cours_8_MQ - CPGE Brizeux

Introduction à la mécanique quantique
La physique quantique qui s’intéresse à décrire les systèmes microscopiques est aussi nécessaire pour
décrire le monde macroscopique ; propriétés des solides telle que leur conductivité ou leur capacité
calorifique ou leur propriétés magnétiques, spectres de raies ou spectre du corps noir, son importance
dépasse le cadre des laboratoires du CNRS , du CEA ou du CERN , des phénomènes surprenants tels la
supraconductivité ou les trous noirs, elle est à la base des dispositifs technologiques modernes tels que
DEL, LASER, ajourd’hui on peut dire tout est quantique ! Par un récapitulatif des découvertes
historiques, par une approche documentaire sur internet, par le visionnage et la discussion autour d’une
conférence de Claude Cohen-Tannoudji et avec quelques éléments de cours où on introduira le caractère
probabiliste de la description quantique, la dualité onde-corpuscule et où on énoncera l’inégalité de
Heisenberg en liaison avec la loi de diffraction et où on parlera évidemment de quantification mais aussi
d’énergie de confinement , on s’initiera à cette vaste physique moderne.
I) Les grands noms de la mécanique quantique
Max Planck, constante de quantification nécessaire pour calculer le spectre du corps noir
Niels Bohr, premier modèle de l’atome avec quantification, principe de complémentarité
Louis de Broglie, dualité onde corpuscule pour les particules matérielles,
Albert Einstein, interprétation de l’effet photoélectrique et du calcul de Planck, notion de photon
Erwin Schrödinger, équation aux dérivées partielles fondamentale de la MQ dont la solution est une fonction d’onde
dans l’espace de Hilbert (espace au sens mathématique)
Paul Adrien Dirac, équation MQ de l’électron relativiste
et seconde quantification (celle du champ électromagnétique)
http://perso.ens-lyon.fr/francois.delduc/Chapitre_2.pdf pour se faire peur et voir comme la physique moderne est abstraite et mathématique
Werner.K Heisenberg, relations dites d’incertitudes que l’on préfère aujourd’hui qualifier d’indétermination
Aussi formulation matricielle de la mécanique quantique
Eugene Paul Wigner, application de principes fondamentaux de symétrie au formalisme de la mécanique quantique
Wolfgang Pauli, principe d’exclusion explication de la structure électronique des atomes
théorie quantique des champs aussi
Max Born, interprétation statistique de la fonction d’onde
Shockley, Bardeen, Brattain : effet transistor
Landau, hélium liquide
Tomonoga, Schwinger, Richard Feynmann ; théorie quantique des champs diagrammes de Feynmann
renormalisation
Bardeen( à nouveau), Cooper, Schrieffer : théorie BCS supraconductivité
Murray Gell-Mann, Quarks
Wilson, transition de phase
Chandrasekar, évolution des étoiles
Rubbia ( cern) , découvre au cern les bozons W et Z transmetteurs de l’interaction faible
H. David Politzer, Frank Wilczek et David GrossLa chromodynamique quantique ou QCD, qui décrit l’interaction
forte,
Kastler, ENS physique atomique
Claude Cohen Tannoudji , piégeage d’atomes,
De Gennes, cristaux liquides matière molle
Albert Fert, magnétorésistance géante
Serge Haroche, limite quantique-classique
Higgs, prédiction du boson qui a été découvert depuis au cern
Le prix Nobel de physique 2014 récompense les ampoules LED, c’est encore de la mécanique quantique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Prix_Nobel_de_physique
Les prochains éléments du paradigme de la communauté des physiciens?
Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen expérience EPR réalisée par Alain Aspect
Stephen Hawking trous noirs quantique relativiste
Cordes Michael B. Green et John H. Schwarz
Théorie M, Edward Witten ?
Les espaces vectoriels de Hilbert ont été utilisés par les fondateurs de la mécanique quantique car il s’agit de la structure
adéquate sur laquelle les théories quantiques se calquent.
