Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université Virtuelle de Tunis Physique - électricité : TC1 Les conducteurs en équilibre Concepteur du cours: Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek Attention ! Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de la reproduire à des fins commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis. Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre I. DEFINITIONS I. 1. Les conducteurs Ce sont des matériaux qui possèdent un certain nombre de charges mobiles, électrons libres dans le cas des métaux, qui sont mis en mouvement sous l’action d’un champ électrique très faible. Un métal peut donc se représenter comme constitué d’ions positifs, immergés dans un « nuage » d’électrons libres. On conçoit bien, dans ces conditions, que le moindre champ électrique va mettre les électrons en mouvement. I. 2. Les isolants (air sec, caoutchouc, plastique, verre...) Dans ces matériaux les électrons restent étroitement associés aux atomes ou groupements moléculaires, et parmi ceux engagés dans les liaisons, aucun ne peut circuler librement. Le seul effet d’un champ extérieur sur ces matériaux, sera de déplacer les charges positives relativement aux charges négatives et de faire apparaître des dipôles électriques. Remarque Il existe un grand nombre de matériaux qui se situent entre isolants et conducteurs. Certains ont une importance technologique considérable: Les semi-conducteurs. A noter que les propriétés de conduction de l’électricité varient avec la température, la pression, l’humidité .... Dans tous ces matériaux, la conductivité électrique est liée à la mise en mouvement d’un seul type de porteurs de charges. Au contraire dans le phénomène d’électrolyse, l’électrolyte en solution est dissocié en charges positives et négatives et sous l’action d’un champ électrique les deux types de charges se mettent en mouvement en sens inverse. 2 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre I. 3. Conducteur en équilibre électrostatique Un conducteur est dit en équilibre électrostatique lorsqu’il n’est pas le siège de mouvement d’ensemble des porteurs de charges. Les électrons libres d’un métal possèdent un mouvement désordonné que l’on peut comparer, bien qu’il soit d’origine différente, à l’agitation thermique des molécules d’un gaz, mais si le conducteur est en équilibre, ces électrons n’ont pas de mouvement d’ensemble; un déséquilibre électrostatique se traduirait par un mouvement d’ensemble qui viendrait se superposer à leur mouvement désordonné. II. ETUDE DE L’EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE D’UN CONDUCTEUR II. 1. Propriétés d’un conducteur en équilibre Considérons un conducteur en équilibre électrostatique, puisque les électrons libres qui le constituent ne sont pas animés d’un mouvement d’ensemble, la force s’exerçant sur un porteur de charge du conducteur doit être nulle ce qui entraîne immédiatement: Ei 0 c’est à dire que le champ électrostatique est nul à l’intérieur du conducteur. La relation E grad V montre que le potentiel est constant à l’intérieur du conducteur, et par continuité à la surface de celui-ci Vi = Cte =Vs La surface d’un conducteur est donc une surface équipotentielle. Les lignes de champ sont donc normales à cette surface. 3 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre La densité totale de charges 0 div E est donc nulle à l’intérieur du conducteur. i = 0 Puisque l’intérieur d’un conducteur ne peut pas être chargé, la répartition des charges est uniquement superficielle et nous la représenterons souvent par une densité superficielle . II. 2. Champ au voisinage d’un conducteur- Théorème de Coulomb Soit un point M très voisin de la surface S du conducteur. Appliquons le théorème de Gauss à un tube de force (volume limité par des lignes de champ et de base dS). La surface latérale du tube