IT3004 Graphes et algorithmes Notes de cours et exercices

IT3004
Graphes et algorithmes
Notes de cours et exercices
Michel COUPRIE
Le 20 février 2017

L’unité Graphes et Algorithmes a son site web !
http://www.esiee.fr/~coupriem/IT3004/
Vous y trouverez le plan du cours, les sujets des TD et des TP, des lectures conseillées, des
liens sur d’autres sites parlant de graphes et d’algorithmes ...
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Table des matières
1 Notions de base 1
1.1 Première définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Représentation en mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Représentation d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Opérations sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Représentation d’un graphe (E,~ Γ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Représentation d’un graphe (E,Γ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Évaluation de la complexité d’un algorithme . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Graphes orientés et non-orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Le symétrique d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Graphe symétrique, graphe antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Fermeture symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Graphe non-orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Réflexivité, antiréflexivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Graphe complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Chemins, connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Chemins et chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Composante connexe et fortement connexe . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Calcul des composantes fortement connexes et des composantes connexes 14
1.4.4 Degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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1.6 Graphe biparti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Arbres et arborescences 21
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Isthme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Découpage en niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Fausse monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Arborescence de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Arborescence ordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.5 Arborescence de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Arbre de poids extrémum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Graphe Pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Propriétés des arbres de poids maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Algorithme de KRUSKAL_1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.4 Algorithme de KRUSKAL_2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.5 Algorithme de PRIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Plus courts chemins 33
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Problématique du plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Graphe des plus courts chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Réseaux à longueurs quelconques (Bellman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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