Chapitre 4 - ESCP Europe Gate

Chapitre 4 - La valeur de l’argent dans le temps
et l'actualisation des cash-flows

Plan
 Actualisation et capitalisation
 Calculs sur le taux d’intérêt et la période
 Modalités de calcul des taux d’intérêts
taux simples et composés
 taux précomptés et postcomptés
 taux proportionnels et taux équivalents

 Inflation et fiscalité
 Application des concepts
Calcul d'une annuité constante
 Tableau d'amortissement d'un emprunt
 Évaluation d'une obligation

1
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Capitalisation et actualisation
 Exemples :
 Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 1050 € dans un
an ?
 Préférez-vous recevoir 1 000 € maintenant, ou 200 € par an sur les
6 prochaines années ?
 Un ami vous emprunte 1 000 € et vous promet 3 remboursements
mensuels de 335 € chacun. Est-ce un bon ami ?
« Un euro aujourd’hui n’est pas égal à un euro demain »
2
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La capitalisation
 100
Placé au taux i pendant une année
100(1+i)
 Exemple :
 Vous placez une épargne de 1 000 € sur un compte bloqué qui


rapporte du 4% par an.
Au bout d'un an, vous aurez 1 000 (1+0,04) = 1 040 €
Au bout de deux ans, vous aurez 1 040 (1+0,04) = 1 081,6 €
soit 1 000 (1+0,04)²
 Les intérêts ont été capitalisés
3
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La capitalisation
Année
Valeur
0
1
2
1 000 1 000 × (1+4%) 1 000 × (1+4%)2
3
n
1 000 × (1+4%)3
1 000 × (1+4%)n
50 000
45 000
Valeur future de 1 000 à l'année 0
40 000
35 000
30 000
25 000
20 000
15 000
10 000
5 000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Année
4
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La capitalisation
 Au taux i constant, la valeur future (VF) ou valeur
acquise d'un montant X , capitalisée au taux i durant n
années est égale à :
VF = X × (1 + i )
n
5
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La capitalisation
Exemple
En 1626, Peter Minuit a acheté l’île de Manhattan aux
indiens pour des colifichets valant à peu près 24 dollars. Si
la tribu indienne avait plutôt demandé un règlement en
argent, et avait investi cet argent au taux de 6% capitalisé
annuellement, combien la tribu aurait-elle en l’an 2011, 385
ans après ?
6
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L'actualisation
 Je dois recevoir 1 000 € dans un an. Or, j’ai besoin d’argent immédiatement.

J’emprunte donc (à mon banquier, ou sur le marché monétaire).
 Quelle somme maximum puis-je emprunter, au taux de 4% ?
 La
somme S0 telle que les 1 000 € puissent rembourser dans un an le capital et
payer les intérêts. Au total, je devrai payer dans un an :
S1 = S0 × (1 + 4%)
 Comme S1 = 1 000 €, on a S0 =
1000
= 961.54€
(1 + 4%)
S0 correspond à la valeur actuelle (VA)
de 1 000 € perçus dans un an.
7
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L'actualisation
 Exemple
 Valeur actuelle de 2 000 € perçus dans 5 ans ?
 C'est une somme S0 telle qu'il m'est indifférent de recevoir S0 tout
de suite, ou 2 000 € dans cinq ans. Si je perçois S0 tout de suite, je
peux placer cette somme pendant cinq ans, au taux de 4% annuel.
Dans cinq ans, j'obtiendrai alors S0 × (1+4%)5. Cette somme doit
être équivalente à 2 000 € perçus dans cinq ans. On peut donc
déduire facilement S0 :