est notée 2. Limitons ce tube par une section droite passant par M et dont la surface est égale à dS (M très voisin de S). Le flux du champ électrique sortant de d d d ddS E (M). dS 1 2 En effet à l’intérieur du conducteur, 4 E n est : 2 + M 11 M dS dq=ds Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre E i 0 et (d) 1 0 de même sur toute la surface de 2, E est tangent et (d) 2 0 . Le théorème de Gauss appliqué à donne: d E (M).ds E(M) ds charges ds 0 0 E D’où : n 0 Cette relation exprime le théorème de Coulomb. Remarques * Le champ électrique au voisinage immédiat d'un conducteur ne dépend que de la densité de répartition de charges. * Le champ électrique est discontinu à la traversée d'un conducteur , puisque il est nul à l'intérieur et vaut juste à l'extérieur. 0 Application. Calcul du champ d’un conducteur sphérique de centre O et de rayon R. Cas: r<R. E i E 1 0 Cas: r>R. Le champ électrique E 2 en un point M éloigné de la surface est donné par: 5 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre E 2 4r 2 Q 4R 0 0 2 R 2 n 0r 2 Soit E 2 E(r) 0 On remarque que : E 2 rR 0 E1 rR r R 0 Fig.2 II.3. Propriétés électriques d'un conducteur creux II.3.1. Propriétés fondamentales + On considère un conducteur creux, on montre qu’à l’intérieur de la cavité lorsque celle-ci ne renferme aucune charge électrique, les propriétés du champ et du potentiel électriques sont les mêmes qu’à l’intérieur d’un conducteur massif. En effet, la surface de la cavité est une surface équipotentielle, on en déduit que V est constant à l’intérieur de la cavité et égal au potentiel du conducteur. D’après la relation E grad V , le champ + + + Ei 0 + + + est nul à l’intérieur de la cavité E i 0 , il en est de + même à l’intérieur du conducteur. Fig.3 La charge à l'intérieur du conducteur est nulle (i = 0). En effet, si on applique le théorème de Gauss à la surface fermée on a : E i . dS Qi 0 avec Ei 0 ce qui donne Qi 0 . Donc la charge est répartie uniquement sur la surface externe du conducteur creux. II.3.2. Application: Cage de Faraday Le champ est encore nul à l’intérieur d’un conducteur creux qui possède des ouvertures nombreuses, mais suffisamment 6 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Support isolant Fig.4 Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre petites. C’est par exemple le cas d’une carrosserie automobile. On peut considérer aussi un volume limité par un grillage métallique comme l’indique la figure. Ce dispositif est connu sous le nom de cage de Faraday. Il est facile de vérifier expérimentalement que le champ électrique à l’intérieur de la cage est nul. Pour cela on place de petits pendules électrostatiques le long des parois intérieure et extérieure de la cage. Quand on charge la cage de Faraday au moyen d’une machine électrostatique, les pendules en contact avec la paroi intérieure restent immobiles tandis que ceux de la paroi extérieure s’en écartent: toute la charge s’est donc répartie sur la surface extérieure du grillage. On emploie des cages de Faraday pour pouvoir effectuer des mesures en l’absence de champs électriques parasites et aussi dans le cas de très hautes tensions pour des raisons de sécurité, l’expérimentateur est alors placé à l’intérieur même de la cage. II.4. La pression électrostatique II.4.1. Expression de la pression électrostatique On considère un conducteur de charge totale Q .Soit un point A de sa surface et dS l'élément de surface situé autour de ce point. Soit M un point extérieur au conducteur situé au voisinage immédiat du point A et soit E (M ) le champ électrique créé au point M par l'ensemble des charges réparties sur le conducteur. Ce champ E ( M ) est la somme du champ E 1 (M ) créé en M par la charge dq = dS située sur la surface élémentaire dS et du champ E 2 (M ) créé par l'ensemble des autres charges exceptée la charge élémentaire dq. Le point