ch3 bobines de Helmholtz supraconductrices

champ uniforme : les bobines de Helmholtz
1. on considère une spire circulaire (C) de centre O, d'axe Oz, parcourue par un courant I constant. En un point
r
M de l'axe, le rayon est vu sous l'angle α; on rappelle l'expression du champ B(M) =
µ0I
r
sin 3 (α)u z .
2R
1.1 représenter les lignes de champ; exprimer ce champ en fonction de la variable u = z/R.
r
1.2 en utilisant une propriété fondamentale du champ B(M) , que l'on appliquera à un petit cylindre d'axe Oz et
∂B z
.
∂z
r
1.3 on définit la fonction f(u) = B(M) / B(O) où B(M) représente la valeur algébrique de la projection de B(M)
de hauteur dz, trouver une relation entre la composante radiale Br au voisinage de l'axe de la spire, r, et
sur l'axe Oz. Exprimer f(u), et tracer l'allure de la courbe f(u).
1.4 développer l'expression de f(u) au second ordre en u.
r
1.5 le champ B(M) peut-il être considéré comme uniforme au voisinage du point O? Discuter cette proposition à
l'aide d'arguments géométriques; de combien faut-il se déplacer sur
l'axe Oz à partir de O pour que le champ décroisse de 2 % ?
2. on associe maintenant plusieurs spires pour former deux bobines
d'épaisseur négligeable, de N spires chacune, de centres respectifs O1
et O2 (fig.1)
chaque bobine pourra donc être considérée comme une spire unique
parcourue par le courant NI et leur distance est telle que 2d = R.
2.1 représenter l'allure des lignes du champ créé par l'ensemble des
deux bobines.
2.2 en utilisant les résultats de la première question pour deux spires
décalées de ± R/2 par rapport à O, calculer le champ total en M sur
l'axe Oz ; on pose encore u = z/R, exprimer le champ en fonction de (u + 1/2) et (u - 1/2).
2.3 on s'interesse au champ en M sur l'axe au voisinage du point O, et on donne :
calculer le rapport g(u) = B(M) / B(O); que peut-on en dire si on se limite à l'ordre 3 ? que peut-on en déduire?
2.4 représenter alors l'allure de la courbe g(u).
2.5 calculer la distance sur laquelle B varie de moins de 2% en valeur relative à partir de O. Comparer au résultat
de la question 1, et conclure sur l'utilité du dispositif. A quelle occasion l'avez vous déjà utilisé ?
3. Un détecteur de particules chargées nécessite la production d’un champ magnétique uniforme et permanent
de norme B = 0,5T dans un volume cylindrique de hauteur H = 4m et de diamètre D = 4m.
On veut comparer les deux sources décrites précédemment. Les spires sont réalisées avec un matériau
conducteur de section carrée de 2mm de côté et l’intensité du courant I est limitée à 100A.
3.1 Dans le cas d’un solénoïde de longueur ℓ = 8m, déterminer le nombre de spires que l’on
doit utiliser, éventuellement sur plusieurs couches, pour délivrer sur Oz un champ susceptible d’être
utilisé pour détecter des particules chargées. En déduire la longueur totale de fil conducteur que l’on
doit utiliser.
3.2 Pour l’utilisation des bobines de HELMHOLTZ, on souhaite que le champ magnétique ne
varie pas de plus de 2% le long de l’axe Oz sur toute la hauteur H. Déterminer le rayon des spires à
utiliser puis calculer le nombre N de spires pour chaque bobine. En déduire la longueur totale de fil
conducteur que l’on doit utiliser.
3.3Le fil conducteur utilisé est du cuivre de conductivité s= 6.107S.m−1. Après avoir choisi la
source de champ la plus économique en fil, calculer la puissance perdue par effet JOULE dans celle-ci.
Commenter ce résultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on utiliser pour réaliser
cette source ?
________________________
corrigé : bobines de Helmholtz
1.1 champ d'une spire circulaire :
r
µ I
µ I
r
R3
B(M ) = 0 sin 3 (α)u z = 0
2R
2R R 2 + z 2
(
avec u = z/R :
r
µ I
1
B(M ) = 0
2R 1 + u 2
(
)
3/ 2
(
)
3/ 2
µ I
r
u z = 0 1+ u 2
2R
)
r
uz
−3 / 2 r
uz
1.2 si on représente le champ B créé par une spire circulaire, on voit qu'il possède une composante radiale au
voisinage de l'axe de la spire. Calculons le flux de B à travers un petit cylindre d'axe Oz, qui forme une surface
fermée:
dΦtotal= SBz(z+dz) - SBz(z) + 2πr dz Br = 0
soit avec S = πr²
r
1.3.en O : B(O) =
πr² dBz/dz = - 2πr dz Br ou encore B r = −
(
µ0I r
2
u z donc B(M ) / B(O) = f (u ) = 1 + u
2R
r ∂B z
(voir cours, ch3, §3)
2 ∂z
)
−3 / 2
f(u)
allure de la courbe : f(u=0) = 1 et f(u→±∞) → 0
(
1.4. au second ordre : 1 + u 2
)
−3 / 2
=1−
3 2
u + o( u 2 )
2
1.5 le champ B n'est pas rigoureusement uniforme au voisinage de O, mais il ne dépend de u = z/R qu'au second
ordre; il varie donc très peu si z/R est << 1 ; on le voit également sur la carte du champ : les lignes de champ sont
quasiment parallèles autour du point O. L'intensité de B décroit de 2% si f(u) = 0,98, soit
3 2
u = 0,02
2
on en déduit u = 0,11 , soit |z| ≤ 0,11 R.
2.1 allure du champ créé par les deux bobines :
le courant étant de même sens dans les deux bobines, le champ est
renforcé dans la zone centrale, le plan médiateur de la figure est plan de
r
r
symétrie pour ( j) donc d'antisymétrie pour (B) .
2.2 pour la bobine de gauche, décalée de -R/2
par rapport à l'origine:
−3 / 2
r
µ NI 
µ NI
r
r
R3
1 
B(z) = 0
u z = 0 1 + ( u + ) 2 
uz
3/ 2
2R 
2
R
2