2000 €
S0 × (1+4%)5 = 2 000 € ⇔ S0 = (1+ 4%)5 = 1643.85 €
8
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L'actualisation
 La valeur actuelle VA d'un montant Xn versé dans n
années est de :
VA =
Xn
(1+ i )
n
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L’actualisation
 Exemple :
 Fred veut vendre sa vieille voiture. Son copain Didier est d’accord
pour l’acheter à 4 000 €, mais il souhaite ne payer cette somme à
Fred que dans deux ans. Si Fred peut placer son argent en
banque avec un taux de 8%, quel est la valeur de l’offre?
 Valeur Actuelle de 4 000 € perçus dans 2 ans ?
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Capitalisation d'une séquence de flux
Année
Valeur
0
1
2
3
1 000 1 000 1 000 1 000
n
1 000
n
Valeur future à
l’année n
1000× 14 
Valeur future à
l’année n
1000× 14 
Valeur future à
l’année n
n−1
1 000
11
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La capitalisation
d’une séquence de flux
 La valeur future (en t= n) d'une série de flux
monétaires différents (Xt), est obtenue à partir de la
capitalisation de chaque élément de la série. Avec i
constant, on obtient pour n années :
n
VF = ∑ X t × (1 + i )
n −t
t =1
12
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Capitalisation d’une séquence de flux
identiques A (« annuités »)
 La formule de valeur future
n
VF = ∑ A × (1 + i )n −t
t =1
 se simplifie en
(1 + i ) n − 1
VF = A ⋅
i
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Capitalisation d’une séquence d'annuités
 Exemple :
 Si vous placez 100 euros chaque année pendant les prochaines 20
années sur un compte rémunéré à 10%, en commençant à placer
dans un an, combien aurez-vous d’ici 20 ans ?
 Il s'agit de calculer la valeur future d'une séquence de 20 annuités
de 100 € placées sur un compte rémunéré à 10% par an.
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Un petit récapitulatif
 Vous allez avoir besoin de 50 000 euros dans dix ans.
Vous prévoyez de faire sept versements identiques
chaque année, en commençant dans trois ans, sur un
compte qui rapporte du 11% par an capitalisé
annuellement. Quel doit être le montant de chaque
versement annuel ?
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Actualisation d'une séquence de flux
Année
0
1
2
3
1 000 1 000 1 000 1 000
Valeur
Valeur actuelle
1 000
Valeur actuelle
1 000
 14 
Valeur actuelle
1 000
 14 2
Valeur actuelle
1 000
 14 n
n
1 000
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Actualisation d'une séquence de flux
 La valeur actuelle (en t= 0) d'une série de flux monétaires
différents (Xt), est obtenue à partir de l'actualisation de
chaque élément de la série. Les flux peuvent être positifs
ou négatifs
 Avec i constant, on obtient pour n années :
n
VA = ∑
Xt
t
t =1 (1 + i )
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Actualisation d'une séquence de flux
identiques A (« annuités »)
 La formule de valeur actuelle (en t= 0) d'une série de
flux monétaires :
n
Xt
VA =
t
t =1 (1 + i )
∑
 si on pose Xt = A, se simplifie en
1 − (1 + i )
VA = A ×
i
−n
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Actualisation d'une séquence
de flux identiques X
 Exemple :
 Il y a deux ans, un de vos oncles éloignés, imitant votre signature,
a réussi à emprunter une grosse somme d’argent à votre
banquier. Vous devez rembourser cet emprunt à raison de 5 000 €
par an, sur les 25 prochaines années. Les taux sont actuellement
de 6% par an. Si vous souhaitez tout rembourser immédiatement,
combien devrez-vous verser au banquier ?
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Le coût d'opportunité
 Taux d’emprunt ou taux de placement?
 En général le calcul d’une valeur actuelle suppose que le taux
d’emprunt et le taux de placement sont identiques.
 En réalité une entreprise ou un particulier font souvent face a des
taux d'emprunt et de placement différents.
 Dans cette situation il faut raisonner en coût d’opportunité.
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Le coût d’opportunité
 Exemple :
 Une année après, Fred n’a toujours pas vendu sa voiture, mais il