M est très proche du point A, l'élément de surface dS est assimilable à un plan de très grandes dimensions uniformément chargé. Nous avons vu dans le chapitre 2(§III.3.3), que le champ créé par un plan chargé superficiellement en un point M extérieur, est perpendiculaire au plan et a pour expression : E 1 (M ) 7 u. 2 0 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre D'après le théorème de Coulomb: E(M) u, 0 et sachant que E (M) E 2 (M) E1 (M) E 2 (M ) E(M ) E 1 (M ) On a donc : u 2 0 La charge dq = dS se trouvant dans le champ E 2 (M ) est soumise donc à une force électrostatique d F telle que : d F dq E 2 (M) dS 2 u dS u 2 0 2 0 Cette force d F est normale à la surface du conducteur, dirigée toujours vers l'extérieur de celui-ci, quel que soit le signe de a le caractère d'une pression p . Cette pression est appélée pression électrostatique définie par : p dF dS 2 u 2 0 II.4.2. Application ds Au sommet d’une sphère métallique de rayon p ds mg R = 2 cm, on pose un disque de rayon r<<R (r = 2mm) et de masse m = 2 10-2g. O V ds R Fig.5 Nous supposons que le contact entre le petit disque et la sphère est parfait, de sorte que, à l’endroit du disque la charge est portée par celui-ci ; c'est alors sur le disque que s’exerce la pression électrostatique. 8 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre On porte la sphère à un potentiel V, on constate que pour une valeur suffisante de V, le disque se soulève. En effet, le disque se soulève lorsque la force électrostatique devient supérieure au poids, ce qui se traduit dans le cas de l’équilibre par la relation : F pS 2 2 r mg 2 0 avec Q 4R 2 où Q est la charge totale de la sphère; pour relier Q au potentiel V, remarquons que le potentiel est constant à l’intérieur de la sphère et que nous pouvons le calculer en son Q R centre O . V 4 0 R 0 La densité superficielle de charge est donc liée au potentiel V par la relation : 0V R D’où la condition pour que le disque se soulève : V V0 R 2mg r 0 Le calcul numérique de V0 et de la charge Q donne : V0 = 3,76 104 V et Q = 8,36 10-8C. D’après cet exemple, on voit que l’électrostatique est le domaine des faibles charges et des fortes différences de potentiel. Remarques * Le pouvoir de pointe Sur une « pointe » ou l’arête saillante d’un conducteur chargé, la densité de charge devient très grande (théoriquement infinie) et le champ dans le voisinage est très intense, il peut alors ioniser l’air au voisinage de la pointe. Le champ électrique intense arrache un électron, par exemple à une molécule d’air, cet électron est accéléré par le champ électrique et acquiert une vitesse suffisamment importante pour, au moment d’un choc avec une autre molécule, arracher un nouveau électron et ainsi de suite. On a affaire au phénomène d’ionisation par chocs qui entraîne la création rapide d’ions. L’air s’ionise, les ions de même 9 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre signe que la charge de la pointe sont repoussés tandis que les ions de signe différent sont attirés par la pointe, se déchargent sur elle et donnent naissance à un véritable courant d’air ionisé. Ce pouvoir de pointe est mis à profit pour décharger rapidement les conducteurs. Par contre ce pouvoir devient gênant quand on veut conserver les charges sur un conducteur. * Le champ disruptif de l’air C’est le champ maximal qui peut exister au voisinage d’un conducteur sans qu’il y ait ionisation de l’air environnant et par suite « écoulement » de la charge du conducteur. Pour l’air sec le champ disruptif est de l’ordre de 3 106 V/m. III. INFLUENCE ELECTROSTATIQUE . SYSTEMES DE CONDUCTEURS III.1. Phénomène d’influence électrostatique On considère un conducteur B neutre et isolé On approche de B un conducteur A chargé ( QA ). Les électrons libres de B sous l’action du champ électrique créé par A vont se déplacer en sens inverse du champ de A et