Reconstruction de graphe par un agent mobile disposant d`une vue

Reconstruction de graphe par un agent mobile
disposant d’une vue locale
J´er´emie Chalopin
Laboratoire : Laboratoire d’Informatique Fondamentale de Marseille (LIF)
Encadrant : J´er´emie Chalopin ([email protected])
Dans ce stage, on s’int´eresse `a un probl`eme classique d’algorithmique dis-
tribu´ee pour agents mobiles : la cartographie. On consid`ere un agent mobile
(qui repr´esente un robot ou un agent logiciel) qui se d´eplace dans un environne-
ment mod´elis´e par un graphe. L’agent peut se d´eplacer d’un sommet `a l’autre
le long des arˆetes du graphe. Un algorithme de cartographie permet `a l’agent
de reconstruire une carte du graphe sous-jacent.
On suppose que le graphe est anonyme, c’est `a dire que les sommets du
graphe ne poss`ede pas d’identifiants, et un agent ne peut pas a priori distinguer
deux sommets de mˆeme degr´e. Dans ce cadre, il n’est pas toujours possible de
reconstruire une carte du graphe sous-jacent : il existe des graphes qu’un agent
ne peut pas distinguer les uns des autres. Par exemple, si un agent est dans
un cycle, il n’arrivera pas `a reconstruire la carte du graphe sauf s’il connaˆıt
initialement le nombre de sommets du graphe. La connaissance initiale dont
dispose l’agent sur le r´eseau initial est aussi un param`etre important `a prendre
en compte. Par exemple, il est connu que si l’agent sait qu’il est initialement
dans un arbre, alors il arrivera toujours `a reconstruire une carte du graphe
sous-jacent sans avoir besoin de connaissance intitiale suppl´ementaire.
Dans ce stage, on souhaite consid´erer un agent mobile qui a une vue locale,
c’est `a dire que lorsqu’il est sur un sommet v, il voit le graphe induit par les
voisins de v(dans les travaux existants, on suppose g´en´eralement qu’il ne connaˆıt
que le degr´e de v). Dans ce cadre, on souhaite caract´eriser les graphes pour
lesquels il existe un algorithme de cartographie selon l’information initiale dont
l’agent dispose `a propos du graphe (par exemple, il peut connaˆıtre le diam`etre,
la taille, ou une borne sur la taille du graphe).
Dans la litt´erature, il existe de nombreux r´esultats pour des agents ne pou-
vant observer que le degr´e du sommet o`u il se trouve. Dans ce cadre, les ca-
ract´erisations existantes utilisent les notions de revˆetements et de fibrations [1]
qui sont des outils combinatoires emprunt´es `a la topologie alg´ebrique.
Dans le cadre du stage, on propose d’´etudier le complexe de clique associ´e au
graphe sous-jacent. Le complexe de clique d’un graphe est un complexe simplicial
o`u les simplexes sont les cliques du graphe. On souhaite utiliser les revˆetements
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de complexes simpliciaux [2] pour caract´eriser les graphes pour lesquels il existe
un algorithme de cartographie.
En plus de caract´eriser les graphes pour lesquels le probl`eme peut ˆetre r´esolu,
on souhaite proposer des algorithmes efficaces pour r´esoudre le probl`eme. Ici, on
cherche `a minimiser le nombre d’arˆetes que l’agent traverse lors de l’ex´ecution
de l’algorithme.
R´ef´erences
[1] P. Boldi and S. Vigna, Fibrations of graphs, Discrete Mathematics 243 (2002), no. 1-3,
21–66.
[2] Allen Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
MR1867354 (2002k :55001)
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