Exercice 1. Evaluation d`une quantité de travail en fonction de F(x

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Exercice 1. Evaluation d'une quantité de travail en fonction de F(x)
On comprime de l’air dans une chambre à air de vélo à l'aide d'une pompe. L'ensemble pompe + chambre à air
est modélisé par
l'ensemble cylindre + piston ci-dessous :
La force exercée par notre main sur le piston varie de la façon décrite ci-dessus en fonction de x.
Quel est le travail développé par notre main lors d'un déplacement de x 1 à x2 ?
Exercice 2. Evaluation d'une quantité de travail en fonction de P(V)
On reprend le dispositif de l'exercice 1 précédent en changeant tout simplement l'origine des x :
La force exercée par notre main sur le piston varie de la façon décrite ci-dessus en fonction de x.
1. Donnez l'évolution de la pression P de l'air en fonction du déplacement x du piston.
2. Donnez l'évolution de la pression P de l'air en fonction du volume V d'air dans le cylindre.
3. Déduisez de la question précédente le travail reçu par l'air.
Exercice 2 : Etude d’une compression.
Une masse d’air de 1 kg subit la transformation suivante :
état initial : P1 | 105 Pa (pression atmosphérique).
V1 | 0,9 m3
état final : P2 | 4,5.105 Pa
V2 = ?
La transformation 1-2 est telle que le produit P.V = Cte.
1. Tracez avec précision, sur une feuille quadrillée, la courbe représentative de la transformation dans le plan
P(V).
2. Calculez le travail échangé lors de cette transformation, d'une part graphiquement et d'autre part
algébriquement. (on
rappelle qu'une primitive de 1/x est ln x).
3. Est-il nécessaire d'apporter de l'énergie motrice pour réaliser cette transformation ?
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Exercice 3 : calcul du travail échangé lors de trois transformations différentes.
On effectue, de 3 façons différentes, une compression qui amène du diazote N2 (| air) de l'état 1 (P1 = Po | 1 bar,
V1 = 3.Vo) à
l'état 2 (P2 = 3.Po, V2 = Vo | 1 litre).
La première transformation est isochore (volume constant) puis isobare (pression constante), la seconde est
isobare puis
isochore, la troisième est telle que P.V = Cte.
1. Représentez dans le plan P(V) les 3 transformations.
2. Quelles sont les travaux reçus dans les 3 cas ?
3. Quelle transformation choisira -t -on si l'on veut dépenser le moins d'énergie motrice ?
Rép : 2 : | 600 J, 200 J, 329 J ; 3 : la seconde.
Exercice 5 :
On reprend les 2 premières transformations de l'exercice précédent de manière à réaliser un cycle : on effectue
donc une
compression qui amène du diazote N2 (| air) de l'état 1 (P1 = Po | 1 bar, V1 = 3.Vo) à l'état 2 (P2 = 3.Po, V2 = Vo |
1 litre).
Puis on force le gaz à revenir à son état initial grâce à une détente isochore puis isobare.
1. Quel est le travail échangé par le gaz avec l'extérieur ?
2. Est-ce qu'un tel cycle nécessite l'apport d'un travail de l'extérieur pour pouvoir être exécuté ?
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Exercices sur le premier principe de la thermodynamique.
Exercice n°1 : Chaleurs et travaux échangés avec l'extérieur.
On effectue de 3 manières différentes une compression qui amène un mélange air - essence de l'état 1 à l'état 2
avec :
état 1 : P1 = 1 bar
V1 = 3 litres
état 2 : P2 = 3 bars
V2 = 1 litres
La première évolution est isochore puis isobare, la deuxième est isobare puis isochore, la troisième est isotherme
(P.V = Cte)
1. Représentez les 3 transformations en coordonnées de Clapeyron.
2. Sachant que l'on a ΔU = CV.ΔT pour ce gaz (10), calculez ΔU (variation d'énergie interne entre les états 1 et
2).
3. Calculez les travaux dans les 3 cas. Déduisez - en les chaleurs échangées : sont - elles reçues ou évacuées ?
Rép : 2 : 0 J ; 3 : 600 J ; 200 J ; 327 J ; -600 J ; -200 J ; -327 J.
Exercice n°2 : élévation de température d'un tube de mercure retourné plusieurs fois.
Un tube cylindrique de verre calorifugé a un diamètre D ≈ 3cm, une hauteur H ≈ 1,1 m et contient une masse M
≈ 1 kg de
mercure (masse volumique ρ ≈ 13600 kg.m-3, chaleur massique C ≈ 138 J.kg-1 ) à la température T 1. Le tube
étant vertical, on le
retourne 50 fois et on constate que la température du mercure s'est élevée de ΔT.
1. Calculez le travail développé par la masse M de mercure (on donne l'accélération due à la pesanteur g ≈
9,81 m.s-2).
