énoncé

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Spé y 2010-2011 Devoir n°3
ÉLECTRONIQUE DU SIGNAL
Le dispositif électronique utilisé dans un analyseur de monoxyde de carbone est représenté
ci-après (voir figure 1). Tous les amplificateurs opérationnels intervenant dans ce montage sont
supposés idéaux. Nous allons étudier les fonctions assurées par les différentes parties du dispositif.
A. On s’intéresse au premier bloc reproduit ci-contre (figure 2) L’amplificateur opérationnel
fonctionne en régime saturé.
On donne : R1 = 19,6 kW, R2 = 40,2 kW, R3 = 100 kW,
C3 = 471 pF, VSAT = 13,5 V.
On note e = V+ – V– la tension différentielle à l’entrée de
l’AO1.
On suppose qu’à t = 0 , le condensateur C3 est déchargé et
e > 0 . On pose
(
)
112
/
RRR
a=+ et
33
RC
t= .
A.1-a) Exprimer vC3(t) pour t immédiatement supérieur à
t = 0.
b) En déduire qu’il existe t1 tel que l’AO bascule en
saturation basse. Déterminer t1 en fonction de t et a.
c) Montrer qu’il existe t2 >t1 tel que l’AO bascule en
saturation haute. Déterminer t2 – t1 en fonction de t et a.
d) Montrer que vS1(t) et vC3(t) sont des signaux périodiques (leur période est notée T).
e) Tracer l’allure des variations de vS1(t) en fonction de vC3(t). Indiquer sur le graphe
le sens de parcours du point (vC3, vS1) lors de l’écoulement du temps.
A.2-a) Vérifier que la période T peut s’écrire 1
2ln 1 T
+a
æö
=t
ç÷
-a
èø
.
b) Faire l’application numérique et calculer la fréquence correspondante.
–
+
R
1
C
7
–
+
–
+
C
3
C
4
C
5
C
6
C
8
C
9
C
10
C
11
C
12
C
14
C
16
R
2
R
3
R
4
R
10
R
7
R
8
R
9
R
5
R
6
AO1
AO2 AO3
DÉTECTEUR
INFRAROUGE
D
6
P
13,5 V
figure 1
–
+
R
1
C
3
R
2
R
3
AO1
vC3
vS1
e
figure 2

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B. Nous étudions ici le bloc représenté ci-dessous (voir figure 3) qui a pour fonctions
d’amplifier le signal d’une part et de filtrer les signaux parasites à haute fréquence d’autre part. Les
amplificateurs opérationnels fonctionnent en régime linéaire.
On donne
C14 = 4,7 nF ; C16 = 2,2 nF ;
R5 = R6 = 10 kW,
R7 = 25 MW, R8 = 100 kW,
R9 = 5,0 kW.
B.1-a) Déterminer
l’expression du rapport
vS’/vE.
b) Quelle est
la fonction assurée par ce
premier étage
B.2-a) Montrer que, en régime sinusoïdal, le rapport VS/VS’ peut s’écrire
:
(
)
22
SS 00
/'1/12//VVmi
=+ww-ww
. Exprimer m et w0 en fonction des données du problème.
b) Calculer m , w0 et f0 la fréquence correspondante.
c) Quelle est la fonction assurée par ce deuxième étage
B.3-a) Tracer le diagramme de Bode asymptotique du bloc entier, c’est-à-dire le diagramme
de Bode associé à la fonction de transfert H(iw) = VS/VE (la représentation de la phase n’est pas de-
mandée).
b) Le bloc étudié est-il de nature à remplir sa fonction ?
On donne la décomposition en série de Fourier du signal d’entrée :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
E
80111
sin100sin300sin500...sin100
35
vttttnt
n
ìü
=p+p+p++p
íý
p
îþ
Combien d’harmoniques sont transmis par le bloc ?
C.Multiplicateur de Schenkle
Nous étudions à présent le bloc représenté ci-contre (voir figure
4) appelé multiplicateur de Schenkle. Il est constitué d’une association
de cellules élémentaires (voir schéma 8). Le fonctionnement des dio-
des est le suivant :
Ÿ diode bloquée : i = 0 et u < 0 ;
Ÿ diode passante : i > 0 et u > 0 avec i fonction croissante de u..
L’intensité i (sens conventionnel donné par le symbole de la
diode) et la tension u aux bornes de la diode sont prises en convention
récepteur. Pour (i = 0 , u = 0 ) une diode est à la limite de devenir pas-
sante ou de se bloquer.
On donne C4 = C5 = C6 = C7 = C8 = C9 = C = 0,1 mF.
On commence par étudier une cellule élémentaire du multiplicateur repré-
sentée ci-contre (voir figure 4bis). On considère qu’en sortie de l’amplificateur
opérationnel AO1 ,on obtient un courant constant I = 15 mA dont le sens varie
périodiquement.
C.1) Phase 1.
On considère qu’à t = 0 , les condensateurs C4 et C7 sont déchargés et
UNM = –E = –13,5 V.
a) Déterminer à t = 0 l’état des diodes D1 et D2 .
*b) En déduire, en s’aidant d’un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule
jusqu’à l’instant t1 , au bout duquel vC4 atteint sa valeur limite. Exprimer et calculer t1.
–
+
–
+
C
14
C
16
R
7
R
8
R
9
R
5
R
6
AO2 AO3
vEvS’
vS
figure 3
C
7
C
4
C
5
C
6
C
8
C
9
P
A
B
F
N
D
6
D
1
D
2
D
4
D
3
D
5
vPM
E
= 13,5 V
figure 4
C
7
C
4
B
N
D
1
D
2
A
uFM
uNM
figure 4bis : cellule
élémentaire
E
F
I
vC4
vC7

