Pendule simple

Mécanique TP1 1
Pendule simple
But : La manipulation consiste à étudier la période d’oscillation d’un pendule ainsi que sa vitesse
angulaire au passage par sa position d’équilibre, en fonction de la déviation angulaire initiale et/ou de
la longueur de sa tige. Nous testerons ainsi les limites de validité du modèle de l’oscillateur
harmonique pour décrire le comportement de ce pendule.
I. Etude théorique du mouvement
Un pendule simple est constitué d’une masse m assimilée à une masse ponctuelle (située en M)
suspendue à un point A par une tige rigide, considérée sans masse et de longueur L (figure 1) (A est
choisi comme origine le long de l’axe verticale Az).
La position du pendule est repérée par l’angle
θ
θθ
θ
(compris entre – π et + π ) entre la tige et la verticale.
Equation du mouvement :
La masse m est soumise à deux forces : son poids
P
et la réaction
R
de la tige
(dans cette étude, on négligera les frottements de l’air).
D’après le principe fondamental de la dynamique :
P
+
R
= ma
Projection sur la base polaire (
ρ
u ,
θ
u ) :
ρ
u :
ρ
=−θ a.mRcos.mg
θ
u :
θ
−
sin.mg =
θ
a.m (1)
M
A
Figure 1
ρ
ρρ
ρ
u
θ
θθ
θ
u
Equilibre : 0=
θ
z = − L
θ
+
x u
x
z u
x
L
z
P
R

Mécanique TP1 2
Dans le système de coordonnées polaires, l’accélération s’écrit : a = ( ρ
ɺ
ɺ
- θρ
ɺ
2
)
ρ
u + (2 θρ
ɺ
ɺ
+ θρ
ɺ
ɺ
)
θ
u
Dans notre cas,
ρ
= cste = L ⇒
ρ
ɺ
= ρ
ɺ
ɺ
=0 ⇒
ρ
a = - θ
ɺ
L
2
et
θ
a = θ
ɺ
ɺ
L
L’équation (1) s’écrit donc :
θ
−
sin.mg = m. θ
ɺ
ɺ
L soit : 0sin
L
g=θ+θ
ɺɺ
Dans le cas où les oscillations sont de faibles amplitudes (
θ
petit voir annexe II ), on peut faire
l’approximation suivante : sin θ ≈ θ .
On obtient alors l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique à un paramètre :
0
L
g
=θ+θ
ɺɺ
(2)
La solution de cette équation différentielle est du type : θ (t) = Acos( ω t + ϕ ) (3)
Avec ω = 2 π /T la pulsation propre des oscillations de période T.
Expression de ω :
θ
(t) = Acos( ω t + ϕ )
θ
ɺ
(t) = - A ω sin( ω t + ϕ )
θ
ɺ
ɺ
(t) = - A ω
2
cos( ω t + ϕ ) = - ω
2
.
θ
(t)
En injectant les expressions de
θ
(t) et θ
ɺ
ɺ
(t) dans l’équation (2), on obtient :
Acos( ω t + ϕ ) [ - ω
2
+
L
g ] = 0
Pour être vraie à tout instant t, cette équation impose : ω
2
=
L
g soit
ω =
L
g
La période des oscillations s’écrit donc : T =
ω
π
2 = 2
π
g
L
Détermination des constantes A et ϕ dans l’expression de θ (t) :
Ces constantes sont déterminées à partir des conditions initiales :
Le pendule est lâché d’une position θ (t=0) = θ
o
et sans vitesse initiale θ
ɺ
(t=0) =
o
θ
ɺ
= 0.
θ
(t) = Acos( ω t + ϕ ) ⇒ θ (t=0) = θ
o
= Acos ϕ (4)
θ
ɺ
(t) = - A ω sin( ω t + ϕ ) ⇒ θ
ɺ
(t=0) = 0 = - A ω sin ϕ (5)
(5)
A et ω ≠ 0 ⇒ sin ϕ = 0 ⇒ ϕ = k π
Posons ϕ = 0, l’équation (4) devient : A = θ
o
Avec ces conditions initiales, θ (t) s’écrit donc : θ (t) = θ
o
.cos( ω t)

Mécanique TP1 3
Vitesse angulaire maximale :
max
θ
ɺ
θ(t) = θ
o
.cos(ωt) ⇒ θ
ɺ
(t) = - ωθ
o
.sin(ωt)
Quand sin(ωt) = ±1 , )t( θ
ɺ
= ωθ
o =
max
θ
ɺ
et θ (t) = 0
Le pendule atteinte donc sa vitesse angulaire maximale lorsqu’il passe par sa position d’équilibre en
θ = 0 :
max
θ
ɺ
= ωθ
o =
o
L
gθ
II. Dispositif expérimental
Le pendule est composé :
- d’une tige en aluminium.
- d’un axe de rotation perpendiculaire à cette tige et
reposant sur des roulements à billes pour limiter les
frottements.
- d’une masselotte en laiton pouvant coulisser le long de la
tige pour faire varier sa distance L à l’axe de rotation.
La masse de la tige est considérée négligeable devant celle de la
masselotte en laiton.
Attention à la lecture de L :
Elle s’effectue directement sur la tige graduée par pas de 1cm, le
zéro des graduations ayant été décalé pour tenir compte de
l’épaisseur de la masselotte. Il suffit de positionner la face
supérieure de la masselotte sous la graduation désirée qui
indique la valeur de L.
(sur l’exemple figure 3, L = 29 cm).
Utilisation du capteur Infra-Rouge :
Ce capteur optique comporte un émetteur et un récepteur
disposés en vis-à-vis sur ses deux bras. Il détecte le passage de la
tige filetée située à l’extrémité de la tige du pendule et déclenche
un compteur numérique (compteur PASCO) selon différents
modes à sélectionner sur le boîtier de contrôle (voir annexe I,
page 7).
Figure 3
capteur IR
tige en
aluminium
axe de rotation
masse
en laiton
compteur
niveau à bulle
rapporteur
Figure 2
tige filetée