s’est hautement endetté sur plusieurs années pour acheter une
maison. Il paie un taux d'intérêt de 15% sur cet emprunt, et par
ailleurs, il peut placer de l'argent à 5%.
Fred à reçu deux offres pour sa voiture: une à 5 000 € payable
immédiatement et une à 5 500 € payable dans un an.
 Si
Fred peut rembourser une partie de son emprunt par anticipation,
quelle offre doit-il accepter ?
 Est-ce
que sa décision changera s’il ne peut pas rembourser une partie
de son emprunt avant l'échéance ?
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Trouver le taux d'intérêt
 Exemple:
 Votre banque offre de vous rendre 30 000 € dans 10 ans, si vous
investissez 15 000 € maintenant. Quel est le taux d’intérêt de ce
placement?
15 000 × (1 + i )10 = 30 000
1
30
000
i = 10
−1 = 210 −1 = 0.071773463
15 000
= 7.18%
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Trouver le taux d'intérêt
 Formule générale :
VF = VA × ( 1 + i)
VF
⇒
= ( 1 + i)n
VA
n
1
n
VF  VF
⇒ ( 1 + i) =
=

VA  VA 
n
VF
i=
−1
VA
n
23
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Trouver le taux d’intérêt
 Exemple :
 Votre cousine wallonne vous demande s’il vaut mieux acheter une
obligation à 995 euros, sachant qu’elle sera remboursée 1 200
euros dans cinq ans, ou bien placer son argent sur un compte
rémunéré.
 Quel est le taux d'intérêt (de fait, on parlera ici de taux de
rendement actuariel – TRA) de l’obligation ?
 De quelle information supplémentaire avez-vous besoin pour faire
votre choix ?
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Trouver la durée du placement
 Exemple :
 Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €.
 Si le prix de l’immobilier reste constant et vous pouvez placer votre
argent à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour
acheter cet appartement ?
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Trouver la durée du placement
 Solution générale
VF = VA × (1 + i ) n
⇔
(
VF
= (1 + i ) n
VA
)
 VF 
n
ln
 = ln (1 + i ) = n × ln (1 + i )
 VA 
 VF 
ln

VA
 = ln (VF ) − ln (VA)
⇔ n= 
ln (1 + i )
ln (1 + i )
⇔
ln( VF ) − ln( VA)
n=
ln(1 + i )
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Rappel sur le logarithme
 Les propriétés suivantes sont utilisés en finance:
e ln( x ) = x ( x > 0)
ln(e x ) = x
ln( x × y ) = ln( x) + ln( y )
ln( x / y ) = ln( x) − ln( y )
x
ln( y ) = x × ln( y )
ln( x + y ) ≠ ln( x) × ln( y )
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Trouver la durée du placement
 Solution de l’exemple :
 Vous voulez vous acheter un appartement qui coûte 1Million
d'euros, mais vous disposez seulement de 800 000 €. Si le prix de
l’immobilier reste constant et que vous pouvez placer votre argent
à 8% par an, combien de temps vous faudra-t-il pour acheter cet
appartement ?
 100 000 
ln

80 000 
n= 
= 2,89
ln (1 + 0,08)
Vous avez besoin d’environ trois ans
28
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Modalités de calcul des taux d’intérêts
 1. Intérêts simples et intérêts composés
 L’intérêt est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois et qu’il
est proportionnel à la durée du placement.
 Par opposition, capital et intérêts peuvent être additionnés pour
fournir un nouveau capital procurant de l’intérêt au cours de la
période suivante. La différence entre la valeur acquise et le capital
de départ est alors appelée intérêts composés.
29
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Modalités de calcul des taux d’intérêts
 2. Intérêts précomptés ou post-comptés
 Les intérêts sont à terme à échoir ou précomptés lorsque leur
montant est soustrait de la somme empruntée lors du prêt.
 On dit que les intérêts sont à terme échu lorsqu’ils sont postcomptés : Leur paiement intervient avec le remboursement de la
somme en fin de période.
30
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Modalités de calcul des taux d’intérêts
 Exemple:
 Vous placez une somme d'argent sur cinq ans à 3% par an avec

