii
I Introduction 1
1 Ressources 3
2 Complexité des algorithmes 5
2.1 Problèmeetdéfinition.................................... 5
2.2 Pseudo-code ......................................... 6
2.3 Complexitéasymptotique.................................. 7
2.4 Règlesdecalcul........................................ 10
2.5 Enpratique .......................................... 11
2.6 Exercice ............................................ 12
II Structures de données 13
3 Données 15
4 Structures de données de base 17
4.1 Containers........................................... 17
4.2 Tables ............................................. 18
4.3 Piles .............................................. 20
4.4 Files .............................................. 22
4.5 Listeschaînées........................................ 24
5 Arbres 29
5.1 Arbresbinaires........................................ 29
5.2 Arbresn-aires ........................................ 29
6 Dictionnaires 31
6.1 Spécification ......................................... 31
6.2 Implémentation avec une table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ii

TABLE DES MATIÈRES iii
6.3 Tablesdehachage ...................................... 32
6.4 Arbres binaires de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.5 Arbres binaire de recherche balancés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Performance pour les containers 35
8 Files de priorité et tas 37
8.1 Spécification ......................................... 37
8.2 Implémentation avec une table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.3 Tas ............................................... 38
8.4 Implémentation à l’aide d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.5 Construction d’un tas à partir d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.6 Complexitédesopérations ................................. 41
9 Union-find 43
10 Graphes 45
10.1 Définitions .......................................... 45
10.2 Implémentation par matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.3 Implémentation par liste d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.4 Implémentation par liste d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
11 En Python 49
11.1Pilesetfiles.......................................... 49
11.2ListesettuplesPython ................................... 50
11.3Dictionnaires......................................... 51
11.4Filesdepriorité........................................ 52
11.5Ensembles........................................... 52
11.6 Arbres binaires de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.7Graphes ............................................ 53
III Techniques fondamentales 55
12 Problèmes 57
12.1Définition ........................................... 57
13 Méthode Glouton 59
13.1Définition ........................................... 59
13.2 Exemple du classement par insertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.3 Exemple du rendu de monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.4 Exemple de la coloration de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13.5Gloutonetoptimalité .................................... 63
14 Méthode diviser pour régner 65
14.1Définition ........................................... 65
14.2AlgorithmedeKaratsuba.................................. 65
14.3 Analyse des algorithmes diviser pour régner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

iv TABLE DES MATIÈRES
14.4Théorèmemaître....................................... 68
14.5 Exemples d’application du théorème maître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
15 Programmation dynamique 71
15.1Principe ............................................ 71
15.2 Exemple 1 : le rendu de monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
15.3Exemple2:lesacàdos................................... 73
16 Exploration en espace des états 75
16.1Espacedesétats ....................................... 75
16.2Exemplesdeproblèmes: .................................. 75
16.3Performance ......................................... 77
16.4Backtracking ......................................... 77
16.5 Backtracking : coloration de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
16.6 Coloration de graphe : forward checking ......................... 80
16.7Explorationgénérique.................................... 83
16.8 Exploration en profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.9Explorationenlargeur ................................... 84
16.10Exploration à coût uniforme ou UCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.11Exploration Best-First .................................... 84
16.12ExplorationA* ........................................ 85
17 Méta-heuristiques 87
17.1Méta…quoi?......................................... 87
17.2BranchandBound...................................... 87
17.3 Branch and bound : sac à dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
17.4Explorationlocale ...................................... 90
17.5Recuitsimulé......................................... 90
17.6Algorithmesgénétiques................................... 90
IV Algorithmes 91
18 Classement 93
18.1 Définition formelle du problème du classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
18.2 Classementparinsertion.................................. 93
18.3 Classementparfusion ................................... 95
18.4Classementrapide...................................... 96
18.5 Classementpartas ..................................... 97
18.6Enpratique.......................................... 97
19 Graphes 99
19.1Parcours............................................ 99
19.2 Arbres recouvrants de poids minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
19.3 Recherche des plus courts chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
19.4Similitudes .......................................... 111

TABLE DES MATIÈRES v
V Problèmes 113
20 Problèmes sans solution 115
20.1Leproblèmedel’arrêt.................................... 116
20.2 Autres problèmes insolubles algorithmiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
21 Problèmes faciles versus difficiles 119
21.1Problèmesetinstances ................................... 119
21.2ClasseP ............................................ 119
21.3ClasseNP ........................................... 120
21.4Réductionpolynomiale ................................... 120
21.5NP-complétude........................................ 121
22 Complexité de problème 123
VI Annexes 125
23 Spécifications 127
24 Compléments Python 131
24.1Lambdaexpressions..................................... 131
24.2Exceptions........................................... 132
25 Programmation objet en Python 135
25.1Introduction ......................................... 135
25.2Classesetinstances ..................................... 135
25.3Méthodes ........................................... 135
25.4Héritage............................................ 135
26 Réalisation Python de structures de données classiques 137
26.1Listechaînée ......................................... 137
26.2 Arbres binaires de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
26.3Dictionnaires......................................... 139
26.4Tas ............................................... 142