Centre de Bernstein dual pour les groupes classiques

Centre de Bernstein dual pour les groupes classiques
Ahmed Moussaoui
University of Calgary
16 décembre 2015
Ahmed Moussaoui (University of Calgary)Centre de Bernstein dual pour les groupes classiques
16 décembre 2015
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Décomposition de Bernstein
Soit F un corps p-adique, c’est-à-dire une extension finie de Qp .
Soit G un groupe réductif connexe sur F (par exemple
GLn (F ), , SLn (F ), Sp2n (F ), SOn (F )).
L’ensemble des (classes d’équivalences de) représentations irréductibles de
G est partitionné suivant B(G ) :
G
Irr(G ) =
Irr(G )s ,
s∈B(G )
où s = [M, σ] avec M un sous-groupe de Levi de G et σ ∈ Irr(M)
supercuspidale.
À tout s ∈ B(G ) est associé :
un tore Ts ;
un groupe fini Ws qui agit sur Ts .
On a une appliction Sc : Irr(G ) −→ Ω(G ) qui à toute représentation
irréductible de G associe son support cuspidal.
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Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
Soit Γ un groupe fini agissant sur une variété complexe affine T par
automorphisme de variété affine.
X = {(t, γ) ∈ T × Γ|γt = t} .
Alors Γ agit sur X :
α(t, γ) = (αt, αγα−1 ), α ∈ Γ, (t, γ) ∈ X .
Définition
On appelle quotient étendu géométrique de T pour l’action de Γ et on note
T Γ le quotient
T Γ := X /Γ.
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Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
Conjecture ABPS
Pour tout s ∈ B(G ), il existe une bijection :
Irr(G )s ←→ Ts Ws .
De plus, en tordant la projection naturelle Ts Ws Ts /Ws , on a un
diagramme commutatif :
Irr(G )s
Ts Ws
Sc
Ts /Ws
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Correspondance de Langlands
On suppose toujours que F est un corps p-adique et que G est un groupe
reductif connexe sur F déployé.
On note Gb le groupe dual de Langlands de G , WF (resp. WF0 ) le groupe de
Weil (resp. Weil-Deligne) de F . Par exemple,
Gb
G
GLn (F )
GLn (C)
SO2n+1 (F )
Sp2n (C)
Sp2n (F )
SO2n+1 (C)
SO2n (F )
SO2n (C)
Définition
Un paramètre de Langlands de G est un morphisme continu φ : WF0 −→ Gb,
tel que :
φ
SL2 (C)
est algébrique ;
φ(WF ) est formé d’éléments semi-simples.
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Langlands correspondence
On note Φ(G ) l’ensemble des Gb-classes de conjugaisons de paramètres de
Langlands de G et Irr(G ) l’ensemble des représentations irréductibles de G .
Conjecture
Il existe une surjection à fibres finies
recG : Irr(G ) −→ Φ(G ).
Ainsi,
Irr(G ) =
G
Πφ (G ).
φ∈Φ(G )
De plus, il existe une bijection
Πφ (G ) ' Irr(SφG ),
avec SφG = ZGb (φ)/ZGb (φ)◦ ZGb .
+ autres propriétés.
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Correspondance de Langlands
La correspondance de Langlands est prouvée pour GLn (F ) par Harris et
Taylor ; Henniart et Scholze, pour SOn (F ) et Sp2n (F ) par Arthur. On note
n
o
Φ(G )+ = (φ, η)φ ∈ Φ(G ), η ∈ Irr(SφG ) .
Alors
+
rec+
G : Irr(G ) ' Φ(G ) .
Propriétés de la correspondance de Langlands : pour tout φ ∈ Φ(G ), on a
les équivalences :
un élément de Πφ (G ) est de la série discrète ;
tous les éléments de Πφ (G ) sont de la série discrète ;
φ ∈ Φ(G )2 (est discret, i.e. l’image ne se factorise pas dans un
sous-groupe de Levi propre).
Supercuspidales ?
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Décomposition de Bernstein
Irr(G )
Φ(G )+
σ ∈ Irr(M) supercuspidale
(ϕ, ε) ∈ Φ(M)+ propriétés ?
Ω(G ) = {(M, σ)}
Ω(G )+ = {(M, ϕ, ε)}
Sc : Irr(G ) −→ Ω(G )
S̀c : Φ(G )+ −→ Ω(G )+ ?
Irr(G )s
Φ(G )+
¯j ?