2. Calculez alors la variation d'énergie interne du mercure.
3. Calculez la variation de température ΔT sachant que toute le travail a servi à échauffer le mercure.
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Exercices sur le travail, la chaleur et l'énergie interne des gaz parfaits.
Exercice 1 : volume utile d'une bonbonne de gaz sous pression
On dispose d'une bouteille de gaz carbonique (CO2) de 0,5 L comprimée à 2 bars (2000 hPa) destinée à
l'aquariophilie
(alimentation des plantes aquatiques). La sortie de la bouteille est reliée à un tuyau qui plonge à environ 1 cm en
dessous de la
surface de l'eau d'un aquarium. Quelle quantité de CO2 peut-on en extraire si on ouvre lentement la bouteille ?
Exercice 2 : compression adiabatique.
On effectue une compression de 1 bar à 10 bars d' 1 litre d'air (G.P.) pris initialement à la température ambiante
(20°C). Cette
compression est suffisamment rapide pour que le récipient renfermant l'air n'ait pas le temps d'évacuer la chaleur
pendant la
compression. On donne 1,40, r 287 J.K-1.kg-1 et cV 720 J.K-1.kg-1 pour l'air.
1. Calculer la température finale de la masse d'air.
2. Déduisez en son volume final et sa variation d'énergie interne.
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Exercice 3 : quelques calculs simples.
Un volume d'air (gaz parfait) de 20 litres à la pression atmosphérique Po 1013 hPa et à To 0° C subit les
deux transformations suivantes
transformation 1-2 : compression isochore. L'air est chauffé jusqu'à ce que sa pression soit égale à 3Po.
transformation 2-3 : expansion isobare. L'air est chauffé jusqu'à ce que sa température atteigne 600 °C.
On donne pour l'air : masse molaire M 29 g/mole, Cv 708.J.K-1.kg-1 , 1,40 et R 8,32 J.K-1.mol-1.
1. Quelle est la température atteinte par l'air à la fin de la transformation 1-2 ?
2. Calculez la masse m d'air et déduisez - en la variation d'énergie interne de l'air dans la transformation 1-2.
3. Quel est le volume occupé par l'air à la fin de la transformation 2-3 ?
4. Calculez la variation d'énergie interne de l'air dans la transformation 2-3.
Exercice 4 : Compression et travail.
On comprime isothermiquement jusqu'à la pression de 20 bars 1m3 d'air se trouvant initialement dans les conditions normales
(rappel : To 273 K, Po 1013,25 hPa). On admet que l'air se comporte comme un gaz parfait (R 8,32 J.K-1.mol-1)
1. Quel est le volume final de l'air ?
2. Calculez le travail de compression et la quantité de chaleur cédée par le gaz au milieu extérieur.
La masse d'air est ramenée à la pression P 2 1 bar par une détente adiabatique (PV= Cte avec 1,42 pour
l'air).
3. Déterminez le volume V2 et la température T2 du gaz après la détente.
4. Calculez le travail fourni au milieu extérieur et comparez - le au travail fourni au gaz pendant la
compression
isotherme. Interprétez les résultats en utilisant le diagramme de Clapeyron.
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Exercice 5 : cycle, travail et chaleur.
Une certaine masse d'air est enfermée dans un corps de pompe dans les conditions initiales (point A en
coordonnées de Clapeyron) P1 1 bar, V1 0,010 m3, T1 273 K. On lui fait subir une série de transformations
représentées par le rectangle ABCD ci - dessous. L'ordonnée de B est P2 = 2·P1, l'abscisse de D est V2 = 2·V1.
On donne :
chaleur massique de l'air à pression constante : Cp 992 J.K-1.kg-1 ;
constante des gaz parfaits R 8,31 J.K-1.mol-1.
Cp/Cv ≜ 1,42 ;
Masse molaire de l'air M 29 g/mole.
2. Déterminez la température de l'air dans les états B, C et D.
3. Calculez la masse d'air m mise en jeu et déduisez - en les quantités de chaleur mises en jeu pendant les
transformations
AB, BC, CD et DA.
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Exercices récapitulatifs du cours de thermodynamique .
Exercice 6 : cycle Diesel.
On considère un moteur à combustion interne fonctionnant suivant le cycle Diesel représenté en annexe.
A1A2 : compression adiabatique réversible de l'air caractérisée par le rapport volumétrique :
x= V1V2
A2A3 : injection du carburant finement pulvérisé dans l'air comprimé et chaud provoquant son inflammation. La
combustion
se produit à pression constante.
A3A4 : détente adiabatique réversible des gaz.
A4A1 : ouverture de la soupape d'échappement, ramenant instantanément la pression à P1 , les gaz subissant un
refroidissement isochore.
La quantité de carburant injecté étant faible devant la quantité d'air aspiré, on considérera que le nombre total
de moles n'est pas modifié par la combustion.
On assimile les gaz à un gaz parfait de constante R = 8,32 J.K -1.mol-1, de capacité thermique molaire à pression
constante
Cp = 29 J.K-1.mol –1.On donne : ,  = 1,40.
