Énoncer

Spé y 2006-2007
Devoir n°5
MÉCANIQUE DES FLUIDES-ÉLECTROMAGNÉTISME
PARTIE I
On considère dans toute cette partie un fluide newtonien visqueux de viscosité , incompressible et de masse volumique r.
I-1-a)
y
S2
r En considérant un écoulement unidirectionnel, tel que
r
v = v(y, t) eX, exprimer la force qu’exerce l’élément de fluide S1 sur
l’élément de fluide S2 du schéma ci-contre.
y
La surface de contact des deux éléments de fluide est notée S.
S1
b) En déduire que l’on peut définir une force volumique
x
de cisaillement dont on donnera l’expression dans le cas du champ étudié ici. On admettra par la suite que l’effet de la viscosité peut être trar
r
duit par une force volumique d’expression hD v quel que soit le champ des vitesses (D v est le Lar
placien du champ vectoriel v ).
c) En déduire l’expression que prend dans ce cas l’équation locale de la dynamique
du fluide si celui-ci n’est soumis à aucune autre force volumique.
r
e
z
r
I-2) Par la suite, on s’intéresse à l’écoulement d’un fluide visr
ej
queux autour d’une sphère de rayon R, en l’absence de toute autre
MŸ
q
force que celle de viscosité. On utilisera le repère de projection en
r
r
coordonnées sphériques r, q, j d’axe Oz où O est le centre de la
eq
sphère. À grander distance de la sphère, l’écoulement du fluide est
r
uniforme v = V0 eZ et la pression dans le fluide est P0.
a) Bâtir à partir des grandeurs caractéristiques du
j
ŸH
fluide r, h, V0 une grandeur D0 homogène à une distance.
b) Exprimer le nombre de Reynolds relatif à
l’écoulement étudié à partir de D = 2R (prise comme distance caractéristique de l’écoulement) et
D0.
c) Le fluide considéré est de l’air de vitesse V0 =10 m.s–1. Calculer le nombre de
Reynolds pour une sphère de rayon 0,5 cm, puis pour une sphère de rayon 0,5 mm. Comment peuton qualifier l’écoulement dans ces deux cas ? Dessiner sommairement l’allure des lignes de courant
correspondantes.
Données : masse volumique de l’air : r = 1,29 kg.m–3 ; viscosité de l’air h = 1,8´10–5 Pl.
I-3) On se place en régime permanent et on suppose que la vitesse est suffisamment faible
pour négliger le terme quadratique d’accélération convective (approximation linéaire).
a) Quelles sont, dans ce cas, les conditions imposées sur le champ des vitesses par :
i) l’incompressibilité du fluide,
ii) la présence de la sphère,
iii) la compatibilité avec l’approximation linéaire de l’équation locale de la
dynamique.
R|v = V cos(q)F1 - 3R + R I
GH 2r 2r JK
||
b) On donne le champ des vitesses suivant : |v = -V sin(q)F 1 - 3R - R I
S|
GH 4r 4r JK
||v = 0
|T
3
r
0
3
3
q
0
3
j
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Devoir n°4
c
h
b
g
2
¶vj ( r , q , j )
¶ sin(q). vq (r , q, j)
1 ¶ r v r ( r , q, j )
1
1
r
+
+
On rappelle que div(v ) = 2
r
¶r
r sin(q)
¶q
r sin(q)
¶j
¾
¾® ¾
¾® r
¾
¾®
r
r
et que rot ( rot ( v )) = grad (div( v )) – D v .
3V Rcos(q)
- 0 3
r
¾
¾® ¾
¾® r
q) .
Dans le cas du champ de vitesses étudié, on a rot ( rot (v ) = - 3V0 Rsin(
3
2r
0
R|
||
S|
||
T
Vérifier que le champ proposé vérifie les trois conditions imposées au problème. Caractériser cet écoulement par un ou plusieurs des mots suivants : rotationnel, irrotationnel, laminaire, turbulent, potentiel, stationnaire.
c) Déduire de l’équation locale de la dynamique linéarisée la valeur de la pression en
tout point de la surface de la sphère.
d) Calculer la résultante des forces de pression sur la sphère. On donne
p
2
cos2 (q) sin(q)dq =
0
3
I-4) On admet que la force de cisaillement exercée par le fluide sur un élément de surface de
r
3hV0 Rsin 2 (q)
r
dqdj eq .
sphère est donnée par dFCIS = 2
a) Justifier cette expression par analogie avec l’étude menée en I-1. Calculer la rép
4
sultante des forces de cisaillement sur la sphère. On donne sin 3 (q)dq =
0
3
b) Vérifier que la force de traînée sur la sphère est donnée par la formule
r
r
F = 6pRhV0 eZ (formule de Stokes) .
z
z
PARTIE II
On veut étudier le déplacement d’un ion dans une solution aqueuse sous l’action d’un champ
électrique statique.
