T. D. 3 : Ondes acoustiques dans le tuyaux rigides 3.1 Rщflexion et

T. D. 3 : Ondes acoustiques dans le tuyaux rigides
On considère des ondes acoustiques planes se propageant à une dimension dans un milieu
compressible de densité volumique et de constante de compressibilité . On dénotera par
la surpression crée par l’onde acoustique et par la vitesse acoustique du milieu (à
ne pas confondre avec la vitesse de phase de l’onde acoustique ).
3.1
Réflexion et transmission des ondes
a. Trouver la relation qui relie et à la puissance acoustique qui traverse à l’instant une section droite en .
b. Montrer que la continuité suivant de la surpression (condition déquilibre) et de la puissance acoustique (conservation de l’énergie), impose la continuité du débit acoustique
défini par .
c. Etablir alors les conditions à imposer aux ondes acoustiques à l’interface entre deux
tuyaux cylindriques de sections et pour les deux cas suivants: i) mais
.
des milieux différents dans les deux tuyaux; ii) milieux identiques mais d. Déterminer pour les deux cas précédents, les coefficients de réflexion et de transmission
des amplitudes pour une onde monochromatique. Etudier en particulier le cas d’un tuyau
qui débouche sur l’aire et d’un tuyau rigidement fermé.
e. Vérifier la conservation de l’énergie. Quelles sont les conditions pour que toute l’énergie
soit réfléchie (isolation sonique)? Et pour que toute l’énergie soit transmise (adaptation
d’impédances)?
3.2
Application aux tuyaux sonores
On considère un tuyau de longueur qui débouche sur l’aire.
a. Pour un tuyau rigidement fermé à l’autre bout, calculer la fréquence sonore la plus basse
qu’on peut produire.
b. Idem pour un tuyau ouvert des deux cotés.
c. Etudier la dépendance en et . Pourquoi les grands orgues jouent beaucoup plus grave
que les flûtes?
d. On assimile une flûte simple à un tuyau ouvert. Calculer la fréquence pour une longueur
cm et tous les trous latéraux fermés. Que se passe-t-il si on ouvre un trou latéral?
Quelles fréquences on obtient avec une flûte à un trou latéral ouvert placé au milieu ou au
tiers de la longueur?
e. Joue-t-on la même note à 5 C qu’à 35 C de température ambiante?
15
T. D. 3 : Corrigé
3.1
Réflexion et transmission des ondes
On a les relations:
-
!" #
"#
., * ., - # /10
$ % &')( + ,
$ % &' ,
%
#
032
*345 6
+ la vitesse de
"
où est le déplacement
032 du*3milieu
032 + dans la direction . On dénote par '
6
4
'
& l’impédance acoustique caractéristique du milieu.
l’onde et par 78 '
a. La puissance acoustique instantanée est donnée par ;
9;:< 0 '=
!
!" #
$% &
0
"#
$% &
9
9
0
b. Si et sont continues, alors d’après l’expression pour on déduit que > '=
doit
!
être continu.
c. On doit imposer la continuité de la surpression et du débit > . Dans le cas le plus général,
milieux et sections droites différents, on aura :
#
#
0 2@ ,.- @ 4 ,
0 23B ,.- B 4 ,
' 7 8A
7 8?
@ @
B B
= ,.- 4 , %C'D= ., - 4 , %
i)
=
@
'=
B
mais des milieux différents dans les deux tuyaux :
#
0 2 @ ,.- @ 4 ,
'
7 8 ?
,.- @ 4 , %E'
ii) milieux identiques mais =
@F B
'=
#
032 B ,.- B 4 ,
7 8A
,.- B 4 , %
:
#
,.- @ 4 ,
'
#
,.- B 4 ,
@ @
B B
= ., - 4 , E
% 'D= ,.- 4 , %
d. Pour décrire la situation où dans le milieu (1) il y a une onde monochromatique incidente
et une autre réfléchie, et dans le milieu (2) une onde transmise, on écrira (en notation
"#
complexe) :
@.J K L
@ J PK L J PK R3S
- @
et
$ % &'HG I
"#
- B
? MN I O
$ % &'I
16
?MQ
B J K L A M J PK R3S
avec TUWVXZY
obtient :
[\U
et T]ZV^X_Y
[3\ ] . En appliquant les relations de continuité au point ` a
, on
i Y3n U o lm p Y3n ]
b cd e U cHd ] Vf g u h i vh p w j kyxlm i Y n ]
V f ] g h i j kZlm
lm i Y3n U q lm p Y n ].rts d U
lm i Y n Uq lm p Y n ]
d U
Note : Les coefficients b et ont été établis ici pour l’onde de déplacement z . Dans la
s
littérature on donne souvent les coefficients correspondants pour la surpression { . En
utilisant (3.1) on établit aisément la relation :
U o l m p Y n ]
xlm p Y3n ]
b | V b Vf ] g h i j k lm i Y n | V lm p Vf g u h i v.h p w j k
lm i Y3n }U q lm p Y n ] r1s
lm is
lm i Y3n U}q lm p Y3n ]
entre les coefficients de réflexion b ~ et de transmission ~ pour l’onde de déplacement z
s
et les coefficients correspondants b | et | pour l’onde de surpression { .
s
U
]
i) n Vn
i
b Vf ] g h i j k l m i o l m p
Vf g u h i vh p w j k xl m
lm i q lm p rts
lm i q lm p
Pour un tuyau rigidement fermé, le milieu (2) peut être assimilé à un matériau avec
) , c’est-à-dire pour un fini, [ \ . Donc lm plm i et alors V et
s
b V o f ] g h i j k . On a zV en `V` a (nœud de déplacement).
n] mais l m iV l m p et [3\ iV^[ \ p V[3\ :
ii) nUV
U o
x
b Vf ] g h j k n ] Y n V
n ] Y3n }U q^ rts n ] Y n Uq^
Pour un tuyau ouvert sur l’air, on peut poser n ] n U . On obtient alors V
] g h j k . On a alors .z_Y3`^V c’est-à-dire {)V , en `^V` a (nœud
s de
et b Vf
surpression).

