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Spé y 2006-2007 page 1/6 Devoir n°4
Spé y 2006-2007 Devoir n°5
MÉCANIQUE DES FLUIDES-ÉLECTROMAGNÉTISME
PARTIE I
On considère dans toute cette partie un fluide newtonien visqueux de viscosité , incompres-
sible et de masse volumique r.
I-1-a) En considérant un écoulement unidirectionnel, tel que
r
v
= v(y, t)
r
e
X, exprimer la force qu’exerce l’élément de fluide S1 sur
l’élément de fluide S2 du schéma ci-contre.
La surface de contact des deux éléments de fluide est notée S.
b) En déduire que l’on peut définir une force volumique
de cisaillement dont on donnera l’expression dans le cas du champ étu-
dié ici. On admettra par la suite que l’effet de la viscosité peut être tra-
duit par une force volumique d’expression hD
r
v
quel que soit le champ des vitesses (D
r
v
est le La-
placien du champ vectoriel
r
v
).
c) En déduire l’expression que prend dans ce cas l’équation locale de la dynamique
du fluide si celui-ci n’est soumis à aucune autre force volumique.
I-2) Par la suite, on s’intéresse à l’écoulement d’un fluide vis-
queux autour d’une sphère de rayon R, en l’absence de toute autre
force que celle de viscosité. On utilisera le repère de projection en
coordonnées sphériques r, q, j d’axe Oz où O est le centre de la
sphère. À grande distance de la sphère, l’écoulement du fluide est
uniforme
r
v
= V0
r
e
Z et la pression dans le fluide est P0.
a) Bâtir à partir des grandeurs caractéristiques du
fluide r, h, V0 une grandeur D0 homogène à une distance.
b) Exprimer le nombre de Reynolds relatif à
l’écoulement étudié à partir de D = 2R (prise comme distance caractéristique de l’écoulement) et
D0.
c) Le fluide considéré est de l’air de vitesse V0 =10 m.s–1. Calculer le nombre de
Reynolds pour une sphère de rayon 0,5 cm, puis pour une sphère de rayon 0,5 mm. Comment peut-
on qualifier l’écoulement dans ces deux cas ? Dessiner sommairement l’allure des lignes de courant
correspondantes.
Données : masse volumique de l’air : r = 1,29 kg.m–3 ; viscosité de l’air h = 1,8´10–5 Pl.
I-3) On se place en régime permanent et on suppose que la vitesse est suffisamment faible
pour négliger le terme quadratique d’accélération convective (approximation linéaire).
a) Quelles sont, dans ce cas, les conditions imposées sur le champ des vitesses par :
i) l’incompressibilité du fluide,
ii) la présence de la sphère,
iii) la compatibilité avec l’approximation linéaire de l’équation locale de la
dynamique.
b) On donne le champ des vitesses suivant :
v V R
r
R
r
v V R
r
R
r
v
r= - +
F
H
G
I
K
J
= - - -
F
H
GI
K
J
=
R
S
|
|
|
|
T
|
|
|
|
0
3
3
0
3
3
13
2 2
13
4 4
0
cos( )
sin( )
q
q
q
j
S
2
S
1
x
y
y
z
j
r
e
r
r
e
j
r
e
q
M
Ÿ
q
r
Ÿ
H

Spé y 2006-2007 page 2/6 Devoir n°5
On rappelle que div(r vr
r v r
r r
v r
r
v r
r
)( , , )
sin( )
sin( ). ( , , )
sin( )
( , , )
= + +
1 1 1
2
2
¶ q j
¶ q
¶ q q j
¶q q
¶ q j
¶j
qj
c
h
b
g
et que
rot
¾ ®¾ (
rot
¾ ®¾ (
r
v
)) = grad
¾ ®¾ (div(
r
v
)) – D
r
v
.
Dans le cas du champ de vitesses étudié, on a rot rot
cos( )
sin( )
3
3
¾ ®¾ ¾ ®¾
-
-
R
S
|
|
|
T
|
|
|
( ( ) =
r
v
V R
r
V R
r
3
3
2
0
0
0
q
q.