On étudie les transformations subies par une mole de gaz parfait.
1 - Ce gaz est admis dans les cylindres à la pression P1 = 1 bar = 1,0 x 105 Pa et à la température T1 = 330 K.
a - Calculer le volume V1
b - Calculer la pression P2 et la température T2 en fin de compression sachant que x = 14.
2 - En fin de combustion, la température du gaz est T3 = 2 260 K. Calculer le volume V3 et la chaleur Q23 reçue par ce
gaz au cours de la transformation A2A3.
3 - Calculer la pression P4 et la température T4 en fin de détente.
4 - a - Calculer la quantité de chaleur Q41 reçue par le gaz au cours de la transformation isochore.
b - En appliquant le premier principe, calculer le travail fourni par le moteur au cours d’un cycle.
c - Calculer le rendement de ce moteur thermique.
RAPPELS :
Le rendement d’un moteur thermique est l e rapport entre le travail fourni par les gaz au cours d’un cycle et la quantité
de
chaleur reçue par les gaz au cours de la phase de combustion.
Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible d’un état A (PA , VA , TA) à un état B (PB ,
VB , TB), on peut écrire :
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Exercice 7 :
Le fonctionnement du moteur à explosion peut -être modélisé par le cycle théorique de Beau de Rochas. Ce cycle
représenté
dans un diagramme de Clapeyron, peut se décomposer en quatre temps :
premier temps , est une compression adiabatique réversible AB du mélange combustible avec un rapport
volumique a =VA/VB.
le deuxième temps est une compression isochore BC, résultant de la combustion du mélange.
le troisième temps est une détente adiabatique réversible selon CD. En D, le piston est au point mort bas :
VD = VA.
le quatrième temps est un refroidissement isochore DA.
La quantité de carburant injecté étant peu importante par rapport à celle
QUESTIONS :
1- Compléter l’allure du cycle
2- Déterminer la valeur des volumes VA et VB aux points A et B.
3- Calculer la pression PB et la température TB au point B
4- Exprimer, en fonction des températures aux extrémités du cycle, les quantités de chaleur algébriques Q AB, QBC,
QCD, QDA, échangées avec le milieu extérieur au cours de chacune des quatre phases. Calculer leurs valeurs
numériques. En déduire par application du Premier Principe, la valeur algébrique W du travail fourni à l’air au cours
du cycle .
5- Le rendement du cycle s’exprime par :
Calculer sa valeur numérique
Données :
Constante des gaz parfaits :
R = 8,32 J.mol -1.K-1
Capacité Thermique molaire de l’air à pression constante : Cp = 29 J.mol-1.K-1
Capacité thermique molaire de l’air à volume constant : Cv
Valeur du rapport
= Cp/Cv , = 1,40
Valeurs de la pression , et de la température aux extrémités du cycle :
PA = 105 Pa PC = 62. 105 Pa, PD = 4,08.105 Pa
TA = 300 K TC = 2,65. 103 K TD = 1,21. 103 K
On rappelle que lors de la transformation adiabatique réversible d’un gaz parfait P.V = Constante
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Exercice 8 :
L’étude porte sur un moteur thermique (type Diesel). La conversion d’énergie est assuré e par de l’air qui décrit le
cycle représenté en figure 2 sur l’annexe, en coordonnées de Clapeyron P(V). Chaque transformation est considérée
comme réversible. Les trajets 1-2 et 3-4, sont adiabatiques.
État 1 : P1 = 1 Bar = 105Pa
T1 = 300 K
État 2 : V1/V2= 14
État 3 : T3 = 1340 K
État 4 : T4 = 556 K
Les calculs porteront sur une mole d’air.
Il est rappelé que R = 8,34 J.mol -1.K-1, et que, pour l’air, = Cp/Cv = 1,4 . On donne en outre : C v = 20,8 J.mol-1.K-1
.
1) Montrer que T2 = 862 K. On rappelle que pour une transformation adiabatique :
P. = Cte
T.
= Cte.
2) Pourquoi T3 est-elle la température la plus élevée sur le cycle ?
3) Déterminer la quantité de chaleur échangée par une mole d’air au cours de chaque transformatio n :
a) sur le trajet 1-2.
b) sur le trajet 2-3.
c) sur le trajet 3-4.
d) sur le trajet 4-1.
4) Quelle est la variation de l’énergie interne de l’air qui décrit un cycle ?
Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un cycle et en déduire la val eur algébrique W du travail
reçu par une mole d’air au cours d’un cycle.
5) Déterminer le rendement théorique du moteur.
6) Le rendement réel n’est que de 0,45. Le fuel utilisé dégage 45 103 kJ par litre lors de la combustion. Sachant que
ce moteur consomme 1 litre de fuel par heure, calculer le travail mécanique qu’il fournit en une heure et sa puissance
mécanique.
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