des intérêts simples à terme échu.
Quel est le taux annuel équivalent de ce placement, i.e. le taux
d'intérêt composé qui vous donne la même richesse dans cinq
ans?
 Exemple:
 La Banque A vous offre un prêt sur une année avec un taux
d'intérêt de 8% précompté. La Banque B offre 9% à terme échu.
Quelle est la meilleure offre?
31
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Modalités de calcul des taux d’intérêts
 3. Le cas des périodes inférieures à l’année : taux
équivalent et taux proportionnel
 Le taux d’intérêt est généralement donné en base annuelle. Il
existe plusieurs façons d'appliquer un taux annuel à des périodes
inférieures à l’année.
Le taux proportionnel
 Le taux équivalent

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Le taux proportionnel
 Souvent dans la pratique, les taux sont affichés en taux
proportionnels. Dans ce cas, pour un placement d’une
durée inférieure à une année, un simple pro rata du taux
d’intérêt annuel est versé. Par exemple le taux
proportionnel mensuel est
iA
im =
12
 Le taux proportionnel trimestriel est
iA
iT =
4
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Le taux proportionnel
 Exemple :
 Votre banquier accepte de vous prêter 10 000 € au taux annuel de
12%, avec un versement mensuel des intérêts.
 Calculez le taux proportionnel mensuel.
 Calculez quel montant d'intérêts devra être versé chaque mois.
 Si, au lieu d'exiger le versement des intérêts chaque mois, votre

banquier accepte que ces intérêts mensuels soient capitalisés, et
que le paiement se fasse au bout d'un an, combien devrez-vous ?
A quel taux d'intérêt annuel cela est-il équivalent ?
34
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Le taux équivalent
 Deux taux d’intérêt se rapportant à différentes périodes sont dits
équivalents si, avec capitalisation des intérêts, ils procurent des
valeurs futures identiques au terme de la même durée de
placement.
 Ainsi, par exemple le taux mensuel (im) équivalent au
taux d’intérêt annuel iA résulte de l’égalité suivante :
1 + i A = (1 + im )12 ⇔
im = (1 + i A )
1
12
− 1 = 12 (1 + i A ) − 1
35
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Le taux équivalent
 Le taux annuel équivalent au taux proportionnel dépend de la durée
du placement.
 En général le taux annuel équivalent iequ d’un taux affiché en taux
proportionnel iprop composé en n périodes est de
n
iequ
 i prop 
 − 1
=  1 +
n 

Le taux équivalent est toujours supérieur
au taux proportionnel.
La différence s'accroît avec la fréquence de capitalisation.
36
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Taux équivalent
Exemple: Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de
i=18% par an, capitalisé sur un nombre croissant de périodes
Fréquence de
capitalisation
Taux
proportionnel
Taux annuel
équivalent
1
18.00%
18.00%
2
9.00%
18.81%
4
4.50%
19.25%
12
1.50%
19.56%
52
0.35%
19.68%
365
0.05%
19.72%
1
 18 
= 1 +  −1
1 

2
 18 
= 1 +  −1
2 

4
 18 
= 1 +  −1
4 

12
 18 
= 1 +  −1
 12 
52
18 

= 1 +
 −1
52 

365
18 

= 1 +

365 

−1
37
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Taux équivalent
Taux équivalent annuel d’un taux proportionnel de i=18% par an, capitalisé
sur un nombre croissant de périodes
Fréquence de
capitalisation
Taux annuel
équivalent
365
19.7164%
3650
19.7212%
365
18 

