Propriétés des grandeurs périodiques - Hachette

CYAN
BLACK
Propriétés des grandeurs périodiques
chapitre
Propriétés des grandeurs
périodiques
1
Objectifs
•
1.
Ce chapitre a pour but d’utiliser la décomposition (en série de Fourier) des grandeurs périodiques
abordée en classe de première. Nous utiliserons à cet effet leurs représentations temporelle et
fréquentielle. Nous étudierons (en utilisant les résultats de la fiche mesure 1), la réponse d’un
circuit électrique linéaire à une grandeur périodique, dans les domaines temporel et fréquentiel.
INTRODUCTION
Le programme d’électronique de terminale porte essentiellement sur l’étude de montages ou de
circuits électriques qui effectuent le traitement des grandeurs électriques (amplification, opérations
mathématiques, filtrage, ...). Il est donc important de connaître les propriétés des grandeurs électriques (courant, tension, puissance) que nous allons rencontrer, ainsi que le comportement d’un
circuit électrique linéaire ou non linéaire par rapport à de telles grandeurs.
Par exemple, le schéma fonctionnel du récepteur radio (figure 1), comporte une chaîne de fonctions
électroniques qui seront étudiées par la suite et un grand nombre de tensions de natures différentes.
Antenne
Tension secteur
220V / 50Hz
us
Alimentation
continue
Réception
du signal
uHF
SIGNAL
REÇU
+Vcc
0
−Vcc
Tension continues
d’alimentation
HP
Amplificateur
sélectif
u2
u1
Démodulateur
Amplificateur
audio-fréquence
TRAITEMENT DES SIGNAUX
u3
Amplificateur
de puissance
uBF
SIGNAL
UTILE
Figure 1
2.
PROPRIÉTÉS DES GRANDEURS ANALOGIQUES
A. Représentation des grandeurs analogiques
1. Différentes formes de signaux analogiques
L’exemple choisi figure 1 comporte un grand nombre de grandeurs électriques (tension, courant,
puissance) de natures différentes, par exemple :
– la tension sinusoïdale us du réseau E.D.F. (220 V/50 Hz) ;
– les tensions continues d’alimentation +Vcc , −Vcc ;
– la tension uHF (tension de forme complexe et non périodique) reçue par l’antenne ;
– la tension basse fréquence uBF (non périodique) transmise au haut-parleur...
Toutes ces tensions évoluent de façon continue dans le temps, ce sont des grandeurs analogiques.
9
CYAN
Chapitre
BLACK
1
2. Les grandeurs analogiques périodiques
Une grandeur est périodique si elle se reproduit identiquement à elle-même dans le temps, soit :
y(t) = y(t + T) = y(t + kT) quel que soit t, avec k entier.
La période est la durée constante T qui sépare deux instants consécutifs, où la grandeur se
reproduit identiquement à elle-même. La fréquence F est le nombre de périodes par seconde.
1
F=
T
F : en hertz (Hz)
T : en secondes (s)
3. Représentations temporelle et fréquentielle d’un signal
Si nous observons une tension à l’oscilloscope, la courbe représentative de cette tension est une
fonction du temps : c’est la représentation temporelle (figures 2.a, 3.a, 4.a, 5.a).
Dans certains cas, cette représentation temporelle n’est pas suffisante pour caractériser totalement un
signal. Nous utilisons alors un analyseur de spectre qui nous renseigne sur les différentes fréquences
apparaissant dans la composition du signal : c’est la représentation fréquentielle (figures 2.b, 3.b,
4.b, 5.b).
Représentation fréquentielle
Représentation temporelle
Tension continue : u = U0
Y : 0,5 V/div ; X : 1 kHz/div
Y : 1 V/div ; X : 0,2 ms/div
0
0
Figure 2.a
Figure 2.b
La forme de la représentation temporelle (figure 2.a) montre que la tension u est constante
de valeur U0 = 1 V : c’est une tension continue.
La présence d’une seule raie sur l’axe des ordonnées dans la représentation fréquentielle (figure 2.b) indique que la tension u comporte une
seule composante de fréquence nulle et de valeur
U0 = 1 V : c’est une tension continue.
Tension sinusoïdale : u1
Y : 0,5 V/div ; X : 1 kHz/div
Y : 1 V/div ; X : 0,2 ms/div
amplitude
0
0
Figure 3.a
Figure 3.b
10
CYAN
BLACK
Propriétés des grandeurs périodiques
La forme de la représentation temporelle (figure 3.a) montre que la tension u1 est sinusoïdale, de période T = 5 × 0,2 · 10−3 = 1 ms,
1 = 2,5 × 1 = 2,5 V, et retardée
d’amplitude U
d’une durée t = 0,2 ms par rapport à l’instant 0
pris comme origine des temps.
