10. La quantité de mouvement
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Chapitre 10 OSPH 10. La quantité de mouvement et l’impulsion 48 La quantité de mouvement Vers le milieu du XVIIe siècle, on savait q'un corps qui n'est soumis à aucune influence extérieure se déplace à vitesse constante. Quelle est donc «l'influence extérieure» qui fait varier sa vitesse ? René Descartes suggéra que c'était l'impact d'un autre corps subissant lui aussi une variation de vitesse. De plus, selon lui, ces variations n'étaient pas arbitraires. Descartes adhérait à la théorie «mécaniste» : Dieu avait créé l'univers à l'image d'un mécanisme d'horlogerie parfait et immuable, comportant une quantité fixe de «matière» et de «mouvement». Par exemple, dans une collision entre deux particules, la vitesse de chacune d'elles peut changer mais la «quantité de mouvement» totale, qu'il définit comme le produit de la masse et du module de la vitesse, reste constante. Descartes présenta plusieurs autres règles relatives aux chocs, et la plupart étaient incorrectes. Il affirma par exemple que, lorsqu'un petit corps en frappe un plus grand, il rebondit avec la même vitesse, le plus gros des deux corps restant immobile. Cette hypothèse est approximativement correcte pour la collision d'une balle de tennis de table avec une boule de quilles, mais elle n'est pas rigoureusement correcte. Les lois régissant l'impact nécessitaient donc une étude plus approfondie. Ainsi, pour corriger les insuffisances de la théorie de Descartes, les scientifiques introduisirent la notion de quantité de mouvement, grandeur vectorielle: p mv Les chocs satisfaisant la règle de conservation de la quantité de mouvement totale. Ainsi, si p1 et p2 sont les quantités de mouvements de deux corps, on a p1 p2 constante ou p1 p2 0 Par la suite, Newton réalisa toute une série d'expériences sur les collisions entre des substances très diverses (verre, bois, acier et mastic) et s'aperçut que le vecteur mv était toujours conservé, mais que le scalaire mv 2 n'était conservé que dans le cas particulier des collisions entre des sphères dures. En 1752, le mathématicien L. Euler modifia la définition de Newton pour tenir compte explicitement du facteur temps. L'énoncé moderne de la deuxième loi de Newton est donc dp F dt La force résultante agissant sur une particule est égale à la dérivée par rapport au temps de sa quantité de mouvement. dmv dv Si la masse du corps est constante, alors F m ma dt dt 10.1. La conservation de la quantité de mouvement La figure représente une collision entre deux particules de masses m1 et m2 de vitesses initiales v1 et v2 et de vitesses finales v1 et v2 respectivement. Au cours de leur interaction, les deux particules peuvent m1 m1 entrer en contact, comme le feraient deux boules de billard, ou simplement se repousser comme le feraient deux charges électriques de même m2 m2 Chapitre 10 OSPH La quantité de mouvement et l’impulsion 49 signe. La relation entre les vitesses initiales et finales est donnée par le principe de conservation de la quantité de mouvement : m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 Puisqu'il s'agit d'une équation vectorielle, la conservation de la quantité de mouvement vaut pour chaque composante : m1v1x m2v2 x m1v1x m2v2 x m1v1 y m2v2 y m1v1y m2v2 y m1v1z m2v2 z m1v1z m2v2 z Pour pouvoir appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement, il faut que la résultante des forces extérieures agissant sur le système soit nulle. Sur un système de particules, les forces qui agissent sur l’une d’entre elles sont les forces extérieures ainsi que les forces dues à chaque autre particule. Si on en considère la somme, l’influence mutuelle de chacune des particules s’annule (3e loi de Newton) et il reste : dP Fext dt où Fext est la force extérieure résultante agissant sur le système et P est la quantité de mouvement totale des particules. Si la force extérieure résultante sur un système est nulle, la quantité de mouvement totale est constante. Si une force extérieure résultante agit dans les directions x et z, par exemple, mais pas dans la direction y, la composante en y de la quantité de mouvement est encore conservée. Le principe de conservation de la quantité de mouvement est remarquablement simple et général. Il est valable pour tous les types d'interaction et peut s'appliquer à des phénomènes aussi divers que les chocs, les explosions, la désintégration radioactive, les réactions nucléaires, l'émission et l'absorption de lumière. Il permet également d'étudier certains phénomènes courants comme le recul d'une arme à feu et la propulsion d'une fusée. La conservation de la quantité de mouvement peut même s'appliquer, en