Cette utilisation des mathématiques par la physique même si elle est ancienne (Le livre de la nature est écrit en langage
mathématique Galilée) n’était pas historiquement systématique : Newton a par exemple inventé le calcul différentiel pour
interpréter la mécanique aujourd’hui dite mécanique classique (c’est à dire non quantique et non relativiste)
mais elle est de plus en plus courante aujourd’hui ; les physiciens utilisant les outils mathématiques avancés déjà inventés pour
décrire les résultats des expériences réalisées ou comme cadres dans lesquels ils proposent de nouveaux modèles, le plus
possible cohérent avec ceux déjà établis, nouveaux modèles que la réalité expérimentale confirmera ou infirmera quand elle le
pourra.
II) Approche documentaire mécanique quantique
Un cours introductif internet clic-clic
http://uel.unisciel.fr/chimie/strucmic/strucmic_ch01/co/observer_ch01_03.html
Des films de l’université de tous les savoirs
Aspect
http://www.canal-u.tv/video/universite_toulouse_ii_le_mirail/la_physique_quantique_a_l_epreuve_de_l_experience_alain_aspect.12026
http://www.canal-u.tv/video/science_en_cours/alain_aspect.172
Cohen-tannoudji
http://www.canal-u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs/le_refroidissement_d_atomes_par_des_faisceaux_laser.1069
Tenter d’écrire les équations qui décrivent les phénomènes physiques que Claude Cohen Tannoudji explique
Faire une recherche internet sur le fonctionnement du LASER
Haroche
http://www.canal-u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs/la_physique_quantique_serge_haroche.1065
Fert
http://www.canal-
u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs_au_lycee/le_monde_de_la_spintronique_electrons_spins_ordinateurs_et_telephones_albert_fert.5771
III) Technologie et mécanique quantique
Laser, CCD, transistor microprocesseur, horloge atomique ( donc GPS) , RMN, microscopie électronique microscopie
à effet tunnel microscopie à effet de champ, LED, aimants , différence métal isolant, Energie nucléaire,
cryptographie quantique ?
Compréhension de la nature physique des solides mécanique quantique appliquée à la matière condensée ;
Film http://www.toutestquantique.fr/#dualite
IV) Lumière
a) corps noir
1900 Max Planck l’énergie s’échange entre la matière et le rayonnement par multiples de h ou h est la constante
de Planck h=6.62606957 10-34 J.s
Einstein interprète cela comme l’énergie d’une particule sans masse le photon
b) effet photoélectrique
(Cathode en césium historiquement)
sous l’effet de la lumière des électrons peuvent être arrachés à condition que >
si on augment le nombre de photons en gardant <
c) diffusion Compton
seuil
e-
=W/h Ec=E-W =h( -
rien ne se produit
h ’
'
h
seuil
h
(1 cos )
me c
seui)>0
Le photon s’est comporté comme une particule, il y a eu collision avec un électron , cette expérience a achevé de
convaincre les plus réticents de la pertinence de la mécanique quantique. La théorie hors programme ci-dessous :
diffusion compton c'est la diffusion inélastique de la lumière par un électron d'un atome qui est alors éjecté de l'atome
X sur cible graphite
Il y a conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie mais pas de l'énergie cinétique
L'énergie et la quantité de mouvement du photon sont reliées par E = h
p = E/c
l'énergie d'une particule comme l'éelectrone est d'après la théorie relativiste p e ² c ² me ²c 4
ou pe est la quantité de mouvement de l'électron e me est la masse de l'électron, m e c ²
0.511Mev
Les conservations s'écrivent alors :
0 p1
pe
me c ²
p1c
h h
1
p2
4
p2 c
h
h
1
2
p e ²c ² me ²c
(1 cos )
2
h
(1 cos )
me c
2me c(
pe ²
p1 ²
p2 ² 2 p1 p2 cos
pe ²
( p1
p2 )² 2me c( p1
p2 )
p1 p2 (1 cos )
2me c( p1
p2 )
)
h
est appelée longueur d'onde compton
me c
d) Ordre de grandeur
soit un photon de longueur d’onde =500nm ( spectre visible) son énergie E=h =3.98 10-19J fait que avec une
ampoule de 100W on a 31020 photons par seconde
Technologie : sources de photons unique et photomultiplicateurs regarder sur le net comment c’est fait
e) Expérience des fentes de Young diffraction photon par photon
http://www.youtube.com/watch?v=MbLzh1Y9POQ
Principe de complémentarité Niels Bohr ; une particule ne peut pas à la fois se comporter comme une particule et
comme une onde ; Si on cherche à savoir par quelle fente le photon est passé on va modifier sa phase et la figure
d’interférence disparait.