s’accumuler sur la partie de B la plus proche de A. A B Fig.6 QA>0 Ce mouvement crée un déficit d’électrons à l’autre extrémité de B, qui devient chargée positivement. C’est le phénomène d’influence électrique. Comme B était initialement neutre et qu’aucune charge ne lui a été apportée, la somme des charges négatives est égale (en valeur absolue ) à la somme des charges positives créées sur B. 10 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre III.2. Théorème des éléments correspondants Deux éléments correspondants sont les surfaces dS1 et dS2 découpées sur les conducteurs A et B par un même tube de lignes de champ. A 1 2 dS2 dS1 3 n Fig.7 3 E B Si on applique le théorème de Gauss à la surface formée du tube de lignes de champ 1 et de surfaces quelconques ( 2 et 3 ) dans A et B,on a globalement le flux de E à 1 2 3 0 travers est nul : En effet, le champ est nul à l’intérieur de A et B, ( 2 3 0 ) et le champ est partout tangent à 1 ( E n ; E . dS 0 ) ce qui assure la nullité du flux à travers 1. La charge de la surface élémentaire dS1 est dq 1 A dS 1 , celle sur dS 2 est dq 2 B dS 2 . ch arg es D'où : Soit: A dS1 B dS 2 0 A dS1 B dS2 0 0 Théorème des éléments correspondants. Les charges portées par deux élements correspondants sont égales en valeur absolue, mais de signes opposés 11 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre III.3. Influence totale On considère un conducteur B possédant une cavité, initialement neutre, entourant complètement un conducteur A portant une charge positive QA. Toutes les lignes de champ issues de A atteignent B: C’est le phénomène d’influence totale. D’après le théorème des éléments correspondants la surface interne de B et la surface de A portent des charges égales et de signes opposés, telle que: QA A QSi Si B QSe Se (Q B ) Si Q A Fig.8 Q B Si : charge de la surface interne de B. Q B S e : charge de la surface externe de B. Le conducteur B étant initialement neutre, sa charge totale est nulle : Q B (Q B ) Si (Q B ) Se 0 Ce qui donne (Q B ) Se Q A , étant donné que : (Q B ) Si Q A . Si la surface externe de B est reliée au sol par un fil conducteur, la charge de la surface externe de B s’écoule vers la terre, tandis que la charge de la surface interne reste egale à -QA ( D’après le théorème des éléments correspondants ). 12 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre III.4. Superposition des états d’équilibre Soit un système de deux conducteurs en équilibre électrostatique. Dans le premier état d’équilibre les conducteurs (1) et (2) sont portés aux potentiels V'1 et V ' 2 et désignons par V' le potentiel en un point quelconque. Les charges électriques sont alors distribuées sur les surfaces avec des densités '1 et ' 2 de telle sorte que le champ électrique V '1 ' 2 E '2 0 E1' 0 ‘1 ‘1 ' 2 Fig.9 '1 soit nul à l’intérieur des conducteurs: ' 1 V' 2 V' ' V ' '1 2 E E 0 ' E 1'Premier 0 E '2' 0 état d’équilibre. ‘1 Le second état d’équilibre est caractérisé par V ' '1 et V' ' 2 , E1'' et E '2' ( E1'' E '2' 0 à ‘1 Fig.10 ' '1 ' ' 2 l’intérieur des conducteurs) Deuxième état d’équilibre. 13 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre Si on additionne alors superficielles de charges: les densités V1 V1' V1'' 1 1' 1'' et 2 '2 '2' , on obtient un nouvel état d’équilibre avec V V ' V ' ' . En effet le potentiel V satisfait bien aux conditions : a) V = 0 : L’équation de Laplace est vérifiée en tout point de l’espace compris entre les deux conducteurs ( s’il n’ya pas de charges entre les conducteurs). V2 V2' V2'' E1 0 E2 0 ‘1 ‘1 1 1' 1'' 2 '2 '2' Fig.11 Superposition des deux états d’équilibre b) V = V1 sur le conducteur (1) et V = V2 sur le conducteur (2). c) V = 0 à l’infini. Comme le champ électrique E E' E' ' est toujours nul à l’intérieur des conducteurs, il n’y a aucun déplacement de charges. Par superposition de deux ou plusieurs états