Ondes Electromagnétiques Travaux Dirigés 2008-2009

IFIPS 1ère Année cycle Ingénieur
Ondes Electromagnétiques
Travaux Dirigés 2008-2009
Julien Bobroff, Frédéric Bouquet, Sophie Guéron,
Stéphanie Mangenot, Meydi Ferrier, Sophie Kazamias
http://ondes.ifips.free.fr
TD 1
Ondes électromagnétiques non
planes émises dans le vide
TD 2
Interférences et diffraction
TD 3
Vue macroscopique des
diélectriques
TD 4
Ondes électromagnétiques
dans les métaux
TD 5
Guides d’ondes rectangulaires
TD 6
Fibres Optiques

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TD 1
Ondes électromagnétiques non planes dans le vide
Une antenne Télé et
Radio Une série d’antennes pour l’astronomie RadioTéléscope d’Arecibo
A. Puissance et ordres de grandeurs
1. Calculer le vecteur de Poynting
R
ur pour une onde plane sinusoïdale homogène rectiligne se
propageant le long de l’axe Oz et dont le champ électrique est polarisé selon l’axe Ox
d’amplitude E0. Que représente physiquement l’amplitude et la direction de ce vecteur ?
Exprimer la norme de
R
u
r en fonction de E0, c, et µ0 ou ε0.
2. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau
d’1 mm de diamètre. Estimer l’amplitude des champs électrique et magnétique dans le
faisceau laser.
3. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est uniforme
sur une demi-sphère concentrique avec la station. En un point situé à 10 km de la station,
calculer l’amplitude du champ électrique.
4. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1 W de façon sensiblement uniforme
dans l’espace. Calculer la puissance rayonnée par unité de surface à 10 cm.
5. Un satellite TV type DBS émet une puissance de 100 W et couvre un pays comme la
France. Quelle est la puissance reçue sur une antenne ?
6. Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux

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d’énergie de 1,35.103 Watt. La rétine de l’œil ne peut pas supporter une puissance supérieure
à 1 mW sans dommage. Peut-on regarder le soleil en face, en l’absence de nuages ? La pupille
peut être assimilée à un cercle de 1 mm de rayon.
B. Le champ émis par une antenne
On considère une antenne placée suivant un axe Oz qui rayonne une onde électromagnétique
sinusoïdale de fréquence ν=87.8 MHz dans le vide. Le champ rayonné est une onde sphérique
de composantes (en coordonnées sphériques) :
3()
033 22
3()
033 22
1
2cos
11
sin
0
ikr t
r
ikr t
i
EE k e
kr kr
i
EE k e
kr kr kr
E
ω
ω
θ
φ
θ
θ
−
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=−−
⎜⎟
⎝⎠
=
où l’exponentielle complexe a pour argument le produit kr et non pas le produit scalaire .kr
r
r.
Le div et le rot s’expriment, en coordonnées sphériques :
2
2
()
(sin )
()11 1
sin sin
rA
A
rA
divA rrr r
ϕ
θ
θ
θ
θθϕ
∂
∂
∂
=+ +
∂∂∂
ur
(sin ) ( ) ()()
1111
sin sin rr
r
ArA
ArA
AA
rotA u u u
rrrrr
ϕϕ
θθ
θ
ϕ
θ
θθ ϕ θϕ θ
∂∂
⎡⎤⎡ ⎤
∂∂
∂∂
⎡
⎤
=−+−+−
⎢⎥⎢ ⎥
⎢
⎥
∂∂ ∂∂ ∂∂
⎣
⎦
⎣⎦⎣ ⎦
ur uuruuruur
1. Vérifier pourquoi il s’agit d’une onde sphérique.
2. On veut se placer à une distance r très grande de l’antenne afin de simplifier l’expression
du champ électromagnétique. À quoi faut-il comparer r pour savoir si la distance peut être
considérée comme grande ? Calculer numériquement λ, la longueur d’onde associée à
l’onde. Que devient
E
ur au premier ordre en λ/r ?
3. Donner l’expression du champ magnétique
B
u
r correspondant. Dessiner E ur et
B
ur .
Dans ce cas, que peut-on dire de la structure de l’onde électromagnétique par rapport à une
onde plane se propageant dans le vide ?
4. Exprimer le vecteur de Poynting
R
u
r associé à cette antenne. Quelle est la signification
physique de la direction et de la norme de ce vecteur ? Quelle est l’unité associée à cette
grandeur ? Dans quelle direction
R
u
r est-il maximum ? Minimum ?
5. Calculer la puissance électromagnétique moyenne Pe sortant d’une sphère de rayon L
centrée sur l’antenne (c’est-à-dire le flux de <
R
u
r> à travers cette sphère). À quoi

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correspond cette puissance vis-à-vis de l’antenne ? Commenter la dépendance en L de Pe.
on utilisera : sin3
0
4
3
θ
π
=
∫
On caractérise une antenne en la comparant à une antenne virtuelle qui aurait la même
puissance moyenne Pe, mais dont le rayonnement serait totalement isotrope. Pour une
direction (θ, φ) de l’espace, on définit alors la directivité d’une antenne D(θ, φ) comme étant
le rapport de la norme du vecteur de Poynting de l’antenne dans cette direction avec celui de
l’antenne virtuelle.
6. Justifier la formule suivante : D = 4πL2 ||<
R
u
r>|| / Pe . La directivité de l’antenne dépend-
elle de L ? Ce résultat est-il valable pour toutes les antennes ?
7. À l’aide d’un diagramme polaire, représenter la directivité D(θ) de cette antenne dans un
plan horizontal. Pourquoi parle-t-on alors d’antenne omnidirectionnelle ? Cette antenne
est-elle adaptée à son rôle d’antenne émettrice ?
8. De la même façon, tracer la directivité de cette antenne dans un plan vertical. Dans quelle
direction D est-elle la plus forte ? Que vaut D dans la direction de l’axe z ? Calculer
l’angle d’ouverture vertical, c’est-à-dire l’angle qui intercepte les directions où la
directivité vaut ½ Dmax.
D en fonction de θ D en fonction de φ
Diagrammes polaires à compléter.
9. Voici les courbes de directivité d’une antenne Wifi murale, de la société RadioLabs.
Déterminer les angles d’ouverture horizontal et vertical de cette antenne. S’agit-il d’une