Quantum Coarse-Graining: An Information - ETH E

DISS. ETH No
Quantum Coarse-Graining:
An Information-eoretic Approach to
ermodynamics
A thesis submitted to obtain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
Philippe Faist
MSc. ETH in Physics
born on May 15, 1988
citizen of Montreux, VD
accepted on the recommendation of
Prof. Renato Renner, examiner
Prof. Seth Lloyd, co-examiner
Prof. Terry Rudolph, co-examiner
Prof. David Jennings, co-examiner
2016

Abstract
e present thesis investigates fundamental connections between thermody-
namics and quantum information theory. e starting point is Landauer’s
principle: Irreversible information processing cannot be carried out without
some inevitable thermodynamical work cost.
First, existing frameworks for studying the thermodynamics of quan-
tum systems in the nite-size regime are discussed. It is shown that two
mainstream frameworks, an operational framework called “thermal opera-
tions” and the mathematically more convenient “Gibbs-preserving maps,”
are nonequivalent, and we comment on this gap.
ese models serve as a basis to derive a new, fully information-theoretic
framework which generalizes the above by making further abstraction of
physical quantities such as energy. It is technically convenient to work with,
and reproduces known results for nite-size quantum thermodynamics.
We apply our new framework to answer the question of determining
the minimal work cost of implementing any logical process. e answer
is given in terms of information-theoretic properties of the logical process.
In the simpler case of information processing on memory registers with a
degenerate Hamiltonian, the answer is given by the max-entropy, a measure
of information known from quantum information theory. In the general
case, we obtain a new information measure, the coherent relative entropy,
which generalizes both the conditional entropy and the relative entropy. It
satises a collection of properties which justies its interpretation as a new
kind of entropy measure and which connects it to known quantities.
en, we turn to large systems and study how we can recover macro-
scopic thermodynamics. From our framework, macroscopic thermodynam-
ics emerges by typicality, aer singling out a class of thermodynamic states
parametrized by thermodynamic variables taking values in a continuous
range in an appropriate limit. ese states are assumed to be singled out
by some appropriate physical reason, such as equilibration or by symmetry
properties. A natural thermodynamic potential emerges, dictating possible
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state transformations, and whose dierential describes the physics of the
system. e textbook thermodynamics of a gas is recovered as well as the
form of the second law relating thermodynamic entropy and heat exchange.
Finally, noting that quantum states are relative to the observer, we point
out that the procedure above gives rise to a natural form of coarse-graining
in quantum mechanics. Several dierent quantum kets can be viewed as a
single ket for a dierent observer. Such is the case of thermodynamics, for
example, where the macroscopic observer’s fundamental unit of information
is the thermodynamic variables and not the individual microstates. e
macroscopic observer only sees the traces le by the coarse-grained states in
the hidden information, which describes which processes may spontaneously
occur. A new picture of quantum information appears, where any observer
can specify their fundamental units of information and describe them by
quantum kets. In particular, it is possible in principle to observe quantum
superpositions of thermodynamic states, provided a suitable reference frame
is available.
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Résumé
La présente thèse étudie les liens fondamentaux entre la théorie de l’informa-
tion quantique et la thermodynamique. Le principe de Landauer en constitue
le point de départ : il est nécessaire de fournir du travail thermodynamique
si l’on souhaite eacer de l’information stockée en mémoire.
Nous considérons en premier lieu des modèles existants permettant
d’étudier la thermodynamique de systèmes quantiques dans le régime ni,
c’est-à-dire permettant de décrire une seule exécution de l’expérience et non
la moyenne de multiples répétitions. Il est démontré que le modèle connu
sous le nom d’« opérations thermales » n’est pas équivalent aux « évolutions
préservant l’état de Gibbs ». La diérence fait l’objet d’une courte discussion.
Généralisant ces modèles, nous élaborons un nouveau cadre de travail
entièrement formulé en termes d’information, et ne faisant référence à au-
cune quantité physique telle que l’énergie. Ce modèle possède des propriétés
techniques agréables qui rendent son utilisation adaptée aux problèmes
considérés, et permet de retrouver certains résultats connus au sujet de la
thermodynamique de systèmes quantiques dans le régime ni.
Notre modèle est mis à l’épreuve pour déterminer le travail requis pour
l’implémentation d’une fonction logique. La réponse est fournie en termes
de propriétés logiques de la fonction sous la forme d’une mesure d’entropie.
Dans le cas ou l’hamiltonien des registres mémoire considérés est complète-
ment dégénéré, la réponse coïncide avec la « max-entropie », déjà connue
dans le domaine de la théorie de l’information. Dans le cas général, la ré-
ponse nous fournit une nouvelle mesure d’entropie que nous nommons
« entropie cohérente relative », généralisant à la fois l’entropie condition-
nelle et l’entropie relative. Les propriétés de cette quantité en justient
l’interprétation comme une mesure d’information, et la relient à plusieurs
mesures d’entropies connues.
Ensuite, nous étudions comment la thermodynamique de systèmes ma-
croscopiques s’explique par le biais de notre approche. La thermodynamique
émerge après avoir identié une classe d’états d’un caractère typique. Ces
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états sont supposés sélectionnés suite à une raison physique, telle que dûs
à un équilibre au contact d’un réservoir de chaleur, ou préférés pour des
raisons de symétrie. Ces états constituent les « états thermodynamiques » du
système, et sont supposés paramétrés par des variables prenant des valeurs
continues dans une limite appropriée. Il en émerge un « potentiel thermo-
dynamique naturel », qui détermine les évolutions spontanées possibles du
système, et dont la diérentielle décrit les propriétés physiques du système.
Nous réexaminons l’exemple prototype d’un gaz, et obtenons une forme
habituelle du deuxième principe de la thermodynamique reliant l’entropie à
la chaleur dissipée.
Finalement, nous montrons que la procédure ci-dessus donne lieu à
une forme de changement d’échelle intrinsèque à la mécanique quantique,
permise grâce au fait que l’état quantique est relatif à l’observateur. En
eet, plusieurs états distingués par un observateur peuvent être recombinés
en un seul pour un observateur diérent. Ceci est le cas, par exemple, en
thermodynamique, où l’unité d’information de l’observateur macroscopique
est l’état thermodynamique, déterminé par les grandeurs macroscopiques
du système telles que la température, le volume, et la pression, alors qu’un
observateur ayant accès aux degrés de liberté microscopiques pourrait décrire
l’état individuel de chaque particule constituant le système. L’observateur
macroscopique ne remarque la présence de degrés de libertés microscopiques
que par l’« information cachée », qui détermine les évolutions possibles du
système et donc ses propriétés thermodynamiques. Il en résulte un nouveau
tableau pour la théorie de l’information quantique : chaque observateur
peut préciser son unité d’information, et décrire le système en exprimant
cette dernière en kets quantiques. En particulier, il est possible en principe
d’observer des superpositions quantiques d’états thermodynamiques, pour
autant qu’un système jouant le rôle de référentiel approprié soit disponible.
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