Question
Comment définir une décomposition analogue pour les paramètres de
Langlands ? Quelle est la notion de paramètre de Langlands cuspidal ? de
support cuspidal ?
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Correspondance de Springer généralisée
Soit H un groupe réductif connexe complexe.
Pour tout x ∈ H, on note AH (x) = ZH (x)/ZH (x)◦ .
n
o
NH+ = (CuH , η) u ∈ H unipotent, η ∈ Irr(AH (u))
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Correspondance de Springer : cas de GLn
Soit H = GLn (C) and T ' (C× )n tore maximal (par exemple, les matrices
diagonales)
Soit UH = {classes de conjugaisons d’éléments unipotents de GLn (C)}.
Par la décomposition de Jordan, on a une bijection
{partition de n} ←→ 
(p1 , . . . , pr )
7→
UG

Jp1
..




.
Jpr
avec

1 1
 1 1


..
Jd = 
.






..
∈ GLd (C)
. 


1 1
1
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Correspondance de Springer : cas de GLn
De plus, le groupe de Weyl de H est : WH = NH (T )/T ' Sn .
On a une bijection :
Irr(WG ) ←→ {partition de n}.
Donc, pour H = GLn (C), on a une bijection :
Irr(WH ) ←→ UH .
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Correspondance de Springer généralisée
Soit u ∈ G un élément unipotent et ε ∈ Irr(AH (u)).
Soit P = LU un sous-groupe parabolique de H et v ∈ L un élément
unipotent.
On définit
Yu,v = gZL (v )◦ U | g ∈ H, g −1 ug ∈ vU
et
1
du,v = (dim ZH (u) − dim ZL (v )).
2
Alors dim Yu,v 6 du,v et ZH (u) agit sur Yu,v par translation à gauche et
l’action se factorise à AH (u). On note Su,v la représentation par
permutation sur les composantes irréductibles de Yu,v de dimensions du,v .
Si P = B = TU, alors
Yu,1 = gB ∈ H/B | g ∈ H, g −1 ug ∈ U = B 0 ∈ B | u ∈ B 0 = Bu .
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Correspondance de Springer généralisée
Définition
On dit que ε est cuspidale, si et seulement si, pour tout sous-groupe
parabolique propre P = LU et pour tout élément unipotent v ∈ L, on a :
HomAH (u) (ε, Su,v ) = 0.
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Correspondance de Springer généralisée
Soit H un groupe réductif connexe complexe.
Pour tout x ∈ H, on note AH (x) = ZH (x)/ZH (x)◦ .
n
o
NH+ = (CuH , η) u ∈ H unipotent, η ∈ Irr(AH (u))
On note SH l’ensemble des (classes de conjugaison sous H de) triplets
(L, CvL , ε) avec
L un sous-groupe de Levi de H ;
CvL une L-orbite unipotente ;
ε ∈ Irr(AL (v )) cuspidale.
Quel que soit H, le triplet (T , {1}, 1) ∈ SH , et NH (T )/T est le
groupe de Weyl de H ;
H
condition
orbite unipotente
AH (u)
ε
GLn
Sp2n
SOn
n=1
2n = d(d + 1)
n = d2
O(1)
{1}
(Z/2Z)d
(Z/2Z)d−1
1
ε(z2i ) = (−1)i
ε(z2i−1 z2i+1 ) = −1
O(2d,2d−2,...,4,2)
O(2d−1,2d−3,...,3,1)
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Correspondance de Springer généralisée
n
o
NH+ = (CuH , η) u ∈ H unipotent, η ∈ Irr(AH (u))
SH l’ensemble des (classes de conjugaison sous H de) triplets (L, CvL , ε)
avec :
L un sous-groupe de Levi de H ;
CvL une L-orbite unipotente ;
ε ∈ Irr(AL (v )) cuspidale.
On note WLH = NH (L)/L.
Théorème (Lusztig,1984)
NH+ '
G
Irr(WLH )
(L,CvL ,ε)∈SH
(CuH , η) ←→ (L, CvL , ε; ρ)
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Correspondance de Springer généralisée dans un cas non
connexe
On suppose à présent que H est un groupe réductif non nécessairement
connexe .
Alors H agit par conjugaison sur NH+◦ et SH ◦ .
Proposition (M.)
La correspondance de Springer généralisée pour H ◦ est H-équivariante, i.e.
◦
◦
h · (CuH , η) ←→ h · (L◦ , CvL , ε; ρ).
