Chapitre 1.12a – Les ondes stationnaires Onde stationnaire

Chapitre 1.12a – Les ondes stationnaires
Onde stationnaire
Une onde stationnaire est le nom que
porte l’addition de deux ondes de
fréquence identique se propageant dans
un milieu dans des directions différentes.
Le résultat de l’addition produit une onde
immobile (onde qui ne se déplace pas vers
la gauche ni vers la droite) dans le milieu.
Le milieu vibre alors de façon stationnaire
d’où le nom onde stationnaire provient.
Caractéristique d’une onde stationnaire
Une onde stationnaire se caractérise par les éléments suivants : ( λ = vT )
Ventre : Endroit où l’amplitude de l’oscillation du milieu est maximale.
Nœud : Endroit où l’amplitude de l’oscillation du milieu est nulle.
Vitesse du milieu (v) : Vitesse des ondes progressives produisant l’onde stationnaire.
Période (T) : Temps pour effectuer un cycle complet.
Demi longueur d’onde ( λ1 / 2 = λ / 2 ) : Distance entre deux nœuds ou deux ventres consécutifs.
Noeud
Ventre
λ1 / 2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
λ1 / 2
Page 1
Onde stationnaire par réflexion
À l’aide d’un oscillateur, il est possible de créer une onde stationnaire sur une corde tendue.
On attache une extrémité de la corde à l’oscillateur et l’autre extrémité à une interface (mur
ou anneau). L’onde se déplaçant vers la droite sera l’onde produite par l’oscillateur et
l’onde se déplaçant vers la gauche sera l’onde réfléchie par l’interface.
Corde fixée à un mur :
(réflexion dure ≡ extrémité droite fixe)
Temps : t = 0 (aucun déplacement)
Temps : t = T (déplacement de λ )
Onde rouge :
Onde rouge :
Onde bleu :
Onde bleu :
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Temps : t = T + T / 4 (déplacement de 5λ / 4 )
Temps : t = T + T / 2 (déplacement de 3λ / 2 )
Onde rouge :
Onde rouge :
Onde bleu :
Onde bleu :
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Corde fixée à un anneau :
(réflexion mole ≡ extrémité droite libre)
Temps : t = 0
Temps : t = T (déplacement de λ )
Onde rouge :
Onde rouge :
Onde bleu :
Onde bleu :
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Temps : t = T + T / 4 (déplacement de 5λ / 4 )
Temps : t = T + T / 2 (déplacement de 3λ / 2 )
Onde rouge :
Onde rouge :
Onde bleu :
Onde bleu :
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Onde stationnaire : (forme de la corde)
On remarque :
•
•
Près d’un mur (réflexion dure), l’onde stationnaire commence par un nœud.
Près d’un anneau (réflexion mole), l’onde stationnaire commence par un ventre.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Superposition d’onde stationnaire
Lorsque plusieurs ondes stationnaires sont présentes dans un milieu, le milieu se comporte
en superposant l’ensemble des ondes stationnaires. La forme peut être très variée et dépend
du nombre d’ondes stationnaires, de leur longueur d’onde et de leur déphasage.
Analysons la superposition de deux ondes stationnaires ayant les caractéristiques
suivantes :
Amplitude identique
Période identique
Onde progressive de même vitesse
Longueur d’onde identique ( λ = vT )
Onde stationnaire sinusoïdale
Décalage : aucun ou λ (déphasage de 0 ou 2π)
Décalage : λ / 4
Amplification maximale de l’onde stationnaire
Décalage : λ / 2
(déphasage de π)
(déphasage de π/2)
Petite amplification de l’onde stationnaire
Décalage : 3λ / 4
Annihilation de l’onde stationnaire
(déphasage de 3π/2)
Petite amplification de l’onde stationnaire
On remarque : ( δ : décalage spatial)
(multiple de λ )
⇒ Amplification maximale
•
δ = N λ, N ∈Ν
•
δ = N λ + λ / 2 , N ∈ Ν (multiple de λ plus λ / 2 )
⇒ Annihilation complète
•
δ = quelconque
⇒ Amplification mineure
Lorsque les amplitudes ne sont pas égales, on ne retrouve plus une onde stationnaire
globale de forme sinusoïdale : (décalage de λ / 4 )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Onde stationnaire sur une corde fixée à un mur
Lorsqu’une corde stimulée par un oscillateur est attachée à un mur, il se produit beaucoup
de superpositions d’ondes stationnaires, car les ondes ayant subit une réflexion dure sur le
mur subissent à nouveau une réflexion dure sur l’oscillateur (on suppose que l’amplitude de
l’oscillateur est faible). Le décalage entre toutes ces ondes stationnaires dépend de la
longueur de la corde. Il y a deux types de longueur de corde :
1) Longueur multiple de λ / 2 : ( L = N
λ
, N ∈Ν)
2
(Dessin après un temps de 8T)
Temps : t = T
Nombre pair de λ / 2 :
Temps : t = 0
Onde oscillateur :
Onde oscillateur :
Onde réflexion mur :
Onde réflexion mur :
λ
λ
λ
λ
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ
λ