R 2
2
 R + (z + ) 
2


r
le champ total est : B(z) =
r
et à droite : B(z) =
µ 0 NI 
1 
1 + ( u − ) 2 
2R 
2 
−3 / 2
−3 / 2 
µ 0 NI 
r
1 
1 

1 + (u + ) 2 
u z
+ 1 + ( u − ) 2 
2R 
2 
2




2.3 au point O le champ vaut : B(O) =
−3 / 2
−3 / 2 
µ 0 NI 
µ NI 8
1 
1 

1 + ( ) 2 
= 0
+ 1 + ( − ) 2 
2 R 
2 
2 
R 5 5




en développant chaque terme de l'expression précédente à l'ordre 4, il vient :
B(M ) =
µ 0 NI 8  6
32 3 144 4
6
32 3 144 4

u −
u +1+ u −
u −
u + o( u 4 )  =
1 − u +
2R 5 5  5
25
125
5
25
125

B(M ) =
µ NI 8
µ 0 NI 8 
144 4

u + o( u 4 )  ≈ 0
2 − 2
= B(O) si on se limite à l'ordre 3
2R 5 5 
125
R 5 5

le rapport g(u) = B(M)/B(O) est constant à l'ordre 4, le champ est uniforme au voisinage de O.
−3 / 2
r
uz
2.4 représentation de g(u) et comparaison avec f(u) : on
voit que le champ est beaucoup plus uniforme, en
comparaison avec la spire unique (en pointillé).
2.5 pour chercher la variation de B il faut reprendre
l'expression à l'ordre 4 :
 144 4

4
B(M ) = B(O)1 −
u + ...  on a alors (144/125)u ≤ 0,02
 125

soit |u| = |z|/R ≤ 0,363 la plage de variation est
3,6 fois plus grande que pour la spire seule : le domaine où B est quasi-uniforme est plus important.
(dispositif rencontré en TP : appareil à déviation pour la mesure de e/m, mesures de champ au teslamètre...)
3.1 nombre de spires nécessaires pour créer un champ de 0,5 T avec un solénoïde :
avec B = µ 0
Bl
N
I il vient N =
=31800 spires
l
µ0I
soit une longueur de fil de
L = NπD = 31800x3,142x4 = 4,00 105 m
ou
400 km de fil.
3.2 nombre de spires nécessaires pour créer un champ de 0,5 T avec les bobines de helmholtz :
avec B(O) =
µ 0 NI 8
B(O)R 5 5
il vient N' =
= 30600 spires
R 5 5
8µ 0 I
pour que le champ soit uniforme sur z = ± 2,0m , on doit prendre R' = 2,0/0,363 = 5,51 m
soit une longueur de fil de
L' = 2N'2πR' = 30600x2x3,142x5,51 = 2,12 106 m ou 2120 km de fil
la solution la plus économique est donc le solénoïde
3.3 la résistance de l'enroulement est R = L/σS = 1,67 kΩ et la puissance P = RI² = 16,7 MW
Dans la pratique on utilise des bobines supraconductrices pour diminuer les pertes par effet Joule.
<<..Les détecteurs de physique comme ceux du futur LHC au Cern nécessitent des champs magnétiques intenses qui courbent la trajectoire
des particules afin d’en mesurer la quantité de mouvement. Le système magnétique du détecteur Atlas du LHC est formé de plusieurs
aimants supraconducteurs à la température de l’hélium liquide, soit–269 °C. Il comprend un toroïde central, deux toroïdes d’extrémité et un
solénoïde central. Les huit bobines du toroïde central font chacune 25 m de long sur 5 m de large, et leur alimentation nécessite un courant
de 20500 ampères ! Pour garantir le fonctionnement des aimants supraconducteur, on procède à des essais avec des courants d’intensité
supérieure à celle prévue. C’est ainsi que, le mardi 7 septembre 2004 à 1 h 42, BT1, une des bobines du toroïde central, a pour la première
fois supporté l’injection d’un courant de 22000 ampères. BT1 devient de ce fait la plus grande bobine supraconductrice au monde « bonne
pour le service »...Avant de construire les premières bobines du toroïde, le Dapnia a d’abord élaboré B0, leur prototype de longueur réduite
à 1/3. Cette « petite » bobine de la taille d’un autobus londonien a permis de valider les choix technologiques envisagés pour la construction
des aimants finals dans les domaines mécaniques, thermiques et électriques...>>
un exemple de bobine supraconductrice
d'un rayon de plusieurs mètres :
____________________________