TD transitoire du premier ordre

TD transitoire du premier ordre
1) Rendement de la charge du circuit RC
Calculer l’énergie dissipée par effet Joule lors de la charge sous E d’un circuit RC initialement déchargé, en déduire le
rendement de la charge.
C
R
2) Charge de deux branches // R+C et 2R+C/2
Les deux branches // chargées par la source idéale de tension
évoluent indépendamment.
C/2
2R
Les tensions évoluent de façon identiques
car les constantes de temps sont identiques,
mais le condensateur de capacité C accumule
E
deux fois plus de charges que celui de capacité C/2 : normal !
3) Charge d’un condensateur par une source de courant
a) Si la source est idéale
Ce modèle est théorique car on imagine bien que la tension ne peut croitre indéfiniment
b) Si la source est réelle on est ramené à la charge classique si on passe en représentation de Thévenin
c) Si le condensateur possède une résistance de fuite, on est encore ramené au même modèle
4) Portrait de phase
Tracer les portraits de phase c’est à dire la trajectoire paramétrée du temps (i(t), u(t)) pour les charges et décharges
des circuits R, L et R,C.
Si on nous fournit le portrait de phase suivant, on peut prévoir l’évolution du système
duC
dt
En effet les points représentatifs de l’évolution de cette courbe
Paramétrée du temps correspondent à
duC
dt
q
c
dt
d
i
C
0 , uC dot diminuer pour
Que le point représentatif du système rejoigne l’attracteur u C=0 , i=0
0,0
On a même pas besoin de flécher le portrait de phase.
uC
Le fait que le portrait de phase soit une droite qui passe par 0
découle directement de l’équation dévolution
duC
dt
uC
0
duC
dt
uC
Ee
uC
t
On peut aussi l’obtenir à partir des évolutions temporelles
d
uC
dt
E
t
e
d
uC
dt
1
uC
5) Résolution Python module de calcul formel
Docs.simpy.org/
http://docs.sympy.org/latest/index.html
from sympy import *
t=symbols('t')
R, C , E =symbols(' R, C, E ') # paramètres
u=Function('u')
diffeq = Eq(R*C*diff(u(t),t) + u(t),E)
sol=dsolve(diffeq, u(t))
pprint(sol)
sol1=sol.args
pprint(sol1)
pprint(sol1[0])
sol2=sol1[1]
pprint(sol2)
sol3=sol2.subs(t,0)
pprint(sol3)
C1 =symbols('C1')
sol4=solve(sol3,C1)[0]
print(sol4)
sol5=sol2.subs(C1,sol4)
print(sol5)
sol6=simplify(sol5)
print(sol6)
#ouf!
Python 3.4.1 (v3.4.1:c0e311e010fc, May 18 2014, 10:38:22) [MSC v.1600 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> ================================ RESTART ================================
>>>
C1 - t
-----C*R
u(t) = E + e
C1 - t
-----C*R
(u(t), E + e
)
u(t)
C1 - t
-----C*R
E+e
C1
--C*R
E+e
C*R*log(-E)
E + exp((C*R*log(-E) - t)/(C*R))
E - E*exp(-t/(C*R))
>>>
6) A flash in the night
Un tube à gaz est une lampe qui ne s’allume que si sa tension d’alimentation devient supérieure à une certaine
tension seuil V0 >0, alors le gaz s’ionise et devient conducteur; la résistance du tube à gaz devient quasi-nulle.
Lorsque le tube est éteint sa résistance est quasi-infinie.
Le circuit suivant constitué de l’association série d’une résistance et d’un condensateur en parallèle avec un tube à
gaz est alimenté par une tension continue E. Calculer l’évolution de la tension u représentée ci-dessous. On a E>V0
R
E
C
tube à gaz
u
7) Oscillations amorties par frottement solide
A l’instant initial le condensateur de capacité C porte une charge Q >0 et le courant qui circule dans le circuit est nul.