Définition
On appelle sous-groupe de quasi-Levi de H, un sous-groupe de la forme
L = ZH (A) avec A un tore contenu dans H ◦ .
La composante neutre d’un sous-groupe de quasi-Levi de H est un
sous-groupe de Levi de H ◦ et WLH = NH (A)/ZH (A) admet
◦
WLH◦ = NH ◦ (L◦ )/L◦ comme sous-groupe distingué.
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Generalized Springer correspondence in a disconnected case
Let u ∈ H ◦ be unipotent et ε ∈ Irr(AH (u)). We say that ε is cuspidal if all
irreducibles subrepresentations of AH ◦ (u) which appear in the restrcition to
AH ◦ (u) are cuspidals.
We denote by
n
o
NH+ = (CuH , η), u ∈ H ◦ unipotent, η ∈ Irr(AH (u))
SH the set of (H-conjugacy classes of) triples (L, CvL , ε) avec
L quasi-Levi subgroup of H ;
CvL a unipotent L-orbit ;
ε ∈ Irr(AL (v )) cuspidal.
Theorem (M.)
For H = On ,
NH+ '
G
Irr(WLH )
(L,CvL ,ε)∈SH
(CuH , η) ←→ (L, CvL , ε, ρ)
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Centre de Bernstein stable, d’après Haines
Soit G un groupe réductif p-adique connexe déployé.
b λ) avec M
b un sous-groupe de Levi de Gb et λ : WF −→ M
b discret.
(M,
b = {χ : WF /IF −→ Z ◦ } ' Z ◦ .
Cocaractères non-ramifiés X(M)
b
b
M
M
Définition
1
2
b1 , λ1 ) et (M
b2 , λ2 ) sont associés s’il existe
Les L-données cuspidales (M
g
g
b
b
b
g ∈ G tel que M1 = M2 and λ2 = λ1 ;
b1 , λ1 ) and (M
b2 , λ2 ) sont inertiellement
Les L-données cuspidales (M
b2 ) tel que
équivalentes s’il existe g ∈ Gb and χ ∈ X(M
gM
b1 = M
b2 and λ2 = g λ1 χ.
On note Ω(G )st (resp. B(G )st ) les classes d’équivalences pour la relation 1
(resp. 2).
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Centre de Bernstein stable, d’après Haines
b λ] ∈ B(G )st . On peut définir le tore
Soit ˚iffl = [M,
b
T˚iffl = {(λχ)Mb , χ ∈ X(M)}
et le groupe fini
n
o
b M,
b ∃χ ∈ X(M),
b (w λ) b = (λχ) b .
W˚iffl = w ∈ NGb (M)/
M
M
On a :
Ω(G )st '
G
˚iffl∈B(G )st
T˚iffl /W˚iffl .
Définition
On appelle centre de Bernstein stable et on note Z(G )st l’anneau des
fonctions régulières sur Ω(G )st :
Z(G )st := C[Ω(G )st ].
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Centre de Bernstein stable, d’après Haines
Soit φ : WF × SL2 (C) −→ Gb un paramètre de Langlands.
λ φ : WF
w
−→
Gb
1/2
|w |
7 → φ w,
−
.
|w |−1/2
bλ un sous-groupe de Levi de Gb qui contient minimalement
On note M
φ
l’image de λφ .
S̀cst : Φ(G ) −→
φ
G
Φ(G ) =
Ω(G )st ,
bλ , λφ ) b
7−→ (M
φ
G
b λ)}
Φ(G )λ , where Φ(G )λ = {φ ∈ Φ(G ), S̀cst (φ) = (M,
b
(M,λ)∈Ω(G
)st
Φ(G ) =
G
˚iffl∈B(G )st
Φ(G )˚iffl , where Φ(G )˚iffl = {φ ∈ Φ(G ), S̀cst (φ) ∈ ˚iffl}.
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Compatibilité de la correspondance de Langlands avec
l’induction parabolique
Conjecture de compatibilité
Soit P = LU un sous-groupe parabolique de G , σ ∈ Irr(L) supercuspidale
et π un sous-quotient irréductible de iPG (σ).
φσ : WF0 −→ Lb paramètre de Langlands de σ ;
φπ : W 0 −→ Gb paramètre de Langlands de π ;
F
Alors, (λφσ )Gb = (λφπ )Gb .
b λ] ∈ B(G )st .
