MÉCANIQUE DES FLUIDES MÉCANIQUE DES FLUIDES

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MÉCANIQUE DES FLUIDES
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MÉCANIQUE DES FLUIDES
Généralités sur les fluides
Statique des fluides
Cinématique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels

1
TABLE DES MATIÈRES
Généralités.....................................................................................................................................2
Propriétés physiques des fluides..................................................................................2
Forces subies par un fluide...........................................................................................5
Statique des fluides .....................................................................................................................7
Équation fondamentale de la statique des fluides .......................................................7
Application aux fluides incompressibles : hydrostatique .............................................9
Forces s’exerçant sur une surface immergée (forces hydrostatiques).................... 11
Application aux fluides compressibles....................................................................... 15
Problème général de statique des fluides................................................................. 17
Cinématique des fluides............................................................................................................18
Description du mouvement ........................................................................................ 18
Conservation de la masse.......................................................................................... 21
Étude locale du champ de vitesse : rotation et déformation..................................... 24
Types particuliers d’écoulement ................................................................................ 29
Dynamique des fluides parfaits...............................................................................................31
Bilan de quantité de mouvement : équation d’Euler................................................. 31
Théorème de Bernoulli et ses applications ............................................................... 37
Bilan global des quantités de mouvement ................................................................ 43
Dynamique des fluides réels....................................................................................................48
Viscosité. Lois de comportement............................................................................... 48
Dynamique des fluides visqueux incom-pressibles : équation de Navier Stokes... 50
Écoulements laminaires et écoulements turbulents. Pertes de charge................... 56

2
Chapitre
1 Généralités
Propriétés physiques des fluides
Qu’est-ce qu’un fluide ?
C’est un milieu matériel :
! continu ; ses propriétés varient d’une façon continue, propriétés considérées comme
caractéristiques non d’un point sans volume mais d’une particule, volume de fluide
extrêmement petit autour d’un point géométrique ; par exemple, on affecte à chaque point P,
pour chaque instant t, une masse volumique ρ représentative de la population des molécules
intérieures au volume dV de la particule ;
! déformable (il n’a pas de forme propre) ; les molécules peuvent facilement glisser les unes sur
les autres ; cette mobilité fait que le fluide prendra la forme du récipient qui le contient ;
! qui peut s’écouler ; mais tout fluide peut s’écouler plus ou moins facilement d’un récipient à un
autre ou dans une conduite : des forces de frottements qui s’opposent au glissement des
particules de fluide les unes contre les autres peuvent apparaître car tout fluide réel a une
viscosité.
L’état fluide englobe deux des trois états de la matière : le liquide et le gaz. Les liquides et gaz
habituellement étudiés sont isotropes, c’est-à-dire que leurs propriétés sont identiques dans toutes les
directions de l’espace.
Particule fluide
La particule fluide est une portion de fluide à laquelle correspondent, à un instant t, une vitesse, une
pression, une température, une masse volumique, etc. Le volume envisagé est très petit à notre
échelle, mais doit contenir encore un très grand nombre de molécules pour que les chocs moléculaires
puissent être remplacés par la pression moyenne. Les particules fluides ne sont pas des particules
microscopiques sur lesquelles le mouvement brownien dû à l’agitation moléculaire est très perceptible ;
la notion de continuité repose sur celle de la compacité du réseau moléculaire intrinsèquement
lacunaire1.
Chaque particule d’un fluide est soumise à des forces de volume qui sont des forces à longue
distance induites par des champs de forces - le plus banal étant le champ de pesanteur - et à des
forces de surface, forces de contact transmises à la surface de la particule par les éléments
environnants. On peut dire qu’un fluide est un corps homogène et continu dont les diverses particules
peuvent se déplacer ou se déformer sous l’action d’une force très faible.
1 Un nombre sans dimension utile dans cette discussion est le nombre de Knudsen Kn, rapport du libre parcours moyen l
(distance moyenne que parcourt une molécule entre deux chocs successifs avec ses molécules voisines) à la longueur
de référence L caractéristique de l’écoulement considéré (soit le diamètre du tube, s’il s’agit d’un fluide s’écoulant dans
un tube, soit le diamètre d’un orifice pour l’éjection d’un fluide, soit de la corde d’un profil d’aile, etc.). À partir de résultats
expérimentaux, il apparaît que si Kn < 0,02 le fluide est un milieu continu. C’est ce domaine qui nous intéresse ici. Cela
exclut les gaz à basse pression.

