T. D. 3 : Ondes acoustiques dans le tuyaux rigides 3.1 Rщflexion et

T. D. 3 : Ondes acoustiques dans le tuyaux rigides
On considère des ondes acoustiques planes se propageant à une dimension dans un milieu
compressible de densité volumique et de constante de compressibilité . On dénotera par
la surpression crée par l’onde acoustique et par la vitesse acoustique du milieu (à
ne pas confondre avec la vitesse de phase de l’onde acoustique ).
3.1 Réflexion et transmission des ondes
a. Trouver la relation qui relie et à la puissance acoustique qui traverse à l’instant
une section droite en .
b. Montrer que la continuité suivant de la surpression (condition déquilibre) et de la puis-
sance acoustique (conservation de l’énergie), impose la continuité du débit acoustique
défini par .
c. Etablir alors les conditions à imposer aux ondes acoustiques à l’interface entre deux
tuyaux cylindriques de sections et pour les deux cas suivants: i) mais
des milieux différents dans les deux tuyaux; ii) milieux identiques mais .
d. Déterminer pour les deux cas précédents, les coefficients de réflexion et de transmission
des amplitudes pour une onde monochromatique. Etudier en particulier le cas d’un tuyau
qui débouche sur l’aire et d’un tuyau rigidement fermé.
e. Vérifier la conservation de l’énergie. Quelles sont les conditions pour que toute l’énergie
soit réfléchie (isolation sonique)? Et pour que toute l’énergie soit transmise (adaptation
d’impédances)?
3.2 Application aux tuyaux sonores
On considère un tuyau de longueur qui débouche sur l’aire.
a. Pour un tuyau rigidement fermé à l’autre bout, calculer la fréquence sonore la plus basse
qu’on peut produire.
b. Idem pour un tuyau ouvert des deux cotés.
c. Etudier la dépendance en et . Pourquoi les grands orgues jouent beaucoup plus grave
que les flûtes?
d. On assimile une flûte simple à un tuyau ouvert. Calculer la fréquence pour une longueur
cm et tous les trous latéraux fermés. Que se passe-t-il si on ouvre un trou latéral?
Quelles fréquences on obtient avec une flûte à un trou latéral ouvert placé au milieu ou au
tiers de la longueur?
e. Joue-t-on la même note à 5 C qu’à 35 C de température ambiante?
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T. D. 3 : Corrigé
3.1 Réflexion et transmission des ondes
On a les relations:
où est le déplacement du milieu dans la direction . On dénote par la vitesse de
l’onde et par l’impédance acoustique caractéristique du milieu.
a. La puissance acoustique instantanée est donnée par ;
b. Si et sont continues, alors d’après l’expression pour on déduit que doit
être continu.
c. On doit imposer la continuité de la surpression et du débit . Dans le cas le plus général,
milieux et sections droites différents, on aura :
i) mais des milieux différents dans les deux tuyaux :
ii) milieux identiques mais :
d. Pour décrire la situation où dans le milieu (1) il y a une onde monochromatique incidente
et une autre réfléchie, et dans le milieu (2) une onde transmise, on écrira (en notation
complexe):
et
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avec et . En appliquant les relations de continuité au point , on
obtient:
Note: Les coefficients et ont été établis ici pour l’onde de déplacement . Dans la
littérature on donne souvent les coefficients correspondants pour la surpression . En
utilisant (3.1) on établit aisément la relation :
entre les coefficients de réflexion et de transmission pour l’onde de déplacement
et les coefficients correspondants et pour l’onde de surpression .
i)
Pour un tuyau rigidement fermé, le milieu (2) peut être assimilé à un matériau avec
, c’est-à-dire pour un fini, . Donc et alors et
. On a en (nœud de déplacement).
ii) mais et :
Pour un tuyau ouvert sur l’air, on peut poser . On obtient alors
et . On a alors c’est-à-dire , en (nœud de
surpression).
e. On a:
Pour une onde incidente monochromatique:
on obtient:
et sa valeur moyenne est:
On définit de façon analogue l’énergie acoustique associée à l’onde réfléchie
et celle associée à l’onde transmise . On a
donc et , avec:
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où on a défini l’impédance acoustique . On note alors que , ce qui
vérifie la conservation de l’énergie.
Pour obtenir une isolation sonique ( ) il faut ou .
Pour obtenir que toute l’énergie soit transmise on étudie en fonction de .
On a:
On a un maximum avec pour , c’est-à-dire pour (adaptation
d’impédances acoustiques).
3.2 Application aux tuyaux sonores
En on doit avoir un nœud de surpression, et prend alors la forme:
a. En on doit imposer . Donc,
avec
et la fréquence sonore la plus basse qu’on peut produire est .
b. Dans ce cas on a en , et donc:
avec
et la fréquence sonore la plus basse qu’on peut produire est . Un
tuyau fermé à un bout produit un son plus grave qu’un tuyau ouvert des deux côtés. Faites
l’expérience.
c. Plus est grand, plus le son émis est grave (passage du piccolo au contretuba). Pas
de dépendance en (jusqu’à une certaine limite, puisqu’on a utilisé l’approximation de
propagation selon seulement).
d. La fréquence est donnée par Hz. Si on ouvre un trou latéral, tout
se passe comme si on imposait un nœud de surpression en cet endroit. Pour un trou au
milieu le mode fondamental corespond à Hz. Pour un trou à 1/3,
Hz.
e. On a et . On a alors . Pour K et
K, ce qui correspond à un demi-ton.
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