On considère un ion de charge qk et de masse mk initialement au repos.
r
II-1) Lorsqu’on applique un champ électrique stationnaire E à la solution, cet ion est soumis
r
en plus de la force électrique à une force
opposée à la vitesse v k(t). Dans le cadre du
r de freinage
r
modèle de Stokes, cette force s’écrit F = –6phrHk v k où rHk est le rayon hydrodynamique de l’ion
numéro k et h la viscosité de l’eau.
r
r
a) En admettant que le champ électrique E = E. eX est uniforme, établir l’expression
r
de v k(t) . On fera apparaître un temps de relaxation tk dans l’équation différentielle obtenue.
b) On définit la mobilité uk de l’ion numéro k par la norme de la vitesse limite atteinte par cet ion dans un champ électrique de norme unité E = 1 V. m–1 . Quelle relation lie uk et rHk
dans ce modèle hydrodynamique ?
c) Calculer numériquement tNa sachant que la mobilité de l’ion Na+ vaut
-8
2 -1 –1
5,19´10 m .s .V .
On donne MNa = 23 g.mol–1 , la constante d’Avogadro NAVOG = 6,02´1023 mol-1 et la charge
élémentaire q = 1,6´10–19 C .
d) Donner un ordre de grandeur de la distance parcourue par l’ion avant d’atteindre
sa vitesse limite dans un champ électrique de 1 V.m–1.
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A titre indicatif la valeur très faible des temps de relaxation montre qu’il faut abandonner
une description individuelle d’un ion donné au profit d’une description statistique d’une population
d’ions.
II-2) Le tableau ci-dessous indique les valeurs des mobilités et des rayons ioniques pour plusieurs ions métalliques.
ion
mobilité
rayon ionique
2 –1 –1
(en m .s .V à 25°C)
(en 10–12 m)
Li+
59
4,01´10–8
Na+
5,19´10–8
102
7,62´10
–8
138
+
7,92´10–8
149
+
–8
+
K
Rb
Cs
167
8,00´10
+
a) Donner la structure électronique des ions Li , Na+ et K+ sachant que ZLi = 3,
ZNa = 11, ZK = 19. Indiquer la position des éléments chimiques correspondants dans la classification
périodique de Mendeleïev. Donner le nom de la famille des métaux Li , Na , K, Rb et Cs . Que peuton dire des rayons ioniques respectifs ?
b) Montrer que le rayon hydrodynamique rHk de l’ion k ne peut être proportionnel à
son rayon ionique rIk .
c) L’interaction ion-molécule d’eau via le champ électrique créé par l’ion est à
l’origine de ce désaccord. La molécule H2O présente un moment dipolaire électrir
H
que permanent p , représenté par une flèche placée dans un cercle symbolisant
O Û
l’encombrement de la molécule d’eau.
H
Faire un schéma explicitant la position et l’orientation des moments dipolaires des molécules d’eau au voisinage d’un ion positif.
On suppose que la répartition des charges au sein d’un des ions positifs est de symétrie sphérique. Justifier sans calcul que le champ électrique à la surface de l’ion K+ est notablement inférieur
à celui de l’ion Li+ .
Conclure quant à la comparaison rayon hydrodynamique/rayon ionique.
II-3) Une diminution de la concentration ionique entraîne une augmentation de la distance
moyenne interionique, ce qui rend l’interaction électrostatique entre ions négligeable devant l’action
du champ électrique appliqué. Pour des concentrations suffisamment faibles, la mobilité de l’ion
numéro k est donc pratiquement égale à la valeur limite à dilution infinie notée uk°.
a) Montrer que la conductivité g d’une solution contenant plusieurs types d’ions de
charge qk = zkq (q = 1,6´10–19 C) et de concentration ck peut se mettre sous la forme
g = å zk ck l k ° où lk° représente la conductivité molaire limite de l’ion k .
k
b) Calculer numériquement la conductivité g d’une solution de chlorure de potassium à la concentration 1,00´10–2 mol L–1. On prendra garde à la cohérence des unités :
lk°(K+) = 7,35´10–3 W–1.m2.mol–1 ; lk°(Cl–) = 7,63´10–3 W–1.m2.mol–1
II-4) Dans une solution aqueuse, il faut modifier les équations de Maxwell compte tenu de la
valeur élevée du moment dipolaire électrique de la molécule d’eau. On admettra donc pour
l’ensemble de cette partie qu’il suffit de remplacer la permittivité du vide
–U0/2
U0/2
e0 = 8,84´10–12 USI par le produit e0.er où er = 83 (sans dimension) désigne la
permittivité relative de l’eau.