Vérifier que le champ proposé vérifie les trois conditions imposées au problème. Caractéri-
ser cet écoulement par un ou plusieurs des mots suivants : rotationnel, irrotationnel, laminaire, tur-
bulent, potentiel, stationnaire.
c) Déduire de l’équation locale de la dynamique linéarisée la valeur de la pression en
tout point de la surface de la sphère.
d) Calculer la résultante des forces de pression sur la sphère. On donne
cos ( ) sin( )
2
0
2
3
q q q
pd
z
=
I-4) On admet que la force de cisaillement exercée par le fluide sur un élément de surface de
sphère est donnée par dF V R d d e
rr
CIS
sin ( )
= - 3
2
0
2
h q q j q.
a) Justifier cette expression par analogie avec l’étude menée en I-1. Calculer la ré-
sultante des forces de cisaillement sur la sphère. On donne sin ( )
3
0
4
3
q q
pd
z
=
b) Vérifier que la force de traînée sur la sphère est donnée par la formule
r
r
F R V e=6
0
p h
Z
(formule de Stokes) .
PARTIE II
On veut étudier le déplacement d’un ion dans une solution aqueuse sous l’action d’un champ
électrique statique.
On considère un ion de charge qk et de masse mk initialement au repos.
II-1) Lorsqu’on applique un champ électrique stationnaire
r
E
à la solution, cet ion est soumis
en plus de la force électrique à une force de freinage opposée à la vitesse
r
v
k(t). Dans le cadre du
modèle de Stokes, cette force s’écrit
r
F
= –6phrHk
r
v
k où rHk est le rayon hydrodynamique de l’ion
numéro k et h la viscosité de l’eau.
a) En admettant que le champ électrique
r
E
= E.
r
e
X est uniforme, établir l’expression
de
r
v
k(t) . On fera apparaître un temps de relaxation tk dans l’équation différentielle obtenue.
b) On définit la mobilité uk de l’ion numéro k par la norme de la vitesse limite at-
teinte par cet ion dans un champ électrique de norme unité E = 1 V. m–1 . Quelle relation lie uk et rHk
dans ce modèle hydrodynamique ?
c) Calculer numériquement t
Na sachant que la mobilité de l’ion Na+ vaut
5,19´10-8 m2.s-1.V–1.
On donne MNa = 23 g.mol–1 , la constante d’Avogadro NAVOG = 6,02´1023 mol-1 et la charge
élémentaire q = 1,6´10–19 C .
d) Donner un ordre de grandeur de la distance parcourue par l’ion avant d’atteindre
sa vitesse limite dans un champ électrique de 1 V.m–1.

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A titre indicatif la valeur très faible des temps de relaxation montre qu’il faut abandonner
une description individuelle d’un ion donné au profit d’une description statistique d’une population
d’ions.
II-2) Le tableau ci-dessous indique les valeurs des mobilités et des rayons ioniques pour plu-
sieurs ions métalliques.
ion mobilité
(en m2.s–1.V–1 à 25°C)
rayon ionique
(en 10–12 m)
Li+4,01´10–8 59
Na+5,19´10–8 102
K+7,62´10–8 138
Rb+7,92´10–8 149
Cs+8,00´10–8 167
a) Donner la structure électronique des ions Li+, Na+ et K
+
sachant que ZLi = 3,
ZNa = 11, ZK = 19. Indiquer la position des éléments chimiques correspondants dans la classification
périodique de Mendeleïev. Donner le nom de la famille des métaux Li , Na , K, Rb et Cs . Que peut-
on dire des rayons ioniques respectifs ?
b) Montrer que le rayon hydrodynamique rHk de l’ion k ne peut être proportionnel à
son rayon ionique rIk .
c) L’interaction ion-molécule d’eau via le champ électrique créé par l’ion est à
l’origine de ce désaccord. La molécule H2O présente un moment dipolaire électri-
que permanent
r
p
, représenté par une flèche placée dans un cercle symbolisant
l’encombrement de la molécule d’eau.
Faire un schéma explicitant la position et l’orientation des moments dipo-
laires des molécules d’eau au voisinage d’un ion positif.
On suppose que la répartition des charges au sein d’un des ions positifs est de symétrie sphé-
rique. Justifier sans calcul que le champ électrique à la surface de l’ion K+ est notablement inférieur
à celui de l’ion Li+ .
Conclure quant à la comparaison rayon hydrodynamique/rayon ionique.