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
λ
λ
Nombre impair de λ / 2 :
Temps : t = 0
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Onde oscillateur :
λ/2
λ
λ
λ
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
λ
λ
λ
λ/2
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ/2
λ/2
Onde réflexion mur :
λ
λ/2
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ
(Dessin après un temps de 7T)
Temps : t = T
Onde réflexion mur :
λ
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
Onde oscillateur :
λ
λ
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
λ
λ/2
λ
Explication : La formation de l’onde stationnaire se termine exactement sur un nœud à
l’endroit où l’oscillateur est situé. Ainsi, l’onde progressive formant cette onde stationnaire
(bleu) réfléchie sur l’oscillateur (verte) et devient identique à l’onde produite par
l’oscillateur (rouge). Cette nouvelle onde formera alors une onde stationnaire identique à la
précédente sans décalage. Il y a donc une amplification maximale.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Lorsque la corde possède une longueur qui est un multiple de λ / 2, la corde vibre dans un
mode stationnaire unique et l’amplitude peut augmenter beaucoup plus que
l’amplitude de l’oscillateur, car il y a de la superposition constructive entre toutes les
ondes stationnaires. L’amplitude maximale de la corde dépend de l’élasticité de la corde et
du rythme de perte d’énergie par frottement dans la corde.
Nous pouvons établir la relation suivante entre la fréquence de l’oscillateur, la longueur de
la corde et le nombre de ventre. Le mode d’oscillation N de la corde est déterminé par le
nombre de ventres observés dans l’onde stationnaire :
L=N
λ
2
⇒
2 L = Nλ
⇒
2 L = N (vT ) (Remplacer, λ = vT )
⇒
⇒
⇒
(Multiplication par 2)
1 N (v )
=
T
2L
v
f =N
2L
v
fN = N
2L
(Isoler 1 / T )
(Remplacer, f = 1 / T )
(Fréquence du Nième mode d’oscillation, N ∈ Ν )
Exemple : Observation de 3 modes d’oscillation d’une corde ayant les caractéristiques
Longueur :
L = 1,2 m
Calcul de la densité : µ = m / L = 0,0833 kg/m
Masse :
m = 0,1 kg
Calcul de la vitesse : v = F / µ = 120 m/s
Tension :
F = 1200 N
1 mode
(120) = 50 Hz
f 1 = (1)
2(1,2 )
2ième mode
(120) = 100 Hz
f 2 = (2 )
2(1,2 )
3ième mode
(120 ) = 150 Hz
f 3 = (3)
2(1,2 )
Premier mode
f1 = 50 Hz
Deuxième mode
f2 = 2f1 =100 Hz
Troisième mode
f3 = 3f1 =150 Hz
ier
2) Longueur quelconque : ( L = quelconque )
Lorsque la corde possède une longueur quelconque, les ondes stationnaires sont
décalées entre elles ce qui produit de la superposition destructive partielle. La corde aura
donc une amplitude comparable à l’amplitude de l’oscillateur.
Exemple :
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Onde stationnaire sur une corde fixée à un anneau
Reprenons la démonstration précédente en effectuant maintenant une réflexion molle à
l’aide d’une corde fixée à un anneau pouvant bouger seulement verticalement. Le décalage
entre toutes les ondes stationnaires dépend encore une fois de la longueur de la corde et
nous observons à nouveau deux types de comportement pour deux types de longueur de
corde :
1) Longueur multiple de λ / 2 plus λ / 4 : ( L = N
Onde oscillateur :
Onde réflexion mur :
λ/4
λ
λ
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ/4
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ/4
λ
Nombre impair λ / 2 :
Temps : t = 0
λ/4
Onde réflexion oscillateur :
λ/4
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
+
Onde oscillateur :
Onde réflexion mur :
λ
λ
, N ∈Ν)
2 4
(Dessin après un temps de 6,5T)
Temps : t = T
Nombre pair de λ / 2 :
Temps : t = 0
λ
λ
λ
λ
λ
(Dessin après un temps de 7,5T)
Temps : t = T
Onde oscillateur :
Onde oscillateur :
λ/4
Onde réflexion mur :
λ/4
Onde réflexion mur :
λ/2
λ
λ
λ
Onde réflexion oscillateur :
λ
λ
λ
λ/2
λ
λ
λ
λ/4
λ/2
Onde réflexion oscillateur :
λ/4
λ/2
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
Onde stationnaire : (forme de la corde)
λ
λ/4
λ
λ
λ
λ
λ
λ/4
λ/2
λ
λ/4
λ/2
λ
Comme dans le cas de la corde fixée à un mur, l’onde qui réfléchie sur l’oscillateur (bleu)
produit une onde (verte) en phase avec l’onde produite par l’oscillateur (rouge) ce qui
produit des ondes stationnaires en interférence constructive.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Nous pouvons établir la relation suivante entre la fréquence de l’oscillateur, la longueur de
la corde et le nombre de ventre. Nous voulons que le mode d’oscillation N de la corde soit
déterminé par le nombre de ventres observés dans l’onde stationnaire. Par contre, le
premier mode est accessible sans ventre :
L=N
λ
2
+
λ
4
λ
⇒
2 L = Nλ +
⇒
1

