Propriétés des grandeurs périodiques - Hachette

Propriétés des grandeurs périodiques
chapitre
1Propriétés des grandeurs
périodiques
Objectifs
•Ce chapitre a pour but d’utiliser la décomposition (en série de Fourier) des grandeurs périodiques
abordée en classe de première. Nous utiliserons à cet effet leurs représentations temporelle et
fréquentielle. Nous étudierons (en utilisant les résultats de la fiche mesure 1), la réponse d’un
circuit électrique linéaire à une grandeur périodique, dans les domaines temporel et fréquentiel.
1. INTRODUCTION
Le programme d’électronique de terminale porte essentiellement sur l’étude de montages ou de
circuits électriques qui effectuent le traitement des grandeurs électriques (amplification, opérations
mathématiques, filtrage, ...). Il est donc important de connaître les propriétés des grandeurs élec-
triques (courant, tension, puissance) que nous allons rencontrer, ainsi que le comportement d’un
circuit électrique linéaire ou non linéaire par rapport à de telles grandeurs.
Par exemple, le schéma fonctionnel du récepteur radio (figure 1), comporte une chaîne de fonctions
électroniques qui seront étudiées par la suite et un grand nombre de tensions de natures différentes.
SIGNAL
REÇUSIGNAL
UTILE
HP
Réception
du signal
uHF
TRAITEMENT DES SIGNAUX
Amplificateur
sélectif Démodulateur Amplificateur
audio-fréquence Amplificateur
de puissance
u1u2u3uBF
Antenne
Alimentation
continue
+Vcc
us−Vcc
0
Tension secteur
220V/50Hz Tension continues
d’alimentation
Figure 1
2. PROPRIÉTÉS DES GRANDEURS ANALOGIQUES
A. Représentation des grandeurs analogiques
1. Différentes formes de signaux analogiques
L’exemple choisi figure 1 comporte un grand nombre de grandeurs électriques (tension, courant,
puissance) de natures différentes, par exemple :
–la tension sinusoïdale usdu réseau E.D.F. (220 V/50 Hz);
–les tensions continues d’alimentation +Vcc,−Vcc ;
–la tension uHF (tension de forme complexe et non périodique) reçue par l’antenne;
–la tension basse fréquence uBF (non périodique) transmise au haut-parleur...
Toutes ces tensions évoluent de façon continue dans le temps, ce sont des grandeurs analogiques.
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Chapitre 1
2. Les grandeurs analogiques périodiques
Une grandeur est périodique si elle se reproduit identiquement àelle-même dans le temps, soit :
y(t)=y(t+T)=y(t+kT) quel que soit t,aveckentier.
La période est la durée constante Tqui sépare deux instants consécutifs, où la grandeur se
reproduit identiquement à elle-même. La fréquence Fest le nombre de périodes par seconde.
F=1
T
F: en hertz (Hz)
T: en secondes (s)
3. Représentations temporelle et fréquentielle d’un signal
Si nous observons une tension àl’oscilloscope, la courbe représentative de cette tension est une
fonction du temps : c’est la représentation temporelle (figures 2.a, 3.a, 4.a, 5.a).
Dans certains cas, cette représentation temporelle n’est pas suffisante pour caractériser totalement un
signal. Nous utilisons alors un analyseur de spectre qui nous renseigne sur les différentes fréquences
apparaissant dans la composition du signal : c’est la représentation fréquentielle (figures 2.b, 3.b,
4.b, 5.b).
Représentation temporelle Représentation fréquentielle
Tension continue : u=U0
0
YX: 1 V/div ; : 0,2 ms/div
Figure 2.a
Laformedelareprésentation temporelle (fi-
gure 2.a) montre que la tension uest constante
de valeur U0=1V:c’est une tension continue.
0
YX: 0,5 V/div ; : 1 kHz/div
Figure 2.b
La présence d’une seule raie sur l’axe des or-
données dans la représentation fréquentielle (fi-
gure 2.b) indique que la tension ucomporte une
seule composante de fréquence nulle et de valeur
U0=1V:c’est une tension continue.
Tension sinusoïdale : u1
0
YX: 1 V/div ; : 0,2 ms/div
Figure 3.a
0
YX: 0,5 V/div ; : 1 kHz/div
amplitude
Figure 3.b
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Propriétés des grandeurs périodiques
Laformedelareprésentation temporelle (fi-
gure 3.a) montre que la tension u1est sinusoï-
dale,depériode T=5×0,2·10−3=1ms,
d’amplitude  U1=2,5×1=2,5 V, et retardée
d’une duréet=0,2 ms par rapport àl’instant 0
pris comme origine des temps.
Nous pouvons calculer la fréquence, la valeur ef-
ficace et la phase àl’origine, soit :
F=1
T=1kHz; U1=
U1
√2=1,8V;
u1=−2pt
T=−2p 5.