Mécanique TP1 4
III. Mesures
3.1 Etude de la période :
D’après le modèle théorique, la période du pendule est indépendante des conditions initiales
(
o
θ ,
o
θ
ɺ
) et elle doit être proportionnelle à la racine carré de la longueur L de la tige rigide.
T = 2π
g
L
Cependant ce modèle fait intervenir quelques approximations (telles que
o
θ faible et tige sans masse).
Nous allons voir quelles sont les limites de validité de ce modèle.
a) Influence des conditions initiales :
♦ Vérifier l’horizontalité du pendule à l’aide du niveau à bulle (recentrer la bulle si nécessaire avec
les deux vis de réglage).
♦ Vérifier que la tige filetée est nue sans la « fourche » en plexiglas.
♦ Ajuster la hauteur du capteur et son axe émetteur-récepteur de manière à ce qu’il intercepte la tige
filetée quand le pendule est dans sa position d’équilibre.
♦ Régler le capteur en position « mesure de période » (voir annexe, page 7).
♦ Vérifier le zéro sur le rapporteur (graduation 90°) lorsque le pendule est dans sa position
d’équilibre (le corriger si nécessaire en tournant légèrement le rapporteur autour de son axe de
fixation). Vérifier également que la pointe sur la tige ne touche pas le rapporteur pendant les
oscillations.
♦ Placer la masselotte à une distance L = 29 cm .
♦ Ecarter le pendule de sa position d’équilibre d’une valeur
0
θ
θθ
θ (tableau ci-dessous) et effectuer la
mesure de la période. Attention, le pendule doit être lâché sans vitesse initiale ( 0
o
=θ
ɺ
).
θ
o
(degrés) 5 10 15 20 25
T (s)
♦ Tracer la courbe T en fonction de θ
o
.
♦ Calculer la valeur théorique de la période : T
th
= ……………….
♦ En déduire la valeur de θ
o
pour laquelle on a le meilleur accord avec la théorie : θ
o
= ……..
♦ Déterminer l’écart relatif maximal par rapport à la théorie sur cette gamme angulaire et conclure :
T
T
∆
= …….
Si la masselotte est lâchée avec une vitesse initiale non nulle, quelle sera la conséquence sur la valeur
de la période :
Expliquer :

Mécanique TP1 5
b) Dépendance de T avec L :
♦ Reprendre les mesures pour différentes valeurs de L (tableau ci-dessous). Le pendule sera lâché
sans vitesse initiale, à la valeur de θ
o
donnant le meilleur accord avec la théorie (courbe précédente).
L
(cm) 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7
T (s)
T
2
(s
2
)
♦ Tracer la courbe expérimentale donnant
2
T
en fonction de L en faisant apparaître l’origine sur
le graphe.
♦ Tracer la courbe théorique sur le même graphe. Comparer expérience et théorie.
Remarque : Pour mieux décrire le comportement de T
2
en fonction de L, il est nécessaire d’affiner le
modèle théorique en introduisant la notion de moment d’inertie (qui sera vue en L2 en mécanique du
solide). La masselotte n’est plus considérée comme ponctuelle et on tient compte des caractéristiques
de la tige (longueur, diamètre et masse) qui contribuent fortement à la divergence observée entre
expérience et théorie lorsque la valeur de L diminue.
3.2 Etude de la vitesse angulaire maximale
Nous avons vu dans la partie théorique que la vitesse angulaire
maximale est atteinte au passage par la position d’équilibre
(en θ = 0) et qu’elle s’écrit :
max
θ
ɺ
= ωθ
o
= o
L
gθ
Dans cette partie, nous allons étudier l’évolution de
max
θ
ɺ
en
fonction de
o
θ.
La mesure de
max
θ
ɺ
est indirecte. Le capteur IR permet de
déterminer la vitesse de passage
max
v =
max
.θ
ɺ
ℓ
d’un point D solidaire
de la tige en aluminium situé à une distance
ℓ
de l’axe de rotation
(figure 4). La mesure de
max
v est réalisée à l’aide d’une
« fourche » en plexiglas fixée sur la tige filetée (annexe I).
D
ℓ
récepteur
Figure 4
fourche en
plexiglas