Automates minimaux

Automate minimal Automate des résiduels Test de minimalité Algorithme de Moore
Théorie des Langages Formels
Chapitre 5 : Automates minimaux
Florence Levé
[email protected]
Année 2014-2015
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Introduction
Les algorithmes vus précédemment peuvent mener à des
automates relativement gros.
On souhaite obtenir des automates les plus petits possible, en
gardant l’avantage des automates déterministes.
Nous nous intéressons donc ici à l’automate déterministe ayant
le moins d’états possible :
INous allons voir qu’il est unique.
INous verrons deux méthodes pour l’obtenir : une directement à
partir d’une expression rationnelle ; l’autre à partir d’un
automate déjà connu.
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Automate minimal
Théorème : Tout langage reconnaissable est reconnu par un
unique (au renommage près des états) automate déterministe
complet tel que tout autre automate déterministe complet a
au moins autant d’états que lui.
L’automate décrit ci-dessus est appelé automate minimal
complet ou plus simplement automate minimal reconnaissant
le langage.
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Résiduel
Soient Aun alphabet, L⊆A∗un langage et u∈A∗un mot.
Le résiduel (à gauche ou quotient à gauche) de Lpar rapport
àuest le langage
u−1L={v∈A∗|uv ∈L}.
Exemple :
L={ab,ba,aab}
Ia−1L={b,ab},
Ib−1L={a},
Ic−1L=∅
Méthode :
Iu−1Lest l’ensemble Xtel que L∩uA∗=uX
IPour calculer un résiduel u−1Lsur un exemple simple :
1. Trouver les mots de Lcommençant par u:L∩uA∗;
2. Enlever les préfixes u−→ u−1L.
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Lemme
Soit L⊆A∗un langage reconnu par un automate déterministe
complet Aut =<A,Q,{d},F, δ >.
Soit uun mot. Il existe un unique chemin dans Aut partant de det
étiqueté par u: soit pl’état dans lequel aboutit ce chemin.
Alors :
u−1L=Lp
Preuve :
uLp⊆Limplique Lp⊆u−1L
Pour vappartenant à u−1L,uv ∈L. Puisque l’automate est
déterministe, l’unique chemin reconnaissant uv dans Aut est
un chemin qui après avoir reconnu uarrive en pet donc
v∈Lp. Ainsi u−1L⊆Lp.
Corollaire :
Tout langage reconnaissable a un nombre fini de résiduels.
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