Deux électrodes métalliques, portées au potentiel +U0/2 pour l’une et
SURFACE S
-U0/2 pour l’autre, sont immergées dans la solution de chlorure de potassium
z
y
de concentration 1,00´10–2 mol.L–1. On suppose, à ce stade, que la solution en
x
a
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régime stationnaire est électriquement neutre en tout point de la solution et on négligera les ions
autres que K+ et Cl–.
a) Donner l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel électrique V dans
la solution.
b) Que peut-on dire des lignes de courant électrique au sein du liquide ?
II-5) On considère un type de cellule constituée d’un corps en verre ou en matière plastique
supportant deux plaques de platine platiné (c’est-à-dire recouvert de platine finement divisé) parallèles, de surface S, placées en x = ± a/2 . On négligera les effets de bords en supposant que V ne
dépend que de x .
a) Établir l’expression de V(x). Calculer le champ électrique pour –a/2 < x < +a/2.
b) En déduire l’intensité du courant traversant l’espace situé entre les deux plaques.
c) Exprimer la résistance de la cellule notée RCELL.
d) Application numérique : a = 10 mm , S = 1 cm2 .
II-6) Une cellule conductrimétrique biplane (voir figure)
Molécules d’eau
est soumise à un échelon de tension fixées sur l’électrode tel que
fixées sur l’électrode
la différence de potentiel entre les électrodes soit nulle pour t < 0
Anion solvaté
et égale à U0 pour t > 0 . Après un bref passage de courant, la
cellule devient isolante suite à une accumulation d’ions au voisinage des électrodes.
Le modèle de double couche de Helmholtz permet
d’estimer le temps caractéristique t de la cellule. Le champ électrique intense qui règne au voisinage immédiat des surfaces métalliques oriente les moments dipolaires électriques des molécules
d’eau. Il en résulte une couche moléculaire d’épaisseur e » 10–9 m
qui empêche ensuite les ions eux mêmes solvatés d’atteindre la
surface chargée de l’électrode.
Électrode
Plan de Helmoltz PHE
Dans ce contexte on suppose que les ions mis en mouve- métallique
ment par le champ électrique régnant en solution durant le régime
transitoire s’accumulent sur deux plans, dénommés plans de
V
Helmholtz PHE , placés en x = (a/2) – e et x = –(a/2) + e. La
U0
figure ci-contre donne les variations du potentiel V(x) au sein de
2
la cellule à un instant donné t > 0 .
a
a
- +e
2
2
a) On adopte le modèle suivant pour rendre
x
a
a
compte des faits expérimentaux : on assimile les plans de Helm-e
2
2
holtz (PHE) à des surfaces chargées portant une densité superfiU
cielle de charges ±s1 (s1 > 0) selon les schémas ci-contre. On
- 0
2
note s la densité superficielle de charge portée par l’électrode
dont le potentiel est égal à +U0/2 . En dehors des PHE, la solu–s
+s1
+s1
+s
tion est supposée localement neutre et on néglige les effets de
x
bord. Commenter la courbe des variations du potentiel V(x) dans la
0
cellule.
r Représenter sur un schéma quelques lignes du champ électrique E .
b) Énoncer les relations liant les champs électriques, au voisinage d’une surface portant la
densité surfacique de charge s, de part et d’autre de celle-ci.
c) Exprimer le champ électrique dans chacun des trois domaines constituant la cellule en
fonction des densités de charge s et s1 ainsi que de e0 et er.
d) Sachant que l’électrode située en x = +a/2 est portée au potentiel constant +U0/2 pour
t > 0, établir la relation liant les densités surfaciques s(t) et s1(t) .
e) À cause de l’accumulation des ions au voisinage des électrodes, on suppose isolante la
couche située entre une électrode et son PHE. En revanche, le reste de la solution –(a/2) + e £ x £ (a/2) – e
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est supposé conducteur de conductivité g. En effectuant un bilan de charges entre deux instants t et t + d t
très proches sur le plan PHE situé en x = ( a / 2 ) – e , établir l’équation différentielle vérifiée par sl(t) . Mettre en évidence le temps caractéristique t.
f) Le modèle électrocinétique d’une cellule conductimétrique associe 1a résistance RCELL définie en II-5-c et deux condensateurs de double couche, chacun ayant une capacité égale à C D C . En exploitant l’expression de t , donner l’expression de C DC en fonction de e0, er, S et e . Ce résultat était-il prévisible ?
g) Calculer numériquement C DC. Commenter ce résultat numérique en le comparant aux capacités des condensateurs que vous avez eu l’occasion d’utiliser en Travaux Pratiques. On prendra
S = 1 cm2 .
