Cet exercice comporte volontairement plus de

Cet exercice comporte volontairement plus de questions que vous ne pouvez en traiter dans le temps imparti. La raison en
est que votre enseignant n’a pas forcément traité l’ensemble du programme correspondant.
Règles :
Vous devez répondre à 30 questions au choix parmi les 40 proposées, pour obtenir le score maximal.
Si vous traitez plus de 30 questions, seules les 30 premières seront prises en compte.
Il y a une seule réponse exacte par question. Seule la lettre correspondant à la réponse exacte est exigée.
L’usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit.
Afin d’éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de trois points, tandis que chaque
réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point.
1. Soient p : x 7→ 2x + 1 et q : x 7→ x2 + 2. p(q(2)) =
9. Si f ′ est définie par f ′ (x) = x(x − 4)2 alors :
a) 13 ;
b) 27 ;
c) 30 ;
a) f admet un extremum local en 0 et un autre en 4 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
b) f admet un extremum local en 0 mais pas en 4 ;
2. Pour tout réel x, (2x − 3)3 =
a) 8x3 − 36x2 + 54x − 27 ;
c) −(2x + 3)3 ;
3.
b) 8x3 − 27 ;
1
d) (3 − 2x)3 .
=
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+1 8
5
13
a) ;
b)
;
c)
;
8
13
21
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
1+
Dans les sept items suivants, f désigne une fonction définie
et dérivable sur R et f ′ sa fonction dérivée.
4. Si f est strictement décroissante sur [0; +∞[ alors :
a) (−f ) est strictement décroissante sur ] − ∞; 0] ;
b) (−f ) est strictement croissante sur [0; +∞[ ;
c) f est à valeurs strictement négatives sur [0; +∞[ ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
5. Si f est strictement décroissante sur [0; +∞[ alors :
a) f ′ est à valeurs négatives sur [0; +∞[ ;
b) f ′ est à valeurs strictement négatives sur [0; +∞[ ;
c) f ′ est strictement décroissante sur [0; +∞[ ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
6. Si f ′ (1) = 0 alors :
a) f admet un extremum local en x = 1 ;
b) f change de sens de variation en x = 1 ;
c) f n’est ni croissante, ni décroissante sur [0; 2] ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
7. Si f est définie par f (x) =
1 − 3x
alors :
1 + x2
−9x2 + 2x − 3
;
(1 + x2 )2
−3
b) f ′ est définie par f (x) =
;
2x
3x2 − 2x − 3
c) f ′ est définie par f (x) =
;
(1 + x2 )2
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
a) f ′ est définie par f (x) =
8. Si f ′ est définie par f ′ (x) =
1
alors :
1 + x2
a) f est strictement décroissante sur R ;
b) f est strictement positive sur R ;
c) f est strictement croissante sur R ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
c) f admet un extremum local en 4 mais pas en 0 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
10. Si f ′ = f alors :
a) si f est strictement croissante sur R alors elle est à
valeurs négatives sur R ;
b) si f est strictement décroissante sur R alors elle est
à valeurs positives sur R ;
c) si f est strictement décroissante sur R alors elle est
à valeurs négatives sur R ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
Dans les quatre items suivants, on considère la suite
(xn )n∈N∗ définie par x2 = 11 et la relation de récurrence
2
suivante : ∀n ∈ N∗ xn+1 = xn −
n(n + 1)
11. x3 =
32
65
a) 10 ;
b)
;
c)
;
3
6
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
12. x1 =
a) 10 ;
b) 11 ;
13. (xn )n∈N∗ est une suite :
a) croissante ;
c) 12 ;
d) 13.
c) non monotone ;
b) décroissante ;
d) stationnaire.
14. Pour tout entier naturel non nul n, xn = :
2
1
2
a) 12 − ;
b) 10,5 + ;
c) 10 + ;
n
n
n
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
Dans les deux items suivants, on considère :
10
;
n
3
• (vn )n∈N∗ , la suite de terme général vn = 6 + ;
n
• (wn )n∈N∗ une suite telle que : ∀n ∈ N∗ un < wn < vn
15. On peut affirmer que :
• (un )n∈N∗ , la suite de terme général un = 5 −
a)
b)
c)
d)
(un )n∈N∗
(un )n∈N∗
(un )n∈N∗
(un )n∈N∗
et (vn )n∈N∗ sont décroissantes ;
et (vn )n∈N∗ sont croissantes ;
est décroissante et (vn )n∈N∗ est croissante ;
est croissante et (vn )n∈N∗ est décroissante.
16. La suite (wn )n∈N∗ est bornée par :
a) (−7) et 11 ;
c) (−4) et 9 ;
b) (−6) et 8 ;
d) 5 et 6.
17. Soient A et B deux points distincts du plan.
Pour prouver que I est le milieu de [AB], il suffit de
montrer que :
# » # »
# »
a) pour tout point M , M A + M B = 2M I ;
#» #» # »
b) AI = BI ;
c) AI + IB = AB ;
#»
# »
d) AI et AB sont colinéaires.