première approximation, à des cas où la force extérieure résultante n'est pas nulle. Cela est possible si les forces intérieures, comme celles qui interviennent lors d'une explosion ou d'un choc, sont beaucoup plus intenses que la force extérieure, par exemple la force de gravité. Si le phénomène est de courte durée, la force extérieure n'agit pas suffisamment longtemps pour modifier de façon significative la quantité de mouvement totale du système. Dans toute collision de courte durée, on peut affirmer que la quantité de mouvement du système juste avant la collision est égale à la quantité de mouvement du système juste après la collision. Les quantités de mouvement des particules juste après l'événement sont déterminées principalement par les forces intérieures. 10.2. Types de collision Avant d'appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement, nous devons d'abord préciser ce qu'est une collision et faire une distinction entre trois types de collisions. Le terme «collision» désigne en général une interaction brève et intense entre deux corps. La durée de l'interaction est suffisamment courte pour nous permettre de limiter notre étude à l'instant précédant immédiatement et à l'instant suivant immédiatement l'événement. Toutefois, la durée d'une collision dépend de l'échelle de temps qui nous intéresse. Une collision entre particules élémentaires peut durer 10-23 s, alors qu'une collision entre galaxies dure des millions d'années. Les collisions peuvent être élastiques, inélastiques ou encore parfaitement inélastiques ; la quantité de mouvement se conserve dans les trois cas. Chapitre 10 OSPH La quantité de mouvement et l’impulsion 50 Par définition, une collision élastique est un choc dans lequel l'énergie cinétique totale des particules se conserve également: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 m1v1 2 m2 v2 2 m1 v1 2 m2 v2 Soulignons que cette équation est une équation scalaire. Durant une collision élastique, l'énergie cinétique des particules est totalement ou partiellement emmagasinée sous forme d'énergie potentielle, puis complètement restituée sous forme d'énergie cinétique. Les chocs entre billes d'acier sont pratiquement élastiques. Dans les systèmes atomiques et nucléaires, les collisions élastiques sont assez courantes. Si vous voulez savoir si la collision entre une super balle et le sol est élastique, vous n'avez qu'à la lâcher sans vitesse initiale. Si la collision est élastique, la balle reviendra à sa hauteur initiale. Lors d'une collision inélastique, l'énergie cinétique totale des particules varie. Une partie de l'énergie cinétique est emmagasinée sous forme d'énergie potentielle correspondant à une variation de la structure ou de l'état interne et n'est pas restituée immédiatement. Une partie de l'énergie cinétique peut servir à faire passer le système (par exemple, un atome) à un niveau d'énergie plus élevé, ou bien être convertie en énergie thermique de vibration des atomes et des molécules ou en énergie lumineuse, sonore ou en une autre forme d'énergie (l'énergie totale, qui comprend toutes les formes d'énergie, est toujours conservée). Par exemple, la collision entre deux boules de bois est accompagnée d'un bruit: une partie de l'énergie cinétique est transformée en énergie sonore, et la collision est donc inélastique. Lors d'une collision parfaitement inélastique, les deux corps mis en jeu s'accouplent ou restent liés. On rencontre également des chocs au cours desquels il y a augmentation de l'énergie cinétique totale. Cela peut se produire lorsqu'un ressort comprimé ou une charge explosive libère de l'énergie emmagasinée. Méthode de résolution de problèmes 1. Faire un schéma où figurent les directions de toutes les vitesses avant et après l’événement. Utiliser v1 et v2 pour désigner les vitesses avant le choc, v1 et v2 pour celles après le choc. Choisir les axes du système de coordonnées. 2. Ecrire la loi de conservation pour chaque composante du vecteur quantité de mouvement. Ecrire la loi de conservation de l’énergie cinétique si le choc est élastique. 3. Le signe donné à chaque composante de la quantité de mouvement doit être en accord avec le sens des axes. Le signe de v1 et v2 sera donné par la résolution du problème. Exemples 1. Une limousine Cadillac de masse 2000 kg roulant vers l'est à 10 m/s entre en collision avec une Honda Prelude de masse 1000 kg roulant vers l'ouest à 26 m/s. La collision est parfaitement inélastique. (a) Trouver la vitesse v commune des véhicules immédiatement après la collision. (b) Quelle est la fraction d'énergie cinétique perdue pendant la collision ? 