Remarque : vous pouvez revoir le cours n°3 dans lequel le calcul de la figure d’interférence a été mené pour aboutir
à un interfrange I= λD/(2b) , (2b) étant la distance entre les deux fentes (et qu’il faut considérer comme un exercice
utile le programme exigeant ce calcul en seconde année)
C’est le champ électrique qui s’ajoute, l’intensité étant la valeur moyenne du carré du champ électrique total montre
des zones d’interférences constructives ou destructives
L’intensité en un point M de l’écran est :
I(M) = <E(M)2> = <[E1(M)+ E2(M)]2> = <E1²(M)+ E2²(M)+2 E1(M).E2(M)> = I1(M)+ I2(M)+2 E1(M).E2(M)
2 E1(M).E2(M) est le terme qui provoque les interférences
Dans le cours les champs électriques étaient notés s(t) comme signal
V) Matière
1) Dualité onde corpuscule
1923 Louis De Broglie à une particule de quantité de mouvement p on associe une onde de longueur d’onde
que
telle
h
si v<<c p=mv
p
C’est la généralisation de p=h /c=h/
découverte pour le photon à des particules massiques
2) Expérience de Davisson et Germer
1927
Diffraction d’un faisceau d’électrons par un cristal de nickel
Ec=54eV
v
2 Ec
me
4.35106 m / s
h
me v
c0
1.6810
10
m
3) Microscope électronique ;
il faut des lentilles électrostatique et magnétique
Dans un microscope électronique Ec =100Kev
v= 0.6 c0 2 remarques
Il faut que l’échantillon supporte cette énergie
Il faut utiliser des formules relativistes Ec=( -1)mec0²
p = me v avec
1
v²
1
c0 ²
=3.7pm !!!
mais en fait à cause des aberrations, on n’a pas une résolution supérieure aux distances interatomiques 10 -10m
4) Diffraction des neutrons
Plus massique donc quantité de mouvement plus importante avec une vitesse moins grande
Il faut même les ralentir par de l’eau lourde neutrons thermiques à 300K m n=1.67 10-26
Ec
3
kBT
2
v
2.73103 m / s
1.5 10
10
m
4) Interférences d’atomes, de molécules !! (De plus en plus gros objets mais pas encore
d’interférences avec des chats de Schrödinger)
Plus la longueur d’onde est courte plus il est difficile de mettre en évidence un comportement ondulatoire
5) Une expérience de diffraction électron par électron
http://www.hitachi.com/rd/portal/research/em/movie.html
I(M) est différent de I1(M)+I2(M) comme en optique physique
Principe de complémentarité à nouveau
6) Notion de fonction d’ondes
Equation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène problème indépendant du temps (stationnaire)
Le Laplacien Δ décrit une dérivée spatiale seconde , μ est la masse réduite du système électron proton proche de la
masse de l’électron, on reconnait aussi l’énergie potentielle électrostatique
.
associée à la force électrostatique
.