18. Si a et b désignent deux réels irrationnels alors :
a)
b)
c)
d)
(a + b) est forcément irrationnel ;
ab est forcément irrationnel ;
a2 est forcément rationnel ;
aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
4
2
19. Le nombre de solutions réelles de x − x + 6 = 6 est :
a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) 3.
20. Le nombre de solutions réelles de x4 + 5x2 + 6 = 0 est :
a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) 3.
21. Dans R, l’équation x4 + 5x2 − 36 = 0 :
a)
b)
c)
d)
admet une seule solution ;
admet exactement deux solutions ;
admet au moins trois solutions ;
n’admet aucune solution.
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
22. Dans R, l’équation
=0:
x2 − 4
a) admet une seule solution ;
b) admet exactement deux solutions ;
c) admet au moins trois solutions ;
d) n’admet aucune solution.
23. Le nombre de solutions réelles de |x2 − x| = −2 est :
a) 0 ;
b) 1 ;
c) 2 ;
d) 3.
2
24. Le nombre de solutions réelles de |x − x − 6| = 6 est :
a) 1 ;
b) 2 ;
c) 3 ;
d) 4.
p
√
4
3
2
25. Soit ℓ : x 7→ 1 + x − 4x + 4x .
a)
b)
c)
d)
∀x ∈ [2; +∞[ ℓ(x) = x − 1 ;
∀x ∈ R ℓ(x) = x − 1 ;
le graphe de ℓ est une droite ;
ℓ est une fonction affine.
26. La négation de « Tous les élèves de 1S sont des
filles. » est :
a)
b)
c)
d)
« Tous les élèves de 1S sont des garçons. » ;
« Tous les élèves de 1S ne sont pas des garçons. » ;
« Au moins un des élèves de 1S n’est pas une fille. » ;
aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
27. y et z sont deux réels ; la négation de « y 2 = z 2 » est :
a)
b)
c)
d)
« y 6= z ».
« y 6= z ou y 6= z ».
« y 6= z et y 6= −z ».
aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
28. Le contraire de « Il existe une unique solution réelle à
l’équation f (x) = 0. » est :
a) « L’équation f (x) = 0 n’admet pas de solution
réelle. » ;
b) « L’équation f (x) = 0 admet un nombre fini de solutions réelles. » ;
c) « L’équation f (x) = 0 admet une infinité de solutions
réelles. » ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
29. f désignant une fonction et a désignant un réel, le
contraire de « f n’est pas dérivable en a. » est :
f (a + h) − f (a)
existe et est réelle. » ;
a) « lim
h→0
h
f (a + h) − f (a)
b) « lim
existe et est infinie. » ;
h→0
h
f (a + h) − f (a)
c) « lim
n’existe pas. » ;
h→0
h
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
Dans les deux items suivants, g est une fonction définie sur
[−1; 2] telle que g(−1) = 2, g(0) = 1, g(1) = 0 et g(2) = −1.
30. On est certain que sur [−1; 2] :
a)
b)
c)
d)
g
g
g
g
est strictement décroissante ;
est strictement croissante ;
n’est pas strictement décroissante ;
n’est pas strictement croissante.
31. On est certain que sur [−1; 2], l’équation g(x) = 0,5 :
a)
b)
c)
d)
n’admet pas de solution ;
admet une unique solution ;
admet au moins une solution ;
aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
1
32. L’inéquation 6 0,2 a pour ensemble de solutions :
x
a) ]0; 5]
b) [5; +∞[
c) ] − ∞; 5]
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
Dans les quatre items suivants, P1 et P2 sont des propositions, a et b des réels et M , N et P des points non alignés.
33. Si P1 : « a3 = b3 » et P2 : « a = b » alors :
a) seule P1 implique P2 ;
b) seule P2 implique P1 ;
c) P1 et P2 sont équivalentes ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
√
√
34. Si P1 : « a = b » et P2 : « a2 = b2 » alors :
a) seule P1 implique P2 ;
b) seule P2 implique P1 ;
c) P1 et P2 sont équivalentes ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
√
35. Si P1 : « a2 = b » et P2 : « a = b » alors :
a) seule P1 implique P2 ;
b) seule P2 implique P1 ;
c) P1 et P2 sont équivalentes ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
36. Si P1 : « M N 2 + N P 2 = M P 2 » et P2 : « M N P est
un triangle rectangle. » alors :
a) seule P1 implique P2 ;
b) seule P2 implique P1 ;
c) P1 et P2 sont équivalentes ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
On considère l’algorithme suivant :
Saisir un entier N > 1
Affecter à S la valeur 0
Affecter à I la valeur 0
Tant que S < N
Affecter à S la valeur S + I 2
Affecter à I la valeur I + 1
Fin Tant que
Afficher S et I
37. La valeur de S affichée pour N = 30 est :
a) 14 ;
b) 30 ;
c) 55 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
38. La valeur de I affichée pour N = 30 est :
a) 4 ;
b) 5 ;
c) 6 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
39. La plus petite valeur de N telle que I = 3 est :
a) 1 ;
b) 2 ;
c) 3 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.
40. La plus grande valeur de N telle que I = 3 est :
a) 1 ;
b) 3 ;
c) 5 ;
d) aucune des trois réponses ci-dessus n’est correcte.