Centre de Bernstein dual pour les groupes classiques

Centre de Bernstein dual pour les groupes classiques
Ahmed Moussaoui
University of Calgary
16 décembre 2015
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Décomposition de Bernstein
Soit Fun corps p-adique, c’est-à-dire une extension finie de Qp.
Soit Gun groupe réductif connexe sur F(par exemple
GLn(F), , SLn(F),Sp2n(F),SOn(F)).
L’ensemble des (classes d’équivalences de) représentations irréductibles de
Gest partitionné suivant B(G):
Irr(G) = G
s∈B(G)
Irr(G)s,
où s= [M, σ]avec Mun sous-groupe de Levi de Get σ∈Irr(M)
supercuspidale.
À tout s∈ B(G)est associé :
un tore Ts;
un groupe fini Wsqui agit sur Ts.
On a une appliction Sc :Irr(G)−→ Ω(G)qui à toute représentation
irréductible de Gassocie son support cuspidal.
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Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
Soit Γun groupe fini agissant sur une variété complexe affine Tpar
automorphisme de variété affine.
X={(t, γ)∈T×Γ|γt=t}.
Alors Γagit sur X:
α(t, γ)=(αt, αγα−1), α ∈Γ,(t, γ)∈X.
Définition
On appelle quotient étendu géométrique de Tpour l’action de Γet on note
TΓle quotient
TΓ := X/Γ.
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Conjecture d’Aubert-Baum-Plymen-Solleveld
Conjecture ABPS
Pour tout s∈ B(G), il existe une bijection :
Irr(G)s←→ TsWs.
De plus, en tordant la projection naturelle TsWsTs/Ws, on a un
diagramme commutatif :
Irr(G)sTsWs
Ts/Ws
Sc
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Correspondance de Langlands
On suppose toujours que Fest un corps p-adique et que Gest un groupe
reductif connexe sur Fdéployé.
On note b Gle groupe dual de Langlands de G,WF(resp. W0
F) le groupe de
Weil (resp. Weil-Deligne) de F. Par exemple,
Gb G
GLn(F)GLn(C)
SO2n+1(F)Sp2n(C)
Sp2n(F)SO2n+1(C)
SO2n(F)SO2n(C)
Définition
Un paramètre de Langlands de Gest un morphisme continu φ:W0
F−→ b
G,
tel que :
φSL2(C)est algébrique ;
φ(WF)est formé d’éléments semi-simples.
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