3
Masse volumique
Définition
Considérons un milieu continu fluide à l’intérieur d’un volume V, et soit dV un volume élémentaire défini
autour d’un point M du volume V. Désignons par dm la masse de fluide contenue dans le volume dV.
Le rapport dVdm=ρ représente la masse volumique moyenne du fluide contenu dans le volume dV.
On définit la masse volumique au point M par :
dV
dm
0dVlim →
=ρ 2 (kg/m3)
La masse m du fluide contenue dans le volume V est alors : ∫∫∫ρ= VdVm.
La densité d’un liquide est définie par : eaufluide
dρρ= (sans unité).
Ordres de grandeur des masses volumiques (à 20 °C)
Eau (le standard liquide) 1 000 kg/m3
Huile 914 kg/m3
Mercure 13 400 kg/m3
Air (le standard gazeux) 1,2 kg/m3 << ρeau
Les liquides sont caractérisés par une masse volumique relativement importante ; ρgaz << ρliquide
Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour un gaz parfait,
l’équation d’état donne rT
p
=ρ , où r est la constante massique des gaz parfaits ( M
R
r= avec R = 8,314
Jmole-1K-1 et M masse molaire du gaz).
Compressibilité
La propriété physique qui permet de faire la différence entre un liquide et un gaz est la compressibilité.
Un liquide est un fluide occupant un volume déterminé, ou du moins ce volume ne peut varier que très
peu, et seulement sous l’action de fortes variations de pression ou de température. Un gaz, au
contraire, occupe toujours le volume maximal qui lui est offert : c’est un fluide essentiellement
compressible (ou expansible).
Définition de la compressibilité
La compressibilité traduit la diminution de volume en réponse à un accroissement de pression. Pour
quantifier cet effet on introduit le coefficient de compressibilité isotherme défini par :
T
p
v
v
1
∂
∂
−=χ (Pa-1)
où ρ
=1 v est le volume massique (m3/kg).
Un accroissement de pression entraîne une diminution de volume, et inversement ; d’où la nécessité de
mettre un signe moins devant le coefficient de compressibilité.
2 Les dimensions de la surface fermée entourant dV ne doivent pas être trop faibles au cours de ce passage à la limite ; il
faut que les molécules qu’elle renferme restent en nombre suffisant pour que la masse volumique soit une fonction
continue.

4
Ordres de grandeur des compressibilités
Eau 4,1 10-10 Pa-1
Mercure 4,4 10-10 Pa-1
Air ≈ 10-5 Pa-1
χgaz >> χliquide
Pour les gaz parfaits, on déduit de l’équation d’état des gaz parfaits : p
1
=χ .
Calculez la pression à exercer sur un liquide tel que l’eau pour observer une variation de volume de 1
pour 1000. Réponse : ∆p = 24 atm.
Relation entre masse volumique et compressibilité
Le volume (et donc la masse volumique) peut varier sous l’effet de la pression ou de la température. En
plus du coefficient de compressibilité isotherme, on définit donc un coefficient de dilatation thermique à
pression constante : p
T
v
v
1
∂
∂
=α .
Dans un fluide en mouvement les trois grandeurs p, v = 1/ρ et T ne sont pas uniformes et l’équilibre
thermodynamique n’est réalisé que localement, à l’échelle de la particule. L’équation différentielle
d’état :
dT
T
v
dp
p
v
dv p
T
∂
∂
+
∂
∂
=
peut être transformée en faisant apparaître les deux coefficients χ et α :
vdTvdpdv α+χ−=
Nous n’étudierons que des écoulements de liquides ou de gaz dans lesquels la température peut être
considérée comme constante (dT = 0). L’approximation suivante sera donc faite :
Liquide = fluide incompressible (χ
χχ
χ = 0) ⇒
⇒⇒
⇒ ρ
ρρ
ρ = cte : fluide isovolume (dv = 0)
En pratique, il est raisonnable de dire qu’un fluide est isovolume si %4≤ρρ∆ au cours de son
mouvement. La variation pour l’eau est 4
105− =ρρ∆ pour une variation de température ∆T = 1 K et
4
102− =ρρ∆ pour une variation de pression ∆p = 1 bar. On peut donc souvent traiter l’eau comme
un fluide incompressible et utiliser dans les équations du mouvement une masse volumique ρ = cte.
Viscosité
L’agitation des molécules est responsable d’un transfert microscopique de quantité de mouvement
d’une particule à sa voisine s’il existe entre elles une différence de vitesse. Ce transfert est traduit par la
propriété appelée viscosité, sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre 5.
La viscosité caractérise l’aptitude d’un fluide à s’écouler. Tout fluide réel présente une viscosité qui se
manifeste par une résistance à la mise en mouvement du fluide. Par opposition, dans un fluide parfait
aucune force de frottement ne s’oppose au glissement des particules fluide les unes contre les autres.
Les fluides parfaits n’existent pas ; ils constituent un modèle.