Soit ˚iffl = [M,
e λ (G ) =
Π
G
Πφ (G ).
λ=λφ
e ˚iffl (G ) =
Π
G
e λχ (G ).
Π
λχ∈T˚iffl /W˚iffl
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Compatibilité de la correspondance de Langlands avec
l’induction parabolique
e λ (G ) =
Π
G
Πφ (G ).
λ=λφ
Proposition
La conjecture de compatibilité est équivalente à ce que pour tout
b de Gb et pour tout λ : WF −→ M
b discret, on a :
sous-groupe de Levi M
G
G
G
G
e λ (G ) =
Π
J H(iLU
(π))
b
L∈L(G
) ϕ∈Φ(L)λ π∈Πϕ (L)cusp
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Centre de Bernstein dual
On suppose encore que G est un groupe réductif connexe p-adique déployé
et L un sous-groupe de Levi de G .
Définition (M.)
Soit ϕ ∈ Φ(L). On dit que ϕ est cuspidal lorsque
ϕ est discret ;
Irr(SϕL )cusp est non vide.
Un paramètre de Langlands enrichi (ϕ, ε) ∈ Φ(L)+ est cuspidal lorsque ϕ
est cuspidal et ε ∈ Irr(SϕL )cusp .
Conjecture (M.)
Soit ϕ ∈ Φ(L). Le L-paquet Πϕ (L) contient des représentations
supercuspidales, si et seulement si, ϕ est un paramètre de Langlands
cuspidal. De plus, les représentations supercuspidales dans Πϕ (L) sont
paramétrées par Irr(SϕL )cusp , Φϕ (G )cusp ' Irr(SϕL )cusp .
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Centre de Bernstein dual
Proposition (M.)
b un paramètre de Langlands discret.
Soit λ : WF −→ M
Si φ ∈ Φ(M) est un paramètre de Langlands de M de cocaractère
infinitésimal λ, alors φ = λ.
e λ (M) = Πλ (M).
Π
De plus, toutes les représentations de Sλ (M) sont cuspidales, i.e.
Irr(SλM ) = Irr(SλM )cusp .
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Centre de Bernstein dual
Proposition (M.)
Pour le groupe linéaire, symplectique ou spécial orthogonal, les paramètres
de Langlands cuspidaux sont :
pour GLn (F ),
ϕ : WF −→ GLn (C), irréductible;
fpour SO2n+1 (F ),
ϕ=
dπ
MM
π S2a
π∈IO a=1
dπ
MM
π S2a−1 , ∀π ∈ IO , dπ ∈ N, ∀π ∈ IS , dπ ∈ N∗ ;
π∈IS a=1
pour Sp2n (F ) ou SO2n (F ),
ϕ=
dπ
MM
π∈IS a=1
π S2a
dπ
MM
π S2a−1 ∀π ∈ IO , dπ ∈ N∗ , ∀π ∈ IS , dπ ∈ N.
π∈IO a=1
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Proposition
D’après les théorèmes d’Harris-Taylor et Henniart pour GLn et le théorème
de Mœglin pour les groupes classiques, les représentations supercuspidales
de G sont paramétrés par (ϕ, ε) avec ϕ un paramètre de Langlands
cuspidal de G et ε ∈ Irr(SϕG )cusp . En d’autre terme, la conjecture sur le
paramétrage des représentations supercuspidales est vraie.
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Centre de Bernstein dual
Soit G un groupe réductif connexe p-adique déployé.
b ϕ, ε) avec Lb un sous-groupe de Levi de Gb et (ϕ, ε) ∈ Φ(L)+ cuspidal.
(L,
b = {χ : WF /IF −→ Z ◦ } ' Z ◦ .
Cocaractères non-ramifiés X(L)
b
b
L
L
Définition
1
2
les L-données cuspidales enrichis (Lb1 , ϕ1 , ε1 ) et (Lb2 , ϕ2 , ε2 ) sont
associés s’il existe g ∈ Gb tel que g Lb1 = Lb2 , g ϕ1 = ϕ2 et εg1 ' ε2 ;
les L-données cuspidales enrichis (Lb1 , ϕ1 , ε1 ) et (Lb2 , ϕ2 , ε2 ) sont
inertiellement équivalentes, s’il existe g ∈ Gb et χ ∈ X(Lb2 ) tel que
gL
b1 = Lb2 , g ϕ1 = ϕ2 χ et εg ' ε2 ;
1
Ω(G )+
st
On note
(resp. 2).