II-3) Une diminution de la concentration ionique entraîne une augmentation de la distance
moyenne interionique, ce qui rend l’interaction électrostatique entre ions négligeable devant l’action
du champ électrique appliqué. Pour des concentrations suffisamment faibles, la mobilité de l’ion
numéro k est donc pratiquement égale à la valeur limite à dilution infinie notée uk°.
a) Montrer que la conductivité g d’une solution contenant plusieurs types d’ions de
charge qk = zkq (q = 1,6´10–19 C) et de concentration ck peut se mettre sous la forme
g l= °
åz c
k
kkk où lk° représente la conductivité molaire limite de l’ion k .
b) Calculer numériquement la conductivité g d’une solution de chlorure de potas-
sium à la concentration 1,00´10–2 mol L–1. On prendra garde à la cohérence des unités :
lk°(K+) = 7,35´10–3 W–1.m2.mol–1 ; lk°(Cl–) = 7,63´10–3 W–1.m2.mol–1
II-4) Dans une solution aqueuse, il faut modifier les équations de Maxwell compte tenu de la
valeur élevée du moment dipolaire électrique de la molécule d’eau. On admettra donc pour
l’ensemble de cette partie qu’il suffit de remplacer la permittivité du vide
e0 = 8,84´10–12 USI par le produit e0.er où er = 83 (sans dimension) désigne la
permittivité relative de l’eau.
Deux électrodes métalliques, portées au potentiel +U
0
/2 pour l’une et
-U0/2 pour l’autre, sont immergées dans la solution de chlorure de potassium
de concentration 1,00´10–2 mol.L–1. On suppose, à ce stade, que la solution en
O
H
H
Û
U0/2
–U0/2
x
y
z
a
SURFACE S

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régime stationnaire est électriquement neutre en tout point de la solution et on négligera les ions
autres que K+ et Cl–.
a) Donner l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel électrique V dans
la solution.
b) Que peut-on dire des lignes de courant électrique au sein du liquide ?
II-5) On considère un type de cellule constituée d’un corps en verre ou en matière plastique
supportant deux plaques de platine platiné (c’est-à-dire recouvert de platine finement divisé) paral-
lèles, de surface S, placées en x = ± a/2 . On négligera les effets de bords en supposant que V ne
dépend que de x .
a) Établir l’expression de V(x). Calculer le champ électrique pour –a/2 < x < +a/2.
b) En déduire l’intensité du courant traversant l’espace situé entre les deux plaques.
c) Exprimer la résistance de la cellule notée RCELL.
d) Application numérique : a = 10 mm , S = 1 cm2 .
II-6) Une cellule conductrimétrique biplane (voir figure)
est soumise à un échelon de tension fixées sur l’électrode tel que
la différence de potentiel entre les électrodes soit nulle pour t < 0
et égale à U0 pour t > 0 . Après un bref passage de courant, la
cellule devient isolante suite à une accumulation d’ions au voisi-
nage des électrodes.
Le modèle de double couche de Helmholtz permet
d’estimer le temps caractéristique t de la cellule. Le champ élec-
trique intense qui règne au voisinage immédiat des surfaces mé-
talliques oriente les moments dipolaires électriques des molécules
d’eau. Il en résulte une couche moléculaire d’épaisseur e » 10–9 m
qui empêche ensuite les ions eux mêmes solvatés d’atteindre la
surface chargée de l’électrode.
Dans ce contexte on suppose que les ions mis en mouve-
ment par le champ électrique régnant en solution durant le régime
transitoire s’accumulent sur deux plans, dénommés plans de
Helmholtz PHE , placés en x = (a/2) – e et x = –(a/2) + e. La
figure ci-contre donne les variations du potentiel V(x) au sein de
la cellule à un instant donné t > 0 .
a) On adopte le modèle suivant pour rendre
compte des faits expérimentaux : on assimile les plans de Helm-
holtz (PHE) à des surfaces chargées portant une densité superfi-
cielle de charges ±s
1
(s
1
> 0) selon les schémas ci-contre. On
note s la densité superficielle de charge portée par l’électrode
dont le potentiel est égal à +U0/2 . En dehors des PHE, la solu-
tion est supposée localement neutre et on néglige les effets de
bord. Commenter la courbe des variations du potentiel V(x) dans la
cellule. Représenter sur un schéma quelques lignes du champ électri-
que
r
E
.
b) Énoncer les relations liant les champs électriques, au voisinage d’une surface portant la
densité surfacique de charge s, de part et d’autre de celle-ci.
c) Exprimer le champ électrique dans chacun des trois domaines constituant la cellule en
fonction des densités de charge s et s1 ainsi que de e0 et er.
d) Sachant que l’électrode située en x = +a/2 est portée au potentiel constant +U
0
/2 pour
t > 0, établir la relation liant les densités surfaciques s(t) et s1(t) .
