Ensemble Cnk des parties à k éléments de l`ensemble En ={1, 2 …n

Ensemble Cnk des parties à k éléments
de l’ensemble En = {1, 2 . . . n}.
partie = sous-ensemble
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { ,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = {
,
,
,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,},
,
,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,1},
,
,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,/1},
,
,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2},
,
,
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4},
,
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2,},
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 1},
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, //
1},
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3},
,
}
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
deux éléments d’un ensemble à n éléments est dans
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
deux éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥(n2 )
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
trois éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥()
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
trois éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥(n3 )
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
k éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥()
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui construit toutes les parties à
k éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥(nk )
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
C42
E4 = { 1, 2, 3, 4}
C42 = { {1,2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} }
La complexité de l’algorithme naïf qui imprime toutes les parties à
k éléments d’un ensemble à n éléments est dans ⇥(nk ⇥k)
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Coût d’impression d’un élément
⇥
Nombre d’éléments
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Coût d’impression d’un élément ⇥(k)
⇥
Nombre d’éléments
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Coût d’impression d’un élément ⇥(k)
⇥
Nombre d’éléments Cnk
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Coût d’impression d’un élément ⇥(k)
⇥
Nombre d’éléments Cnk
——————————————⇥(k.Cnk )
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
Peut-on faire mieux ?
Quel est le coût minimum de l’algorithme d’impression ?
Coût d’impression d’un élément ⇥(k)
⇥
Nombre d’éléments Cnk
⇥(k.Cnk )
L’algorithme naïf est en ⇥(k ⇥ nk ), le coût minimum est en
n!
(k 1)!(n k)!
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
coût minimum :
n!
(k 1)!(n k)!
=
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
n!
(k 1)!(n k)!
=
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)
/////
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
nk est beaucoup plus grand que ⇧i=k
i=0
1
(n
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
i)
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
nk est beaucoup plus grand que ⇧i=k
i=0
1
(n
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
i)
Donc le rapport du coût de l’algorithme naïf au coût minimal
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
nk est beaucoup plus grand que ⇧i=k
i=0
1
(n
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
i)
Donc le rapport du coût de l’algorithme naïf au coût minimal
k⇥nk
=
⇧i =k 1 (n i )
i =0
(k
1)!
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
nk est beaucoup plus grand que ⇧i=k
i=0
1
(n
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
i)
Donc le rapport du coût de l’algorithme naïf au coût minimal
k
k⇥nk
= i =k n1
⇥ k! est supèrieur à k!
⇧i =k 1 (n i )
i =0
(k
1)!
⇧i =0
(n i)
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {
algorithme naïf : ⇥(k ⇥ nk )
n!
(n k)!
= 1⇥2⇥...⇥(n
=
coût minimum :
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
(n k)!
k)⇥(n
= 1⇥2⇥...⇥(n
1⇥2⇥...⇥(n
/1⇥2/⇥...⇥(n
k)⇥(n k+1)⇥...⇥n
/////
=⇧i=k
/1⇥2/⇥...⇥(n
i=0
k)
/////
nk est beaucoup plus grand que ⇧i=k
i=0
1
(n
1
(n
n!
(k 1)!(n k)!
k+1)⇥...⇥n
k)
i)
i)
Donc le rapport du coût de l’algorithme naïf au coût minimal
k
k⇥nk
= i =k n1
⇥ k! est supèrieur à k!
⇧i =k 1 (n i )
i =0
(k
1)!
⇧i =0
(n i)
Ça vaut le coup de tenter quelque chose par exemple quand k ⇡
n
2
Ensemble Cnk des parties à k éléments de l’ensemble En = {