2 L =  N + λ
2

(Factoriser λ )
⇒
1

2 L =  N + (vT )
2

(Remplacer, λ = vT )
⇒
1 
1 v
= N + 
T 
2  2L
(Isoler 1 / T )
⇒
1 v

f = N + 
2  2L

(Remplacer, f = 1 / T )
⇒
1 v

fN = N + 
2  2L

(Fréquence du Nième mode d’oscillation, N ∈ Ν * )
(Multiplication par 2)
2
Pour respecter la définition de la variable N (N ≡ mode d’oscillation), il est préférable
d’écrire l’équation précédente sous la forme suivante :
1 v

fN = N − 
2  2L

où
N ∈ Ν , Nième mode d’oscillation
Exemple : Observation de 3 modes d’oscillation d’une corde ayant les caractéristiques
Longueur :
L = 1,2 m
Calcul de la densité : µ = m / L = 0,0833 kg/m
Masse :
m = 0,1 kg
Calcul de la vitesse : v = F / µ = 120 m/s
Tension :
F = 1200 N
1 mode
ier
1  (120 )

f 1 =  (1) − 
= 25 Hz
2  2(1,2 )

2ième mode
3ième mode
1  (120 )

f 2 =  (2 ) − 
= 75 Hz
2  2(1,2 )

1  (120 )

f 3 =  (3) − 
= 125 Hz
2  2(1,2 )

ventre
Premier mode
f1 = 25 Hz
Deuxième mode
f2 = 3 f1 = 75 Hz
Troisième mode
f3 = 5 f1 = 125 Hz
2) Longueur quelconque : ( L = quelconque )
Lorsque la corde possède une longueur quelconque, les ondes stationnaires sont
décalées entre elles ce qui produit de la superposition destructive partielle. La corde aura
donc une amplitude comparable à l’amplitude de l’oscillateur.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
Onde stationnaire dans un tuyau
Il est possible de produire des ondes stationnaires dans un tuyau grâce aux molécules d’air
qui transportent les ondes longitudinales. Lorsqu’une onde atteint une des extrémités du
tuyau, elle peut entrer en contact avec une surface fermée où une section ouverte. La
réflexion de l’onde due à un changement d’interface respecte les règles suivantes :
1)
Section fermée
⇒
Réflexion dure
(avec inversion)
2)
Section ouverte
⇒
Réflexion molle
(sans inversion)
Ainsi, nous pouvons retrouver les différents modes de vibration suivants selon les
différentes combinaisons d’ouvertures : (Amplitude du mouvement horizontal)
Modes de résonance d’un tuyau fermé-fermé (fermé aux deux extrémités)
Premier mode
Deuxième mode
Troisième mode
(Longueur multiple de λ / 2)
Modes de résonance d’un tuyau fermé-ouvert
Premier mode
Deuxième mode
Troisième mode
(Longueur multiple de λ / 2 plus λ / 4)
Modes de résonance d’un tuyau ouvert-ouvert
Premier mode
Deuxième mode
Troisième mode
(Longueur multiple de λ / 2 )
Nous pouvons utiliser les mêmes règles que celles utilisées avec la vibration d’une corde
afin d’établir la fréquence des différents modes de vibration de l’air en fonction de la
longueur du tuyau et de ses types ouvertures.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
Résonance
La résonance est l’excitation d’un système avec une fréquence égale à la fréquence
naturelle d’oscillation du système. Lorsqu’un système possède plusieurs fréquences
naturelles (ex : corde, tuyau), on identifie à chaque fréquence naturelle (valeur propre) un
mode d’oscillation (mode propre). Lorsqu’un système entre en résonance, l’amplitude
associée au mouvement du milieu est amplifiée. L’amplitude atteindra une valeur
maximale lorsque le rythme auquel l’appart en énergie est donnée au milieu est égal au
rythme auquel le milieu dissipe son énergie ( ex : frottement, dégagement de chaleur).
Longueur multiple de λ / 2
Situation
Corde
fixée à un
mur
Tuyau
ferméfermé
Tuyau
ouvertouvert
Équation
L=N
fN = N
Mode 1
Mode 2
Mode 3
λ
2
v
2L
N ∈ Ν , (Nième mode
d’oscillation)
Longueur multiple de λ / 2 plus λ / 4
Situation
Corde
fixée à un
anneau
Tuyau
ferméouvert
Équation
L = (N − 1)
λ
2
Mode 1
+
Mode 2
Mode 3
λ
4
1 v