PARTIE III
On considère l’écoulement d’un liquide légèrement conducteur
r
r
y
eq
er
B
dans un tuyau cylindrique
isolant
de
rayon
a.
On
impose
un
champ
r
r
magnétique uniforme B = B0 eX . On se place en régime stationnaire.
r
a
Dans un premier temps on se place en coordonnées cartésiennes et on
q
x
suppose que le champ
des vitesses de l’écoulement réel est donné par
r
r
2
2
2
z
¤
v = k(a - x – y ) eZ où est une constante donnée.
r
r
III-1)- Expression de J .
B
A
a) On définit la vitesse moyenne vM du liquide comme la
vitesse d’un écoulement uniforme fictif qui donnerait le même débit
volumique à travers une section du tube que l’écoulement réel. Exprimer vM en fonction de k et a.
r
b) On rappelle la loi d’Ohm locale donnant le vecteur densité de courant J en foncr
tion du potentiel électrique V, de la conductivité g du liquide, de la vitesse v du liquide et du champ
¾
¾®
¾
¾® r
r r
r
r r
magnétique B : J = g(–grad (V) + v Ù B ). Montrer que rot ( J ) = –2gB0kx eZ .
c) Rappeler sans démonstration l’équation locale de conservation de la charge. En
r ¾¾® r
déduire que l’on peut chercher la densité de courants sous la forme J = rot ( y ).
¾
¾® ¾
¾® r
¾
¾®
r
r
r
d) On rappelle que rot ( rot ( A)) = grad (div( A)) – D A. Dans la suite, on cherche y
r
r
de la forme y = y ( M )eZ où y(M) ne dépend pas de la cote z du point M. En déduire que
Dy = 2gB0kx. (1)
e) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques (r, q, z) d’axe Oz on
r r r
en utilise le trièdre local associé ( er, eq, eZ). On admet que la solution de l’équation (1) est de la
gB0 kr 3
forme y (r , q) = Cr +
cos(q) où C est une constante. On rappelle que
4
¾
¾®
¾
¾®
r
r
r
rot (y eZ) = grad (y) Ù eZ. Exprimer les composantes Jr et Jq de J en fonction de C, B0, k, g r et q.
f) Quelle est la condition aux limites sur à la surface du tuyau isolant ? En déduire la
valeur de la constante C en fonction de k, g, B0 et a puis les expressions de Jr et Jq en fonction de B0,
k, g, r, a et q.
g) En utilisant les expressions de Jr et Jq, déterminer l’équation différentielle des lignes de courants. Vérifier que ce sont des courbes y(r, q) = constante. Tracer l’allure de quelques
lignes de courants.
III-2) Expression du potentiel
¾
¾®
kB
r
r
a) Montrer que grad (V ) = 0 3(a 2 - r 2 ) sin(q)er + (3a 2 - r 2 ) cos(q)eq .
4
b) On place un voltmètre entre les points A(x = 0, y = –a) et B(x = 0, y = a). Exprimer
VA - VB en fonction de k, B0 et a.
FG
H
IJ
K
c
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h
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TUYAU
ISOLANT
c) En déduire l’expression de VA – VB en fonction de B0, a et de vM définie en III.1-a.
Calculer vM pour a = 5 mm et B0 = 0,95 T sachant VA – VB = –2,0 mV.
III-3) Champ magnétique induit
r
Dans ce qui précède
on
a
supposé
que
le
champ
magnétique
B
effectivement perçu au sein
r
r
du fluide est le champ B = B0 eX créé par les sources
extérieures
de
courant,
supposées constantes,
r
ce qui n’est qu’une approximation
car les courants J induits calculés dans la partie III.1 créent un
r*
champ qu l’on notera B .
r
a) Le tube
supposé infiniment long selon eZ, justifier que le champ magnétique
r * étant
r
induit est de la forme B = B*(r, q) eZ avec B*(r, q) indépendant de z.
r*
b)
Quelles
sont
les
deux
équations
locales
dont
est
solution
le
champ
B
? Vérifier
r*
r
que B = m0y eZ est solution de ces équations pour r £ a. On admettra qu’il s’agit bien de la solution.
c) En exploitant l’expression de k en fonction de a et vM, établie en III.1-a, en déduire
un critère pour que B* << B0. Vérifier l’homogénéité de ce critère (on pourra par exemple faire référence à l’expression de l’épaisseur de peau). Dans le cas du sang (g = 10 W–1.m–1) ce critère est-il
vérifié pour les valeurs numériques de la question III.2-c ?
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