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C.2) Phase 2. On considère qu’à t’ > t1 , UNM bascule à la valeur +E = +13,5 V. On choisit t’
comme nouvelle origine du temps.
*a) Déterminer à la date t’ l’état des diodes D1 et D2 .
*b) En déduire, en s’aidant d’un schéma équivalent, le fonctionnement de la cellule
jusqu’à l’instant t2 où la diode D2 se bloque. Exprimer et calculer t2.
Les phases suivantes ne sont pas étudiées.
C.3) On montre que vC7 tend vers +2E.
a) Quelle est la valeur limite de vFM ?
b) On cherche la valeur limite de vPM . Rechercher la valeur commune de la tension
aux bornes des condensateurs pour laquelle le multiplicateur de Schenkle n’évolue plus quelle que
soit la valeur de UNM (– E ou +E ). En déduire la valeur limite de vPM . Justifier le nom de multipli-
cateur attribué au montage.
D.Commutation capacitive
On considère le dispositif de la figure 5 :
Un commutateur électronique K, commandé au moyen d’un si-
gnal d’horloge rectangulaire de fréquence réglable fH, et de rapport
cyclique 1/2 permet de connecter le condensateur de capacité C0 alter-
nativement aux tensions uA(t) et uB(t). La fréquence fH est choisie suf-
fisamment élevée pour que les variations des tensions uA(t) et uB(t)
puissent être négligées entre deux instants de commutation de K.
On suppose de plus que la résistance r du commutateur est suf-
fisamment faible pour que l’on puisse poser TH = 1/fH >> r C0 : c’est à dire que la charge ou dé-
charge de C0 est quasi instantanée.
D.1-a) De t = 0 à t = TH/2, K est en position (1) et de t = TH/2 à t = TH, K est en position (2).
En étudiant la tension uC0 aux bornes du condensateur C0 et la charge Q0 stockée par C0 dans cha-
que phase, déterminer la quantité d’électricité QAB qui passe de A vers B pendant une période TH ?
b) On note
AB
i
la valeur moyenne du courant iAB entre 0 et TH. Relier
AB
i
et
QAB.
c) Montrer que l’on peut écrire, sur une période TH, une relation du type
ABHAB
uRi
=
, où RH désigne la valeur d’une résistance dont on donnera l’expression en fonction
de C0 et de la fréquence de commutation fH. À quoi le dipôle AB ainsi
constitué est-il équivalent et quel peut en être l’intérêt.
D.2) Le principe de la commutation capacitive peut être utilisé
pour réaliser un circuit intégrateur.
a) En supposant l’AO idéal, rappeler l’expression de la
transmittance opérationnelle TI1(p) = U2(p)/U1(p) du circuit ci-contre
(figure 6).
b) La résistance R du montage précédent est remplacée par
le dispositif à commutation capacitive où K est commandé à la fréquence
fH (figure 7). Exprimer la nouvelle transmittance TI2(p) = U2(p)/U1(p).
C0
K
2
iAB 1
uA(t)uB(t)
figure 5
–
+
C
R
u
u1
figure 6
–
+
C
u2
figure 7
K
2
1
u1
C0
–
+
C
u2
figure 8
K
2
1
u1C0
2’
1’
K
’

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c) Dans la pratique, on a recours au système de la figure 8 ci-dessus, dans lequel les
deux commutateurs K et K’ sont commandés de façon synchrone, par le même signal d’horloge.
Exprimer la nouvelle transmittance TI3(p) = U2(p)/U1(p). On pose TI3(p) = w0/p où w0 est la pulsa-
tion propre de l’intégrateur. Exprimer w0 en fonction de C0, C et fH. Calculer la valeur de w0 pour
fH = 1,0 MHz et C = 16 C0.
E. Filtre passe-bas à capacités
commutées
Le schéma du montage est
donné figure 9 ci-contre. On suppose
l’AO idéal et fonctionnant en régime
linéaire. Les deux intégrateurs sont à
capacité commutée et sont caractérisés
par la même pulsation propre w0.
a) Montrer que la fonc-
tion de transfert de l’étage
T1(p) = US1(p)/UE(p) peut s’écrire
(
)
22
S1E10101
/1/12//UUmi=+ww-ww .
Exprimer m1 et w01 en fonction des différentes résistances et de la pulsation propre w0 com-
mune aux deux intégrateurs.
b) Le diagramme de Bode (module et argument) d’un filtre est fourni ci-dessous (on
a posé x = w/w0). Le gain maximum du filtre est pris égale à 1. Les différents relevés ont été faits
pour les valeurs suivantes du facteur de qualité Q :
Q0,1 0,5 1 2 5 10 20
Quelle est la nature et l’ordre du filtre ? Repérer la courbe correspondant à Q = 0,1 et donner
dans ce cas la bande passante réduite Dx du filtre. On se place dans le cas Q = 1. Le filtre est attaqué
par le signal vE(t) = X1cos(w0t) + X3cos(3w0t) + X5cos(5w0t). Exprimer la tension de sortie sous la
forme y(t) = Y1cos(w0t + j1) + Y3cos(3w0t+ j1) + Y5cos(5w0t+ j1).
–
+
u
figure 9
uEuS1
R
1
R
2
INTÉGRATEUR INTÉGRATEUR
u’
R
3
R
1