L’écriture de la tension sinusoïdale u1dans le
domaine temporel est :
u1=U1√2sin(vt+u1)
La présence d’une seule raie dans la représenta-
tion fréquentielle (figure 3.b) indique que la ten-
sion u1comporte une seule composante sinusoï-
dale de fréquence F=1×103=1kHz,d’ampli-
tude  U1=5×0,5=2,5 V (ou de valeur efficace
U1=1,8V).
Nous pouvons calculer la période et la valeur ef-
ficace (ou la valeur maximale), soit :
T=1
F=1ms;U1=
U1
√2(ou 
U1=U1√2).
(Certains analyseurs de spectre indiquent égale-
ment la phase àl’origine u1).
L’écriture de la tension u1sinusoïdale dans le
domaine fréquentiel est :
U1=[U1;u1]
Tension périodique rectangulaire : u
0
YX: 1 V/div ; : 0,2 ms/div ; position DC
Figure 4.a
Laformedelareprésentation temporelle (fi-
gure 4.a) montre que la tension uest pério-
dique rectangulaire (deux motifs identiques sur
l’écran), de période T= 1 ms, de valeur maxi-
male  U= 3 V, de valeur minimale
U=−1V.
Lorsque nous plaçons le commutateur en posi-
tion AC, nous supprimons la composante conti-
nue, égale àla valeur moyenne de la tension u;
la courbe se décale vers le bas d’une division,
soit:<u>=1V.
0
YX: 0,5 V/div ; : 1 kHz/div
amplitude
Figure 4.b
La présence d’un spectre de raies (figure 4.b)
indique que la tension uest périodique.
C’est la somme d’une tension constante
U0=<u>=1V; d’une composante sinusoï-
dale de fréquence F=1kHzetd’amplitude
U1=2,5 V; de composantes sinusoïdales
de fréquences multiples de F(3 kHz, 5 kHz,
7 kHz, 9 kHz...) et d’amplitudes ( U3=0,85 V,
U5=0,51 V,
U7=0,36 V, U9=0,28 V...) qui
diminuent avec la fréquence.
Tension non périodique : tension uBF transmise au haut-parleur
0
YX: 1 V/div ; : 0,2 ms/div
Figure 5.a
0
10110
2103104
YX: 0,5 V/div ; : échelle logarithmique
valeur efficace
Figure 5.b
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Chapitre 1
La représentation temporelle (figure 5.a) montre
que la tension uBF est de forme complexe et non
périodique.
L’image stable de la tension uBF,obtenue durant
20 ms avec un oscilloscope àmémoire, donne
peu de renseignements sur le signal observé.
La continuitéde la représentation fréquentielle
(figure 5.b) indique que la tension uBF est non
périodique. Elle comporte une infinitéde com-
posantes dont les fréquences sont comprises
entre20Hzet20kHz(échelle logarithmique
pour f). Cette représentation donne plus de ren-
seignements sur le signal observéque la repré-
sentation temporelle.
B. Propriétés des grandeurs périodiques
1. Décomposition d’une grandeur périodique
Àl’oscilloscope, en position DC, nous observons la tension périodique udans son intégralité(fi-
gure 6.a) ; en position AC, la composante continue étant supprimée, nous observons uniquement la
composante alternative uA(figure 6.c)delatensionu.
Une grandeur périodique peut donc être considérée comme la somme d’une grandeur constante,
égale àsa valeur moyenne, et d’une grandeur alternative correspondant àl’ondulation autour de
cette valeur moyenne, soit :
grandeur périodique = valeur moyenne + ondulation
u=<u>+uA
=+0
−2
2
1
t(ms)
uA
0
−1
3u(V)
t(ms)
Figure 6.a Figure 6.b Figure 6.c
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0
1
t(ms) t(ms)
1
<>uuA
De plus, la grandeur alternative périodique uA(figure 7.a)peutêtre considérée comme la somme
d’une fonction sinusoïdale de même fréquence Fque uA, appeléelefondamental (figure 7.b),
et de composantes sinusoïdales de fréquences multiples de F, appelées harmoniques (dans notre
exemple : u3de fréquence 3F,figure 7.c + ...), soit :
grandeur alternative périodique = le fondamental + les harmoniques
uA=u1+u2+u3+u4+...
=++
...
000
−2−2−2
222
1
t(ms)
uA
t(ms)
1
t(ms)
t(ms)
11
u1u3
uA
Figure 7.a Figure 7.b Figure 7.c
En conclusion, nous pouvons énoncer que :
Loi Toute grandeur périodique de fréquence Fpeut se décomposer en la somme :
•d’une composante constante égale à la valeur moyenne de cette grandeur;
•d’une composante sinusoïdale de fréquence Fappelée le fondamental (ou harmonique
de rang 1);
•de composantes sinuoïdales de fréquences fmultiples de F(2F,3F,... ,nF),appelées
harmoniques de rang 2, 3,..., n.
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