2. Une carabine Winchester Super X de masse 3,24 kg, initialement au repos, tire une balle de 11,7 g dont la vitesse a un module de 800 m/s. (a) Quelle est la vitesse de recul de la carabine ? (b) Quel est le rapport des énergies cinétiques de la balle et de la carabine ? 3. Soit une rondelle de masse ml = 3 kg et de vitesse initiale v1 10 m et orientée à 20° s sud par rapport à l'est. Une deuxième rondelle de masse m2 = 5 kg a une vitesse Chapitre 10 OSPH La quantité de mouvement et l’impulsion 51 v2 5 m orientée à 40° ouest par rapport au nord. Elles entrent en collision et s demeurent liées. Trouver leur vitesse commune après le choc. 4. En 1742, Benjamin Robins mit au point un dispositif simple mais ingénieux appelé pendule balistique pour mesurer la vitesse d'une balle de fusil. Supposons qu'une balle de masse m = ____ g et de vitesse v1 soit tirée dans un bloc suspendu de masse M = ____ kg. En pénétrant dans le bloc, la balle le fait monter d'une hauteur H = ____ cm. (a) Comment peut- on déterminer v1 à partir de H? (b) Quelle est l'énergie thermique produite ? (c) Calculer la force de frottement sur la balle en supposant qu'elle parcourt ____ cm avant de s'arrêter. m M H L Au début des années 20, le physicien américain et pionnier de l'espace Robert H. Goddard (1882-1945) travaillait sur la propulsion des fusées. Dans un article paru en 1919, il suggérait qu'une fusée pouvait voyager dans l'espace et même atteindre la Lune. Voici ce qu'on pouvait lire dans l'éditorial du New York Times du 13 janvier 1920: «Il serait absurde d'affirmer que M. le Professeur Goddard, malgré qu'il occupe une «chaire» au Clark College et qu'il bénéficie de l'appui de la Smithsonian Institution, ne connaît pas le principe d'action et de réaction et ne sait pas qu'il faut avoir un milieu, autre que le vide, contre lequel réagir. Évidemment, sa méconnaissance des principes fondamentaux inculqués chaque jour dans les collèges aux élèves n'est qu'apparente.» La presse populaire fit même de lui une caricature, l'affublant du surnom d'«homme lunaire». Pour contrer de tels arguments, Goddard attacha un pistolet de calibre 22 à un axe libre de tourner à l'intérieur d'une cloche en verre d'où l'air avait été évacué. Lorsqu'il tira une balle à blanc, l'arme recula dans le sens opposé à celui de l'échappement des gaz. L'analogie avec la fusée était évidente. Le 16 mars 1926, il réussit à lancer la première fusée à carburant liquide (oxygène liquide et essence). Elle resta allumée pendant 2,5 s avec une vitesse moyenne de 96 km/h. Elle s'éleva jusqu'à une hauteur de 12,5 m et atterrit 56 m plus loin dans un carré de choux. Le 17 juillet 1969, lorsque Neil Armstrong, Edwin Aldrin et Michael Collins entreprirent la première mission sur la Lune, le Times se rétracta en publiant ce qui suit : «Des recherches et des Chapitre 10 OSPH La quantité de mouvement et l’impulsion 52 expériences plus approfondies ont confirmé les résultats obtenus au XVlIe siècle par Isaac Newton, et il est maintenant définitivement établi qu'une fusée peut fonctionner dans le vide aussi bien que dans l'atmosphère. Le Times regrette son erreur.» 10.3. L'impulsion L'impulsion J à laquelle est soumise une particule est définie comme étant la variation de sa quantité de mouvement : J p p f pi L'impulsion est une grandeur vectorielle ayant la même unité que la quantité de mouvement. Son sens est déterminé par la variation de la quantité de mouvement. On peut établir une relation entre l'impulsion et la force résultante agissant sur la particule à l'aide de la deuxième dp loi de Newton sous la forme F . Comme p dp Fdt , on a dt t J Fdt f ti Cette équation est valable pour tout intervalle de temps t t f ti mais on l'utilise le plus souvent dans le cas des forces que l'on qualifie d'impulsives (voir figure). Les forces impulsives agissent durant un intervalle de temps très court et sont très grandes par rapport aux autres forces en présence. On dispose en général de peu de renseignements sur la variation de la force impulsive en fonction du temps; il est donc commode de définir la force moyenne agissant sur la particule par J p Fmoy t Cette équation n'est rien d'autre qu'une variante de la deuxième loi de Newton. En fait, on remplace la variation réelle de la force par une valeur constante produisant la même aire pour l'intervalle de temps donné, soit celle du rectangle représenté à la figure. Une variation donnée de la quantité de mouvement peut être produite par une force intense agissant durant un court intervalle de temps ou par une force plus faible agissant durant un intervalle de temps plus long. Pour arrêter un objet, comme une balle venant vers vous, il vaut mieux prendre un temps aussi long que possible: au lieu de raidir les bras, vous devez les garder souples lorsqu'ils entrent en contact avec la balle. La même observation s'applique dans le cas d'une chute. Vous pouvez réduire les risques de blessures si vous prolongez la chute en fléchissant les genoux ou en roulant sur le sol. 10.4. Exercices 1. Un objet au repos explose en trois morceaux de masse égale. Un des morceaux se déplace vers l'est à 20 m/s, et le deuxième vers le nord-ouest à 15 m/s. Trouvez le module et la direction de la vitesse du troisième morceau. 