champ uniforme : les bobines de Helmholtz
1. on considère une spire circulaire (C) de centre O, d'axe Oz, parcourue par un courant I constant. En un point
M de l'axe, le rayon est vu sous l'angle α; on rappelle l'expression du champ
z
30
u)(sin
R2
I
)M(B r
rα
µ
=
.
1.1 représenter les lignes de champ; exprimer ce champ en fonction de la variable u = z/R.
1.2 en utilisant une propriété fondamentale du champ
)M(B
, que l'on appliquera à un petit cylindre d'axe Oz et
de hauteur dz, trouver une relation entre la composante radiale B
r
au voisinage de l'axe de la spire, r, et
z
B
z
∂
.
1.3 on définit la fonction f(u) = B(M) / B(O) où B(M) représente la valeur algébrique de la projection de
)M(B
sur l'axe Oz. Exprimer f(u), et tracer l'allure de la courbe f(u).
1.4 développer l'expression de f(u) au second ordre en u.
1.5 le champ
)M(B
peut-il être considéré comme uniforme au voisinage du point O? Discuter cette proposition à
l'aide d'arguments géométriques; de combien faut-il se déplacer sur
l'axe Oz à partir de O pour que le champ décroisse de 2 % ?
2. on associe maintenant plusieurs spires pour former deux bobines
d'épaisseur négligeable, de N spires chacune, de centres respectifs O
1
et O
2
(fig.1)
chaque bobine pourra donc être considérée comme une spire unique
parcourue par le courant NI et leur distance est telle que 2d = R.
2.1 représenter l'allure des lignes du champ créé par l'ensemble des
deux bobines.
2.2 en utilisant les résultats de la première question pour deux spires
décalées de ±
R/2
par rapport à O, calculer le champ total en M sur
l'axe Oz ; on pose encore u = z/R, exprimer le champ en fonction de (u +
1/2
) et (u -
1/2
).
2.3 on s'interesse au champ en M sur l'axe au voisinage du point O, et on donne :
calculer le rapport
g(u) = B(M) / B(O); que peut-on en dire si on se limite à l'ordre 3 ? que peut-on en déduire?
2.4 représenter alors l'allure de la courbe g(u).
2.5 calculer la distance sur laquelle B varie de moins de 2% en valeur relative à partir de O. Comparer au résultat
de la question 1, et conclure sur l'utilité du dispositif. A quelle occasion l'avez vous déjà utilisé ?
3. Un détecteur de particules chargées nécessite la production d’un champ magnétique uniforme et permanent
de norme B = 0,5T dans un volume cylindrique de hauteur H = 4m et de diamètre D = 4m.
On veut comparer les deux sources décrites précédemment. Les spires sont réalisées avec un matériau
conducteur de section carrée de 2mm de côté et l’intensité du courant I est limitée à 100A.
3.1 Dans le cas d’un solénoïde de longueur ℓ = 8m, déterminer le nombre de spires que l’on
doit utiliser, éventuellement sur plusieurs couches, pour délivrer sur Oz un champ susceptible d’être
utilisé pour détecter des particules chargées. En déduire la longueur totale de fil conducteur que l’on
doit utiliser.
3.2 Pour l’utilisation des bobines de HELMHOLTZ, on souhaite que le champ magnétique ne
varie pas de plus de 2% le long de l’axe Oz sur toute la hauteur H. Déterminer le rayon des spires à
utiliser puis calculer le nombre N de spires pour chaque bobine. En déduire la longueur totale de fil
conducteur que l’on doit utiliser.
3.3Le fil conducteur utilisé est du cuivre de conductivité s= 6.10
7
S.m
−1
. Après avoir choisi la
source de champ la plus économique en fil, calculer la puissance perdue par effet JOULE dans celle-ci.
Commenter ce résultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on utiliser pour réaliser
cette source ?
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