(resp.
B(G )+
st )
les classes d’équivalences pour la relation 1
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Centre de Bernstein dual
b ϕ, ε] ∈ B(G )+ . On peut définir le tore
Soit ¯j = [L,
st
b
T¯j = {(ϕχ)Lb, χ ∈ X(L)}
et le groupe fini
o
n
b L,
b ∃χ ∈ X(L),
b (w ϕ) b = (ϕχ) b .
W¯j = w ∈ NGb (L)/
L
L
On a :
Ω(G )+
st '
G
¯j∈B(G )+
st
T¯j /W¯j .
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Centre de Bernstein dual
On a les applications suivantes :
Φ(G ) −→
Ω(G )st
bλ , λφ ) b ,
φ
7−→ (M
φ
G
Ω(G )+
−→
Ω(G )st
st
,
b
b
(L, ϕ, ε)Gb 7−→ (Mλϕ , λϕ )Gb
Φ(G )+ −→ Ω(G )+
st
b ϕ, ε) b , ?????
(φ, η) 7−→ (L,
G
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Centre de Bernstein dual
Conjecture
Soit ϕ : WF0 −→ Lb un paramètre de Langlands cuspidal de L. Supposons la
conjecture sur le paramétrage des supercuspidales. Si σ ∈ Πϕ (L)cusp est
b ϕ, ε],
paramétrée par ε ∈ Irr(SϕL )cusp , alors si on note s = [L, σ]G , ¯j = [L,
on a les isomorphismes :
Ts −→ T¯j
χ
7−→
χ
b
,
Ws −→ W¯j
w
7−→
b
w
,
tels que pour tout χ ∈ Ts , w ∈ Ws :
b ·χ
w
[
·χ=w
b.
Ω(G ) ' Ω(G )+
st
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Support cuspidal d’un paramètre de Langlands enrichi
Théorème (M.)
Soit G un groupe réductif connexe p-adique déployé. En utilisant la
correspondance de Springer, on peut définir une application
b ϕ, ε0 ) b ,
(φ, η) 7−→ (L,
G
avec
Lb un sous-groupe de Levi de Gb ;
ϕ ∈ Φ(L) un paramètre de Langlands cuspidal de L ;
une représentation irréductible ε0 de AZLb(ϕ W
F
)◦ (ϕ SL2 (C) ).
Les paramètres de Langlands φ et ϕ ont le même cocaractère infinitésimal
et pour tout w ∈ WF , on a :
χc (w ) = φ(1, dw )/ϕ(1, dw ) ∈ ZLb◦ ,
avec dw =
1/2
|w |
|w |−1/2
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Support cuspidal d’un paramètre de Langlands enrichi
Théorème (M.)
Soit G l’un des groupes Sp2n (F ) ou SOn (F ). On peut définir une
application
S̀c : Φ(G )+ −→ Ω(G )+
st
b ϕ, ε)
(φ, η) 7−→ (L,
De plus, les fibres sont paramétrés par les représentations irréductibles de
NZGb(ϕ W
F
b(ϕ WF χc ),
b)/ZL
χc ) (AL
où c parcourt les cocaractères de corrections de ϕ dans Gb.
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Équivalence de catégories
Soit G l’un des groupes Sp2n (F ) ou SOn (F ),
M = GL`d11 × . . . × GL`drr × Gn0 sous-groupe de Levi de G et
σ = σ1 . . . σ1 . . . σr . . . σr τ,
{z
}
|
{z
}
|
`1
`r
avec σi représentation supercuspidale irréductible unitaire de GLdi et τ une
représentation irréductible supercuspidale de Gn0 .
On note s = [M, σ]G . Heiermann associe à tout s :
une donnée radicielle basée Rs = (Xs , Σs , Xs∨ , Σ∨
s , ∆s ) ;
un groupe fini Rs ;
fonctions paramètres (λs , λ∗s )
une algèbre de Hecke affine Hs .
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Équivalence de catégories
Théorème (Heiermann)
La catégorie Rep(G )s est équivalente à la catégorie des
Hs o C[Rs ]-modules à droite.
Cette équivalence préserve les objets de la série discrète et les objets
tempérés.
On a : Σs =
Fr
i=1 Σi
;
Si Σi est de type A, C , D ou (de type B pour les racines longues),
α ∈ Σi ∩ ∆s λs (α) = 1 ;
Si Σi est de type B, pour la racine courte
λs (αi ) = xi+ + xi− , λ∗s (αi ) = xi+ − xi− , avec xi+ l’unique nombre réel
positif x tel que σi | |x o τ est réductible (pareil pour xi− avec σi ζ).