Les deux diodes tête-bêche sont identiques. Leur tension seuil est US = 0.6V et leur résistance dynamique lorsqu’elles
sont passantes est considérée comme nulle. En déduire l’évolution du système.
i
q
uL
uC
D1
UD1
D2
UD2
1) On considèrera que peu après l’instant initial le courant est négatif (le condensateur se décharge). Q>0
On écrira les deux équations différentielles qui régissent l’évolution du système selon que l’une où l’autre des diodes
est passante (selon que le courant est positif ou négatif).
2) On montrera alors que selon la valeur de q 0 la charge du condensateur se stabilise sur une valeur non nulle après
un certain nombre de demi-oscillations.
3) Le fait que la résistance dynamique est nulle peut sembler paradoxal si on considère que l’énergie contenue dans
le circuit diminue. Comment l’énergie a-t-elle
été dissipée ? Penser que la modélisation seuil de la diode implique une consommation d’énergie de type non Joule
(de type électrolyseur si l’on veut)
4)Relever l’analogie que présente ce problème avec le problème de l’amortissement solide d’un oscillateur
A l'instant t=0+ q>0 et
uc u L
uD 2
comme i
dq
dt
i 0 c'est la diode 2 qui est passante u D2
q
di
L
US
C
dt
q
d ²q
L
US
C
dt ²
1
sol géné sd mbre q
LC
sol q (t ) cst cos( 0t ) CU S
0
CI q (0) Q i (0) 0
Q cst cos( ) CU S
0 cst
q(t )
cst
0
q LC
cst cos( 0t
)
d ²q
dt ²
Us
0.6V
q
LC
d ²q
dt ²
CU S
US
L
sol part q CU s
sin( ) 0
Q CU s
Q CU s cos( 0t ) CU S
à t=
0
T0
2
q(t )
Q CU s
CU S
Q 2CU s
ainsi en une demi période l'amplitude a perdu 2CUS
le mouvement s’arrête lorsque uC
minimum tombe dans la bande
U S et i =0 c’est à dire lorsqu’un maximum ou un
8) Oscillateur à diode tunnel, Oscillateur à transistor unijonction ou à thyristor
Une diode tunnel est une diode fortement dopée P et N. Sa caractéristique tension courant se distingue des
caractéristiques des autres diodes par la présence de deux extrema P (point de pic) et V( point de vallée) . Entre le
point de pic et le point de vallée, la diode possède la propriété remarquable d’avoir une résistance dynamique
négative. Cette propriété est due à un effet quantique connu sous le nom d’effet tunnel; En outre, elle conduit en
inverse. Cependant la diode tunnel est toujours utilisée en direct.
schéma a :
I
I
P
U
On donne
IP=4.8mA UP = 0.06V
V
IV=0.8mA UV= 0.32V
U
schéma b:
R’
K
rg
U
I
E
L,r
schéma c :
I
On donne
P
IP=4.8mA UP = 0.06V
P’
IV=0.8mA UV= 0.32V
IP’=4.8mA UP ‘= 0.44V
IV’=0.8mA
V’
V
U
Le circuit étudié est représenté sur le schéma b. Il comprend un générateur de courant continu (E,r g) , une résistance
R’, un interrupteur K, une bobine (L,r) et une diode tunnel. La caractéristique idéalisée de cette dernière est
représentée sur le schéma c. La résistance totale du circuit R’+r+r g sera notée R.
1) A t=0 l’interrupteur K est ouvert et le courant est nul. A t>0 on ferme l’interrupteur et le courant augmente depuis
sa valeur initiale nulle.
a) Montrer que Ldi/dt = E-Ri-U avec U tension aux bornes de la diode tunnel
b) En déduire que la droite E-Ri sépare en deux parties la caractéristique de la diode. Ce qui correspond à deux
situations opposées pour la croissance du courant. On explicitera ces deux situations sur le schéma suivant :
I
P
P’
E/R
M
V’
V
U
E
2) Décrire et dessiner l’évolution du point de fonctionnement M(u,i) de la diode dans les trois cas suivants :
I
I
P
I
P’
P
P’
M
P
M
M1
P’
M2
M3
V’
V
V’
V
U
V’
U
V
Pour résoudre le cas n°2, on devra se rappeler que la présence d’une bobine dans un circuit interdit les
discontinuités de courant à l’allumage mais permet les discontinuités de tension.