d’équilibre, on obtient donc un nouvel état d’équilibre pour lequel le potentiel est la somme des potentiels et la densité superficielle est la somme des densités superficielles. Pour la superposition de n états d’équilibre, on a : n V Vi n i et i 1 i 1 IV. CAPACITE PROPRE D’UN CONDUCTEUR IV.1. Définition Soit un conducteur C seul dans l’espace. Considérons un premier état d’équilibre (état1), tel que le potentiel de C est V1 et sa charge est Q1. Soit un deuxième état d’équilibre ( état 2 ), obtenu par superposition de « états 1 » : 14 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre Etat 1 Etat 2 V 1 , Q1 V2 = V1 , Q2 = Q1 On obtient une relation entre la charge et le potentiel: Q 2 Q1 C0 V2 V1 La charge Q d’un conducteur seul dans l’espace est proportionnelle à son potentiel V: Q C0V C0 est appelée capacité propre du conducteur. Elle ne dépend que de la forme et des dimensions du conducteur et s’exprime en Farad. (Symbole : F) IV. 2. Exemple. Capacité d’un conducteur sphérique Soit un conducteur sphérique de centre O, de rayon R et de charge Q. Le potentiel du conducteur peut être trouvé à partir du potentiel V(0) au centre de la sphère: V ( 0) 1 4 0 S( r R ) dS 1 r 4 0 dS R Q 4 0 R D'où : C0 Q 4 0 R V Si on considère la terre comme un conducteur sphérique de rayon R= 6400 km, sa capacité est : C terre 6.4 106 4 0 R 0.71 103 F 9 9 10 L’unité Farad correspond donc à une capacité énorme, on utilise comme unités pratiques le microFrad : 1F = 10-6 F, le nanoFarad : 1nF = 10-9F et le picoFarad : 1pF = 10-12F 15 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre V. COEFFICIENTS D’INFLUENCE D’UN SYSTEME DE CONDUCTEURS V1 V2 (1) (2) Soit un système de trois conducteurs portés respectivement aux potentiels V1, V2, V3 et l’on se propose de déterminer les charges Q1, Q2, Q3 de ces conducteurs. Pour cela, nous allons utiliser le théorème de superposition d’états d’équilibre. Q1 Q2 V3 (3) Q3 Fig.12 V1 V2=0 (1) (2) Si le conducteur (1) est tout d’abord porté au potentiel V1 (V1=1) et tous les autres conducteurs au potentiel zéro. Q1 C21 V3=0 Les conducteurs prennent des charges bien (3) déterminées que nous désignons respectivement par C11, C21, C31 C31 Fig.13 Si nous multiplions par V1 les potentiels de ces trois conducteurs, nous obtenons un premier état d’équilibre pour lequel les potentiels et les charges sont respectivement : V1 ,0,0 et C11V1 , C 21V1 , C 31V1 Puis on recommence les opérations précédentes pour le conducteur (2) en le portant au potentiel V2, le potentiel des autres conducteurs étant nul, nous obtenons un nouvel état 0, V2 ,0 et C12V2 , C 22V2 , C 32V2 d’équilibre: Le troisième état d’équilibre obtenu en portant le troisième conducteur (3) au 0,0, V3 et C13V3 , C 23V3 , C 33V3 potentiel V3 est caractérisé par : 16 Concepteur du cours: M. BEN BRAÏEK & J. LAMLOUMI Physique électricité : TC1 Université Virtuelle de Tunis Les conducteurs en équilibre La superposition de ces trois états d’équilibre donne alors un nouvel état d’équilibre où les potentiels et les charges pour les trois conducteurs sont donnés par: Conducteur (1) : Potentiel : V1 Charge : Q1 C11V1 C12 V2 C13V3 Conducteur (2) : Potentiel : V2 Charge : Q 2 C 21V1 C 22 V2 C 23V3 Conducteur (3) : Potentiel : V3 Charge : Q 3 C 31V1 C 32 V2 C 33V3 Ce résultat se généralise sans difficultés à un nombre n quelconque de conducteurs et on en déduit que la charge de chaque conducteur est une combinaison linéaire des potentiels de tous les conducteurs : n Q i Cij Vj j1 Où les coefficients Cij ne dépendent que de la géométrie du système, sont appelés coefficients d’influence. On peut montrer que : C ii 0 , C ij 0 si i j , Cii C ij , C ij C ji ji Remarque Dans le cas particulier d’un conducteur seul dans l’espace, Q1 = C11V1 ( C11 = C : capacité du conducteur ). 17 Concepteur du cours: M. 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