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Paramètres de l’algèbre de Hecke graduée obtenue à partir
de Hs
A`i −1
2
2
2
2
2
B`i /C`i
2
2
2
2
xi±
si σi ∈ Jord(τ )
B`i /C`i
2
2
2
2
2
si σi 6∈ Jord(τ )
2
2
2
2
2
Dn
2
aσi = sup{(π, a) ∈ Jord(τ )}
a∈N
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Algèbre de Hecke graduée associée à un triplet cuspidal
Soit H un groupe réductif connexe complexe et t = (L, C, ε) ∈ SH .
Soit h l’algèbre de Lie de H et (σ, r0 ) ∈ h ⊕ C un élément semi-simple.
{x ∈ h, [σ, x] = 2r0 x} .
(x, η), η ∈ Irr(AH (σ, x)).
À partir de t = (L, C, ε) Lusztig construit :
une donnée radicielle basée R = (X , Σ, X ∨ , Σ∨ , ∆) ;
une fonction paramètre µt : ∆ −→ N ;
une algèbre de Hecke graduée Hµt .
Lusztig a défini un Hµt -module M(σ, r0 , x). Soit η ∈ Irr(AH (σ, x)) et
M(σ, r0 , x, η) = HomAH (σ,x) (η, M(σ, r0 , x)).
Soit Irr(AH (x))ε l’ensemble des représentations irréductibles ηe deAH (x)
tels que (CxH , ηe) est dans le bloc défini par (L, C, ε).
On a AH (σ, x) ,→ AH (x) et on note Irr(AH (σ, r0 , x))ε l’ensemble des
représentations irréductibles de AH (σ, r0 , x) qui apparaissent dans la
restriction à AH (σ, r0 , x) d’une représentation ηe ∈ Irr(AH (x))ε .
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16 décembre 2015
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Algèbre de Hecke graduée associée à un triplet cuspidal
Théorème (Lusztig)
1
M(σ, r0 , x, η) 6= 0, si et seulement si, η ∈ Irr(AH (σ, r0 , x))ε
2
Tous les Hµt -modules simples sur lesquels r agit par r0 , est un quotient
de M(σ, r0 , x, η) d’un M(σ, r0 , x, η), avec η ∈ Irr(AH (σ, r0 , x))ε
3
L’ensemble des Hµt -modules simples de caractère central (σ, r0 ) est en
bijection avec
M(σ,r0 ) = {(x, η)|x ∈ h, [σ, x] = 2r0 x, η ∈ Irr(AH (σ, x))ε }
4
5
Un Hµt -module simple M(σ, r0 , x, η) est temperé, ssi, il existe un
sl2 -triplet (x, h, y ) dans h tel que
[σ, x] = 2r0 x, [σ, h] = 0, [σ, y ] = −2r0 y et σ − r0 h est elliptique.
Dans ce cas, M(σ, r0 , x, η) = M(σ, r0 , x, η)
Si CxH est une orbite distinguée dans H, alors M(σ, r0 , x, η) est dans la
série discrète.
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Algèbre de Hecke graduée associée à un triplet cuspidal
H
L
partition
R
Rred
Sp2n
(C× )` × Sp2n0
(1` ) × (2, 4, . . . , 2d)
BC`
B`
(C× )n
(1n )
Cn
Cn
(C× )` × SON 0
(1` )×(1, 3, . . . , 2d +1)
B`
B`
SON
SO2n+1
× n
(C )
(1 )
Bn
Bn
SO2n
(C× )n
(1n )
Dn
Dn
n
paramètres
2
2
2
2
2 2d + 1
2
2
2
2
2
2
2 2d + 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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Théorème (M.)
Soit G un groupe classique déployé. Soit s = [L, σ] ∈ B(G ) et
b ϕ, ε] ∈ Bst (G )+ correspondant. On a une bijection
= [L,
¯j
Irr(G )s ' Φ(G )+
¯j ,
qui induit une bijection
Irr(G )s,2 ' Φ(G )+
¯j,2 ,
et
Irr(G )s,temp ' Φ(G )+
¯j,bdd .
Théorème (M.)
La conjecture de compatabilité entre la correspondance de Langlands et
l’induction parabolique est vraie pour les groupes classiques déployés.
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Merci pour votre attention
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