e. On a :
.z
.z
Vn o l m 3[ \

`
s
Pour une onde incidente monochromatique :
on obtient :

z g V d U f vg u 3 vh i j w
g}V^X ] nU l m i d U ] ] X o T.U ` q U
s
et sa valeur moyenne est :

X ] nU l m i d U ]
c

g ;¡£a¥
¢ ¤ g V
s
_¦
x

V
On définit
de façon
analogue
l’énergie
acoustique associée à l’onde réfléchie
]
]
]
]
b

¦
X nU l m i U d U Y x et celle associée
à l’onde transmise VX n] l m p ] d U Y x . On a
s

V
§
g

V
g
et
, avec :
donc
i o
] i
]
l
¨
l
¨
p
c
b
§
U V
V n] l m p Y3nU l m i ] ] Vª
© l¨ l¨ p ]

]
s
l¨ i q l¨ p r
l¨ i q l¨ p
17
où on a défini l’impédance acoustique «¬)«® ¯3° . On note alors que ±²³^;´ , ce qui
vérifie la conservation de l’énergie.
Pour obtenir une isolation sonique (³^µ¥´ ) il faut ¶ « ¬ · ¸ µ¹¶ « ¬ · º ou ¶ « ¬ · ¸W» ¶ « ¬ · º .
Pour obtenir que toute l’énergie soit transmise on étudie ³ en fonction de ¼½;¶ « ¬ · ¸ ¯¶ « ¬ · º .
On a :
¼
³
³¿¾ ºÁÃÂ Ä¾
¶ ´_Æ¼ · ÇÉÈ¼½)´
¶ ¼À²^´ ·
¼
¶ ¼²^´ · Å
Â
On a un maximum avec ³´ pour ¼´ , c’est-à-dire pour ¶ « ¬ · ¸ ¶ « ¬ · º
(adaptation
d’impédances acoustiques).
3.2
Application aux tuyaux sonores
En ÊË on doit avoir un nœud de surpression, et Ì
¸ ¶ ÊÍ Î ·
prend alors la forme :
Ì ¸ ¶ ÊÍ Î · Ï ¸ÑÐ Ò Ó Ô Õ Ö ² Ò º Ó Ô ×ØÒ ÙÓ Ô Õ Ö ÚÑÒ ÙÓ Û3Ü
a. En Ê^Ç on doit imposer Ì^Ç . Donc,
´W² Ò3Ù º Ó Ô × ÇÝÈßÞ àá.âã.ËÝÆ´^Èßã3äå;¶ â3æ²^´ · ç ¯ âË
et la fréquence sonore la plus basse qu’on peut produire est
b. Dans ce cas on a ÌØ¯ ÊÑÇ en ÊÇ , et donc :
avec æ£^Ç.Í ´Í â_è
èè
éÑ^ê ëWã3ì ¯3â ç ^ê ë¯ Ë
¾
.
Â Â
º
´_Æ 3Ò Ù Ó Ô ×  ÇÝÈíÞ à áâã.ËÝ´^Èßã3ä)¶ â3æ · ç ¯3â3Ë
avec æ£)´Í â_è
èè
et la fréquence sonore la plus basse qu’on peut produire est éÀÝê3ëã ¸ ¯3â ç Ýê3ë¯ âË . Un
tuyau fermé à un bout produit un son plus grave qu’un tuyau ouvert des deux côtés. Faites
l’expérience.
c. Plus Ë est grand, plus le son émis est grave (passage du piccolo au contretuba). Pas
de dépendance en ° (jusqu’à une certaine limite, puisqu’on a utilisé l’approximation de
propagation selon Ê seulement).
d. La fréquence est donnée par éHê ë ¯ Ë)îâï3ð.è ñ Hz. Si on ouvre un trou latéral, tout
¾
se passe comme si on imposait un nœud de surpression en cet endroit. Pour un trou au
milieu le mode fondamental corespond à éîê ë ¯ âË)òï.´ ï.è ó Hz. Pour un trou à 1/3,
éÑô ê3ë¯ Ëð3ðôè Hz.
¾
¾
ë õ ö}±³Ø¯ ÷ et é£Ýê ë ¯3â3Ë . On a alors øé.¯é;øÑ³Ø¯ â3³
³^ùô3ÇÇ K, øÀé.¯3éÀù^ïú´ Ç Ù º ce qui correspond à un demi-ton.
e. On a ê
18
. Pour
ø³);ô3Ç
K et