TD transitoire du premier ordre

TD transitoire du premier ordre
1) Rendement de la charge du circuit RC
Calculer l’énergie dissipée par effet Joule lors de la charge sous E d’un circuit RC initialement déchargé, en déduire le
rendement de la charge.
2) Charge de deux branches // R+C et 2R+C/2
Les deux branches // chargées par la source idéale de tension
évoluent indépendamment.
Les tensions évoluent de façon identiques
car les constantes de temps sont identiques,
mais le condensateur de capacité C accumule
deux fois plus de charges que celui de capacité C/2 : normal !
3) Charge d’un condensateur par une source de courant
a) Si la source est idéale
Ce modèle est théorique car on imagine bien que la tension ne peut croitre indéfiniment
b) Si la source est réelle on est ramené à la charge classique si on passe en représentation de Thévenin
c) Si le condensateur possède une résistance de fuite, on est encore ramené au même modèle
4) Portrait de phase
Tracer les portraits de phase c’est à dire la trajectoire paramétrée du temps (i(t), u(t)) pour les charges et décharges
des circuits R, L et R,C.
Si on nous fournit le portrait de phase suivant, on peut prévoir l’évolution du système
En effet les points représentatifs de l’évolution de cette courbe
Paramétrée du temps correspondent à
0
C
du
dt
, uC dot diminuer pour
Que le point représentatif du système rejoigne l’attracteur uC=0 , i=0
On a même pas besoin de flécher le portrait de phase.
Le fait que le portrait de phase soit une droite qui passe par 0
découle directement de l’équation dévolution
0
CC
CC
du du
uu
dt dt
On peut aussi l’obtenir à partir des évolutions temporelles
1
t
C
tCC
C
u Ee duu
dE dt
ue
dt
R
C
2R
C/2
E
C
q
d
du i
c
dt dt C
uC
0,0

5) Résolution Python module de calcul formel
Docs.simpy.org/ http://docs.sympy.org/latest/index.html
from sympy import *
t=symbols('t')
R, C , E =symbols(' R, C, E ') # paramètres
u=Function('u')
diffeq = Eq(R*C*diff(u(t),t) + u(t),E)
sol=dsolve(diffeq, u(t))
pprint(sol)
sol1=sol.args
pprint(sol1)
pprint(sol1[0])
sol2=sol1[1]
pprint(sol2)
sol3=sol2.subs(t,0)
pprint(sol3)
C1 =symbols('C1')
sol4=solve(sol3,C1)[0]
print(sol4)
sol5=sol2.subs(C1,sol4)
print(sol5)
sol6=simplify(sol5)
print(sol6)
#ouf!

Python 3.4.1 (v3.4.1:c0e311e010fc, May 18 2014, 10:38:22) [MSC v.1600 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> ================================ RESTART ================================
>>>
C1 - t
------
C*R
u(t) = E + e
C1 - t
------
C*R
(u(t), E + e )
u(t)
C1 - t
------
C*R
E + e
C1
---
C*R
E + e
C*R*log(-E)
E + exp((C*R*log(-E) - t)/(C*R))
E - E*exp(-t/(C*R))
>>>

6) A flash in the night
Un tube à gaz est une lampe qui ne s’allume que si sa tension d’alimentation devient supérieure à une certaine
tension seuil V0 >0, alors le gaz s’ionise et devient conducteur; la résistance du tube à gaz devient quasi-nulle.
Lorsque le tube est éteint sa résistance est quasi-infinie.
Le circuit suivant constitué de l’association série d’une résistance et d’un condensateur en parallèle avec un tube à
gaz est alimenté par une tension continue E. Calculer l’évolution de la tension u représentée ci-dessous. On a E>V0
R
C
tube à gaz
u
E

7) Oscillations amorties par frottement solide
A l’instant initial le condensateur de capacité C porte une charge Q >0 et le courant qui circule dans le circuit est nul.
Les deux diodes tête-bêche sont identiques. Leur tension seuil est US = 0.6V et leur résistance dynamique lorsqu’elles
sont passantes est considérée comme nulle. En déduire l’évolution du système.
1) On considèrera que peu après l’instant initial le courant est négatif (le condensateur se décharge). Q>0
On écrira les deux équations différentielles qui régissent l’évolution du système selon que l’une où l’autre des diodes
est passante (selon que le courant est positif ou négatif).
2) On montrera alors que selon la valeur de q0 la charge du condensateur se stabilise sur une valeur non nulle après
un certain nombre de demi-oscillations.
3) Le fait que la résistance dynamique est nulle peut sembler paradoxal si on considère que l’énergie contenue dans
le circuit diminue. Comment l’énergie a-t-elle
été dissipée ? Penser que la modélisation seuil de la diode implique une consommation d’énergie de type non Joule
(de type électrolyseur si l’on veut)
4)Relever l’analogie que présente ce problème avec le problème de l’amortissement solide d’un oscillateur
i
uL
uC
q
D1
D2
UD2
UD1