fN =  N − 
2  2L

N ∈ Ν , (Nième mode
d’oscillation)
Définitions des paramètres :
f N : Fréquence de résonance du Nième mode (Hz ou s −1 )
N : Numéro du mode de résonance ( N ∈ {1,2,3,4,...})
v : Vitesse de propagation des ondes dans le milieu (m/s)
L : Longueur du milieu où il y a l’onde stationnaire (m)
λ : Longueur d’onde produite par la fréquence de stimulation (m)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(λ = v/ f )
Page 10
Situation 4 : L’amplification du son par résonance. En faisant vibrer un diapason
(f = 440 Hz) au-dessus d’un cylindre gradué de 1 m de hauteur partiellement rempli d’eau,
on s’aperçoit que le son résultant est plus intense lorsque la hauteur de l’eau dans le
cylindre possède certaines valeurs bien précises. On désire les déterminer. (Le module de
la vitesse du son est égal à 340 m/s. On néglige les effets de bord).
L’amplification du son sera présente lorsque le cylindre vibrera en résonance sous la
présence du diapason (oscillateur). Évaluons la longueur du tuyau requis pour exciter les
différents modes de résonance.
Puisque le tuyau est ouvert (contact avec l’air) et fermé (contact avec l’eau), nous
utiliserons l’expression suivante :
440 Hz
1 v

fN =  N − 
2  2 LN

L1
L2
où
L N : Longueur pour le N
ième
mode
L3
H1
1m
H2
H3
Pour N = 1 :
 1 v
f 1 = 1 − 
 2  2 L1
⇒
(440 ) = 1 (340 )
⇒
L1 = 0,193 m
Pour N = 2 :
1 v

f2 = 2 − 
2  2 L2

⇒
(440 ) = 3 (340 )
⇒
L2 = 0,580 m
Pour N = 3 :
1 v

f3 = 3 − 
2  2 L3

⇒
(440 ) = 5 (340 )
⇒
L3 = 0,966 m
2 2 L1
2 2 L2
2 2 L3
Ainsi, nous pouvons évaluer la colonne d’eau nécessaire grâce à la hauteur de notre
tuyau initial de 1 m :
H = 1− L
⇒
H 1 = 1 − (0,193)
⇒
H 1 = 0,807 m
⇒
H 2 = 1 − (0,580)
⇒
H 2 = 0,420 m
⇒
H 3 = 1 − (0,966 )
⇒
H 3 = 0,034 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 11
Les effets de bord
Dans un tuyau réel, les conditions aux frontières ne sont pas toujours respectées
entièrement, car :
une section fermée peut quand même osciller avec une petite amplitude.
une section ouverte n’est jamais parfaitement ouverte.
Pour évaluer la longueur d’onde λ de l’onde stationnaire et ainsi déterminer le mode de
résonance, il est préférable d’évaluer la distance entre deux nœuds consécutifs et
d’évaluer λ / 2 . Mesurer la distance entre une frontière et le premier nœud devient alors
une estimation de la longueur d’onde λ .
Mesure idéale :
•
Distance entre deux nœuds consécutifs
⇒
δ = λ/2
⇒
⇒
δ ≈ λ/2
δ ≈ λ/4
Mesure approximative :
•
•
Distance entre une ouverture fermée et le 1er nœud
Distance entre une ouverture ouverte et le 1er nœud
Exemple :
4ième mode de résonance d’un tuyau réel ouvert-fermé
δ ≠ λ /4
δ ≠ λ/2
λ/2
λ/2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Différentes situations de résonance
Voici différentes situations où un milieu entre en résonance :
Table à vibration : (nœuds situés où le sable se retrouve)
L’effondrement du pont de Tocama1 en 1940 (État-Unis) : (vitesse du vent : 67 km/h)
Instruments de musique
Vibration d’une corde (vibration indirect de l’air) :
Guitare (Corde pincée)
Piano (Corde frappée)
Violon (Corde frottée)
Vibration direct de l’air avec longueur de tuyau variable :
Flûte de pan
Flûte à bec
Trombone
1
D’autres théories proposent une autre explication à l’effondrement du pont de Tacoma qu’une excitation
d’un mode de torsion du pont par résonance (stimulation à la fréquence propre du mode de vibration).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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