= 1 +

365


3650
18 

= 1 +

3650 

…
infini
−1
−1
m

i

= Lim  1 +   − 1
m→∞ 
m  

19.7217%
Taux d'intérêt continu
= ei − 1
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Taux proportionnel et taux équivalent
 Exemple:
 La banque A propose d’emprunter à un taux de 6% par an
capitalisé semestriellement, la banque B offre 5.95% capitalisé
mensuellement et la banque C offre 5.9% capitalisé en continu.
 Quelle
est la meilleure offre?
39
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Taux équivalent et taux effectif
 Vous hésitez entre placer votre argent auprès d’une banque qui
vous servira un intérêt de 8%, capitalisé annuellement (Banca), et
une banque qui vous donnera un intérêt de 7,5% par an, capitalisé
quotidiennement (Banco).
 En
vous fondant sur les taux effectifs annuels, quelle banque
choisissez-vous ?
 Banca ne vous propose ce taux d’intérêt que si vous vous engagez
à laisser votre argent bloqué sur une année. Si vous retirez votre
argent avant la fin de l’année, vous perdrez les intérêts de l’année.
 Comment
allez-vous intégrer cette information supplémentaire dans
votre prise de décision ?
40
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Taux d'intérêt et inflation
 Le taux nominal exprime le rendement en argent. C’est le taux

généralement indiqué.
Pour connaître l'augmentation de votre pouvoir d'achat dans un
environnement inflationniste il convient de calculer le taux réel.
1+ taux réel = 1 + taux nominal
1 + taux d' inflation
 Approximation:
taux réel ≈ taux nominal - taux d' inflation
Toujours actualiser des flux nominaux avec le taux nominal
et les flux réels avec le taux réel.
41
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T aux d'intérêt et fiscalité
 L’impôt sur les bénéfices (pour les sociétés) ou sur le revenu (pour

les décisions personnelles) réduit la rémunération après impôt de
votre placement.
Votre rémunération nette d’impôt (ou rémunération après impôt)
représente ce que vous recevrez réellement après avoir payé
l’impôt sur cette rémunération.
Taux d’intérêt après impôt =
Taux d’intérêt avant impôt x (1–Taux d’imposition)
42
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Taux d’intérêt et fiscalité
 Exemple :
 Vous êtes imposé à 30% sur vos revenus.
 Vous placez 1 000 € sur un compte qui rapporte du 8% annuel.
 Quel
est le taux de rémunération effectif de votre placement ?
43
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Évaluation d'une obligation
 Définition :
 Une obligation est un titre de dette, émis par une
société ou par l’Etat, avec les caractéristiques
suivantes :
 montant emprunté (nominal)
 taux d'intérêt (taux nominal)
 modalité de paiement des intérêts (coupons)
 échéance (ou maturité)
44
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Évaluation d'une obligation
 Exemple :
 Emission d'un emprunt obligataire avec les
caractéristiques suivantes :





nominal 1000 euros
taux nominal 5,625%
échéance 5 ans
paiement des coupons chaque année
remboursement à l'échéance
45
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Évaluation d'une obligation
0
1
2
56,25 56,25
3
4
56,25 56,25
5
56,25
+ 1 000
Si le taux du marché obligataire est à 5,625% :
VA =
56,25
56,25
56,25
1 000
+
+
...
+
+
1 + 5,625% (1 + 5,625%) 2
(1 + 5,625%)5 (1 + 5,625%)5
5


1
1 000
= 56,25 ⋅ ∑
+
k
5
k =1(1 + 5,625%)  (1 + 5,625%)

1 − (1 + 5,625%) −5
1 000
= 56,25 ⋅
+
=?
5
5,625%
(1 + 5,625%)
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Évaluation d'une obligation
0
1
2
3
56,25 56,25
4
5
56,25 56,25
56,25
+ 1 000
Si le taux du marché obligataire passe à 6%,
comment va évoluer la valeur actuelle de
l'obligation ?
56,25
56,25
56,25
VA =
1 + 6%
+
(1 + 6%) 2
+ ... +
(1 + 6%)5
+
1 000
(1 + 6%)5
5


1
1 000
= 56,25 ⋅ ∑
+
k
5
(
1
+
6
%)
k
=
1

 (1 + 6%)
1 − (1 + 6%) −5
1 000
= 56,25 ⋅
+
=?
5
6%
(1 + 6%)
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Évaluation d'une obligation
 Quand les taux montent, le cours des obligations
ordinaires (« à coupons ») baisse, et inversement.
 Explication en terme de Valeur Actuelle
 Explication en terme de bon sens
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