e) À cause de l’accumulation des ions au voisinage des électrodes, on suppose isolante la
couche située entre une électrode et son PHE. En revanche, le reste de la solution –(a/2) + e £ x £ (a/2) – e
Électrode
métallique Plan de Helmoltz PHE
Anion solvaté
Molécules d’eau
fixées sur l’électrode
0
x
x
- +
a
e
2
-
a
2
a
e
2
-
a
2
U
0
2
-
U
0
2
V
+
s
1 +
s
1
–
s
+
s

Spé y 2006-2007 page 5/6 Devoir n°5
est supposé conducteur de conductivité g. En effectuant un bilan de charges entre deux instants t et t + dt
très proches sur le plan PHE situé en x = ( a/2) – e, établir l’équation différentielle vérifiée par sl(t) . Met-
tre en évidence le temps caractéristique t.
f) Le modèle électrocinétique d’une cellule conductimétrique associe 1a résistance RCELL dé-
finie en II-5-c et deux condensateurs de double couche, chacun ayant une capacité égale à CDC. En exploi-
tant l’expression de t , donner l’expression de CDC en fonction de e0, er, S et e. Ce résultat était-il prévisi-
ble ?
g) Calculer numériquement CDC. Commenter ce résultat numérique en le comparant aux ca-
pacités des condensateurs que vous avez eu l’occasion d’utiliser en Travaux Pratiques. On prendra
S = 1 cm2 .
PARTIE III
On considère l’écoulement d’un liquide légèrement conducteur
dans un tuyau cylindrique isolant de rayon a. On impose un champ
magnétique uniforme
r
B
= B0
r
e
X . On se place en régime stationnaire.
Dans un premier temps on se place en coordonnées cartésiennes et on
suppose que le champ des vitesses de l’écoulement réel est donné par
r
v
= k(a2 - x2 – y2)
r
e
Z où est une constante donnée.
III-1)- Expression de
r
J
.
a) On définit la vitesse moyenne vM du liquide comme la
vitesse d’un écoulement uniforme fictif qui donnerait le même débit
volumique à travers une section du tube que l’écoulement réel. Exprimer vM en fonction de k et a.
b) On rappelle la loi d’Ohm locale donnant le vecteur densité de courant
r
J
en fonc-
tion du potentiel électrique V, de la conductivité g du liquide, de la vitesse
r
v
du liquide et du champ
magnétique
r
B
:
r
J
= g(–grad
¾ ®¾ (V) +
r
v
Ù
r
B
). Montrer que
rot
¾ ®¾ (
r
J
) = –2gB0kx
r
e
Z .
c) Rappeler sans démonstration l’équation locale de conservation de la charge. En
déduire que l’on peut chercher la densité de courants sous la forme
r
J
=
rot
¾ ®¾ (
r
y
).
d) On rappelle que
rot
¾ ®¾ (
rot
¾ ®¾ (
r
A
)) = grad
¾ ®¾ (div(
r
A
)) – D
r
A
. Dans la suite, on cherche
r
y
de la forme
r
r
y
y
=
( )M e
Z
où y(M) ne dépend pas de la cote z du point M. En déduire que
Dy = 2gB0kx. (1)
e) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques (r, q, z) d’axe Oz on
en utilise le trièdre local associé (
r
e
r,
r
e
q,
r
e
Z). On admet que la solution de l’équation (1) est de la
forme y q gq( , ) cos( )rCr B kr = +
F
H
G
I
K
J
0
3
4 où C est une constante. On rappelle que
rot
¾ ®¾ (y
r
e
Z) = grad
¾ ®¾ (y) Ù
r
e
Z. Exprimer les composantes Jr et Jq de
r
J
en fonction de C, B0, k, g r et q.
f) Quelle est la condition aux limites sur à la surface du tuyau isolant ? En déduire la
valeur de la constante C en fonction de k, g, B0 et a puis les expressions de Jr et Jq en fonction de B0,
k, g, r, a et q.
g) En utilisant les expressions de Jr et Jq, déterminer l’équation différentielle des li-
gnes de courants. Vérifier que ce sont des courbes y(r, q) = constante. Tracer l’allure de quelques
lignes de courants.
III-2) Expression du potentiel
a) Montrer que grad r
¾ ®¾
= - + -( ) ( ) sin( ) ( ) cos( )VkB a r e a r e
02 2 2 2
4
3 3q q q
r r
c h.
b) On place un voltmètre entre les points A(x = 0, y = –a) et B(x = 0, y = a). Exprimer
VA - VB en fonction de k, B0 et a.
TUYAU
ISOLANT
q
x
y
A
B
a
r
e
r
r
e
q
r
r
B
z ¤