Le module au carré de la fonction d’onde la densité de
probabilité de présence
dP
2
(r , , ) d
2
(r, , ) r ² dr sin d d
Probabilité de trouver l’électron entre r et r+dr,
+d et entre et +d
et
Il apparait que les solutions de cette équation sont quantifiées à chaque énergie correspond un ensemble d’orbitales
possible (dégénérescence)
,
avec
,
Tout comme pour le problème des cordes vibrantes on a une solution qui est associée à une valeur d’énergie, on
disait modes de vibration.
La solution de l’équation de Schrödinger existe pour certaines valeurs de l’énergie E, ces valeurs E n sont associées à
des fonctions d’ondes ψn
Représentation graphique de ces probabilités, orbitales
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/transparentsX/2010/cours4.pdf
http://www.phys.ens.fr/~dalibard/transparentsX/2010/cours4.pdf
En mécanique quantique on abandonne la possibilité de connaitre avec une précision infinie une trajectoire
on peut seulement avoir accès à une probabilité de présence :
Einstein n'avait jamais aimé la Mécanique Quantique, bien qu'il ait joué un rôle de pionnier dans son élaboration. Il répugnait à l'idée
d'indéterminisme, inhérente au Principe d'Incertitude, et il avait exprimé son aversion par la formule "Dieu ne joue pas aux dés." La réponse
d'Hawking est la suivante : "Non seulement Il joue aux dés, mais Il les lance là où on ne peut pas les voir."
Une autre remarque de Hawking pour le plaisir :
A l'issue de leurs observations, les chercheurs ont conclue en 2009 qu'en tout état de cause, si le proton se désintègre, sa durée de vie doit être
supérieure à 10^34 années ce qui est une assez mauvaise nouvelle pour toutes les théories de grande unification.
interférences
Einstein n'avait jamais aimé la Mécanique Quantique, bien qu'il ait joué un rôle de pionnier dans son élaboration. Il répugnait à l'idée
d'indéterminisme, inhérente au Principe d'Incertitude, et il avait exprimé son aversion par la formule "Dieu ne joue pas aux dés." La réponse
d'Hawking est la suivante : "Non seulement Il joue aux dés, mais Il les lance là où on ne peut pas les voir."
Une autre remarque de Hawking pour le plaisir :
A l'issue de leurs observations, les chercheurs ont conclue en 2009 qu'en tout état de cause, si le proton se désintègre, sa durée de vie doit être
supérieure à 10^34 années ce qui est une assez mauvaise nouvelle pour toutes les théories de grande unification.
Retour sur l’expérience d’interférence électron par électron
Ψ1(M) est la fonction d’onde associée au passage de l’électron par la fente 1 pour aboutir au point M de l’écran
Ψ2(M) est la fonction d’onde associée au passage de l’électron par la fente 2
Ψ(M) est la fonction d’onde totale qui décrit l’expérience entière
||Ψ(M) ||² est la densité de probabilité de présence de l’électron
||Ψ(M) ||²dτ est la probabilité pour l’électron d’aboutir sur un élément de volume dτ proche d’un élément de
surface autour du point M de l’écran
(M )
1
2
1
(M )
1
(M )
2
(M ) *
le terme 2 Re(
1
2
(M )
(M )
2
2
(M )
1
2
(M )
(M ) *
1
2
(M )
(M ) .
2
1
(M ) *
(M )
2
2
(M )
1
(M ) *
1
( M )*
1
(M )
(M )
2
(M ) .