3) Décrire et dessiner l’évolution du point de fonctionnement M(u,i) de la diode dans le cas suivant :
I
P
P’
M4
V’
V
U
Montrer qu’une position d’équilibre n’est jamais atteinte et que le montage correspond alors à un oscillateur.
U
4) Sachant que la fem du générateur est E= 0.3V , à quelles conditions sur R le circuit est-il un oscillateur de
relaxation (c’est à dire ne possède-t-il pas de point de fonctionnement stable) ?
5) La résistance R’ est choisie de telle sorte que R= 40
oscillateur de relaxation
Vérifier qu’avec cette valeur le circuit fonctionne comme un
6) On cherche maintenant à calculer la période T de cet oscillateur sachant que la bobine a une inductance L= 2 mH .
On admet que les basculements de P vers P’ et de V vers V’ se font de façon quasi instantanée. Il faut donc calculer la
durée T1 du trajet V’P , ainsi que la durée T2 du trajet P’V . a) Pour trouver T1 on devra résoudre l’équation E = Ri +
i + L di/dt où est la résistance dynamique de la diode tunnel sur la portion V’P de la caractéristique. b) Pour
trouver T2 on devra résoudre l’équation E = Ri + U0 + ‘ i + L di/dt où ‘ est la résistance dynamique de la diode
tunnel sur la portion P’V de la caractéristique et où U0 est donné par UV= ‘ IV + U0. On exige des expressions
analytiques et des résultats numériques.
Comment réaliser une source de courant puisqu’on a évoqué son existence dans
les cours précédents :
Idée simple :
E
R
RC
Le courant dans RC = E / (R+RC) dépend peu de RC si RC<<R
Réalisation d’une source de courant avec un transistor bipolaire
En fait en électronique, on utilise des transistors ou des régulateurs intégrés de tension courant, ces composants
sont hors programme mais pour votre culture voici un schéma de source de courant à transistor que vous ne
chercherez pas à étudier
On avait présenté dans la leçon précédente un montage avec DEL et phototransistor
Le transistor simple peut aussi servir à réaliser une source de courant
Le générateur de courant constant dont le schéma suit permet de fournir un courant de quelques mA dans une
charge dont une borne est relié côté positif de l'alimentation.
La valeur du courant circulant dans la charge (charge représentée ici par la résistance RC) est définie par la valeur de
la tension de zener de D1, et de la valeur de la résistance Rx. La tension aux bornes de la diode zener est
relativement constante, tant que le courant qui y circule ne varie pas trop. Et il en est de même pour la tension de la
jonction Base-Emetteur du transistor Q1. On peut donc en déduire que la tension aux bornes de la résistances Rx est
tout autant constante. Et comme la résistance Rx est une résistance dont la valeur ohmique ne varie pas trop en
temps normal, nous pouvons constater un courant relativement constant dans cette dernière. Si le transistor Q1
présente un gain assez important (disons supérieur à 100), on peut négliger la valeur du courant de base par rapport
au courant circulant dans la jonction émetteur. En admettant cela, le courant collecteur est sensiblement égal au
courant émetteur. Et comme le courant collecteur est celui circulant dans la charge, on en conclue que le courant
dans la charge ne dépend pas de la charge, dans certaines limites d'utilisation faut-il tout de même préciser. Dans
l'exemple précédent, le courant dans la charge, nommé Irc, est défini par la formule suivante :
Irc = (Vz - 0,7V) / Rx
Irc = (5,1 - 0,7) / 1000
Irc = 4,4 mA