ch2 modélisation de l`atmosphère par beau temps

modélisation électrique de l'atmosphère par beau temps
On représente l'atmosphère par beau temps par le milieu contenu entre les armatures d'un
condensateur, qui sont d'une part le sol, supposé parfaitement conducteur, et l'ionosphère, zone
conductrice située à l'altitude H, assimilée également à un plan parfaitement conducteur. On appelle S
la surface des armatures et Oz l'axe vertical ascendant.
z
10−9
-1
F.m
ce milieu est de permittivité ε 0 =
36π
sa conductivité est
γ = γ 0e
z
a
ionosphère
H
sol
O
( γ 0 et a constantes )
il est parcouru par un courant ascendant I 0 réparti
uniformément sur la surface S
I0
données numériques : H = 50,0 km a = 4,00 km
14
2
S = 5,09 10 m I 0 = -1500 A (signe !)
1. étude des champs de vecteurs et du potentiel
r
j . Que peut-on en dire ?
r
1.2 exprimer le vecteur champ électrique E en fonction de l'altitude z.
1.1 exprimer le vecteur densité de courant
1.3 au niveau du sol E(z=0) = -100 V.m . En déduire la valeur de γ 0 .
1.4 calculer la différence de potentiel entre un point d'altitude z = 1,80 m et le sol. Pourquoi un
homme debout n'est-il pas électrocuté ?
-1
2. étude des charges portées par les "armatures"
2.1 exprimer, puis calculer numériquement la charge surfacique
charge totale Q0 correspondante.
2.2 exprimer, puis calculer numériquement la charge surfacique
supérieure, et la charge totale QH correspondante.
σ0
portée par le sol, et la
σH
portée par l'armature
3. étude de la charge contenue dans l'atmosphère
3.1 exprimer à partir du champ électrique la charge volumique ρ(z) de l'atmosphère. en
déduire sa valeur numérique au voisinage du sol.
3.2 calculer la charge totale Qa contenue dans l'atmosphère (armatures non comprises)
3.3 retrouver ce résultat d'une autre façon en se servant du résultat de la question 2..
4. calcul de la résistance de l'atmosphère
4.1 exprimer , puis calculer la différence de potentiel VO - VH.
4.2 la résistance de l'atmosphère est définie par R =( VO - VH) /IO ; exprimer, puis calculer R.
4.3 est-il nécessaire que la valeur de H soit connue avec une grande précision? justifier.
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(d'après INA-INSA)
modélisation électrique de l'atmosphère par beau temps
1. étude des champs de vecteurs et du potentiel
1.1on est ici en régime indépendant du temps, l'équation de conservation de la charge donne
r ∂j
r
r
div j = z = 0 donc j est à flux conservatif ; par ailleurs le courant s'obtient en calculant le flux de j
∂z
(qui ne dépend ni de x ni de y),à travers une surface orientée vers le haut :
r I0 r
r r
k ; ce champ est uniforme.
I 0 = j.Sk soit j =
S
r
r
1.2 le milieu suit la loi d'ohm donc j = γE , en orientant la surface traversée par le courant vers le haut
r
on obtient: j =
r
r
r
I
I0 r
−z / a
k
k = γ 0 e z / a E ce qui donne E = 0 e
γ 0S
S
-1
1.3 au niveau du sol, E0 = -100 V.m on en déduit avec
A.N. γ0 = 2,95 10
-14
Ω .m
-1
r
I r
E (0 ) = 0 k :
γ 0S
γ0 =
I0
E 0S
-1
1.4 différence de potentiel entre un point d'altitude z = 1,80 m et le sol: on utilise la relation
z
z1
1
r r
V(z1) − V (0) = − E.d l
∫
qui donne : V(z1) − V (0) = −
0
I0
∫ γ Se
0
−z / a
dz = a
0
I0
I z
(e − z1 / a − 1) ≈ −a 0 1 car z1<<a
γ 0S
γ 0S a
A.N V(z1) -V(0) = 180 V
un homme debout ne serait pas électrocuté car sa conductivité étant bien plus élevée que celle de
l'atmosphère, il se comporte pratiquement comme un conducteur, donc surface équipotentielle au
potentiel du sol (0 V)
2. étude des charges portées par les "armatures"
2.1 charge surfacique σ 0 portée par le sol :
au voisinage du sol, supposé être parfaitement conducteur, on trouve la charge surfacique en
appliquant le théorême de Gauss à un petit cylindre très plat contenant la charge σ 0 ds (voir cours) ;
r
on retrouve ainsi le théorême de Coulomb : E(0) =
-10
A.N. σ 0 = -8,84 10
C.m
-2
σ0 r
k et σ 0 =ε0E0 (<0)
ε0
Q0= σ 0 S=ε0E0S (<0)
3
Q0= -450 10 C
2.2 charge surfacique σ H portée par l'armature supérieure :
de la même façon pour l'armature supérieure, mais cette fois, la normale à la surface est dirigée vers
le bas, d'où le signe "-" qui apparaît :
r
r
σ
E (H) = H (− k ) qui donne : σ H = −ε 0 E(H) = −ε 0 E 0 e − H / a (>0)
ε0
-15
A.N. σ H = 3,29 10
C.m
-2
-H/a
et QH= σ H S=-ε0E0e
S ( >0)
QH= 1,68 C
on remarque que Q0 + QH ≠ 0, ce n'est pas un condensateur, car il y a un milieu conducteur entre les
armatures;
3. étude de la charge contenue dans l'atmosphère
3.1 charge volumique ρ(z) de l'atmosphère, valeur numérique au voisinage du sol.
r
en utilisant la relation de Maxwell-Gauss : divE =
et au voisinage du sol : ρ(z ) = −
ε I
∂E
ρ
il vient : ρ( z) = ε 0 z = − 0 0 e − z / a
∂z
aγ 0 S
ε0
ε0I0
z
z
(1 − ) = ρ 0 (1 − )
aγ 0 S
a
a
avec ρ0 = 2,21 10
-13
C.m
-3
3.2charge totale Qa contenue dans l'atmosphère (armatures non comprises):
Qa =
∫∫∫
ρ(z)dτ = −
atm
ε0I0
aγ 0 S
H
∫e
−z / a
Sdz = −
0
[
ε0I0
(−a ) e −z / a
aγ 0
]
H
0
=
[
]
ε 0 I 0 −H / a
ε I
e
− 1 ≈ − 0 0 car H>>a
γ0
γ0
3
A.N. Qa = 450 10 C
3.3 retrouvons ce résultat d'une autre façon : en prenant une surface de gauss entourant
complètement le milieu conducteur, et passant à l'intérieur des "armatures", (où le champ électrique
est nul), on obtient un flux total nul; donc la charge totale Qa + Q0 +QH contenue dans cette surface
doit être nulle, soit
-H/a
Qa = -Q0 -QH = -Sε0 E0(-e
+1)
on retrouve bien la même expression car E 0 =
I0
γ 0S
4. calcul de la résistance de l'atmosphère
4.1 la différence de potentiel VO - VH se calcule comme au 1.4:
0
V(0) − V(H) = −
I0
∫ γ Se
H
0
−z / a
dz = a
I0
aI
(1 − e − H / a ) ≈ 0 car H>>a
γ 0S
γ 0S
4.2 résistance de l'atmosphère définie par R =( VO - VH) /IO :
R=
a
a
(1 − e − H / a ) ≈
γ 0S
γ 0S
A.N. R = 266 Ω
-H/a
4.3. Dans la mesure où H intervient dans le terme e
soit connue avec une grande précision
<< 1 , il n'est pas nécessaire que sa valeur
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