2
2
(M )
2
1
(M ) *
2 Re(
2
1
(M ) *
(M )
2
( M )*) est responsable des interférences
VI) Inégalités de Heisenberg
1) énoncé
La précision de la mesure de la position d’une particule est liée à la précision de la mesure de sa quantité de
mouvement par la relation suivante : Si on veut augmenter la précision d’une mesure d’une variable opn
dégrade la précision de la mesure sur la variable conjuguée
x px
1 10
2
34
J .s
1
t
2
2
les incertitudes sont définies par
t E
t
x kx
1
4
1
puisque p
2
puisque E
x
xdP( x)
x
( x) ² dx
x²
x
x
k
kdP(k )
k
(k ) ² dk
k²
k
k
k est la variable conjuguée de x
2
2
k
h
dP ( x)
x
x
dP (k )
k
k
2
2
( x ) ²dx
x²
x ²
(k ) ² dk
k²
k ²
( M )*)
On parle aujourd’hui d’indétermination quantique plutôt que de principe d’incertitude car il s’agit d’une
impossibilité fondamentale et pas d’un manque de précision de l’appareillage expérimental ( on est certain
qu’on aura jamais mieux que la limite Heisenberg)
2) L’inégalité de Heisenberg est une conséquence du fait que (k)=TF (x), hors programme
Claude Cohen-Tannoudji : [l’inégalité d’Heisenberg] n’a rien en elle-même de typiquement quantique. Elle ne fait qu’exprimer
une propriété générale des transformées de Fourier, dont il existe de nombreuses applications en physique classique. (la
diffraction par exemple).. Ce qui est quantique, c’est d’associer une onde à une particule matérielle et d’imposer à la longueur
d’onde et à l’impulsion de satisfaire la relation de De Broglie
On trouvera à la fin de ce cours la démonstration à laquelle Cohen Tannoudji fait référence , elle utilise des outils
mathématiques hors programme je la mets là pour quand vous serez plus grand en école d’ingénieur en espérant que mon cours
pourra encore vous servir parfois.
3) Caractère quantique ou pas d’un système physique
Pour un système macroscopique la petitesse de la valeur de h fait que la limitation posée par l’inégalité de
Heisenberg n’est pas perceptible, la mécanique classique s’applique
Grain de poussière 1 m=10-15 kg v=10-3m/s
précision de 10-8 sur la mesure de l’impulsion
p=10-26MKSA aucun appareil de mesure ne peut atteindre une
Considérons maintenant un électron d’un atome Modèle de Bohr p.r=
n.h/(2 )
p/p+ r/r=0
p/ r=p/r or p r>h/(4 )
pr
h
2
p
r
n
p
r
p r
n
h
2 r r²
r
h
4
2
r
r
1
l'incertitude relative sur la position ne peut pas etre petite pour les
2n
h
4
4) Lien entre la diffraction et l’inégalité d’Heisenberg
ε
a
Δx =a
p = hν/c
Or
Δpx= (hν/c) sin ε = (h/λ) sin ε
sin ε=λ/a
Donc Δpx = h/Δx
Δpx=(h/λ) (λ/a)
= (hν/c) sin ε = (h/λ) sin ε
E
5) Oscillateur harmonique énergie minimum
p²
2m
E
1
kx ²
2
x²
x
p²
E
2
p²
2m
car x
1
m
2
2m
1
m
2
2
0
x²
p²
p ² car p
p ²
x²
0
2
0
1
m
2
2m
2
x
0
2
0
or
p
2
x
2
2
E
x
1
m
2
2m
soit
²
4m
m
2
x
0
2
0
4
x
²
2
soit
8m
x
1
m
2
x ²
2m
2
0
et E0
0
x
dE
d x
2
1
2
0
quand
²
2
8m
x
3
m
2
0
x
x
0
0
pour répondre à la question posée est-ce que le minimum est toujours à l'intersection des deux courbes ?
le minimum
d
( f ( x)
dx
g ( x))
0 en x0 / à priori différente des solutions x1 de f(x)=g(x)
mais ici f(x)=a/x² et g(x)=bx² et alors -
2a
3
x0
2bx0
0 et
cela n'aurait pas été le cas avec f(x)=a/x 3 et g(x)=bx² -
Un traitement complet montre que E
(n
3a
x0
4
a
x1 ²
bx1 ² correspondent au meme point
2bx0
0 et
a
3
x1
bx1 ²
x 0 et x1 sont différents
1
)
2
On peut faire le même raisonnement avec l’atome d’hydrogène Cohen p 48
VII) Quantification énergie de confinement
Particule confinée dans un puits entre x=0 et x=l selon les modes de résonance des cordes vibrantes
2l
n
p²
l'énergie dans le puits est uniquement cinétique En
2m
selon La relation de De Broglie
2
h
En
En
2m
1
En
2
h
2l
n
2m
(2n 1)
n²
h²
8ml ²
n
0 n ' est pas possible
h²
8ml ²
plus petite fréquence absorbable
0
3
h²
8ml ²
E1
h²
8ml ²
VIII) Photons intriqués ; application cryptographie quantique
Un sujet actuel de mécanique quantique non traité
IX) Des images
Quand les atomes sont lents, on peut les observer longtemps, ce qui offre la possibilité de mesurer avec grande
précision la fréquence correspondant à une transition entre deux niveaux d’énergie atomiques.