2. Une bombe de 6 kg se déplaçant à la vitesse de 5 m/s dans la direction 37° sud par rapport à l'est explose en trois morceaux. Un morceau de 3 kg est projeté à 2 m/s selon un angle de 53° nord par rapport à l'est, alors qu'un morceau de 2 kg est projeté vers l'ouest à 3 m/s. Trouvez le module et la direction de la vitesse du troisième morceau. On suppose que tous les mouvements ont lieu dans un plan horizontal. 3. Une balle de masse ml = 3 kg se déplaçant vers le sud à 6 m/s entre en collision avec une balle de masse m2 = 2 kg initialement au repos. La première balle est déviée selon un angle de 60° sud par rapport à l'ouest et la balle cible est projetée à 25° est par rapport au sud. Quels sont les modules des vitesses finales ? Chapitre 10 OSPH La quantité de mouvement et l’impulsion 53 4. Une balle de mastic de 500 g se déplaçant horizontalement à 6 m/s entre en collision avec un bloc posé sur une surface horizontale sans frottement et reste accrochée au bloc. Si 25% de l'énergie cinétique sont perdus, quelle est la masse du bloc ? 5. Une balle de mastic de 200 g tombe verticalement dans un chariot de 2,5 kg qui roule librement à 2 m/s sur une surface horizontale. Quel est le module de la vitesse finale du chariot ? 6. Un chasseur de 80 kg portant un fusil de 4 kg se trouve sur un lac gelé sans frottement. Le fusil tire une balle de 15 g à 600 m/s par rapport à la glace. (a) Quelle est la vitesse de recul du fusil si l'on suppose que le chasseur ne le tient pas fermement contre l'épaule ? (b) Quel est le module de la vitesse du chasseur une fois que le fusil lui a frappé l'épaule ? On suppose que la collision est parfaitement inélastique. (c) Quel serait le module de la vitesse du chasseur s'il tenait son fusil fermement appuyé contre l'épaule ? 7. Une voiture de chemin de fer de masse 2 10 4 kg se déplaçant à 6 m/s entre en collision avec une autre voiture de masse 4 10 4 kg au repos, et les deux voitures restent accrochées. (a) Quelle fraction de l'énergie cinétique initiale est perdue ? (b) Si l'on inverse les rôles des deux voitures, quelle est la fraction d'énergie cinétique perdue ? 8. Une collision parfaitement in élastique survient entre un objet de masse 1 kg et un objet de masse inconnue, au repos. Si 60% de l'énergie cinétique est perdue, quelle est la masse inconnue ? 9. Un noyau de radium radioactif (226Ra), initialement au repos, se décompose en un noyau de radon (222Rn) et une particule de masse 4 u. Si l'énergie cinétique de la particule est égale à 6, 72 10 13 J , quels sont (a) le module de la vitesse de recul du noyau de radon; (b) son énergie cinétique ? On obtient la masse de chaque noyau en multipliant le nombre de masse par 1 u 1, 66 10 27 kg . 10. Un projectile de masse m = 200 g frappe un bloc immobile de masse M = 1,3 kg par le bas avec une vitesse de module u = 30 m/s (figure). Le projectile s'enfonce dans le bloc. (a) Jusqu'à quelle hauteur le bloc s'élève-t-il ? (b) Quelle est la perte d'énergie cinétique due à la collision ? On suppose que la durée de la collision et le déplacement vertical de M durant celle-ci sont négligeables. 11. Une balle de fusil de 10 g voyageant à 400 m/s frappe un bloc de bois et en ressort à 100 m/s. Elle est restée dans le bloc pendant 0,01 s. Quel est le module de la force moyenne agissant sur le bloc ? 12. De l'eau sort d'un tuyau à 10 m/s horizontalement et frappe un mur avant de ruisseler vers le bas. Le débit est égal à 1,5 kg/s. Quel est le module de la force moyenne exercée sur le mur ? Selon toute probabilité, cette évaluation est-elle trop grande ou trop petite ? 13. Des billes d'acier se déplaçant à 12 m/s frappent une plaque inclinée de 45° par rapport à la direction de leur mouvement. Les billes sont ensuite déviées de 90° et le module de leur vitesse ne change pas. Si le débit des billes est égal à 0,5 kg/s, quel est le module de la force moyenne agissant sur la plaque ? 14. Un ressort idéal de constante de rappel k = 400 N/m est attaché à un bloc immobile de masse 4 kg (figure). Un bloc de 2 kg s'approche à 8 m/s. (a) Quelle est la compression maximale du ressort ? (b) Quels sont les modules des vitesses finales des deux blocs ? Le mouvement a lieu sur une surface horizontale sans frottement.