Nous pouvons calculer la fréquence, la valeur efficace et la phase à l’origine, soit :
1
U
1
U1 = √ = 1,8 V ;
F = = 1 kHz ;
T
2
2p
t
.
u1 = −2p = −
T
5
L’écriture de la tension sinusoïdale u1 dans le
domaine temporel est :
√
u1 = U1 2 sin (v t + u1 )
La présence d’une seule raie dans la représentation fréquentielle (figure 3.b) indique que la tension u1 comporte une seule composante sinusoïdale de fréquence F = 1×103 = 1 kHz, d’ampli 1 = 5 × 0,5 = 2,5 V (ou de valeur efficace
tude U
U1 = 1,8 V).
Nous pouvons calculer la période et la valeur efficace (ou la valeur maximale), soit :
1
√
U
1
1 = U1 2 ).
T = = 1 ms ; U1 = √ (ou U
F
2
(Certains analyseurs de spectre indiquent également la phase à l’origine u1 ).
L’écriture de la tension u1 sinusoïdale dans le
domaine fréquentiel est :
U1 = [U1 ; u1 ]
Tension périodique rectangulaire : u
Y : 0,5 V/div ; X : 1 kHz/div
Y : 1 V/div ; X : 0,2 ms/div ; position DC
amplitude
0
0
Figure 4.a
Figure 4.b
La forme de la représentation temporelle (figure 4.a) montre que la tension u est périodique rectangulaire (deux motifs identiques sur
l’écran), de période T = 1 ms, de valeur maxi = 3 V, de valeur minimale U = −1 V.
male U
Lorsque nous plaçons le commutateur en position AC, nous supprimons la composante continue, égale à la valeur moyenne de la tension u ;
la courbe se décale vers le bas d’une division,
soit : < u > = 1 V.
La présence d’un spectre de raies (figure 4.b)
indique que la tension u est périodique.
C’est la somme d’une tension constante
U0 = < u > = 1 V ; d’une composante sinusoïdale de fréquence F = 1 kHz et d’amplitude
1 = 2,5 V ; de composantes sinusoïdales
U
de fréquences multiples de F (3 kHz, 5 kHz,
3 = 0,85 V,
7 kHz, 9 kHz...) et d’amplitudes (U
U5 = 0,51 V, U7 = 0,36 V, U9 = 0,28 V...) qui
diminuent avec la fréquence.
Tension non périodique : tension uBF transmise au haut-parleur
Y : 1 V/div ; X : 0,2 ms/div
Y : 0,5 V/div ; X : échelle logarithmique
valeur efficace
0
0
1
Figure 5.a
10
10 2
Figure 5.b
11
10 3
10 4
CYAN
Chapitre
BLACK
1
La représentation temporelle (figure 5.a) montre
que la tension uBF est de forme complexe et non
périodique.
L’image stable de la tension uBF , obtenue durant
20 ms avec un oscilloscope à mémoire, donne
peu de renseignements sur le signal observé.
La continuité de la représentation fréquentielle
(figure 5.b) indique que la tension uBF est non
périodique. Elle comporte une infinité de composantes dont les fréquences sont comprises
entre 20 Hz et 20 kHz (échelle logarithmique
pour f ). Cette représentation donne plus de renseignements sur le signal observé que la représentation temporelle.
B. Propriétés des grandeurs périodiques
1. Décomposition d’une grandeur périodique
À l’oscilloscope, en position DC, nous observons la tension périodique u dans son intégralité (figure 6.a) ; en position AC, la composante continue étant supprimée, nous observons uniquement la
composante alternative uA (figure 6.c) de la tension u.
Une grandeur périodique peut donc être considérée comme la somme d’une grandeur constante,
égale à sa valeur moyenne, et d’une grandeur alternative correspondant à l’ondulation autour de
cette valeur moyenne, soit :
grandeur périodique =
u
=
3
u (V)
valeur moyenne + ondulation
<u>
+
uA
<u >
t (ms)
0
−1
=
2
1
0
1
t (ms)
1
Figure 6.a
uuAA
+0
1
−2
1
Figure 6.b
t(ms)
t (ms)
Figure 6.c
De plus, la grandeur alternative périodique uA (figure 7.a) peut être considérée comme la somme
d’une fonction sinusoïdale de même fréquence F que uA , appelée le fondamental (figure 7.b),
et de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de F, appelées harmoniques (dans notre
exemple : u3 de fréquence 3F, figure 7.c + ...), soit :
grandeur alternative périodique = le fondamental + les harmoniques
=
u1
+ u2 + u3 + u4 + ...
uA
2
0
uA
2
1
−2
t (ms)
u1
2
=0
t (ms)
1
−2
Figure 7.a
Figure 7.b
uu3 A
+0
1
−2
1
t(ms)
+ ...
t (ms)
Figure 7.c
En conclusion, nous pouvons énoncer que :
Loi
Toute grandeur périodique de fréquence F peut se décomposer en la somme :
• d’une composante constante égale à la valeur moyenne de cette grandeur ;
• d’une composante sinusoïdale de fréquence F appelée le fondamental (ou harmonique
de rang 1) ;
• de composantes sinuoïdales de fréquences f multiples de F (2F, 3F, . . . , nF), appelées
harmoniques de rang 2, 3,..., n.
12