Schematic graphs of three different kinds of field-effect transistor (FET) magnétisme aimants microscopiques
X) Complément hors programme pour lecture en école d’ingénieur.
prérequis :
transformée de Fourier et transformée de Fourier inverse 1D dans les livres de mathématiques ou de traitement du signal sont liées par les formules :
fˆ ( )
TF ( f (t ))
i2
f (t )e
t
dt
TFI ( fˆ ( ))
f (t )
h est en J.s dimension MLT -2 L T
ML2 T -1 on appelle ça une action
dans un livre de mécanique quantique on lira plutot :
1
ˆ (p)= 1
dxe ikx ( x)
( x) =
dpe
2
2
ˆ (p)
2
( x)
-
2
dx
la dimension de
le produit sacalaire entre fonctions est : <f,g>=
propriété on a f = fˆ
TF[f (k) ]
k
i2
-
2
soit
fˆ ( )
fˆ ( n ) ( )
L
( x)
n
i2
f 2 (t) =
par integration par parties
df
dt
2
=
-
2
t f(t)
t f (t )
2
et par la propriété TF[f (k=1) ]
1
4
t
2
i2
df*
(t) dt
dt
dt
² fˆ ( ) d
ML ²T
1
1
MLT 1 .
MLT
1
( x)
2
2
f 2 (t ) dt
k 1
t
soit
2
df*
(t) dt
dt
t f(t)
d f ²
dt
2
V1 . V2
2
t f (t )
1
t f ²
2
dt
2
df *
dt
dt
dt
1
2
f ² dt
0
1
16 ²
2
t
TF
t² f (t )
2
dt
df *
dt
dt
t
df *
d
dt
soit
1
4
1
4
ouf !
2
2
fˆ ( ) d
i2
2
2
soit
t
C’est pour un paquet d’ondes gaussien qu’on « touche » l’égalité
1
2
2
1
4
2
t
1
4
fˆ ( )
2
V1 .V2
1d f ²
1
dt
2 dt
2
t
n
df *
dt soit puisque f est normalisée
dt
2
4 ²
1
f(t) dt
-
ix
TF
alors l'inégalité de Schwartz donne
df *
1
dt puis par parseval
dt
4
2
f(t)f*(t)dt=
2
f ² dt
t
ˆ (p) donne effectivement 1
L
ˆ ( n ) ( p)
et
2
1
4
ikx
f (t )
f1 (t ) dt
2
1
2
f
ip
( ) n ˆ ( p)
f1 (t ) f 2 * (t ) dt
prenons f1 (t) = t . f(t) et
dpe
2
f(t)g*(t)dt
2
inégalité de Schwartz
1
( x) =
2
TF
(n)
2
ˆ (p) dp 1 on voit que la dimension de ˆ (p)est 1
p
-
fˆ ( ) d qui s'appelle théorème de Parseval
f(t) dt
en notation quantique on écrit TF
soit
ˆ (p)
1
( x) est
on a donc pas de problème de dimension puisque
ou
ikx
représente la densité de probabilté dans l'espace des impulsions i.e on a
comme 1
ainsi
fˆ ( )ei 2 t d
t
2
2
4 ² ² fˆ ( ) d
f ² dt
1
MLT
1